第13讲 有理数的乘方与混合运算 （暑假预习讲义，7题型突破+过关检测）新六年级数学新教材沪教版五四制

第13讲 有理数的乘方与混合运算 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1有理数幂的概念理解 题型2 有理数的乘方运算 题型3 乘方运算的符号规律 题型4 乘方的应用 题型5 含乘方的有理数混合运算 题型6 程序流程图与有理数计算 题型7 算“24”点 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 （一）乘方基础概念类 乘方、幂、底数、指数、n次方、n次幂、相同因数连乘、乘方书写规范、括号底数、省略指数1 （二）乘方符号法则类 正数的任何次幂、负数奇次幂、负数偶次幂、0的正整数次幂、与区分、偶次方非负性 （三）混合运算规则类 三级运算、运算优先级、有理数混合运算顺序、括号层级（小/中/大括号）、同级运算从左到右、运算律简化计算 （四）思想方法与易错关键词 从特殊到一般、指数思维、符号判断、分步运算、三步以内混合运算、折纸/细胞分裂实际模型、运算严谨性 （一）知识与技能目标 1. 理解乘方定义：知道乘方是求n个相同有理数积的简便运算，能准确识别底数、指数、幂，规范读写乘方式子。 2. 掌握书写规范：底数为负数、分数时必须加括号，能分清（a的n次方相反数）与（n个-a相乘）的意义与计算结果差异。 3. 熟记乘方符号法则：正数任意次幂为正；负数奇次幂负、偶次幂正；0的任意正整数次幂为0，能快速判断幂的符号再计算绝对值。 4. 掌握有理数混合运算完整顺序：先括号（小→中→大），再乘方，后乘除（左到右），最后加减（左到右），能完成三步以内综合混合运算。 5. 灵活运用乘法交换律、结合律、分配律简化混合运算，减少计算失误；能借助乘方解决折纸、细胞分裂等简单实际问题。 （二）过程与方法目标 1. 通过折纸、正方形面积等实例归纳乘方含义，体会从特殊到一般的归纳推理思想，建立指数运算思维。 2. 对比小学四则混合运算，迁移、拓展到含乘方的三级混合运算，形成层级化运算逻辑。 3. 运算时分步拆解，先定符号、再算数值，养成分步验算、规范书写步骤的解题习惯。 （三）情感态度与核心素养目标 1. 提升运算能力：规范处理负数、括号、乘方叠加题型，减少符号类计算错误。 2. 发展推理意识：能说清乘方符号法则、混合运算顺序的依据，做到“知其然，知其所以然”。 3. 培养严谨的数学习惯：区分易混淆乘方形式，认真审题、有序计算，感受数学符号表达的简洁性。 4. 建立模型意识：能用乘方模型描述重复倍增类生活问题，体会乘方在实际场景中的应用价值。 重点：乘方概念与符号法则；有理数三级混合运算顺序与规范计算。 难点：区分与；含多层括号、多重乘方的综合运算；符号多层叠加时符号判断。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 有理数的乘方 1.有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．） 2.乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． 【方法总结】1. 定义：n个相同因数a相乘，记作aⁿ，即：a×a×⋯×a(n个)=aⁿ 2. 各部分名称：a为底数，n为指数，aⁿ整体叫做幂。 3. 读法：aⁿ读作a的n次方或a的n次幂。 4. 必考区分：有无括号决定底数范围 (−3)²：底数是-3，表示2个-3相乘； −3²：底数是3，表示3的平方的相反数。 知识点02 有理数的混合运算 先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右；有括号先算括号内（小括号→中括号→大括号） 【方法总结】核心口诀：先乘方，再乘除，最后加减；同级从左到右，有括号先算括号内。 题型1 有理数幂的概念理解 【例1】．（24-25六年级上·上海闵行·阶段检测）把算式写成乘方的形式正确的是（　　） A． B． C． D． 【例2】．（23-24六年级下·上海·期中）的底数是________． 【例3】．（23-24六年级下·上海普陀·期中）9个2相乘的结果用幂的形式表示为______． 【变式1-1】．（25-26六年级上·上海·期末）乘法运算可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】．（24-25六年级上·上海宝山·期末）5个相乘用乘方的形式表示：_______． 【变式1-3】．（23-24六年级下·上海杨浦·期中）底数是，指数是4的幂可以写成______． 题型2 有理数的乘方运算 【例4】．（24-25六年级上·上海·阶段检测）下列算式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【例5】．（25-26六年级上·上海嘉定·期末）下列各对数中，数值相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【例6】．（25-26六年级上·上海闵行·期末）计算：______． 【技巧归纳】通用三步法：① 看底数是否带括号、判断正负；② 根据指数奇偶判断结果符号；③ 计算绝对值的乘方。 【变式2-1】．（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）乘法运算可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】．（25-26六年级上·上海黄浦·期末）的计算结果是____________． 【变式2-3】．（25-26六年级上·上海·阶段检测）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．约定逢十进一是十进制，逢二进一是二进制．十进制数，记作1024；二进制数，记作；二进制数转化为十进制数为_________． 【变式2-4】．（24-25六年级上·上海·阶段检测）阅读材料，求值：． 解：设①，将等式两边同时乘以2得： ②， ，得：， 所以， 即， 请你仿照此法计算： (1)； (2)（其中为正整数） 题型3 乘方运算的符号规律 【例7】．（23-24六年级下·上海六年级下·上海·阶段检测）已知n表示正整数，则的值是（    ） A．0 B．1 C．1或0 D．以上答案都不对 【易错警示】指数为偶数结果为1，指数为奇数结果为-1，核心看指数奇偶性。 【变式3-1】．（24-25六年级·上海·期末）观察下列三组数的运算：，；，；，．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母表示的式子：①当时，；②当时，．其中表示的规律正确的是（    ） A．① B．② C．①、②都正确 D．①、②都不正确 【变式3-2】．（25-26六年级上·上海·课后作业）判断下列各式计算结果的正负： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3-3】．（24-25六年级·上海·期中）观察下列算式：根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是_____． 题型4乘方的应用 【例8】．（25-26六年级上·上海奉贤·期中）名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意为：一尺木棍，第一天截取它的一半，以后每天截取剩下部分的一半，那么永远也截取不尽．照这样推算，第四天截取木棍总长度的（    ） A． B． C． D． 【例9】．将一张纸对折一次可裁2张，对折两次可裁4张，对折四次可裁____张． 【变式4-1】．（25-26六年级上·上海静安·期末）有一根2米长的木棒，第一次截去它的一半，第二次截去剩下的一半，以此方式进行下去，则第六次截去之后剩下的木棒的长度是_____米 【变式4-2】．（24-25六年级上·上海·期中）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10010转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法…… (1)根据以上信息，将二进制数“101110”转化为十进制的数是______； (2)按照上面的格式将十进制数“4372”转化为八进制数是______； (3)在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时间一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，则孩子已经出生的天数是______天． 【变式4-3】．（25-26六年级上·上海·期中）二维码在日常生活中应用广泛，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图1，是小明同学准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字，转换成十进制数为；同理第二行至第五行代表二进制的数字分别转换成十进制的两位数，依次组合到一起就是小明同学的准考证号2412072813． (1)图2是小丽同学的准考证号的二维码的简易编码，则小丽同学的准考证号为：___________________； (2)二维码不仅能储存数字信息，还能通过代码将数字信息转换成字母语言信息． 将大写英文26个字母作为明码，它对应数字暗码如下表： 明码 A B C D E F G H I J K L M 暗码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 明码 N O P Q R S T U V W X Y Z 暗码 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 二维码的简易编码所对应的数值小于27，则设的值为二维码的简易编码所对应暗码，如图1中第一行所对应的二进制的数字转换成十进制数24，则暗码为，则对应的明码为“”．请在图3中画出一个明码为“”的的二维码． 题型5 含乘方的有理数混合运算 【例10】．（25-26六年级上·上海普陀·期末）计算：_____________． 【例11】．（25-26六年级上·上海·期末）计算：______． 【例12】．（25-26六年级上·上海·阶段检测）计算：． 【技巧归纳】包含乘方、括号、四则运算的综合计算，以及根据文字描述列有理数算式计算。 【变式5-1】．（25-26六年级上·上海黄浦·期末）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．一位书生坚持每天五更起床读书，为了勉励自己，他用“结绳记数”的方法来记录自己读书的天数，如图1是他从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，表示的天数为51天，按同样的方法，图2表示的天数是____________． 【变式5-2】．（24-25六年级上·上海·阶段检测）计算：； 【变式5-3】．（25-26六年级上·上海·期末）计算： 【变式5-4】．（25-26六年级上·上海嘉定·期末）计算： (1) (2) 题型6 程序流程图与有理数计算 【例13】．按图中程序运算，如果输出的结果为4，则输入的数据不可能是（    ）    A． B． C．0 D．2 【例14】．（25-26六年级·上海·期中）根据流程图中的程序，若输入的值为，则输出的值为___________ 【例15】．（25-26六年级上·上海青浦·期中）根据如图的流程图，完成下列各题： 如果输入x的值是，那么输出的数是多少？请写出计算过程． 【变式6-1】．（24-25六年级上·上海金山·期中）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行如图所示的程序框图：如果第一次输入的数是，则最后输出的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】．（25-26六年级上·上海闵行·阶段检测）按照如图所示的计算程序，若输入的，则输出的值为；若输入的，则输出的结果________． 【变式6-3】．（25-26六年级上·上海金山·期中）计算机的运算编程与数学原理是密不可分的，相对简单的运算编程就是数值转换机． (1)如图，A同学设置了一个数值转换机，若输入a的值为3，则输出的结果为_______． (2)如图，B同学设置了一个数值转换机，如果输入的x分别为和，那么输出的结果分别为_______和_______． (3)C同学也设置了一个计算装置示意图，A，B是数据入口，C是计算结果的出口，计算过程是由A，B分别输入自然数m和n，经过计算后的有理数k由C输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个条件： ①若A，B分别输入1，则输出结果1，记； ②若B输入1，A输入自然数增大1，则输出结果为原来的3倍，记； ③若A输入任何固定自然数不变，B输入自然数增大1，则输出结果比原来增加，记 问：当A输入自然数6，B输入自然数1时，的值是_______． 当A输入自然数6，B输入自然数6时，的值是多少？ 题型7算“24”点 【例16】．“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【变式7-1】．（25-26六年级上·上海长宁·期末）“24点游戏”是将四个数字进行加、减、乘、除运算，使其结果为24（每个数字用且只能用一次，可添加括号），现有，，，四个数字，请写出一个符合条件的算式___________． 【变式7-2】．（25-26六年级上·上海静安·期末）如图，现有5张卡片写着不同数，利用所学过的加、减、乘、除、乘方运算，从中选取4张卡片（每张卡片上的数只能用一次），使这4张卡片上的数运算结果为24，写出一个符合要求的等式为___________． 【变式7-3】．小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算，其中J代表11、Q代表12、K代表13，若每张牌上的数字只能用一次，并使得运算结果等于24． (1)小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式； (2)请你抽取任意数字不相同的4张扑克牌，并列出一个结果等于24的算式． 一、单选题 1．下列各组数中，相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．有理数，，，按从小到大的顺序排列是（ ） A． B． C． D． 3．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．对于式子，运算过程：①乘方；②加法；③除法．对其运算顺序排序正确的是（　　） A．①②③ B．①③② C．②③① D．③①② 5．二进制数字由0，1构成，传统的三进制数字由0，1，2构成．例如，十进制数99化为二进制、三进制数过程如下： ； ． 三进制数化为二进制为（　　） A． B． C． D． 6．二维码是用某种特定的几何图形按一定规律在平面分布的、黑白相间的、记录数据符号信息的图形（如图1）．某校学生利用二维码建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的身份识别图案，其中第一行和第二行可分别转换为该学生的班级序号和学号．黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将每一行数字从左到右依次记为，则为该行所表示的数．例如：图2中第一行数字从左到右依次为0、1、0、1，计算，表示该生为5班学生、请判断下列选项中表示9班10号学生的识别图案是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．的底数是______，值为______；的底数是______，值为______． 8．计算： _________． 9．计算：________． 10．计算：______． 11．若，，且，则的值为_______． 12．若，则________． 13．若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下： 则输出结果为_____________． 14．定义如下运算程序，则输入，时，输出的结果为_________． 15．定义a※b＝a2÷（b﹣1），例如3※5＝32÷（5﹣1）＝9÷4＝，则（﹣3）※4的结果为________． 16．如图，某数学活动小组编制了一道有理数的混合运算题．即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，其中“●”表示最小的正整数，若输入的数为，则计算结果为______． 17．算“24”是一种常见的数学游戏．一座有三道环路的数字迷宫，每一个入口处都设置一个数，要求每一个进入者都把自己当作数“1”，进入时必须形状一种运算（加、减、乘、除或乘方），与入口处的数进行计算，并将结果带到下一个入口，依次累计下去．在通过最后一个入口时，如果计算结果是24才能到达迷宫中心．请选择一条可以到达迷宫中心的道路，列出其对应的算式为________． 18．定义一种新运算，若，则，例，．已知，则x的值为 __． 三、解答题 19．已知：（x+2）2+|y﹣|＝0，求2x+4y的值． 20．在如图所示的数轴上表示下列各数： ，，，，． 21．计算 (1) (2) 22．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 23．小明有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各题．    (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字乘积最大，最大值是______． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除商最小，最小值是______． (3)从中取出除0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使结果为24，请写出一种符合要求的运算式子． 24． 阅读下面的材料：我们已经学习过“乘方”和“开方”运算，下面给同学们介绍一种新的运算，即对数运算． 定义：如果（，，），则b叫做以a为底N的对数，记作． 例如：因为，所以；因为，所以． (1)填空： ，   (2)如果 ，求m的值． (3)对于“对数”运算，小明同学认为有“（，，，）”，他的说法正确吗？如果正确，请给出证明过程；如果不正确，请说明理由，并加以改正． 25．阅读材料一：生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10010转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法…… 阅读材料二：二进制数与十进制数的对应关系如下表． 十进制数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 二进制数 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 (1)【发现】根据以上信息，将二进制数“10110”转化为十进制数是__________，将十进制数“77”转化为二进制数是__________； (2)【迁移】请计算二进制的两个数相加，结果也用二进制表示： (3)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数． 26．“24点”游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算得出24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用． (1)在玩“24点”游戏时，小明抽到以下4张牌（Q表示12）： 请你帮他写出运算结果为24的算式：（写出2个） __________________________；__________________________； (2)善于思考的小明发现这4张牌还能计算得出1至10（包括1和10）中的整数，则以下结论正确的是（     ） ①能计算出1至10（包括1和10）中的所有整数             ②只能计算出1，2，3，4，6 ③除5外的其它整数都能计算出                            ④除7和9外的其它整数都能计算出 ⑤以上选项均不正确 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 有理数的乘方与混合运算 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1有理数幂的概念理解 题型2 有理数的乘方运算 题型3 乘方运算的符号规律 题型4 乘方的应用 题型5 含乘方的有理数混合运算 题型6 程序流程图与有理数计算 题型7 算“24”点 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 （一）乘方基础概念类 乘方、幂、底数、指数、n次方、n次幂、相同因数连乘、乘方书写规范、括号底数、省略指数1 （二）乘方符号法则类 正数的任何次幂、负数奇次幂、负数偶次幂、0的正整数次幂、与区分、偶次方非负性 （三）混合运算规则类 三级运算、运算优先级、有理数混合运算顺序、括号层级（小/中/大括号）、同级运算从左到右、运算律简化计算 （四）思想方法与易错关键词 从特殊到一般、指数思维、符号判断、分步运算、三步以内混合运算、折纸/细胞分裂实际模型、运算严谨性 （一）知识与技能目标 1. 理解乘方定义：知道乘方是求n个相同有理数积的简便运算，能准确识别底数、指数、幂，规范读写乘方式子。 2. 掌握书写规范：底数为负数、分数时必须加括号，能分清（a的n次方相反数）与（n个-a相乘）的意义与计算结果差异。 3. 熟记乘方符号法则：正数任意次幂为正；负数奇次幂负、偶次幂正；0的任意正整数次幂为0，能快速判断幂的符号再计算绝对值。 4. 掌握有理数混合运算完整顺序：先括号（小→中→大），再乘方，后乘除（左到右），最后加减（左到右），能完成三步以内综合混合运算。 5. 灵活运用乘法交换律、结合律、分配律简化混合运算，减少计算失误；能借助乘方解决折纸、细胞分裂等简单实际问题。 （二）过程与方法目标 1. 通过折纸、正方形面积等实例归纳乘方含义，体会从特殊到一般的归纳推理思想，建立指数运算思维。 2. 对比小学四则混合运算，迁移、拓展到含乘方的三级混合运算，形成层级化运算逻辑。 3. 运算时分步拆解，先定符号、再算数值，养成分步验算、规范书写步骤的解题习惯。 （三）情感态度与核心素养目标 1. 提升运算能力：规范处理负数、括号、乘方叠加题型，减少符号类计算错误。 2. 发展推理意识：能说清乘方符号法则、混合运算顺序的依据，做到“知其然，知其所以然”。 3. 培养严谨的数学习惯：区分易混淆乘方形式，认真审题、有序计算，感受数学符号表达的简洁性。 4. 建立模型意识：能用乘方模型描述重复倍增类生活问题，体会乘方在实际场景中的应用价值。 重点：乘方概念与符号法则；有理数三级混合运算顺序与规范计算。 难点：区分与；含多层括号、多重乘方的综合运算；符号多层叠加时符号判断。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 有理数的乘方 1.有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．） 2.乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． 【方法总结】1. 定义：n个相同因数a相乘，记作aⁿ，即：a×a×⋯×a(n个)=aⁿ 2. 各部分名称：a为底数，n为指数，aⁿ整体叫做幂。 3. 读法：aⁿ读作a的n次方或a的n次幂。 4. 必考区分：有无括号决定底数范围 (−3)²：底数是-3，表示2个-3相乘； −3²：底数是3，表示3的平方的相反数。 知识点02 有理数的混合运算 先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右；有括号先算括号内（小括号→中括号→大括号） 【方法总结】核心口诀：先乘方，再乘除，最后加减；同级从左到右，有括号先算括号内。 题型1 有理数幂的概念理解 【例1】．（24-25六年级上·上海闵行·阶段检测）把算式写成乘方的形式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解决本题的关键． 求几个相同因数的积的运算叫做乘方，根据乘方的定义可解决此题． 【详解】解：， 故选：B． 【例2】．（23-24六年级下·上海·期中）的底数是________． 【答案】5 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的定义是解本题的关键．根据有理数的乘方的有关定义即可得到结果． 【详解】解：的底数为5， 故答案为：5． 【例3】．（23-24六年级下·上海普陀·期中）9个2相乘的结果用幂的形式表示为______． 【答案】 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】此题主要考查了有理数的乘方，解答此题的关键是要明确同底数幂的乘法的运算方法．9个2相乘，结果用幂的形式表示时，底数为2，指数为9，所以可以表示为． 【详解】解：9个2相乘的结果用幂的形式表示为． 故答案为：． 【变式1-1】．（25-26六年级上·上海·期末）乘法运算可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题考查有理数幂，根据有理数幂的定义，进行判断即可． 【详解】解：乘法运算可以表示为； 故选C． 【变式1-2】．（24-25六年级上·上海宝山·期末）5个相乘用乘方的形式表示：_______． 【答案】 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】此题考查了乘方定义的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识．运用乘方的定义进行求解． 【详解】解：由题意得， 故答案为： 【变式1-3】．（23-24六年级下·上海杨浦·期中）底数是，指数是4的幂可以写成______． 【答案】 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题考查了幂的概念，关键是注意分数为底时，需要把底数加括号．根据幂的书写规则即可求解． 【详解】解：底数为，指数为4， 得， 故答案为：． 题型2 有理数的乘方运算 【例4】．（24-25六年级上·上海·阶段检测）下列算式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查有理数的乘方运算，根据乘方的定义计算每个选项，即可判断正误． 【详解】解：对选项A， ， A错误； 对选项B， ， B错误； 对选项C， ， C错误； 对选项D， ， D正确． 【例5】．（25-26六年级上·上海嘉定·期末）下列各对数中，数值相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，解题的关键是掌握运算法则；通过计算每对数的数值，比较是否相等即可． 【详解】解：、，，，故本选项不符合题意； 、，，，故本选项符合题意； 、，，，故本选项不符合题意； 、，，，故本选项不符合题意； 故选：． 【例6】．（25-26六年级上·上海闵行·期末）计算：______． 【答案】/ 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算，熟练掌握有理数的乘方运算是解题的关键；计算负有理数的乘方，根据指数为奇数，确定结果为负，再计算绝对值的立方即可． 【详解】解：； 故答案为． 【技巧归纳】通用三步法：① 看底数是否带括号、判断正负；② 根据指数奇偶判断结果符号；③ 计算绝对值的乘方。 【变式2-1】．（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）乘法运算可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数的乘方运算．等价于先计算五分之一的五次方，再取负，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：乘法运算可以表示为， 故选：D． 【变式2-2】．（25-26六年级上·上海黄浦·期末）的计算结果是____________． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查有理数的乘方运算，根据乘方的意义计算即可． 【详解】解：． 故答案为 ． 【变式2-3】．（25-26六年级上·上海·阶段检测）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．约定逢十进一是十进制，逢二进一是二进制．十进制数，记作1024；二进制数，记作；二进制数转化为十进制数为_________． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查了进制问题． 根据二进制转化为十进制的方法，将二进制数的每一位乘以对应的2的幂次再求和． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式2-4】．（24-25六年级上·上海·阶段检测）阅读材料，求值：． 解：设①，将等式两边同时乘以2得： ②， ，得：， 所以， 即， 请你仿照此法计算： (1)； (2)（其中为正整数） 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】（1）根据材料提示，设，结合题意的计算方法求解即可； （2）设，等式两边同时乘以3，结合题意的计算方法求解即可． 【详解】（1）解：设， ∴， ∴， ； （2）解：设， ∴， ∴， ， ∴． 题型3 乘方运算的符号规律 【例7】．（23-24六年级下·上海六年级下·上海·阶段检测）已知n表示正整数，则的值是（    ） A．0 B．1 C．1或0 D．以上答案都不对 【答案】D 【知识点】乘方运算的符号规律 【分析】n为正整数，可能是偶数也可能是奇数，所以分当n为奇数， n为偶数时两种情况考虑，即可求解． 【详解】解：当n为奇数时： 1n+(−1)n+1=1+1=2； 当n为偶数时： 1n+(−1)n+1=1-1=0； 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 【易错警示】指数为偶数结果为1，指数为奇数结果为-1，核心看指数奇偶性。 【变式3-1】．（24-25六年级·上海·期末）观察下列三组数的运算：，；，；，．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母表示的式子：①当时，；②当时，．其中表示的规律正确的是（    ） A．① B．② C．①、②都正确 D．①、②都不正确 【答案】B 【知识点】乘方运算的符号规律 【分析】根据三组数的运算的规律逐个判断即可得． 【详解】解：由三组数的运算得：， ， ， 归纳类推得：当时，，式子①错误； 由三组数的运算得：， ， ， 归纳类推得：当时，，式子②正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 【变式3-2】．（25-26六年级上·上海·课后作业）判断下列各式计算结果的正负： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)正 (2)负 (3)负 (4)负 【知识点】乘方运算的符号规律 【分析】根据有理数乘方的符号规律解答即可． 【详解】（1）解： ∵的指数是12，为偶数，负数的偶次幂是正数， ∴的结果为正； （2）解：∵的指数是9，为奇数，负数的奇次幂是负数， ∴的结果为负； （3）解：∵表示的是的相反数，正数的任何次幂都是正数， 的结果为正，所以的结果为负； （4）解：∵的指数是11，为奇数，负数的奇次幂是负数， ∴的结果为负． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方的符号规律，掌握负数的偶次幂为正、奇次幂为负成为解答本题的关键． 【变式3-3】．（24-25六年级·上海·期中）观察下列算式：根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是_____． 【答案】5 【知识点】有理数的乘方运算、乘方运算的符号规律 【分析】本题考查了尾数特征的应用，先分别得出前几个的末位数字，得出末位数字每4个为一组，依次为1、3、7、5，据此即可解答． 【详解】解：根据题意可得： 1的末位数字为1， 的末位数字为3， 的末位数字为7， 的末位数字为5， 的末位数字为1， 末位数字每4个为一组，依次为1、3、7、5， ， 则该式末位数字为第506组的第四个数字， 的末位数字是5， 故答案为：5． 题型4乘方的应用 【例8】．（25-26六年级上·上海奉贤·期中）名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意为：一尺木棍，第一天截取它的一半，以后每天截取剩下部分的一半，那么永远也截取不尽．照这样推算，第四天截取木棍总长度的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】乘方的应用 【分析】本题主要考查了有理数的乘方的意义，熟练掌握有理数的乘方的意义是解题的关键． 根据题意，第一天截取，第二天截取，第三天截取，依次类推即可． 【详解】解：第一天截取，则剩下； 第二天截取，则剩下； 第三天截取，则剩下； …… 由此可以得到第天截取， 第四天截取木棍总长度的． 故选：B． 【例9】．将一张纸对折一次可裁2张，对折两次可裁4张，对折四次可裁____张． 【答案】16 【知识点】乘方的应用 【分析】根据已知找到规律，即可列式求出答案． 【详解】解：根据题意得：将一张纸对折四次可裁（张）， 故答案为：16． 【点睛】本题考查有理数的乘方运算，解题的关键是掌握有理数乘方的意义和运算法则． 【变式4-1】．（25-26六年级上·上海静安·期末）有一根2米长的木棒，第一次截去它的一半，第二次截去剩下的一半，以此方式进行下去，则第六次截去之后剩下的木棒的长度是_____米 【答案】 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查有理数乘方的应用，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 每次截取后剩余长度均为前一次长度的一半，经过六次截取，剩余长度是原长乘以． 【详解】解：原长为2米，经过次截取后，剩余长度为， 故答案为：． 【变式4-2】．（24-25六年级上·上海·期中）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10010转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法…… (1)根据以上信息，将二进制数“101110”转化为十进制的数是______； (2)按照上面的格式将十进制数“4372”转化为八进制数是______； (3)在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时间一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，则孩子已经出生的天数是______天． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查了有理数乘方的应用； （1）根据题目信息直接进行计算即可； （2）根据十进制转八进制的方法列式计算即可； （3）根据满五进一可知，类似于五进制数，然后仿照二进制转十进制的方法列式计算即可． 【详解】（1）解：将二进制数“10110”转化为十进制数是， 故答案为：； （2）解： ， 则将十进制数“4372”转化为八进制数为：； （3）解：因为从右向左绳结的数量依次为2，3，1， 所以孩子已经出生的天数为天． 【变式4-3】．（25-26六年级上·上海·期中）二维码在日常生活中应用广泛，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图1，是小明同学准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字，转换成十进制数为；同理第二行至第五行代表二进制的数字分别转换成十进制的两位数，依次组合到一起就是小明同学的准考证号2412072813． (1)图2是小丽同学的准考证号的二维码的简易编码，则小丽同学的准考证号为：___________________； (2)二维码不仅能储存数字信息，还能通过代码将数字信息转换成字母语言信息． 将大写英文26个字母作为明码，它对应数字暗码如下表： 明码 A B C D E F G H I J K L M 暗码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 明码 N O P Q R S T U V W X Y Z 暗码 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 二维码的简易编码所对应的数值小于27，则设的值为二维码的简易编码所对应暗码，如图1中第一行所对应的二进制的数字转换成十进制数24，则暗码为，则对应的明码为“”．请在图3中画出一个明码为“”的的二维码． 【答案】(1)2412072813 (2)见解析 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查了进制，解题关键是理解数位的进制，准确进行计算求解； （1）根据题中的规则化二进制为十进制； （2）先把代码换算成二进制，再画二维码． 【详解】（1）解：根据黑色代表1，白色代表0， 转换成十进制数为； 转换成十进制数为； 转换成十进制数为； 转换成十进制数为； 转换成十进制数为； 小丽同学的准考证号为：2412072813； （2）W 的暗码是23，对应的数值m为4，用二进制表示为； F的暗码是6，对应的数值m为21，用二进制表示为； L 的暗码是12，对应的数值m为15，用二进制表示为； M的暗码是13，对应的数值m为14，用二进制表示为； S的暗码是19，对应的数值m为8，用二进制表示为； 二维码如下图所示： 题型5 含乘方的有理数混合运算 【例10】．（25-26六年级上·上海普陀·期末）计算：_____________． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握好有理数混合运算的法则是解题关键． 先计算乘方，再进行除法运算． 【详解】解：． 故答案为：． 【例11】．（25-26六年级上·上海·期末）计算：______． 【答案】5 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先计算平方运算，再计算减法，即可得出结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【例12】．（25-26六年级上·上海·阶段检测）计算：． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】利用有理数的乘方运算进行运算，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数． 【详解】解： 【技巧归纳】包含乘方、括号、四则运算的综合计算，以及根据文字描述列有理数算式计算。 【变式5-1】．（25-26六年级上·上海黄浦·期末）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．一位书生坚持每天五更起床读书，为了勉励自己，他用“结绳记数”的方法来记录自己读书的天数，如图1是他从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，表示的天数为51天，按同样的方法，图2表示的天数是____________． 【答案】356天 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是关键． 类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满六进一的数为：千位上的数百位上的数十位上的数个位上的数，据此求解即可． 【详解】解：图2表示的天数是 ． 故答案为：356天． 【变式5-2】．（24-25六年级上·上海·阶段检测）计算：； 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【详解】解： ． 【变式5-3】．（25-26六年级上·上海·期末）计算： 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题按照四则混合运算顺序计算，先算乘方与括号内的运算，再算乘除，最后算加减，需将带分数化为假分数进行计算，同时利用0除以非零数得0、负数的奇次幂为负数的性质简化运算. 【详解】解：原式 . 【变式5-4】．（25-26六年级上·上海嘉定·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算，进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． （1）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型6 程序流程图与有理数计算 【例13】．按图中程序运算，如果输出的结果为4，则输入的数据不可能是（    ）    A． B． C．0 D．2 【答案】A 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】根据程序运算图可进行分类求解． 【详解】解：当第一次输出结果为4时，由程序运算图可得：； 当第二次输出结果为4时，由程序运算图可得：； 当第三次输出结果为4时，由程序运算图可得：； ∴输入的数据不可能是； 故选A． 【点睛】本题主要考查有理数的运算，解题的关键是理解程序运算图． 【例14】．（25-26六年级·上海·期中）根据流程图中的程序，若输入的值为，则输出的值为___________ 【答案】21 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查代数式的求值与程序运算，解题的关键是按照程序流程图的步骤逐步计算． 将代入程序流程图的运算步骤，先计算平方、乘以3、减去6，判断结果是否大于0，若不大于0，则再次代入计算，直到结果大于0，输出结果． 【详解】解：当时，， ， 所以输出的值为21． 故答案为：21． 【例15】．（25-26六年级上·上海青浦·期中）根据如图的流程图，完成下列各题： 如果输入x的值是，那么输出的数是多少？请写出计算过程． 【答案】，过程见解析 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题主要考查了与流程图有关的有理数计算，先计算出的结果，若结果为非负数，则把结果乘以后输出，若结果不是非负数，则直接把结果输出，据此求解即可． 【详解】解：， ∵，， ∴输出的结果为． 【变式6-1】．（24-25六年级上·上海金山·期中）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行如图所示的程序框图：如果第一次输入的数是，则最后输出的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，根据程序流程图计算即可求解，理解程序框图中的运算规则是解题的关键． 【详解】解：当第一次输入的数是，， 第二次输入时，， ∴最后输出的结果为， 故选：． 【变式6-2】．（25-26六年级上·上海闵行·阶段检测）按照如图所示的计算程序，若输入的，则输出的值为；若输入的，则输出的结果________． 【答案】3 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】此题主要考查了代数式求值，正确得出b的值是解题关键．直接利用已知代入得出b的值，进而求出输入时，得出y的值． 【详解】解：∵当输入x的值是，输出y的值是， ∴， 解得：， 故输入x的值是3时，． 故答案为：3． 【变式6-3】．（25-26六年级上·上海金山·期中）计算机的运算编程与数学原理是密不可分的，相对简单的运算编程就是数值转换机． (1)如图，A同学设置了一个数值转换机，若输入a的值为3，则输出的结果为_______． (2)如图，B同学设置了一个数值转换机，如果输入的x分别为和，那么输出的结果分别为_______和_______． (3)C同学也设置了一个计算装置示意图，A，B是数据入口，C是计算结果的出口，计算过程是由A，B分别输入自然数m和n，经过计算后的有理数k由C输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个条件： ①若A，B分别输入1，则输出结果1，记； ②若B输入1，A输入自然数增大1，则输出结果为原来的3倍，记； ③若A输入任何固定自然数不变，B输入自然数增大1，则输出结果比原来增加，记 问：当A输入自然数6，B输入自然数1时，的值是_______． 当A输入自然数6，B输入自然数6时，的值是多少？ 【答案】(1)6.625 (2)，3 (3)243， 【知识点】程序流程图与有理数计算、程序流程图与代数式求值 【分析】本题主要考查绝对值，代数式，流程图和有理数的混合运算的实际应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）将的值代入流程，按照步骤依次计算，即可得到答案； （2）分别将两个的值代入计算即可，注意条件运算； （3）观察计算条件，先将输入固定1，得到输入6、输入1的输出值，再根据条件③，将输入固定6算出、均输入6时的输出值． 【详解】（1）解：将代入流程：， ， ， ， 故答案为：6.625； （2）解：若输入的为时，， ， ， ， 若输入的为时，， ， ， 故答案为：，3； （3）解：由三个条件可知，当，均为1时，输出结果为1， 先输入数值为1，则可得输入的值为2，， 当输入3时，， 同理得，， ， ， 若输入固定值为6，， 同理得，， …… ， ，， 故答案为：243，． 题型7算“24”点 【例16】．“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【答案】A 【知识点】算“24”点 【分析】根据题意，逐项组合计算，即可作答． 【详解】A项，1，6，8，7，不能算出结果为24，故符合题意； B项，，能算出结果为24，故不符合题意； C项，，能算出结果为24，故不符合题意； D项，，能算出结果为24，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数之间的混合运算，根据已有的数据灵活组合举例，是解答本题的关键． 【变式7-1】．（25-26六年级上·上海长宁·期末）“24点游戏”是将四个数字进行加、减、乘、除运算，使其结果为24（每个数字用且只能用一次，可添加括号），现有，，，四个数字，请写出一个符合条件的算式___________． 【答案】 【知识点】算“24”点 【分析】此题考查了有理数的混合运算，根据题意列出算式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式7-2】．（25-26六年级上·上海静安·期末）如图，现有5张卡片写着不同数，利用所学过的加、减、乘、除、乘方运算，从中选取4张卡片（每张卡片上的数只能用一次），使这4张卡片上的数运算结果为24，写出一个符合要求的等式为___________． 【答案】或（答案不唯一） 【知识点】算“24”点 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，理解题意是解决本题的关键． 任意取出4张卡片，进行计算得出结果即可． 【详解】解：由题意得，可以用、、、这四个数来构造等式： 则 ； 或者用、、、构造： 则 ， 故答案为：或． 【变式7-3】．小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算，其中J代表11、Q代表12、K代表13，若每张牌上的数字只能用一次，并使得运算结果等于24． (1)小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式； (2)请你抽取任意数字不相同的4张扑克牌，并列出一个结果等于24的算式． 【答案】(1)，答案不唯一 (2)见解析 【知识点】算“24”点 【分析】（1）根据题意将其进行有理数的混合运算得到24即可； （2）假设一组数字，再进行计算即可． 【详解】（1）由题意得：； （2）由题意得，假设抽取的卡牌上的数字为：2、3、4、6， 则．（答案不唯一） 【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 一、单选题 1．下列各组数中，相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查了多重符合化简，绝对值，有理数的加减乘除乘方运算．先计算各式，然后再进行比较即可解答． 【详解】解：A选项：，， ∴与不相等， 故A选项不符合题意； B选项：，， ∴与相等， 故B选项符合题意； C选项：∵， ∴与不相等， 故C选项不符合题意； D选项：∵，， ∴与不相等， 故D选项不符合题意． 故选：B． 2．有理数，，，按从小到大的顺序排列是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数比大小，熟练掌握两个负数比大小的方法是解题的关键，先将所有的有理数进行化简，利用两个负数的大小，绝对值大的反而小，判断和大小，再逐一排序即可得到答案． 【详解】解：，，， ∵，， ∴， ∴有理数，，，按从小到大的顺序排列为， 故选：B． 3．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据绝对值和偶数次方的非负性可知，由此即可求解． 【详解】解：由绝对值及偶数次方总是大于等于0可知： 且 ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查绝对值和偶数次方的非负性，属于基础题，计算过程中细心即可． 4．对于式子，运算过程：①乘方；②加法；③除法．对其运算顺序排序正确的是（　　） A．①②③ B．①③② C．②③① D．③①② 【答案】B 【分析】本题考查的是有理数的混合运算．注意：要正确掌握运算顺序，即乘方运算（和以后学习的开方运算）叫做三级运算；乘法和除法叫做二级运算；加法和减法叫做一级运算．在混合运算中要特别注意运算顺序：先三级，后二级，再一级；有括号的先算括号里面的；同级运算按从左到右的顺序．根据有理数的混合运算法则即可判断． 【详解】解：运算顺序是：首先计算乘方，然后进行除法运算，最后进行加减即可． 故选B． 5．二进制数字由0，1构成，传统的三进制数字由0，1，2构成．例如，十进制数99化为二进制、三进制数过程如下： ； ． 三进制数化为二进制为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握进制转化的方法． 首先将三进制数化为十进制数200，然后将十进制数化为二进制即可． 【详解】解：将三进制数化为十进制为： ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∴将三进制数化为二进制为． 故选：D． 6．二维码是用某种特定的几何图形按一定规律在平面分布的、黑白相间的、记录数据符号信息的图形（如图1）．某校学生利用二维码建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的身份识别图案，其中第一行和第二行可分别转换为该学生的班级序号和学号．黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将每一行数字从左到右依次记为，则为该行所表示的数．例如：图2中第一行数字从左到右依次为0、1、0、1，计算，表示该生为5班学生、请判断下列选项中表示9班10号学生的识别图案是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算的应用，图形的规律，因为其中第一行和第二行可分别转换为该学生的班级序号和学号．所以分别算出第一、二行的数，进行验证即可． 【详解】解：A、第二行：，学号不符合，故该选项不符合题意； B、第一行：，第二行：，班级、学号均符合，故该选项符合题意； C、第二行：，学号不符合，故该选项不符合题意； D、第一行：，班级不符合，故该选项不符合题意； 故选：B． 二、填空题 7．的底数是______，值为______；的底数是______，值为______． 【答案】 1 1 【分析】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义以及运算法则是解题的关键． 在中，叫做底数，叫做指数，由此判断计算即可． 【详解】解：的底数是，值为； 的底数是，值为； 故答案为：，；，． 8．计算： _________． 【答案】 【分析】先化带分数为假分数，再计算平方． 此题考查了有理数乘方的运算能力，关键是能准确确定运算方法和顺序，并进行正确地计算． 【详解】解：， 故答案为：． 9．计算：________． 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则. 先计算绝对值和乘方，再乘除，后加减，同时注意负号的位置和绝对值的非负性. 【详解】解：原式 故答案为：0. 10．计算：______． 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先计算乘方，再计算加法即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 11．若，，且，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的乘方等知识，根据绝对值意义求出a，b，再根据条件确定a，b的值，代入即可求得结果． 【详解】解∶∵|，， ∴， ， ∵， ∴，， ∴， 故答案为∶． 12．若，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了关于乘方的运算，首先根据，可以得到，所以可得关于的方程，解方程求出的值． 【详解】解：， ， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 13．若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下： 则输出结果为_____________． 【答案】10 【分析】本题主要考查了科学计算器的使用和有理数的混合运算，根据按键的顺序得出算式，然后再进行计算即可． 【详解】解：根据按键顺序可知：． 故答案为：10． 14．定义如下运算程序，则输入，时，输出的结果为_________． 【答案】8 【分析】此题考查了代数式的求值与有理数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 由程序框图将，代入计算可得答案． 【详解】解：，，， 输出结果为． 故答案为：． 15．定义a※b＝a2÷（b﹣1），例如3※5＝32÷（5﹣1）＝9÷4＝，则（﹣3）※4的结果为________． 【答案】3 【分析】根据a※b=a2 ÷ (b- 1)，可以求得所求式中的值． 【详解】∵a※b=a2 ÷ (b- 1)， ∴(-3)※4 =(-3)2÷(4- 1) = 9÷3 = 3 故答案为：3． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 16．如图，某数学活动小组编制了一道有理数的混合运算题．即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，其中“●”表示最小的正整数，若输入的数为，则计算结果为______． 【答案】 【分析】根据已知列出算式，再计算即可． 【详解】解：最小的正整数是1， 根据已知得： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数混合运算，解题的关键是掌握有理数相关运算的法则． 17．算“24”是一种常见的数学游戏．一座有三道环路的数字迷宫，每一个入口处都设置一个数，要求每一个进入者都把自己当作数“1”，进入时必须形状一种运算（加、减、乘、除或乘方），与入口处的数进行计算，并将结果带到下一个入口，依次累计下去．在通过最后一个入口时，如果计算结果是24才能到达迷宫中心．请选择一条可以到达迷宫中心的道路，列出其对应的算式为________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，从外向内的三层中的每一层各取一个数字进行计算，若结果为24，则能进入迷宫中心；根据进入迷宫的方式进行判断，看是否能进入迷宫． 【详解】解：如等. 故答案为：（答案不唯一） 18．定义一种新运算，若，则，例，．已知，则x的值为 __． 【答案】56 【分析】设，根据新运算可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：设 ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：56． 【点睛】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，会用新定义解答问题． 三、解答题 19．已知：（x+2）2+|y﹣|＝0，求2x+4y的值． 【答案】-2 【分析】由题意知，解得的值，然后代入中计算求解即可． 【详解】解：∵ ∴ 解得 ∵ ∴的值为． 【点睛】本题考查了平方，绝对值的非负性，代数式求值．解题的关键在于掌握平方，绝对值的非负性． 20．在如图所示的数轴上表示下列各数： ，，，，． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，先计算乘方和绝对值，再在数轴上表示出各数即可． 【详解】解：，，，，， 在数轴上表示如下： 21．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)-6 【分析】（1）根据含乘方的有理数混合计算法则求解即可； （2）根据有理数的四则混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【点睛】本题主要考查了有理数的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 22．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）136；（2）-32；（3）；（4） 【分析】（1）运用有理数加法的结合律运算即可， （2）根据有理数的混合运算法则计算即可， （3）先算括号里的和乘方，最后再计算乘除即可， （4）先算乘除后算加减运算即可； 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式； （4）原式 ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则以及运算律是解题的关键． 23．小明有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各题．    (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字乘积最大，最大值是______． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除商最小，最小值是______． (3)从中取出除0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使结果为24，请写出一种符合要求的运算式子． 【答案】(1)6 (2) (3)；（答案不唯一） 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据题意列出算式，找出积最大值即可； （2）根据题意列出算式，找出商最小值即可； （3）利用“24点”游戏规则列出算式即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 故最大值为6； （2）解：， 故最小值为； （3）解：根据题意得：， 即符合题意的式子为：；． 24． 阅读下面的材料：我们已经学习过“乘方”和“开方”运算，下面给同学们介绍一种新的运算，即对数运算． 定义：如果（，，），则b叫做以a为底N的对数，记作． 例如：因为，所以；因为，所以． (1)填空： ，   (2)如果 ，求m的值． (3)对于“对数”运算，小明同学认为有“（，，，）”，他的说法正确吗？如果正确，请给出证明过程；如果不正确，请说明理由，并加以改正． 【答案】(1)1；4 (2)29 (3)不正确，理由见解析， 【分析】（1）利用阅读材料中的方法计算各项即可得到结果； （2）根据新运算的定义将已知转化为，然后解方程即可得出答案； （3）设，，根据同底数幂的乘法的运算性质和新运算的定义整理即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：1，4； （2）∵， ∴， ∴； （3）不正确，理由如下： 设，， 则，（，，，）， ∵， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题立意比较新颖，根据题中条件计算并且推算出对数运算的法则，考查了学生的举一反三的能力和对新知识的掌握，属于基础题．结合已有知识读懂新运算的定义是解决此题的关键． 25．阅读材料一：生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10010转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法…… 阅读材料二：二进制数与十进制数的对应关系如下表． 十进制数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 二进制数 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 (1)【发现】根据以上信息，将二进制数“10110”转化为十进制数是__________，将十进制数“77”转化为二进制数是__________； (2)【迁移】请计算二进制的两个数相加，结果也用二进制表示： (3)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数． 【答案】(1)22，1001101 (2) (3) 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，仿照二进制转十进制的方法列式计算是关键． （1）根据题目信息直接进行计算即可； （2）根据二进制转十进制的方法列式计算即可； （3）根据满五进一可知，类似于五进制数，然后仿照二进制转十进制的方法列式计算即可． 【详解】（1）解：将二进制数“10110”转化为十进制数是， 故答案为：22； 将十进制数“77”转化为二进制数是 故答案为：1001101； （2）解：二进制的两个数相加：； （3）解：因为从右向左绳结的数量依次为2，3，1，所以孩子已经出生的天数为（天）． 26．“24点”游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算得出24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用． (1)在玩“24点”游戏时，小明抽到以下4张牌（Q表示12）： 请你帮他写出运算结果为24的算式：（写出2个） __________________________；__________________________； (2)善于思考的小明发现这4张牌还能计算得出1至10（包括1和10）中的整数，则以下结论正确的是（     ） ①能计算出1至10（包括1和10）中的所有整数             ②只能计算出1，2，3，4，6 ③除5外的其它整数都能计算出                            ④除7和9外的其它整数都能计算出 ⑤以上选项均不正确 【答案】(1)，（答案不唯一） (2)① 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用点游戏规律列出算式即可； （2）将这四个数字的组成的算式列出来即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得：，， 故答案为：，（答案不唯一）； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故这张牌还能计算出1至10（包括1和10）中的所有整数， 故答案为：①． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $