第03讲 分数的意义和性质（暑假预习讲义，7题型突破+过关检测）新六年级数学新教材沪教版五四制

第03讲 分数的意义和性质 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1单位“1”与分数意义填空题（基础必考） 题型2 分数与除法互化 题型3分数基本性质变形（高频） 题型4 假分数、带分数互化 题型5约分（化为最简分数） 题型6 通分比较分数大小 题型7分数综合实际应用题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1.分数意义类 2. 分数与除法 3. 分数分类 4. 分数基本性质 5. 拓展概念 （一）知识目标 1. 理解单位“1”的含义，掌握分数定义：把单位“1”平均分成若干份，表示一份或几份的数叫分数。 2. 认识分子、分母、分数线，能准确找出任意一个分数的分数单位。 3. 熟练掌握分数与除法的关系：，实现二者灵活互化。 4. 清晰区分真分数、假分数的概念，掌握假分数与带分数、整数的互化方法。 5. 熟记分数的基本性质，精准理解“0除外”的核心限制条件，规避易错点。 6. 能够运用分数基本性质完成约分、通分操作，准确识别最简分数。 （二）能力目标 1. 能根据文字情境、图形描述写出对应分数，精准理解整体与部分的数量关系。 2. 依托分数与除法的关系，熟练解决“求一个数是另一个数的几分之几”的应用题。 3. 灵活运用分数基本性质改写等值分数，解决各类变式填空题。 4. 规范完成分数约分至最简、多分数通分，掌握分数大小比较的多种方法。 建立数形结合数学思想，能用图形直观表示分数含义；培养等量代换、转化归纳的数学思维，提升分数运算与应用的核心能力。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01分数与除法的关系 （1）用文字表示是： 被除数 ÷ 除数 = ； （2）用字母表示是： 两个正整数p、q相除，可以用分数表示，读作q分之p． 即，其中p为分子，q为分母． 特别地，当q = 1时，，例如3 ÷ 1 ==3． 【易错提醒】忽略分母不为0的规则：分数、除法运算中，分母和除数均不能为0，判断题、填空题高频挖坑。 知识点02 分数的基本性质 分数的分子和分母都乘以或都除以同一个不为零的数，所得的分数与原分数的大小相等．即：（，，） 【易错提醒】分数基本性质概念不全：判断题常省略“0除外”条件，如“分子分母同时乘一个数，分数大小不变”（错误）。 知识点03 真分数、假分数、带分数概念 1. 真分数 定义：分子小于分母的分数。 数值特点：分数值＜1 核心特点：无法化成整数或带分数。 举例：、、 2. 假分数 定义：分子大于或等于分母的分数。 数值特点：分数值≥1 分类： 分子=分母：分数值=1，可化为整数，例：、 分子＞分母：分数值＞1，可化为带分数，例：、 3. 带分数 定义：由一个整数和一个真分数组合而成的分数。 数值特点：分数值＞1 书写结构：整数部分 + 真分数部分 举例：、 知识点04分数的约分 1.约分 把一个分数的分子与分母的公因数约去的过程，称为约分． 2.最简分数 分子和分母互素的分数，叫做最简分数． 将分数化为最简分数，可以将分子、分母分别除以它们的最大公因数，也可以不断的约分，直到分子、分母互素为止． 【易错提醒】约分不彻底：未将分数约至分子分母互质，如将 约分为 ，未化为最简 。 知识点05 分数的通分 1.公分母 两个异分母的分数、（a、c为常数，且、、）要化成同分母的分数，分母必须是a和c的公倍数，这个分母叫做公分母． 其中a和c的最小公倍数，称为最小公分母． 2.通分 将异分母的分数分别化成与原分数大小相等的同分母的分数，这个过程叫做通分． 【易错提醒】通分方法繁琐易错：不找分母最小公倍数，直接将两分母相乘，导致数值过大、计算出错。 知识点06 分数的大小比较 1.分母相同而分子不同的分数 分母相同的分数，分子大的分数较大． 2.分子相同而分母不同的分数 分子相同的分数，分母小的分数较大． 3.分母不同且分子也不同的分数 （1）利用通分的方法，将异分母的分数化为同分母的分数，再比较大小； （2）应用分数的基本性质，将各个分数的分子化为相同的，再比较大小． 【易错提醒】分数大小比较误区：比较带分数只看整数部分，忽略分数部分；假分数未统一形式直接比较大小。 题型1 单位“1”与分数意义（基础必考） 【例1】．（24-25六年级上·上海浦东新·阶段检测）一根绳子剪成两段，第一段长米，第二段占全长的，两段绳子相比，（   ） A．第一段长 B．第二段长 C．一样长 D．不能确定 【答案】B 【知识点】单位“1”的认识与确定 【分析】本题考查了分数的认识，把整条绳子看出单位“”，由第二段绳子占全长的，可得第一段绳子占全长的，据此即可判断求解，把整条绳子看出单位“”是解题的关键． 【详解】解：∵第二段绳子占全长的， ∴第一段绳子占全长的， ∵， ∴第二段绳子长， 故选：． 【例2】．（23-24六年级上·上海·阶段检测）把6块蛋糕分给11个孩子，每个孩子分得______块蛋糕，每个孩子分得6块蛋糕的______．（用分数表示） 【答案】 【知识点】分数的意义 【分析】第一个空求每个孩子分得的具体蛋糕数量，用总蛋糕数除以孩子人数即可求解，第二个空求每个孩子分得的蛋糕占总蛋糕的分率，将总蛋糕看作单位1，用单位1除以份数即可求解． 【详解】解：由题意得，把6块蛋糕分给11个孩子，每个孩子分得块， 将6块蛋糕看作单位，平均分给11个孩子，则每个孩子分得6块蛋糕的． 【例3】．（24-25六年级上·上海·阶段检测）小杰制作朵纸花，用去分钟，平均每分钟做的花占总体的_______． 【答案】 【知识点】单位“1”的认识与确定 【分析】此题主要考查分数的意义及平均分问题的解答方法，根据分数的意义，即将朵纸花当作单位“1”平均分成35份，则每分钟是全部的，据此解答． 【详解】解：小杰制作朵纸花，用去分钟，平均每分钟做的花占总体的， 故答案为：． 【易错警示】单位“1”判定混淆：分不清分率（无单位）和具体数量（有单位），盲目套用数字计算，是最常见易错点。 【变式1-1】．（23-24六年级上·上海浦东新·期中）把一根绳子对折三次，这时每段绳子是全长的（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分数的意义 【分析】将一根绳子对折一次被平均分成两份，对折两次被平均分成四份，对折三次被平均分成八份，据此分析解答． 【详解】解：对折一次后，全长被平均分成两份，每段是全长的； 对折两次后，全长被平均分成四份，每段是全长的； 对折三次后，全长被平均分成八份，每段是全长的； 故选：C． 【点睛】本题考查分数的意义，明确把一根绳子对折三次，相当于把绳子平均分成八份是解决本题的关键． 【变式1-2】．（24-25六年级上·上海·阶段检测）如果的总体表示1，那么用最简分数表示为___________； 【答案】 【知识点】单位“1”的认识与确定 【分析】本题主要考查了分数的意义，总体分为8份，需要用最简分数表示的有13份，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，总体分为8份，需要用最简分数表示的有13份， ∴用最简分数表示为， 故答案为：． 【变式1-3】．（2024六年级上·上海徐汇·期中）如图，，阴影部分的面积是面积的___________（填几分之几）． 【答案】 【知识点】单位“1”的认识与确定 【分析】根据底边之比可得，，，继而相加计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积是面积的， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的面积，解题的关键是掌握高相同的三角形面积之比等于底边之比． 题型2分数与除法互化 【例4】．（22-23六年级上·上海徐汇·单元测试）完成万平方米的地毯纺织任务需天完成，平均每天织的面积是（    ） A． B． C．万平方米 D．万平方米 【答案】D 【知识点】 分数与除法的关系 【分析】用总的地毯面积除以天，就是平均每天织的面积． 【详解】解：万平方米， 故选：． 【点睛】本题考查了分数与除法，求平均数，注意最后结果求的是面积要带单位是解答本题的关键． 【例5】．（24-25六年级上·上海·阶段检测）把的商用分数表示为_____________． 【答案】 【知识点】分数的意义、 分数与除法的关系 【详解】解：． 【例6】．（25-26六年级上·上海杨浦·阶段检测）用分数表示除法的商：___________ 【答案】 【知识点】 分数与除法的关系 【分析】本题主要考查分数和除法运算的关系，掌握“两数相除，被除数作为分子，除数作为分母”是关键． 把被除数作为分子，除数作为分母，即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【技巧归纳】被除数对应分子，除数对应分母，除号变分数线，除数绝对不能为0。 【变式2-1】．（24-25六年级上·上海·期中）如果铺设一条长4千米的道路需要9天完成，那么平均每天铺设的道路长为（   ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】D 【知识点】 分数与除法的关系 【分析】本题考查了分数与除法，读懂题意，弄清题中的数量关系是解题的关键． 依据题意，直接列式计算即可． 【详解】解：如果铺设一条长4千米的道路需要9天完成，那么平均每天铺设的道路长为： （千米）， 故选：． 【变式2-2】．（24-25六年级上·上海·阶段检测）将分数写成两个数相除的式子为__________． 【答案】 【知识点】 分数与除法的关系 【分析】本题主要考查了除法与分数的关系，把分数的分子作为被除数，分母作为除数即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2-3】．（25-26六年级上·上海·期末）小强吃了一个西瓜的，因为，用表示小强吃了多少西瓜合适吗？_____ 【答案】不合适 【知识点】分数的意义 【分析】本题考查分数与小数的意义．分数与小数的意义侧重不同：表示把西瓜平均分成5份，小强吃了其中1份，强调的是份数关系；是一个数值，它只表示吃了西瓜的倍（即），但在描述“吃了几分之几的西瓜”这个语境中，用分数更能体现“平均分”的含义，用表示虽然数值相等，但表达的语境和意义不够贴合，即描述“吃了西瓜的几分之几”时，用分数更合适，用表示不合适． 【详解】解：描述“吃了西瓜的几分之几”时，用分数更合适，用表示不合适． 故答案为：不合适． 题型3 分数基本性质（高频） 【例7】．（23-24六年级上·上海·期中）下列式子中，正确运用分数基本性质的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】 分数的基本性质 【详解】解：A 、选项分子分母同时减2，不符合性质，错误； B 、选项分子除以2，分母除以3，不是同一个数，不符合性质，错误； C 、选项分子分母同乘0，0不能作分母，不符合性质，错误； D 、选项分子分母同时乘不为0的2，符合分数基本性质，正确． 【例8】．（23-24六年级上·上海·期中）把分数的分子扩大4倍，分母缩小4倍，所得的分数比（    ） A．扩大8倍 B．扩大16倍 C．缩小8倍 D．不变 【答案】B 【知识点】 分数的基本性质 【分析】根据题意写出变化后的新分数，将新分数和原分数比较，即可得到倍数关系． 【详解】解：∵原分数为， 根据题意，变化后分子为，分母为， ∴变化后的新分数为， ∴所得分数是原分数的16倍，即比原分数扩大16倍． 【例9】．（23-24六年级上·上海·期中）若，那么括号里的数是______． 【答案】14 【知识点】 分数的基本性质 【分析】利用分数的基本性质可得结论． 【详解】解：， 即括号里的数是14． 【技巧归纳】 1.观察分子或分母的扩大、缩小倍数； 2.对应分母或分子同步乘除相同倍数； 3.核心禁忌：只能同乘、同除，不能直接同加、同减。 【变式3-1】．（25-26六年级上·上海松江·期中）一个分数的分子扩大到原来的3倍，分母缩小到原来的，分数值变为，则原分数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】 分数的基本性质 【分析】本题考查了分数的变化规律． 设原分数为，则分子扩大3倍为，分母缩小到原来的为，新分数为，根据题意等于，解方程求 ． 【详解】新分数， 且新分数， 则， 即原分数． 故选：A． 【变式3-2】．（25-26六年级上·上海·期末）当的分母加上12后，要使分数值不变，分子应该乘以_____． 【答案】3 【知识点】 分数的基本性质 【分析】本题考查分数的基本性质，分母加上12后变为原分母的3倍，根据分数的基本性质，要使分数值不变，分子也要变为原来的3倍，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴要使分数值不变，分子也要变为原来的3倍，即分子应该乘以3； 故答案为：3． 【变式3-3】．（25-26六年级上·上海松江·期中）分数的分母加12，若要使分数大小不变，则分子需要加______． 【答案】10 【知识点】 分数的基本性质 【分析】本题主要考查了分数的基本性质，设分子需要加，然后根据分数的大小不变列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设分子需要加， 由题意可得：，解得：， 所以分子需要加10． 故答案为：10． 【变式3-4】．（25-26六年级上·上海松江·阶段检测）把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫单位分数．单位分数又叫埃及分数．在古埃及，人们研究如何把一个分数单位表示成若干个不同的分数单位的和．比如：，． (1)填空：；（写出与上文材料不一样的自然数，要求两个单位分数的分母不同）． (2)如果，其中a、b、c为互不相同的自然数（a、b、c不超过30），求a、b、c的和． 【答案】(1)24，8；42，7 (2)33 【知识点】 分数的基本性质 【分析】此题考查分数的基本性质，数的约数， （1）根据例题解答即可； （2）根据例题将化为的和，即可解答． 【详解】（1）解：， （2）解：∵，其中a、b、c为互不相同的自然数（a、b、c不超过30） ∴ 故a、b、c的和． 题型4假分数、带分数互化 【例10】．（25-26六年级上·上海·期末）对于正分数，下列说法错误的是（    ） A．假分数一定大于1 B．真分数一定小于1 C．带分数一定大于1 D．带分数的倒数一定是真分数 【答案】A 【知识点】 倒数的认识、真分数、假分数、带分数的认识 【分析】本题考查真分数、假分数、带分数及倒数的定义，掌握相关定义是解题关键．根据真分数、假分数、带分数及倒数的定义，逐一分析各选项的正误即可． 【详解】解：∵假分数的分子大于或等于分母， ∴假分数大于或等于1，并非一定大于1，故A选项说法错误． ∵真分数的分子小于分母， ∴真分数一定小于1，故B选项说法正确． ∵带分数由大于等于1的整数部分和真分数部分组成， ∴带分数一定大于1，故C选项说法正确． ∵带分数大于1，其倒数为1除以该带分数， ∴带分数的倒数一定是小于1的正分数，即真分数，故D选项说法正确． 故选：A． 【例11】．（25-26六年级上·上海·阶段检测）若是假分数，则自然数可取值的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【知识点】真分数、假分数、带分数的认识 【分析】本题考查假分数的定义，假分数是指分子大于或者等于分母的分数；根据假分数的定义列出关于的不等式，再结合自然数的概念确定的取值． 【详解】解：∵为假分数， ∴且， ∵为自然数， ∴为． 故选：D． 【例12】．（25-26六年级上·上海金山·期中）分母是8的最简真分数有______个． 【答案】4 【知识点】 最简分数、真分数、假分数、带分数的认识 【分析】本题考查了真分数的定义，和最简分数的定义．分子小于分母的分数叫做真分数，分子分母只有公约数1的分数是最简分数，据此解答即可． 【详解】解，分母为8的最简真分数有：，，，，共4个， 故答案是：4． 【技巧归纳】•真分数：分子＜分母，数值＜1 •假分数：分子≥分母，数值≥1 •带分数：整数+真分数，数值一定＞1 【变式4-1】．（25-26六年级上·上海·阶段检测）如果最简分数是假分数，那么正整数x的所有可能取值为（    ） A．2或3 B．1或2 C．3或4 D．1或4 【答案】A 【知识点】 最简分数、真分数、假分数、带分数的认识 【分析】本题考查最简分数与假分数．根据假分数（分子分母）和最简分数（分子与分母互质）的定义，分母需满足小于等于9且与9互质，从而确定正整数的取值． 【详解】解：∵ 是假分数， ∴ ， ∴ ， ∵ 为正整数， ∴可能为1，2，3，4， 当时，，可以化简为3，不是最简分数； 当时，，是最简分数； 当时，，是最简分数； 当时，，可以化简为1，不是最简分数； 综上可知，的所有可能取值为2或3， 故选：A． 【变式4-2】．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）若是最简真分数，且x是正奇数，则x可取的所有值的和是 ______． 【答案】24 【知识点】真分数、假分数、带分数的认识、 最简分数 【分析】本题考查最简真分数，根据最简真分数的定义，分子小于分母且分子与分母互质，结合x为正奇数的条件，列举所有可能值并求和即可． 【详解】解：是真分数， ， x是正奇数， x可能取值为 1，3，5，7，9，11， 当时，，是最简分数，符合要求； 当时，，不是最简分数，不合要求； 当时，，是最简分数，符合要求； 当时，，是最简分数，符合要求； 当时，，不是最简分数，不合要求； 当时，，是最简分数，符合要求； x可取的所有值的和为：， 故答案为：24． 【变式4-3】．（25-26六年级上·上海·期中）有一个自然数能使是假分数，是真分数，则_______． 【答案】 7或8 【知识点】真分数、假分数、带分数的认识 【分析】本题考查真分数和假分数的定义，根据真分数和假分数的定义，真分数要求分子小于分母，假分数要求分子大于或等于分母，由此即可求解． 【详解】解：∵是假分数，是真分数， ∴x大于等于且x小于9， ∵x为自然数， ∴为7或8． 故答案为：7或8． 题型5约分（化为最简分数） 【例13】．（22-23六年级上·上海浦东新·阶段检测）下列分数中，与不相等的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】 约分的认识及应用 【分析】将各分数约分后判断即可． 【详解】解：因为，故A不符合题意； 因为，故B不符合题意； 因为，故C符合题意； 因为，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了约分的认识及应用，正确约分是解题的关键． 【技巧归纳】约分：找分子分母最大公因数 → 同时除以公因数 → 得到最简分数 【变式5-1】．（25-26六年级上·上海·期中）在分数，，，，，中，与相等的分数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】 约分的认识及应用 【分析】本题考查利用约分化简分数，熟练掌握约分的方法是解题的关键．先将化简为，然后化简题中各分数，比较各分数是否等于． 【详解】， 与相等的分数即等于的分数， 题中的分数：； ； ； ； ； 。 等于的分数有、、、，共4个， 故选：D． 【变式5-2】．（24-25六年级上·上海闵行·阶段检测）在分数中、、中，与相等的分数是___________． 【答案】， 【知识点】 约分的认识及应用 【分析】本题主要考查分数的约分，关键是熟练掌握约分． 根据题意把每个分数进行化简比较即可． 【详解】因为，， 所以与相等的分数是，． 故答案为：，． 【变式5-3】．（24-25六年级上·上海浦东新·阶段检测）一个分数约分后是，原分数的分子和分母之和是72，原分数是________． 【答案】 【知识点】 约分的认识及应用 【分析】本题主要考查了分数的约分，根据约分结果可知该分数的分母是分子的7倍，再由原分数的分母与分子之和为72求出原分数的分子与分母即可得到答案． 【详解】解：因为一个分数约分后是， 所以该分数的分母是分子的7倍， 因为原分数的分子和分母之和是72， 所以原分式的分母为，分子为， ∴原分数是， 故答案为：． 题型6通分比较分数大小 【例14】．（22-23六年级上·上海普陀·期中）下列分数中，大于但比小的分数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】通分的认识及应用、有理数大小比较 【分析】先通分，再比较几个分数的大小，即可得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴，故A符合题意； ∵， ∴，故B不符合题意； ∵， ∴，故C不符合题意； ∵， ∴，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题考查了有理数的大小比较，熟练掌握用通分的方法比较几个分数的大小是解答此题的关键． 【例15】．（24-25六年级上·上海·阶段检测）已知，则和的大小关系是__________． 【答案】 【知识点】通分的认识及应用 【分析】本题考查了通分，将与通分后即可得出和的大小关系． 【详解】解：因为， 所以， 所以． 故答案为：． 【例16】．（25-26六年级上·上海·阶段检测）比较，，的大小，需写出通分过程． 【答案】，过程如下： 解：，，的最小公倍数是， 因为 所以． 【知识点】异分母异分子分数的大小比较 【分析】先找出分母的最小公倍数，通分后，根据同分母分数大小比较方法即可得出答案． 【详解】略 【技巧归纳】通分：找多个分母最小公倍数作为公分母 → 分子同步扩大对应倍数 【变式6-1】．（24-25六年级上·上海·阶段检测）在分数、、、、中，与相等的分数共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】通分的认识及应用 【分析】本题考查了通分，熟练掌握分数的基本性质是解题的关键． 利用分数的基本性质将分数进行通分，再分别与作比较即可． 【详解】解：， ∴与相等； ，， ∴与相等； ，， ∴与不相等； ，， ∴与相等； ∵，， ∴与相等． 综上，与相等的分数共有4个， 故选：C． 【变式6-2】．（22-23六年级上·上海浦东新·阶段检测）若将分数和的分子都化为3后，得到的分数从小到大的排列结果是：，则正整数_____________ 【答案】3 【知识点】通分的认识及应用、 约分的认识及应用、异分母异分子分数的大小比较 【分析】先将各数通分，然后写出比大且比小的分数，即可解答． 【详解】解：因为，， 所以比大且比小的分数有，，，，，， 所以正整数． 故答案为：3 【点睛】本题考查了分数大小的比较，写出比大且比小的分数是解题的关键． 【变式6-3】．（24-25六年级上·上海宝山·阶段检测）先把下列各组中的分数通分，再比较它们的大小： (1)和 (2)，和 【答案】(1)，， (2)，，， 【知识点】通分的认识及应用、异分母异分子分数的大小比较 【分析】本题考查分数的比较大小，找分母的最小公倍数再通分是关键． （1）和的最小公倍数是，再通分比较分子即可； （2）、和的最小公倍数是，再通分比较分子即可． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）解：，， ， ． 题型7分数综合实际应用题 【例17】．（25-26六年级上·上海青浦·期中）在下面三幅图中分别用阴影部分表示出公顷． 【答案】见解析 【知识点】单位“1”的认识与确定、分数的意义 【分析】本题主要考查了分数的意义，先表示出公顷，再根据分数的意义，即可求解．把第一幅图平均分成四份，取其中的3份用阴影部分表示即可；把第二幅图平均分成三份，取其中的1份再分成4份，取其中三份用阴影部分表示，第三幅图中，先平均分成六份，取其中的1份再分成4份，取其中三份用阴影部分表示，即可． 【详解】解：如图所示， 【例18】．（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）分母是24的最简真分数有多少个？ 分析：我们可以这样来思考，首先分母是24的真分数共有个，但题目要求的是最简真分数，因为，所以要求的最简真分数的分子不能是2或3的倍数，即在中要去掉2的倍数11个，3的倍数7个，但6既是2的倍数又是3的倍数，显然重复计算了，所以要加上3个，因此所求最简真分数共有个． 请你根据上述方法和步骤解决如下问题： 分母是117的最简真分数有________个．（直接写出答案，不写过程） 【答案】72 【知识点】 最简分数、因数和倍数的求法 【分析】本题考查了最简真分数的概念，质因数分解及容斥原理，先确定分母是117的真分数个数，对117进行质因数分解，计算1到116中3的倍数的个数，再计算1到116中13的倍数的个数，再计算1到116中既是3又是13的倍数（即39的倍数）的个数，最后根据容斥原理计算最简真分数的个数即可． 【详解】解：分母是117的真分数共有（个）， ∵， ∴要求的最简真分数的分子不能是3或13的倍数， 即在中3的倍数：，38个， 13的倍数：，8个， 3、13的公倍数：，2个， ∴所求最简真分数共有（个）， 故答案为：72． 【变式7-1】．（24-25六年级上·上海·阶段检测）下表是某文具店某天销售三种品牌的水笔的价格和这一天的销售量： 品牌 A B C 售价（元） 2 3 5 销售量（支） 35 30 25 (1)B种品牌的销售量占全天销售量的几分之几？ (2)C种品牌的销售金额占全天销售金额的几分之几？ 【答案】(1) (2) 【知识点】 求一个数占另一个数几分之几 【分析】本题考查了求一个数是另一个数的几分之几； （1）用B种品牌的销售量除以全天销售量，再写成分数即可； （2）分别计算出C种品牌的销售金额、全天销售金额，两者相除，再写成分数即可． 【详解】（1）解：， 答：B种品牌的销售量占全天销售量的三分之一； （2）解：C种品牌的销售金额为（元）， 全天销售金额为（元）， ； 答：C种品牌的销售金额占全天销售金额的五十七分之二十五． 【变式7-2】．（25-26六年级上·上海·期中）古埃及与我国一样拥有着恒远悠久的古老文明．在古埃及为解决一碗食物分给多个人的生活问题，古埃及人发明了“埃及分数”，如写作，写作，符号中的“碗”代表分子1，“竖线”代表分母．但同时由于书写的方式，使得古埃及人对于分子不为1的分数难以表达．如需写作＋，即．现在请你帮助古埃及人用多个分数相加的方式表示出以下分数（括号内均填入正整数）． (1)； (2)小明在探究时发现，可以尝试选择分母的因数对原来的分子进行拆分，再利用分数的基本性质化简后即可得到所需分数．如：． 根据以上方法，请尝试表示： ①（填写两组不同答案） ② (3)请尝试表示： 【答案】(1)4,8 (2)4,9或36,3；9,6,3 (3)790,10 【知识点】 最简分数、 分数的基本性质 【分析】本题主要考查了分数的加减法， 对于（1），根据可得答案； 对于（2），根据和解答；②根据解答； 对于（3）根据解答． 【详解】（1）解：； 故答案为：4,8； （2）解：①，； 故答案为：4,9或36,3； ②； 故答案为：9,6,3； （3）解：． 故答案为：790,10． 【变式7-3】．（25-26六年级上·上海·期中）分子为1的分数叫做单位分数（如，）．任何一个分数都可拆分为几个不同的单位分数的和．我们可以利用扩分的方法，将一个单位分数或一个真分数的分子与分母扩大一定倍数，使得分子可以化为几个正整数的和，且这些正整数为分母的因数即可． 例如：因为，即可以写成两个单位分数与的和；又，即可以写成两个单位分数与的和； 也可以写成三个不同的单位分数的和：． 即可以写成三个单位分数、与的和． 按照这样的思路，任何一个真分数都可以写成两个、三个、个不同的单位分数的和． (1)试把分数拆分成两个不同的单位分数的和，即．（写出一种即可） (2)分数可以拆分成两个不同的单位分数的和，即，则______．（请在横线上直接写出所有满足条件的值） (3)尝试把分数分拆成2025个不同的单位分数之和．（写出一种即可） 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】 分数的基本性质 【分析】本题考查单位分数的拆分方法，理解题意，掌握分数的混合运算法则是关键． （1）结合题意，由分数的性质计算即可； （2）通过解方程得到，根据的取值范围求整数解，并计算乘积； （3）根据题意得到，拆分后等式右边单位分数的分母依次为：，即每次将最大的单位分数拆分成两个单位分数之和，经过2024次拆分后得到2025个单位分数． 【详解】（1）解：根据题意，， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意，则， ∴， ∴， ∴， ∵为正整数，且， ∴或， ∴的取值范围为和， ∴， 代入验证： 当，， 当，， 当，， 当，，不是整数， ∴可能为, , ， ∴所有满足条件的值为：； （3）解：根据题意，，，，， ∴（的整数）， ∴从开始，即，每次将当前最大的单位分数拆分成两个单位分数之和，经过2024次拆分后，得到2025个单位分数， ∴令， ∴第一次拆分为：， ∵， ∴第二次拆分为：， ∵， ∴第三次拆分为：， ∵， ∴第四次拆分为：， ， ∴分母从左往右依次为：， 等式右边第一项分母为：， 等式右边第二项分母为：， 等式右边第三项分母为：， ， ∴， ∴拆分后等式右边单位分数的分母依次为：， ∴． 一、单选题 1．把米长的绳子剪成4段．平均每段占全长的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分数的意义，根据分数的意义列式计算即可求解． 【详解】解：． 故选：B 2．分数介于哪两个数之间（    ） A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6 【答案】B 【分析】将分数化为带分数就可以判断分数的整数部分，从而确定答案． 【详解】解：∵， ∴介于3和4之间． 故选B． 【点睛】本题考查了分数的估算，将假分数正确化成带分数是解题的关键． 3．的分子乘以2，要使原分数大小不变，分母应为（    ） A．9 B．11 C．18 D．27 【答案】C 【分析】根据分数的基本性质计算即可； 【详解】， ， ∴要使分数大小不变，分母应为18． 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了分数的基本性质，准确计算是解题的关键． 4．如果一个最简真分数与的积等于1，那么    (   )． A．小于1 B．大于1 C．等于1 【答案】B 【分析】本题考查分数的乘法，理解最简真分数是解题的关键． 根据题意可知一个最简真分数与的积等于1，那么应该是最简真分数的倒数，最后再进行选择即可． 【详解】解：如果一个最简真分数与的积等于1，那么应该是最简真分数的倒数， ∵最简真分数小于1， ∴应大于1． 故选：B． 5．下面与两图中阴影部分面积之和相等的是（    ） A． B． C． 【答案】B 【分析】本题考查认识平面图形，分数的意义，求出图中两部分阴影部分面积和是正确解答的关键，求出图中两部分阴影部分面积和，再根据各个选项中阴影部分占三角形面积的大小进行判断即可． 【详解】解：第1个图形中阴影部分占三角形面积的，第2个图形中阴影部分的面积占三角形面积的， 所以两图中阴影部分的面积和为， 而选项B图形中的阴影部分占三角形面积的， 故选：B． 6．一根绳子剪成两段，第一段长米，第二段占全长的，两段绳子相比，（   ） A．第一段长 B．第二段长 C．一样长 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了分数的认识，把整条绳子看出单位“”，由第二段绳子占全长的，可得第一段绳子占全长的，据此即可判断求解，把整条绳子看出单位“”是解题的关键． 【详解】解：∵第二段绳子占全长的， ∴第一段绳子占全长的， ∵， ∴第二段绳子长， 故选：． 7．下列说法不正确的有（    ）个 ①分子，分母都是素数的分数为最简分数；②把6吨煤平均分成5份，每份是总重量的 ③因为．所以38是4的倍数；④最简分数的分子和分母没有公因数； ⑤将几个异分母分数分别化成同分母的分数，这个过程叫做通分； ⑥一个数的倍数总比这个数的约数大；⑥m的倒数是；⑧把单位1分成5份，每份为 A．8个 B．7个 C．6个 D．5个 【答案】A 【分析】根据最简分数，分数的应用，倍数，通分，倒数等知识，对各说法进行判断作答即可． 【详解】分子，分母都是素数且分子、分母不相等的分数为最简分数；①错误，故符合要求； 把6吨煤平均分成5份，每份是总重量的，②错误，故符合要求； 因为．不是整数，所以38不是4的倍数；③错误，故符合要求； 最简分数的分子和分母有公因数1；④错误，故符合要求； 将几个异分母分数分别化成与原来分数相等的同分母的分数，这个过程叫做通分；⑤错误，故符合要求； 一个数的倍数不一定比这个数的约数大；⑥错误，故符合要求； 当时，m的倒数是；⑦错误，故符合要求； 把单位1平均分成5份，每份为；⑧错误，故符合要求； 故选：A 【点睛】本题考查了最简分数，分数的应用，倍数，通分，倒数等知识．熟练掌握各知识是解题的关键． 二、填空题 8．把5米长的绳子平均分成9份，每份长________米；每段的长度占全长的________（填几分之几）． 【答案】 【分析】求每份的长度是这根绳子总长的几分之几，平均分的是单位“1”，表示把“1”平均分成9份，求的是分率；求每份长的米数，平均分的是具体的数量5米，表示把5米平均分成9份，求得是具体的数量；都用除法计算． 【详解】解：每份长的米数：5÷9＝（米）； 每份的长度是总长的：1÷9＝， 故答案为：，． 【点睛】解决此题关键是弄清求得是分率还是具体的数量，求分率平均分的是单位“1”；求具体的数量平均分的是具体的数量，要注意：分率不能带单位名称，而具体的数量要带单位名称． 9．比较大小：_______．（填“＞”，“＝”或“＜”） 【答案】＞ 【分析】将和进行化简通分，比较分子大小，即可判断出来． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要是考查了小数和分数的大小比较，将两类数化成同一类数，这是解决该题的关键． 10．分数介于______和______之间． 【答案】 3 4 【分析】先将假分数化为带分数，即可得出介于哪两个数之间． 【详解】解：， ∴介于3和4之间， 故答案为：①3；②4． 【点睛】题目主要考查假分数与带分数的转化，理解转化方法是解题关键． 11．如图中的阴影部分占长方形的________（填分数）． 【答案】 【分析】本题主要考查了分数的应用，先分别求出长方形的面积和阴影部分的面积，然后求出阴影部分面积占长方形面积的几分之几即可． 【详解】解：长方形的面积为：， 阴影部分的面积为：， ∴图中的阴影部分占长方形的． 故答案为：． 12．用分数表示：小时分______小时． 【答案】 【分析】此题考查了时间的单位换算，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据1小时分钟，将分钟换算为小时，再加上2小时，最后用带分数表示即可． 【详解】解：小时， 即小时分小时， 故答案为：． 13．的分子加上8，要使分数的大小不变，分母应加上______． 【答案】20 【分析】本题考查了分数的基本性质，根据题意得出分子加上8后扩大了5倍，则分母也应扩大5倍，进而可求解，熟练掌握分数的基本性质是解题的关键． 【详解】解：分子加上8，得：， 则分子扩大了5倍， 要使分数的大小不变，则分母也要扩大5倍， 则分母变为：， ， 则分母应加上20， 故答案为：20． 14．把、0.87、、0.877从小到大排列：_______． 【答案】0.87＜＜0.877＜ 【分析】把分数化为小数，再比较大小即可． 【详解】解：=0.875，=0.88， ∴0.87＜＜0.877＜， 故答案为：0.87＜＜0.877＜． 【点睛】本题考查了有理数大小比较，掌握有理数大小比较方法是解答本题的关键． 15．请你写出一个大于，小于的最简分数，这个分数是_________．（只需写出一个） 【答案】（答案不唯一） 【详解】==，==， ∵<< ∴这个分数是，也可化为其他分母，故答案不唯一. 故答案为（答案不唯一）. 16．【分数的性质】有一个分数，它的分子加，可以约简为 ；它的分母减，可以约简为 ．这个分数约简后是________． 【答案】 【分析】本题考查分数的性质，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键； 依题意设分母为的倍，分子为的倍，建立方程求解即可； 【详解】解：依题意得知，分母为的倍数，分子为的倍数， 所以，设分母为的倍，分子为的倍， 解得：，， 所以这个数为： 化简完为：， 故答案为： 17．比较大小：______． 【答案】 【分析】本题考查分数比较大小，将转化为，将转化为：，进行比较即可． 【详解】解：， ， 因为， 所以， 所以； 故答案为：． 18．一个分数的分子与分母的乘积是500，将它化成最简分数是，则原分数为____________． 【答案】 【分析】结合题意，根据分数的性质计算，即可得到答案． 【详解】∵一个分数的最简分数是 设分子和分母的最大公因数为x ∴分子为：4x，分母为：5x 结合题意得： ∴ ∴分子为：20，分母为：25 ∴原分数为 故答案为：． 【点睛】本题考查了分数、公因数的知识；解题的关键是熟练掌握分数、最简分数、公因数的性质，从而完成求解． 三、解答题 19．有5只猴子分20个桃子，桃子共重8千克，平均每只猴子分到几个桃子？平均每只猴子分到几千克桃子？平均每只猴子分到的是全部桃子的几分之几？（结果用最简分数表示） 【答案】4个，千克， 【分析】本题主要考查了分数的应用，最简分数，先求出平均每只猴子分到4个桃子，再用总千克数除以猴子总数算出每个桃子的重量，用平均每只猴子分到的桃子数除以总桃子数即可求出平均每只猴子分到的是全部桃子的占比． 【详解】解：（个）， （千克）， ， 答：平均每只猴子分到4个桃子，平均每只猴子分到千克桃子，平均每只猴子分到的是全部桃子的． 20．请在方框里分别填上点和点所对应的数，并在数轴上，画出点：，比较、、三个数的大小，并用连接_________________________．    【答案】点表示的数为，点表示的数为；点在数轴上位置见解析； 【分析】本题考查了带分数与假分数在数轴上的表示，借助数轴比较分数大小；观察数轴即可确定点、表示的数；由即可表示出点的位置． 【详解】解：如下图所示；点表示的数为，点表示的数为；    三个数的大小为：． 故答案为：． 21．求下列各数的最简分数： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分数的基本性质，熟知分数的基本性质是解题的关键． （1）把分子和分母同时除以15即可得到答案； （2）把分子和分母同时除以11即可得到答案； （3）把分子和分母同时除以17即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 22．把下列每组中的两个分数通分，并比较大小． （1）和；    （2）和；    （3）和． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）7和8的最小公倍数是56，再通分比较分子即可； （2）3和15的最小公倍数是15，再通分比较分子即可； （3）12和30的最小公倍数是15，再通分比较分子即可． 【详解】解：（1）， 因为， 所以； （2），， 所以； （3），，， 所以． 【点睛】本题考查分数的比较大小，找分母的最小公倍数再通分是关键． 23．在括号内填上分数表示图形中的涂色部分与整体的关系． 【答案】 ，， 【分析】第一个图形将长方形平均分成12份，数出涂色部分的份数即可；第二个图形利用割补法，将内圆涂色部分移至外圆对应空白处，可拼成一个大扇形；第三个图形将整个长方形看作由8个小正方形组成，计算涂色部分相当于几个小正方形的面积； 【详解】解：第一个图形： 长方形被平均分成了个小 长方形，涂色部分有个小 长方形， 所以涂色部分占整体的； 第二个图形： 圆被平均分成了8个大扇形，涂色部分由内圆的一个小扇形和外环的一个扇环组成，利用割补法，将内圆涂色的小扇形移至外环涂色扇环的内侧，正好拼成一个完整的大扇形， 所以涂色部分占整体的； 第三个图形： 将整个长方形看作由8个相同的小正方形组成，左边涂色三角形的面积相当于2个小正方形的面积，右边涂色部分的面积等于1个小正方形的面积，涂色部分总面积相当于个小正方形的面积， 所以涂色部分占整体的． 24．甲车从 A 地到 B 地要行驶6小时，乙车从 B 地到 A 地要行驶8小时，现在甲乙两车从 A 、B两地同时出发，相向而行，3小时后两车相距70 千米．A 、B 两地相距多少千米？ 【答案】A 、B 两地相距560千米 【分析】本题主要考查分数的应用，根据题意得甲车每小时行驶全程的，乙车每小时行驶全程的，3小时甲乙两车共行驶全程的，还剩下全程的，结合剩下70千米，用除法可得结论． 【详解】解：两车相遇所用时间为，即相遇前相距70千米， 所以，A 、B 两地的距离为： （千米）， 答：A 、B 两地相距560千米． 25．分子为1的分数叫做单位分数．早在三千多年前，古埃及人就利用单位分数进行书写和计算．将一个分数分拆为几个不同的单位分数之和是一个古老且有意义的问题．例如： ；     (1)仿照上例分别把分数和分拆成两个不同的单位分数之和． , (2)在上例中，，又因为，所以：，即可以写成三个不同的单位分数之和．按照这样的思路，它也可以写成四个，甚至五个不同的单位分数之和．根据这样的思路，探索分数能写出哪些两个以上的不同单位分数的和？ 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）由单位分数的意义可知将一个分数分拆为几个不同的单位分数之和，过程就是利用同分母分数的加法或分数的性质，把这个分数拆成两个同分母分数，使其中一个分子是1，另一个分数分子能整除分母； （2）只要根据单位分数的转化方法，把其中的一个分数利用分数的性质继续拆分即可． 【详解】（1）解：， ； 故答案为：，； （2）解：第一种： ； 第二种：， ； 第三种：， ； 第四种：， ． 【点睛】此题考查了分数性质的灵活应用，掌握同分母分数相加以及约分方法是解题关键. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 分数的意义和性质 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1单位“1”与分数意义填空题（基础必考） 题型2 分数与除法互化 题型3分数基本性质变形（高频） 题型4 假分数、带分数互化 题型5约分（化为最简分数） 题型6 通分比较分数大小 题型7分数综合实际应用题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1.分数意义类 2. 分数与除法 3. 分数分类 4. 分数基本性质 5. 拓展概念 （一）知识目标 1. 理解单位“1”的含义，掌握分数定义：把单位“1”平均分成若干份，表示一份或几份的数叫分数。 2. 认识分子、分母、分数线，能准确找出任意一个分数的分数单位。 3. 熟练掌握分数与除法的关系：，实现二者灵活互化。 4. 清晰区分真分数、假分数的概念，掌握假分数与带分数、整数的互化方法。 5. 熟记分数的基本性质，精准理解“0除外”的核心限制条件，规避易错点。 6. 能够运用分数基本性质完成约分、通分操作，准确识别最简分数。 （二）能力目标 1. 能根据文字情境、图形描述写出对应分数，精准理解整体与部分的数量关系。 2. 依托分数与除法的关系，熟练解决“求一个数是另一个数的几分之几”的应用题。 3. 灵活运用分数基本性质改写等值分数，解决各类变式填空题。 4. 规范完成分数约分至最简、多分数通分，掌握分数大小比较的多种方法。 建立数形结合数学思想，能用图形直观表示分数含义；培养等量代换、转化归纳的数学思维，提升分数运算与应用的核心能力。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01分数与除法的关系 （1）用文字表示是： 被除数 ÷ 除数 = ； （2）用字母表示是： 两个正整数p、q相除，可以用分数表示，读作q分之p． 即，其中p为分子，q为分母． 特别地，当q = 1时，，例如3 ÷ 1 ==3． 【易错提醒】忽略分母不为0的规则：分数、除法运算中，分母和除数均不能为0，判断题、填空题高频挖坑。 知识点02 分数的基本性质 分数的分子和分母都乘以或都除以同一个不为零的数，所得的分数与原分数的大小相等．即：（，，） 【易错提醒】分数基本性质概念不全：判断题常省略“0除外”条件，如“分子分母同时乘一个数，分数大小不变”（错误）。 知识点03 真分数、假分数、带分数概念 1. 真分数 定义：分子小于分母的分数。 数值特点：分数值＜1 核心特点：无法化成整数或带分数。 举例：、、 2. 假分数 定义：分子大于或等于分母的分数。 数值特点：分数值≥1 分类： 分子=分母：分数值=1，可化为整数，例：、 分子＞分母：分数值＞1，可化为带分数，例：、 3. 带分数 定义：由一个整数和一个真分数组合而成的分数。 数值特点：分数值＞1 书写结构：整数部分 + 真分数部分 举例：、 知识点04分数的约分 1.约分 把一个分数的分子与分母的公因数约去的过程，称为约分． 2.最简分数 分子和分母互素的分数，叫做最简分数． 将分数化为最简分数，可以将分子、分母分别除以它们的最大公因数，也可以不断的约分，直到分子、分母互素为止． 【易错提醒】约分不彻底：未将分数约至分子分母互质，如将 约分为 ，未化为最简 。 知识点05 分数的通分 1.公分母 两个异分母的分数、（a、c为常数，且、、）要化成同分母的分数，分母必须是a和c的公倍数，这个分母叫做公分母． 其中a和c的最小公倍数，称为最小公分母． 2.通分 将异分母的分数分别化成与原分数大小相等的同分母的分数，这个过程叫做通分． 【易错提醒】通分方法繁琐易错：不找分母最小公倍数，直接将两分母相乘，导致数值过大、计算出错。 知识点06 分数的大小比较 1.分母相同而分子不同的分数 分母相同的分数，分子大的分数较大． 2.分子相同而分母不同的分数 分子相同的分数，分母小的分数较大． 3.分母不同且分子也不同的分数 （1）利用通分的方法，将异分母的分数化为同分母的分数，再比较大小； （2）应用分数的基本性质，将各个分数的分子化为相同的，再比较大小． 【易错提醒】分数大小比较误区：比较带分数只看整数部分，忽略分数部分；假分数未统一形式直接比较大小。 题型1 单位“1”与分数意义（基础必考） 【例1】．（24-25六年级上·上海浦东新·阶段检测）一根绳子剪成两段，第一段长米，第二段占全长的，两段绳子相比，（   ） A．第一段长 B．第二段长 C．一样长 D．不能确定 【例2】．（23-24六年级上·上海·阶段检测）把6块蛋糕分给11个孩子，每个孩子分得______块蛋糕，每个孩子分得6块蛋糕的______．（用分数表示） 【例3】．（24-25六年级上·上海·阶段检测）小杰制作朵纸花，用去分钟，平均每分钟做的花占总体的_______． 【易错警示】单位“1”判定混淆：分不清分率（无单位）和具体数量（有单位），盲目套用数字计算，是最常见易错点。 【变式1-1】．（23-24六年级上·上海浦东新·期中）把一根绳子对折三次，这时每段绳子是全长的（       ） A． B． C． D． 【变式1-2】．（24-25六年级上·上海·阶段检测）如果的总体表示1，那么用最简分数表示为___________； 【变式1-3】．（2024六年级上·上海徐汇·期中）如图，，阴影部分的面积是面积的___________（填几分之几）． 题型2分数与除法互化 【例4】．（22-23六年级上·上海徐汇·单元测试）完成万平方米的地毯纺织任务需天完成，平均每天织的面积是（    ） A． B． C．万平方米 D．万平方米 【例5】．（24-25六年级上·上海·阶段检测）把的商用分数表示为_____________． 【例6】．（25-26六年级上·上海杨浦·阶段检测）用分数表示除法的商：___________ 【技巧归纳】被除数对应分子，除数对应分母，除号变分数线，除数绝对不能为0。 【变式2-1】．（24-25六年级上·上海·期中）如果铺设一条长4千米的道路需要9天完成，那么平均每天铺设的道路长为（   ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【变式2-2】．（24-25六年级上·上海·阶段检测）将分数写成两个数相除的式子为__________． 【变式2-3】．（25-26六年级上·上海·期末）小强吃了一个西瓜的，因为，用表示小强吃了多少西瓜合适吗？_____ 题型3 分数基本性质（高频） 【例7】．（23-24六年级上·上海·期中）下列式子中，正确运用分数基本性质的是（     ） A． B． C． D． 【例8】．（23-24六年级上·上海·期中）把分数的分子扩大4倍，分母缩小4倍，所得的分数比（    ） A．扩大8倍 B．扩大16倍 C．缩小8倍 D．不变 【例9】．（23-24六年级上·上海·期中）若，那么括号里的数是______． 【技巧归纳】 1.观察分子或分母的扩大、缩小倍数； 2.对应分母或分子同步乘除相同倍数； 3.核心禁忌：只能同乘、同除，不能直接同加、同减。 【变式3-1】．（25-26六年级上·上海松江·期中）一个分数的分子扩大到原来的3倍，分母缩小到原来的，分数值变为，则原分数是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】．（25-26六年级上·上海·期末）当的分母加上12后，要使分数值不变，分子应该乘以_____． 【变式3-3】．（25-26六年级上·上海松江·期中）分数的分母加12，若要使分数大小不变，则分子需要加______． 【变式3-4】．（25-26六年级上·上海松江·阶段检测）把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫单位分数．单位分数又叫埃及分数．在古埃及，人们研究如何把一个分数单位表示成若干个不同的分数单位的和．比如：，． (1)填空：；（写出与上文材料不一样的自然数，要求两个单位分数的分母不同）． (2)如果，其中a、b、c为互不相同的自然数（a、b、c不超过30），求a、b、c的和． 题型4假分数、带分数互化 【例10】．（25-26六年级上·上海·期末）对于正分数，下列说法错误的是（    ） A．假分数一定大于1 B．真分数一定小于1 C．带分数一定大于1 D．带分数的倒数一定是真分数 【例11】．（25-26六年级上·上海·阶段检测）若是假分数，则自然数可取值的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【例12】．（25-26六年级上·上海金山·期中）分母是8的最简真分数有______个． 【技巧归纳】•真分数：分子＜分母，数值＜1 •假分数：分子≥分母，数值≥1 •带分数：整数+真分数，数值一定＞1 【变式4-1】．（25-26六年级上·上海·阶段检测）如果最简分数是假分数，那么正整数x的所有可能取值为（    ） A．2或3 B．1或2 C．3或4 D．1或4 【变式4-2】．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）若是最简真分数，且x是正奇数，则x可取的所有值的和是 ______． 【变式4-3】．（25-26六年级上·上海·期中）有一个自然数能使是假分数，是真分数，则_______． 题型5约分（化为最简分数） 【例13】．（22-23六年级上·上海浦东新·阶段检测）下列分数中，与不相等的是（  ） A． B． C． D． 【技巧归纳】约分：找分子分母最大公因数 → 同时除以公因数 → 得到最简分数 【变式5-1】．（25-26六年级上·上海·期中）在分数，，，，，中，与相等的分数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式5-2】．（24-25六年级上·上海闵行·阶段检测）在分数中、、中，与相等的分数是___________． 【变式5-3】．（24-25六年级上·上海浦东新·阶段检测）一个分数约分后是，原分数的分子和分母之和是72，原分数是________． 题型6通分比较分数大小 【例14】．（22-23六年级上·上海普陀·期中）下列分数中，大于但比小的分数是（　　） A． B． C． D． 【例15】．（24-25六年级上·上海·阶段检测）已知，则和的大小关系是__________． 【例16】．（25-26六年级上·上海·阶段检测）比较，，的大小，需写出通分过程． 【技巧归纳】通分：找多个分母最小公倍数作为公分母 → 分子同步扩大对应倍数 【变式6-1】．（24-25六年级上·上海·阶段检测）在分数、、、、中，与相等的分数共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式6-2】．（22-23六年级上·上海浦东新·阶段检测）若将分数和的分子都化为3后，得到的分数从小到大的排列结果是：，则正整数_____________ 【变式6-3】．（24-25六年级上·上海宝山·阶段检测）先把下列各组中的分数通分，再比较它们的大小： (1)和 (2)，和 题型7分数综合实际应用题 【例17】．（25-26六年级上·上海青浦·期中）在下面三幅图中分别用阴影部分表示出公顷． 【例18】．（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）分母是24的最简真分数有多少个？ 分析：我们可以这样来思考，首先分母是24的真分数共有个，但题目要求的是最简真分数，因为，所以要求的最简真分数的分子不能是2或3的倍数，即在中要去掉2的倍数11个，3的倍数7个，但6既是2的倍数又是3的倍数，显然重复计算了，所以要加上3个，因此所求最简真分数共有个． 请你根据上述方法和步骤解决如下问题： 分母是117的最简真分数有________个．（直接写出答案，不写过程） 【变式7-1】．（24-25六年级上·上海·阶段检测）下表是某文具店某天销售三种品牌的水笔的价格和这一天的销售量： 品牌 A B C 售价（元） 2 3 5 销售量（支） 35 30 25 (1)B种品牌的销售量占全天销售量的几分之几？ (2)C种品牌的销售金额占全天销售金额的几分之几？ 【变式7-2】．（25-26六年级上·上海·期中）古埃及与我国一样拥有着恒远悠久的古老文明．在古埃及为解决一碗食物分给多个人的生活问题，古埃及人发明了“埃及分数”，如写作，写作，符号中的“碗”代表分子1，“竖线”代表分母．但同时由于书写的方式，使得古埃及人对于分子不为1的分数难以表达．如需写作＋，即．现在请你帮助古埃及人用多个分数相加的方式表示出以下分数（括号内均填入正整数）． (1)； (2)小明在探究时发现，可以尝试选择分母的因数对原来的分子进行拆分，再利用分数的基本性质化简后即可得到所需分数．如：． 根据以上方法，请尝试表示： ①（填写两组不同答案） ② (3)请尝试表示： 【变式7-3】．（25-26六年级上·上海·期中）分子为1的分数叫做单位分数（如，）．任何一个分数都可拆分为几个不同的单位分数的和．我们可以利用扩分的方法，将一个单位分数或一个真分数的分子与分母扩大一定倍数，使得分子可以化为几个正整数的和，且这些正整数为分母的因数即可． 例如：因为，即可以写成两个单位分数与的和；又，即可以写成两个单位分数与的和； 也可以写成三个不同的单位分数的和：． 即可以写成三个单位分数、与的和． 按照这样的思路，任何一个真分数都可以写成两个、三个、个不同的单位分数的和． (1)试把分数拆分成两个不同的单位分数的和，即．（写出一种即可） (2)分数可以拆分成两个不同的单位分数的和，即，则______．（请在横线上直接写出所有满足条件的值） (3)尝试把分数分拆成2025个不同的单位分数之和．（写出一种即可） 一、单选题 1．把米长的绳子剪成4段．平均每段占全长的（    ） A． B． C． D． 2．分数介于哪两个数之间（    ） A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6 3．的分子乘以2，要使原分数大小不变，分母应为（    ） A．9 B．11 C．18 D．27 4．如果一个最简真分数与的积等于1，那么    (   )． A．小于1 B．大于1 C．等于1 5．下面与两图中阴影部分面积之和相等的是（    ） A． B． C． 6．一根绳子剪成两段，第一段长米，第二段占全长的，两段绳子相比，（   ） A．第一段长 B．第二段长 C．一样长 D．不能确定 7．下列说法不正确的有（    ）个 ①分子，分母都是素数的分数为最简分数；②把6吨煤平均分成5份，每份是总重量的 ③因为．所以38是4的倍数；④最简分数的分子和分母没有公因数； ⑤将几个异分母分数分别化成同分母的分数，这个过程叫做通分； ⑥一个数的倍数总比这个数的约数大；⑥m的倒数是；⑧把单位1分成5份，每份为 A．8个 B．7个 C．6个 D．5个 二、填空题 8．把5米长的绳子平均分成9份，每份长________米；每段的长度占全长的________（填几分之几）． 9．比较大小：_______．（填“＞”，“＝”或“＜”） 10．分数介于______和______之间． 11．如图中的阴影部分占长方形的________（填分数）． 12．用分数表示：小时分______小时． 13．的分子加上8，要使分数的大小不变，分母应加上______． 14．把、0.87、、0.877从小到大排列：_______． 15．请你写出一个大于，小于的最简分数，这个分数是_________．（只需写出一个） 16．【分数的性质】有一个分数，它的分子加，可以约简为 ；它的分母减，可以约简为 ．这个分数约简后是________． 17．比较大小：______． 18．一个分数的分子与分母的乘积是500，将它化成最简分数是，则原分数为____________． 三、解答题 19．有5只猴子分20个桃子，桃子共重8千克，平均每只猴子分到几个桃子？平均每只猴子分到几千克桃子？平均每只猴子分到的是全部桃子的几分之几？（结果用最简分数表示） 20．请在方框里分别填上点和点所对应的数，并在数轴上，画出点：，比较、、三个数的大小，并用连接_________________________．    21．求下列各数的最简分数： (1) (2) (3) 22．把下列每组中的两个分数通分，并比较大小． （1）和；    （2）和；    （3）和． 23．在括号内填上分数表示图形中的涂色部分与整体的关系． 24．甲车从 A 地到 B 地要行驶6小时，乙车从 B 地到 A 地要行驶8小时，现在甲乙两车从 A 、B两地同时出发，相向而行，3小时后两车相距70 千米．A 、B 两地相距多少千米？ 25．分子为1的分数叫做单位分数．早在三千多年前，古埃及人就利用单位分数进行书写和计算．将一个分数分拆为几个不同的单位分数之和是一个古老且有意义的问题．例如： ；     (1)仿照上例分别把分数和分拆成两个不同的单位分数之和． , (2)在上例中，，又因为，所以：，即可以写成三个不同的单位分数之和．按照这样的思路，它也可以写成四个，甚至五个不同的单位分数之和．根据这样的思路，探索分数能写出哪些两个以上的不同单位分数的和？ 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $