素养拓展03 直线与圆中的最值、范围问题（思维导图+5大题型+综合通关）（暑假预习讲义）新高二数学人教A版

素养拓展03 直线与圆中的最值、范围问题 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 代数式的几何意义最值（范围）问题 1、形如，可以转化为过点和点的动直线斜率； 2、形如，可以转化为点和点的距离的平方； 3、形如，可以转化为动直线纵截距 即时即练 1．已知圆：，为圆上任意一点． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为． (2)最大值为，的最小值为． (3)最大值为，最小值为． 【分析】（1）将转化为圆上点与定点连线的斜率，利用圆心到切线的距离等于半径，求出斜率的最值； （2）将转化为直线在轴截距的线性函数，利用圆心到直线的距离等于半径，求出截距的最值，进而得到所求； （3）将转化为圆上点到定点的距离的平方，利用定点到圆心的距离与半径的和、差，求出距离平方的最值. 【详解】（1）表示圆上的点与点连线的斜率， 设为，圆心，则过点的圆的切线方程为，即， 由圆心到切线的距离等于半径，可得，求得， 故的最大值为，最小值为． （2）令，即，表示斜率为、在轴上的截距为的直线， 故当此直线和圆相切时，取最值． 圆心到直线的距离为半径， 可得，求得，或， 故的最大值为，的最小值为． （3）与的距离为， 所以的最大值为，最小值为． 知识点02 距离与位置关系中的最值、范围问题 一、常用距离公式 1、点到点的距离公式：平面内两点，间的距离公式为：． 2、点到直线的距离公式：点到直线的距离． 3、直线到直线的距离公式：两条平行直线，，它们之间的距离为：． 二、三点共线最值问题 1、点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点. 2、点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到). 3、点在直线异侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点. 三、点与圆的位置关系最值（范围）问题 1、若点在圆内，则，； 2、若点在圆外，则，； 3、圆上一点到圆外一定直线的距离最值 若直线与圆相离，圆上一点到直线的距离为，为圆心到直线的距离， 为圆半径，则，. 四、直线与圆的位置关系最值（范围）问题 设点M是圆C内一点，过点M作圆C的弦，则弦长的最大值为直径，最短的弦为与过该点的直径垂垂直的弦弦长为 即时即练 1．（25-26高二下·上海·期中）圆上的点到直线的最小距离是______. 【答案】1 【详解】圆的圆心为，半径为2， 因为圆心到直线的距离， 所以圆上的点到直线的最小距离是. 2．（25-26高二上·云南保山·期末）已知点，点在圆上运动，则的取值范围为_________． 【答案】 【详解】圆的标准方程为， 则圆心为，半径， 又圆心到点A的距离，所以点A在圆外， 则的最大值为，的最小值为， 则的取值范围为 3．（25-26高二上·湖南·期末）已知圆，过点的直线被该圆截得的最短弦长为__________. 【答案】 【分析】当圆心与定点的连线与弦所在直线垂直时弦长最短，利用勾股定理求弦长即可. 【详解】圆可化为， 所以圆心为，半径， 当圆心与定点的连线与弦所在直线垂直时弦长最短， 则， 此时弦长为. 故答案为：.    4．（25-26高二上·贵州遵义·期末）唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军出发点是，军营所在位置为，河岸所在直线方程为：，则将军从出发点到河边饮马，再回到军营的总路程最短为____________． 【答案】 【分析】利用对称思想将折线路程转化为两点间线段长度，求出点关于直线的对称点，再计算该对称点与点的距离即可得到最短总路程. 【详解】设点关于直线的对称点为，根据轴对称的性质可得： ，即，解得，即. 由对称性可知，对直线上任意饮马点，均有，故总路程. 所以当为线段与直线的交点时，总路程取得最小值，最小值为. 由两点间距离公式：. 故最短总路程为. 5．（25-26高二上·福建·阶段检测）点P在直线上运动，从点P向圆引切线，则切线长的最小值为_______. 【答案】 【分析】连接切点与圆心，则该连线垂直于切线，利用勾股定理，切线长转化为直线上点与圆心连线和半径关系，求圆心与直线上点距离的最小值，即可求解. 【详解】由题意得圆的圆心为， 将化为一般方程，可得， 在直线上取一点P，过P向圆引切线，设切点为A．连接， 如图，作出符合题意的图形， 在中，．要使最小，则应最小． 又当与直线垂直时，最小，其最小值为， 故由勾股定理得的最小值为．   故答案为：. 题型01 斜率、ax+by的几何意义应用 1．（25-26高二上·山西太原·期中）若点在圆上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】的几何意义是点与两点连线的斜率，利用直线与圆相切，列出方程，即可求解． 【详解】由题意，圆，可得圆心，半径为1， 因为的几何意义是点与两点连线的斜率，设，即， 当直线与圆相切时， 则满足圆心到切线的距离等于半径，即，解得， 又由点在圆上， 所以. 故选：B. 2．（24-25高二上·山东济宁·期中）如果实数满足等式，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用两点连线的斜率公式知，表示圆上的点与点连线的斜率，从而将问题转化成直线与圆的位置关系来处理，即可求解. 【详解】设，则表示圆上的点与点连线的斜率， 所以求的取值范围就等价于求同时经过点和圆上的点的直线中斜率的最大值与最小值， 从图中可知，当过点的直线与圆相切时取最大值和最小值，此时对应的直线斜率分别为和， 由圆心到直线的距离，解得或， 所以的取值范围是， 故选：B. 3．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知曲线是以为圆心、半径的上半圆，代数式表示曲线上的点与定点连线的斜率，数形结合可得出的最大值. 【详解】由，两边平方整理得， 所以曲线是以为圆心、半径的上半圆， 代数式表示曲线上的点与定点连线的斜率，如下图所示： 由图可知，当点的坐标为，直线的斜率最大，即取最大值，且最大值为， 故选：C. 4．（25-26高二上·河北唐山·阶段检测）实数满足，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】令，则直线在轴上的截距的最大值就是的最大值，分析出当直线与圆相切时，纵截距取得最大值和最小值.利用直线和圆相切时，圆心到直线的距离求出，即可得解. 【详解】将变形可得， 可知圆心，半径. 令，则直线在轴上的截距的最大值就是的最大值，， 当直线与圆相切时，纵截距取得最大值和最小值. 此时，圆心到直线的距离， 即，解得. 所以的最大值为. 故选：C 5．（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）已知、，点在线段上，则的取值范围为________. 【答案】 【分析】根据直线与倾斜角的关系，再结合数形结合可得. 【详解】由直线的斜率公式可得：；.    将看成线段上一点与定点连线的斜率， 结合图形，要使直线经过点，且与线段有交点， 的斜率需满足或. 故答案为： 6．（25-26高二下·上海·阶段检测）若实数满足，则的取值范围是______ 【答案】 【分析】将求的取值范围转化为直线与圆的位置关系问题，进而求解即可. 【详解】可化为，圆心坐标为，半径为. 令，即，则表示直线的纵截距，如图. 圆心到直线的距离为. 直线与圆有交点的条件为，即，解得， 所以的取值范围为. 题型02 两点间的距离公式几何意义应用 1．若实数满足，则的最大值是__________． 【答案】/ 【分析】利用两点间距离几何意义求解最值. 【详解】设点，由实数满足可得： 点在以原点为圆心，以为半径的圆上， 设点，则的几何意义为动点到定点的距离， 由，则点在圆外， 结合图形可知，. 的最大值是. 故答案为：.    2．若点在直线上移动，则的最小值为______． 【答案】25 【分析】明确的几何意义，利用点到直线的距离公式，即可求得答案. 【详解】由题意可知点在直线上移动， 而， 即可看作是直线上的点和原点的连线的距离的平方， 的最小值为原点到直线的距离， 故的最小值为25， 故答案为：25 3．（20-21高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知，，则的最小值为_____. 【答案】 【分析】利用平面上两点间线段最短和两点间距离公式的几何意义即可求解. 【详解】 . 记点、点、点和点， 因为，， 所以的几何意义为：表示正方形内的点到点、点、点和点四点的距离之和. 因为的几何意义为：正方形内的点到点和点的距离之和. 所以当点在线段（不包含点和点）上时，点到点和点的距离之和最小，即取得最小值，为. 因为的几何意义为：正方形内的点到点和点的距离之和. 所以当点在线段（不包含点和点）上时，点到点和点的距离之和最小，即取得最小值，为. 综上可得：当点是线段与的交点时，和同时取得最小值，均为. 所以的最小值为. 故答案为：. 4．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）代数式的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两点之间距离公式分析出表示到、的距离之和，求出关于对称点为，连接交于点，此时最小. 【详解】由两点之间距离公式可以得到表示点到的距离，表示点到的距离， 所以代数式表示， 由图象可知在上运动，所以易得关于对称点为， 连接交于点，此时最小，最小值为. 故选：B. 5．已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，将问题转化成求两平行直线，间的距离，即可求解. 【详解】由，得到，， 因为表示点到点间的距离， 又点在直线上，点在直线上， 易知直线与直线平行， 则两直线，间的距离为， 所以的最小值为. 6．（25-26高二上·重庆黔江·期中）已知，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点之间的距离公式，将转化为点，，，之间的距离的长度的和，作图分析线段和最小值情况即可得结论. 【详解】因为表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 设，，，， 则表示的长度的和， 如图所示：      当四点共线时，和最小为， 故的最小值是. 故选：D． 题型03 点到线、两平行线间的距离 1．已知，两点的坐标分别为，，若两平行直线，分别过点A，B，则，间的距离的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据平行线之间的距离转化为一直线上的点到平行线之间的距离，可结合图形分析，间的距离的最大值为，即可求得. 【详解】解：由题可知，，如图，两平行直线，分别过点A，B， 因为，所以，间的距离即点到直线的距离，由图可知， 当，垂直时，，间的距离取最大值，即最大值为， 又由两点间的距离公式可知，. 故选：D． 2．（25-26高二上·河南·期中）直线与上各有一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题目条件计算得两条直线平行，的最小值就是两条平行线间的距离. 【详解】直线 ， ，即的最小值为这两条平行线间的距离， 设为之间的距离，则. 故选：C 3．（25-26高二上·内蒙古锡林郭勒·期末）已知点在直线上，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】结合表示点到原点的距离，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】表示点到原点的距离, 点到原点距离的最小值为原点到直线的距离. 故选：C 4．（25-26高二上·山西太原·阶段检测）已知实数满足，，则的最小值为（ ） A．1 B．4 C．9 D．16 【答案】B 【分析】由题意可得，是直线上的点，是直线上的点，利用两直线关系即可求解. 【详解】由题意可得，是直线上的点， 是直线上的点，则两直线平行， 的最小值是平行直线之间的距离的平方， 可得最小值为. 故选：B 5．（25-26高二上·贵州遵义·期中）已知，满足，则的最小值为（   ） A．2025 B．2028 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得点的轨迹为圆，得到圆的圆心和半径，把转化为到直线的距离的倍，求得圆心到直线的距离，结合圆的性质，得到最短距离为，进而得到答案. 【详解】由题意知：点，且， 可得，整理得， 即，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 又由， 则可看作是点到直线的距离的倍， 因为圆心到直线的距离为， 则点到直线的最短距离为， 所以的最小值为. 故选：D. 6．对任意实数，坐标原点到直线距离的最大值为_____． 【答案】 【分析】先求出动直线恒过的定点，原点到直线距离的最大值即为原点到该定点的距离，计算该距离即可。 【详解】将直线方程分离参数，变形为， 由于对任意实数等式恒成立，因此需满足，解得， 即直线恒过定点， 根据几何性质，原点到动直线的距离，当且仅当直线与垂直时取等号， 故距离的最大值为，由两点间距离公式得：， 因此原点到直线距离的最大值为. 7．（25-26高二上·湖南岳阳·期末）动点与两个定点，满足，则点到直线的距离的最大值为________． 【答案】/4.8 【分析】利用两点距离公式求出点的轨迹方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，进而求圆上的点到直线的距离的最大值. 【详解】设，则，整理得. 所以点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆. 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离， 故点到直线的距离的最大值为. 题型04 定点到圆上的最值问题（含将军饮马问题） 1．（25-26高二上·云南德宏·期中）已知圆，点，点Q是圆M上的一个动点，线段的最大值为（   ） A．2 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】先判断点和圆的位置关系，然后根据点和圆的位置关系确定正确答案. 【详解】对于点和圆， ，所以点在圆外， 圆的方程可化为，圆心为，半径为， ， 所以的最大值为. 故选：C    2．已知点，，过点作直线交圆：于，两点，的中点为，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】依题意可得，则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，从而求出的最小值. 【详解】因为为的中点，所以，设，因为， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 故的最小值为. 故选：B. 3．（河南省天一大联考2025-2026学年高二上学期阶段性测试（一）数学试卷（北师大版））“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”来自唐代诗人李颀的诗《古从军行》，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题：即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从山脚下的点处出发，则“将军饮马”的总路程最短为（    ） A． B．4 C．5 D． 【答案】D 【分析】作点关于直线对称的点，则“将军饮马”的总路程最短距离即为，求出即可． 【详解】设点关于直线对称的点为， 则有，解得，即， 所以“将军饮马”的总路程最短为． 故选：D． 4．（25-26高二上·江西赣州·期中）已知点，在轴上求一点，使最小，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对称性来求最小值，通过取等号时条件求出点的坐标. 【详解】 根据题意，作出关于的对称点， 则， 当点与共线时等号成立， 则由写出直线方程：， 再令得：， 故选：A 5．（25-26高二上·江西萍乡·期中）汉代初年成书的《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣”.这是中国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例.在平面直角坐标系中，由点出发的一束光线经直线反射后到达圆上某一点，则光线经过的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作图，得到光线经过的路程，然后求关于对称的点，利用对称性求得何时光线经过的路程最小，求出最小值. 【详解】如图，设光线由点出发，经过直线上的点后反射后与圆交于点， ∴光线经过的路程为.    设是点关于直线的对称点， 则，即，∴，即， 由对称性可知，，即， 显然当四点共线时，最小， 此时. 故选：A. 6．（25-26高二上·河南洛阳·期中）已知，，，记直线与直线的交点为，点是圆上的一点，若与圆相切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合已知，求出交点的轨迹方程，再结合切线的性质即可求解. 【详解】直线即直线，过定点， 直线即直线，过定点， 又由斜率关系可得两直线垂直，所以交点的轨迹是以为直径的圆， 即轨迹方程为，圆心， 因为Q是圆C上一点，且PQ与C相切， 所以问题转化为圆上任意一点作直线与圆相切，求切线的范围. 设圆的半径为， 因为圆的圆心，半径为定值，当取得最小值和最大值时，切线取得最小值和最大值， ， 又因为，即， 所以，即， 故选：A    7．（25-26高二上·辽宁沈阳·期末）已知圆．若Q为直线上的动点，M是圆C上的动点，定点，则的最小值（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】设关于直线的对称点为，利用对称性可求得，进而数形结合可求得的最小值. 【详解】由圆，可知圆心，半径， 因为M是圆C上的动点，所以， 设关于直线的对称点为， 所以，解得，所以， 所以， 当且仅当在同一直线上且在点之间时取得等号成立， 故的最小值. 故选：C. 8．（25-26高二上·四川泸州·期末）是圆：上的动点，为直线：上的动点，定点，则的最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据点关于直线对称的点的特征，求点关于对称点为，得，从而，当且仅当三点共线时取等号，从而解出的最小值. 【详解】    圆：的圆心，半径 设点关于对称点为， 则，解得，即 故 由，故， 又，则， 当且仅当三点共线时取等号，故的最小值为4. 故选：C 题型05 弦长、切线长有关的最值问题 1．（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知圆：，直线：，若与交于两点，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】求出直线过的定点并判断与圆的位置关系，再利用圆的性质求出最短弦长. 【详解】直线：过定点，圆：的圆心，半径， ，即点在圆内，当且仅当时，最短， 所以的最小值为 故选：C 2．（25-26高二上·湖南邵阳·期中）从点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆的切线长公式求解. 【详解】由圆，则圆心，半径为， 则切线长为， 当时，切线长取得最小值， 此时点，且，即点在圆外，满足题意. 故选：A 3．过坐标原点O作两条互相垂直的直线OA，OB，点A，B（异于点O）均在圆上，则面积的最大值为（    ） A．26 B． C．13 D． 【答案】C 【分析】由已知可得，圆C的半径为，AB是圆C的一条直径，当时，面积取得最大值，代入数据求面积即可. 【详解】圆化成标准方程为，    圆C的半径为，O在圆C上，因为，所以AB是圆C的一条直径． 当时，面积取得最大值， 则最大值为． 故选：C. 4．（25-26高二上·天津南开·期末）过的直线与圆交于两点，当弦长度最短时，直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆心坐标，可得圆心与点连线的斜率，利用弦长公式得到当直线与垂直时，弦长度最短，进而得到直线的斜率，再由点斜式得解. 【详解】圆的圆心为，半径为， 当直线与垂直时，圆心到直线的距离取到最大值， 利用弦长公式，得到此时弦长度最短， 由直线与垂直，得：， 又由圆心与点连线的斜率， 可得直线的斜率， 又因为直线过， 所以直线的方程为， 即． 故选：B 5．（24-25高二上·河南郑州·期末）已知是直线 上一动点，过点作圆 的两条切线，切点分别为 ，则四边形周长的最小值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】B 【分析】利用圆心到直线的距离转化求四边形周长的最小值. 【详解】圆，即， 由对称性可知，四边形的周长为， 而，的最小值为点到直线的距离为， 所以的最小值为，则四边形的周长的最小值为. 故选：B 6．（24-25高二上·广东广州·期中）已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别与圆相切于点，则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，根据切线长与圆心到定点距离和半径之间关系，即切线长可知当时，最小，可确定四边形面积的最小值. 【详解】由圆的方程知：圆心，半径， 四边形的面积， 则当最小时，四边形的面积最小， 点到直线的距离， ， 此时. 故选：A 1．（25-26高二上·重庆·期中）点到直线 的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线所过定点，点到直线的距离的最大值为. 【详解】直线， 即，由，解得， 所以直线过定点，， 点到直线的距离的最大值为. 故选：C 2．已知动点到坐标原点的距离是其到点的距离的，则点到直线：的距离的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】设，由利用两点间的距离公式得到动点的方程，从而得到的轨迹是以为圆心，半径为2的圆，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线 的距离，从而得到点到直线的距离的最小值. 【详解】设，由， 所以动点的轨迹是以为圆心，半径为2的圆， 圆心到直线：的距离为， 所以点到直线：的距离的最小值为. 故选：A. 3．（25-26高二上·河北·阶段检测）已知点，圆，则经过点且被圆截得的弦长最短时直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令所求直线为，由题意可知，由垂直直线间斜率的关系求得，由点斜式求得直线方程. 【详解】令过圆内一点且被圆截得弦长最短的直线，则. 由题意得，，∴一定存在，且，所以， 所以，即. 故选：B. 4．（24-25高二上·浙江金华·期末）点P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点为Q，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】由题意可求出的最小值，结合圆的性质，利用勾股定理可求得的最小值. 【详解】设点的坐标为，，圆的圆心坐标为，半径， 则 由圆的几何性质可得， 又， 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 故选：C 5．（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知，，，均为实数，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】表示两点与之间的距离，表示两点与之间的距离，进而可得点的轨迹方程为两平行直线，可求最小值. 【详解】表示两点与之间的距离， 表示两点与之间的距离， 又点是直线上的动点，点是直线上的动点， 且直线与直线平行， 所以的最小值即为直线与直线之间的距离， 所以的最小值为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：关键在于把两根式转化两点间的距离问题，进而可得的最小值即为直线与直线之间的距离，从而求解. 6．（25-26高二上·福建漳州·期末）已知圆，圆，其中，若两圆外切，则的最大值为（   ） A． B．5 C． D．8 【答案】D 【分析】根据两个圆方程，将问题转化为圆上点到定点的距离最大值，求解即可. 【详解】圆，配方可得：， 所以圆心，半径. 圆，可知圆心，半径， 又因为两圆外切，所以圆心距就是两圆的半径和， 即：， 化简得：， 求的最大值，就是点到定点的距离的最大值. 圆心到点的距离， 圆半径为3，所以最大距离为：. 故选：D. 7．已知圆，点P是圆上的一点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则四边形的面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，将四边形的面积表示出来，可得，再由，即可得到结果. 【详解】由题意知四边形的面积， 所以当取得最小值时，四边形的面积取得最小值. 又，所以. 故选:B. 8．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知圆，直线，为直线上一动点，定点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆心关于的对称点，结合图形可得的最小值为 【详解】设圆心关于的对称点为，则解得即，    所以.N为与直线交点时等号成立， 故选：B 9．（24-25高二上·江西萍乡·期末）已知点在直线上运动，点，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】作出点关于直线的对称点为，数形结合并利用两点距离公式求解即可. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，故， 所以， 所以，即当三点共线时取得最大值. 故选：D.    10．（25-26高二上·江苏扬州·期末）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点关于直线的对称点，求出直线与河岸线的交点即可得出饮马的地点坐标. 【详解】设点关于直线的对称点为点, 根据对称点的性质知中点在直线上， 即,可得, 又直线与直线垂直，即,可得, 即可得,即点, 直线的斜率为,得直线方程，即, 将军在河边饮马的地点坐标为直线与河岸线的交点 ， 将代入得,即坐标点为. 则将军在河边的饮马地点为. 故选：C 11．（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）已知，是直线上两动点，且，点，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意，设点在点的左下方，推导出点，利用两点间距离公式计算，利用距离公式将其转化成两定点与一条定直线上的点的距离之和的最小值问题解决． 【详解】不妨设点在点的左边，因为直线的倾斜角为， 且，所以点的坐标为， 则． 记， 则可将理解为直线上一动点到的距离之和， 如图，作出点关于直线的对称点， 则，连接，交直线于点， 则即的最小值， 且， 故的最小值为．    故选：A. 12．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）点在曲线上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据曲线类型以及表达式的几何意义，利用圆心到直线的距离即可得出结果. 【详解】曲线等价于； 可知其表示为圆的右半部分，圆心，半径为2，上顶点， 表示曲线上的点到直线的距离的倍，如下图： 圆心到直线的距离为， 顶点到直线的距离为. 则的最大值为，的最小值为， 故的取值范围为. 故选：B 13．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知，点为直线上的动点，过点作直线与相切于点．若，则最小值为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，由圆方程可得圆心，半径， 由切点可知， 所以， 过点作直线的垂线，垂足为， 所以，可得， 接着转化为几何条件，在所在直线上构造一个到点距离为的点， 所以， 所以， 此时， 所以当三点共线时取最小值，即，故的最小值为. 14．（25-26高二上·天津·阶段检测）已知点在直线上运动，点是圆上的动点，，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】求出点关于直线的对称点，将问题转化为的最大值问题，结合图象分析可得. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 如图，因为，所以， 由图可知，， 当且仅当三点共线，点位于点时取得最大值. 故选：C 15．（多选题）（25-26高二上·吉林长春·期末）已知实数满足，下列说法正确的是（　　） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为49 D．点到直线的距离的最大值为 【答案】BCD 【分析】设，利用点到直线的距离公式求得的范围判断A；设，利用点到直线的距离公式求得的范围判断B；表示圆上的点到的距离的平方，求得可求最大值判断C；求得点到直线的距离，进而可求点到直线的距离的最大值判断D. 【详解】方程表示以为圆心，半径的圆， 对于A，设，则，因为点在圆上， 所以，整理得，解得， 所以的最小值为，故A错误； 对于B，设，则，因为点在圆上， 所以，整理得，解得， 所以的最小值为，故B正确； 对于C，表示圆上的点到的距离的平方， 设圆上的点到的距离， 又，所以，即， 所以的最大值为49，故C正确； 对于D，点到直线的距离， 所以点到直线的距离的最大值为，故D正确. 故选：BCD. 16．（25-26高二上·云南保山·期末）已知点，点在圆上运动，则的取值范围为_________． 【答案】 【详解】圆的标准方程为， 则圆心为，半径， 又圆心到点A的距离，所以点A在圆外， 则的最大值为，的最小值为， 则的取值范围为 17．已知直线，，则直线与之间的距离最大值为______. 【答案】5 【分析】分别求出直线，过的定点，，当与两直线垂直时距离最大，且最大值为，由此即可求解． 【详解】直线化简为：， 令且，解得，， 所以直线过定点， 直线化简为：， 令且，解得，， 所以直线过定点，， 当与直线，垂直时，直线，的距离最大， 且最大值为， 故答案为：5． 18．（24-25高二上·山西·期中），，函数的最小值为______. 【答案】 【分析】根据两点间的距离及点到直线的距离公式构造点到点，点到直线的距离，由图可得解. 【详解】设点，和直线， ，到的距离分别为，，易知， 如图，    显然. 故答案为： 19．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知直线（其中k为常数），圆，直线l与圆O相交于A，B两点，则长度的最小值为______. 【答案】 【分析】根据直线所过的定点，结合圆的几何性质进行求解即可. 【详解】由直线， 所以该直线恒过， 由圆的标准方程可知圆心坐标为，半径为， 因为， 所以点在圆内， 因此当时，有最小值， 则， 故答案为： 20．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知圆上的一点，则的取值范围是_________. 【答案】 【分析】先表示圆上的点到直线 的距离，求出圆心到直线的距离，利用圆C上的点到直线 的距离的取值范围为即可求解. 【详解】表示圆上的点到直线 的距离， 圆圆心为,半径为， 圆心到直线的距离为. 所以直线与圆相离，所以圆C上的点到直线 的距离的取值范围为， 即. 故答案为：. 21．（25-26高二上·全国·期末）已知实数满足方程.求： (1)的最大值和最小值； (2)的最大值和最小值； (3)的最大值和最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为 (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）根据圆心坐标和半径可知表示圆上的点与原点连线的斜率，再由直线与圆相切即可得出结果； （2）令，可知其几何意义表示直线在轴上的截距，由点到直线距离计算可得结果； （3）易知表示圆上的点与原点距离的平方，又圆心到原点的距离为2，得出圆上的点到原点距离的最大值和最小值，再平方即可. 【详解】（1）原方程表示以点为圆心，为半径的圆． 设，即，则当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值， 此时，解得， 故的最大值为，最小值为. （2）设，即， 则当直线与圆相切时，纵截距取得最大值和最小值， 此时，解得， 故的最大值为，最小值为. （3）易知表示圆上的点与原点距离的平方． 由平面几何知识知，它在原点与圆心所在的直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值． 又圆心到原点的距离为2， 故，. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 素养拓展03 直线与圆中的最值、范围问题 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 代数式的几何意义最值（范围）问题 1、形如，可以转化为过点和点的动直线斜率； 2、形如，可以转化为点和点的距离的平方； 3、形如，可以转化为动直线纵截距 即时即练 1．已知圆：，为圆上任意一点． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 知识点02 距离与位置关系中的最值、范围问题 一、常用距离公式 1、点到点的距离公式：平面内两点，间的距离公式为：． 2、点到直线的距离公式：点到直线的距离． 3、直线到直线的距离公式：两条平行直线，，它们之间的距离为：． 二、三点共线最值问题 1、点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点. 2、点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到). 3、点在直线异侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点. 三、点与圆的位置关系最值（范围）问题 1、若点在圆内，则，； 2、若点在圆外，则，； 3、圆上一点到圆外一定直线的距离最值 若直线与圆相离，圆上一点到直线的距离为，为圆心到直线的距离， 为圆半径，则，. 四、直线与圆的位置关系最值（范围）问题 设点M是圆C内一点，过点M作圆C的弦，则弦长的最大值为直径，最短的弦为与过该点的直径垂垂直的弦弦长为 即时即练 1．（25-26高二下·上海·期中）圆上的点到直线的最小距离是______. 2．（25-26高二上·云南保山·期末）已知点，点在圆上运动，则的取值范围为_________． 3．（25-26高二上·湖南·期末）已知圆，过点的直线被该圆截得的最短弦长为__________. 4．（25-26高二上·贵州遵义·期末）唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军出发点是，军营所在位置为，河岸所在直线方程为：，则将军从出发点到河边饮马，再回到军营的总路程最短为____________． 5．（25-26高二上·福建·阶段检测）点P在直线上运动，从点P向圆引切线，则切线长的最小值为_______. 题型01 斜率、ax+by的几何意义应用 1．（25-26高二上·山西太原·期中）若点在圆上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山东济宁·期中）如果实数满足等式，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·河北唐山·阶段检测）实数满足，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 5．（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）已知、，点在线段上，则的取值范围为________. 6．（25-26高二下·上海·阶段检测）若实数满足，则的取值范围是______ 题型02 两点间的距离公式几何意义应用 1．若实数满足，则的最大值是__________． 2．若点在直线上移动，则的最小值为______． 3．（20-21高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知，，则的最小值为_____. 4．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）代数式的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·重庆黔江·期中）已知，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 题型03 点到线、两平行线间的距离 1．已知，两点的坐标分别为，，若两平行直线，分别过点A，B，则，间的距离的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（25-26高二上·河南·期中）直线与上各有一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·内蒙古锡林郭勒·期末）已知点在直线上，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．5 4．（25-26高二上·山西太原·阶段检测）已知实数满足，，则的最小值为（ ） A．1 B．4 C．9 D．16 5．（25-26高二上·贵州遵义·期中）已知，满足，则的最小值为（   ） A．2025 B．2028 C． D． 6．对任意实数，坐标原点到直线距离的最大值为_____． 7．（25-26高二上·湖南岳阳·期末）动点与两个定点，满足，则点到直线的距离的最大值为________． 题型04 定点到圆上的最值问题（含将军饮马问题） 1．（25-26高二上·云南德宏·期中）已知圆，点，点Q是圆M上的一个动点，线段的最大值为（   ） A．2 B．6 C．8 D．10 2．已知点，，过点作直线交圆：于，两点，的中点为，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 3．（河南省天一大联考2025-2026学年高二上学期阶段性测试（一）数学试卷（北师大版））“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”来自唐代诗人李颀的诗《古从军行》，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题：即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从山脚下的点处出发，则“将军饮马”的总路程最短为（    ） A． B．4 C．5 D． 4．（25-26高二上·江西赣州·期中）已知点，在轴上求一点，使最小，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·江西萍乡·期中）汉代初年成书的《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣”.这是中国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例.在平面直角坐标系中，由点出发的一束光线经直线反射后到达圆上某一点，则光线经过的最短路程为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·河南洛阳·期中）已知，，，记直线与直线的交点为，点是圆上的一点，若与圆相切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·辽宁沈阳·期末）已知圆．若Q为直线上的动点，M是圆C上的动点，定点，则的最小值（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 8．（25-26高二上·四川泸州·期末）是圆：上的动点，为直线：上的动点，定点，则的最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型05 弦长、切线长有关的最值问题 1．（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知圆：，直线：，若与交于两点，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 2．（25-26高二上·湖南邵阳·期中）从点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．过坐标原点O作两条互相垂直的直线OA，OB，点A，B（异于点O）均在圆上，则面积的最大值为（    ） A．26 B． C．13 D． 4．（25-26高二上·天津南开·期末）过的直线与圆交于两点，当弦长度最短时，直线的方程是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·河南郑州·期末）已知是直线 上一动点，过点作圆 的两条切线，切点分别为 ，则四边形周长的最小值为（    ） A． B． C． D．8 6．（24-25高二上·广东广州·期中）已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别与圆相切于点，则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·重庆·期中）点到直线 的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．已知动点到坐标原点的距离是其到点的距离的，则点到直线：的距离的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26高二上·河北·阶段检测）已知点，圆，则经过点且被圆截得的弦长最短时直线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·浙江金华·期末）点P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点为Q，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 5．（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知，，，均为实数，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 6．（25-26高二上·福建漳州·期末）已知圆，圆，其中，若两圆外切，则的最大值为（   ） A． B．5 C． D．8 7．已知圆，点P是圆上的一点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则四边形的面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知圆，直线，为直线上一动点，定点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·江西萍乡·期末）已知点在直线上运动，点，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 10．（25-26高二上·江苏扬州·期末）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 11．（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）已知，是直线上两动点，且，点，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）点在曲线上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知，点为直线上的动点，过点作直线与相切于点．若，则最小值为（   ） A．4 B． C． D． 14．（25-26高二上·天津·阶段检测）已知点在直线上运动，点是圆上的动点，，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 15．（多选题）（25-26高二上·吉林长春·期末）已知实数满足，下列说法正确的是（　　） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为49 D．点到直线的距离的最大值为 16．（25-26高二上·云南保山·期末）已知点，点在圆上运动，则的取值范围为_________． 17．已知直线，，则直线与之间的距离最大值为______. 18．（24-25高二上·山西·期中），，函数的最小值为______. 19．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知直线（其中k为常数），圆，直线l与圆O相交于A，B两点，则长度的最小值为______. 20．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知圆上的一点，则的取值范围是_________. 21．（25-26高二上·全国·期末）已知实数满足方程.求： (1)的最大值和最小值； (2)的最大值和最小值； (3)的最大值和最小值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $