专题07：有理数的混合运算（1大知识点+7大题型+真题检验） 2025年新六年级暑假班预修提升课程（沪教版2024）

2025年新六年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题07 有理数的混合运算 知识点01 有理数的混合运算 （1）先乘方,再乘除,最后加减. （2）同级运算,从左到右进行. （3）如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行. （4）适当运用运算律,改变运算顺序,尽量简化运算. （5）带分数化成假分数,小数化为分数. 【特别提醒】 (1)“同级运算”是指加和减同级,乘和除同级,乘方和开方同级,其中开方以后会学到. (2)进行有理数的混合运算时，一要注意运算顺序,二要注意符号问题. (3)灵活地运用运算律,可以使运算快速、简便. 题型1：有理数的加减运算 【例1】计算： (1) (2) 【例2】计算：． 【跟踪训练】 1．计算：﹣（﹣1）+2﹣（+5）＝　　． 2.计算： （1）－3.72－1.23+4.18－2.93－1.25+3.72； （2）11－12+13－15+16－18+17； （3） （4） （5）； （6） 题型2：有理数的乘除运算与乘方运算 【例3】计算的结果为（　　） A．﹣32 B．32 C．﹣64 D．64 【例4】计算：4． 【例5】下列各组数中，运算结果相等的是（　　） A．（﹣5）3与﹣53 B．23与32 C．﹣22与（﹣2）2 D．与 【跟踪训练】 1．计算（﹣6）÷（﹣）×6的结果是（　　） A．6 B．36 C．﹣1 D．1 2．计算：． 3.下列各式中，正确的是       ） A． B． C． D． 4．计算. (1)； (2). 题型3：有理数的混合运算 【例6】计算： (1)；(2)；(3)；(4) 【例7】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【例8】计算：﹣16÷（﹣2）3﹣22×|﹣|+（﹣1）2023． 【例9】计算：． 【跟踪训练】 1.列计算正确的是（　　） A．﹣3020×（） B．（）÷（）＝﹣2 C．（）÷（）×（） D．（）×（）＝0 2．计算题 (1) (2) (3) (4) 3.计算：． 4.计算：． 5.计算：． 6.计算：． 7.计算：． 题型4：用简便的方法进行有理数混合运算 【例10】用简便方法计算 （1）99（﹣9） （2）（﹣5）×（﹣3）+（﹣7）×（﹣3）+12×（﹣3） 【例11】用简便方法计算： （1）﹣130.34（﹣13）0.34 （2）（）×（﹣60） 【例12】计算的值等于（    ） A． B． C．1010 D．1009 【跟踪训练】 1．用较为简便的方法计算下列各题： （1）﹣+﹣； （2）﹣8721+53﹣1279+4； （3）﹣+； （4）． 2．计算： （1）25×﹣（﹣25）×+25×（﹣）； （2）． 3．计算 （1）； （2）． 4．计算：﹣14+（﹣5）×[（﹣2）3+6]﹣（﹣3）2． 5.计算：． 6.计算： 7.计算:． 题型5：流程框图中的混合运算 【例13】根据图所示的程序计算，若输入x的值为2，则输出y的值为 　　；若输入x的值为﹣1，则输出y的值为 　　． 【例14】如图是一个数值运算程序，当输入的值为﹣3时，则输出的值为 　 　． 【跟踪训练】 1.按如图所示的程序进行计算，如果把第一次输入的数是18；而结果不大于100时，就把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求为止，则最后输出的结果为（　　） A．72 B．144 C．288 D．576 2.按如图所示的运算程序，能使运算输出的结果为2的是（   ） A． B． C． D． 3．计算机编程语言是指用于人与计算机之间通信的语言，是人与计算机之间传递信息的媒介，因为它是用来进行程序设计的，所以又称程序设计语言或者编程语言，如图所示的运算程序中，如果结果不大于10，就把结果作为输入的数再进行第二次计算，直到符合要求（结果大于10）为止当输出的数为11时，输入的数字不可能是（    ） A． B．3 C． D．4 题型6：新定义题 【例15】如果对于任何有理数，定义运算“”如下，如．则的值为（    ） A． B． C． D． 【例16】现规定一种新运算“*”：，例如：，试求 (1)的值． (2)的值． 【例17】[概念学习] 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作aⓒ，读作“a的圈c次方”． （1）[初步探究]直接写出计算结果：3③＝　　；（）⑤＝　　； （2）关于除方，下列说法错误的是 　　； A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．对于任何正整数n，1ⓝ＝1； C.3④＝4③； D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． （3）[深入思考]我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ Ⅰ．试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式，（﹣3）④＝　　；5⑥＝　　． Ⅱ．想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于aⓝ＝　　； Ⅲ．算一算：（）④+（﹣2）⑤﹣（）⑥÷33． ． 【跟踪训练】 1．对于有理数a，b，定义运算“*”：a*b＝a2﹣ab，例如：4*2＝42﹣4×2＝8，则（﹣3）*（﹣2）＝　　． 2．定义一种新的运算：，如：，则______． 3．对于任意有理数a、b，定义新运算“”，规定，则________． 4.．对于实数a、b，定义运算“*”，，例如，因为，所以，若，在数轴上对应的点分别到原点的距离相等，且两点间的距离为8，求*的值．． 5．概念学习规定：求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作2③，读作“2的圈3次方”， 记作，读作“的圈4次方”，一般地，把 (n个a，)记作，读作“a的圈n次方”． (1)直接写出计算结果： ______，______； (2)将下列运算结果直接写成幂的形式： ______；______； (3)算一算： 题型9：综合提升 【例18】课堂上，老师给出1，，，-12四个有理数，借助＋，－，×，÷中的运算符号，引导学生们做如下练习： (1)计算：； 【例19】团委号召各校组织开展捐赠衣物的“暖冬行动”．某校七年级6个班参加了这次捐赠活动，若每班捐赠衣物以100件为基准，超过的件数用正数表示，不足的件数用负数表示，记录如下： 班级 一班 二班 三班 四班 五班 六班 人数 40 42 45 44 40 39 件数 （1）捐赠衣物最多的班比最少的班多多少件？ （2）该校七年级学生共捐赠多少件衣物？该校七年级学生平均每人捐赠多少件衣物？ 【例20】．“点”游戏规则如下：在一副扑克牌去掉大、小王中取张，根据牌面上的数字进行混合运算每张牌限用一次，使结果为或，其中红色牌代表负数，黑色牌代表正数，，，分别代表，，，例如黑桃，，和红桃，可作如下运算：或等． (1)现在四张牌为黑桃，，和方块，运用上述规则写出三种不同运算方法的算式，使其结果为或 ① ② 【例21】小刚与小明在玩数字游戏，现有5张写着不同数字的卡片（如图），小刚请小明按要求抽出卡片，完成下列问题： (1)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取?最大值是多少？ (2)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取?最小值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，如何抽取?写出运算式子．（一种即可） 一、选择题 1．（2024上海嘉烁教育期末）不列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 2．（2024上宝中学期末）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 3．（2023华育中学期中）计算：的结果为（     ） A．－5 B．5 C． D． 4．（2023存志中学期中）小明做了下列3道计算题： ①，②，③．其中正确的有（　　　） A．0道 B．1道 C．2道 D．3道 5．（2023闵行华二期中）在计算1÷（﹣）时，下列是三位同学的过程．甲：原式＝1÷；乙：原式＝1÷﹣1÷；丙：原式＝1×（3﹣2），则（　　） A．甲正确 B．乙正确 C．丙正确 D．甲、乙、丙均不正确 6．（2023进华中学期中）现在定义两种新运算，“▲”、“★”，对于任意两个整数，a▲b＝a+b﹣1，a★b＝a×b﹣1，则7★（﹣3▲5）的结果是（ ） A．﹣6 B．48 C．6 D．﹣48 二、填空题 7．（2024上海闵行区·九年级二模）计算：______． 8．（2024文来中学期末）计算：=____． 9．（2024上外附中期末）计算6×（﹣﹣+）＝　　． 10．（2023交大二附期末）计算：＝ __________ ； 11．（2024延安初级中学期末）现定义两种运算“”“ *”，对于任意两个孩数，，， 12．（2024宝山实验期末）定义一种新运算：新定义运算，则的结果是______． 13．（2024民办兰生月考）刘佳把任意有理数对放进装有计算装置的计算盒，会得到一个新的有理数．例如把放入其中，就会得到．现将有理数对放入其中，得到有理数是______． 14．（2024闵行区期末）计算（﹣81）÷×÷（﹣4）结果为 　　15．（2025松江区期中）某商品进价为100元，按进价提高50%后标价，实际销售时给顾客打了八折，卖出这件商品的利润是 ． 16．（2024大同中学阶段练习）你会玩“24点”游戏吗？请将3，4，5，9这四个数（每一个数只能用一次）用仅含有加、减、乘、除及括号进行运算，使其结果等于24．写出你的算式（只写一个即可） ． 17．（2024复旦二附期末）在﹣1，2，﹣3，0，5这五个数中，任取两个相除，其中商最小的是　　． 18．（2024宝山实验期末）定义两种新运算，观察下列式子： （1），例如，； ； （2）表示不超过的最大整数，例如，；； 根据以上规则，计算_______． 3、 解答题 19．（2024上海市静安区实验中学课时练习）计算： （1） （2） 20．（2024上海市静安区实验中学课时练习）计算： （1） （2） （3） （4）； （5） （6）； （7） （8） （1）（2023上海市娄山中学单元测试） （2）（2023上海普陀区·期中）． （3）（2023上海普陀区·期中） (4)（24-25六年级上·上海宝山·期中）计算：． 21．（2020·浙江其他模拟）计算： （1） （2）（要求简便方法计算）22．（2024西南模范中学练习）给出四个数：,2,6，计算“24点”，请列出四个符合要求的不同算式． （可运用加、减、乘、除、乘方运算，可用括号；注意：例如与只是顺序不同，属同一个算式．） 算式1：_________________；算式2_______________；算式3：_________________；算式4_______________； 23．（2023位育中学期中）点游戏是一种扑克牌类的益智类游戏，游戏规则是：从一副扑克牌（去掉大小王）中任意抽取张牌，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为或． 例如：抽到的数字为“，，，”，则可列式并计算为：． 如果♥、◆表示正，♠、♣表示负（如“◆”为“”，“♠”为“”），请对下面两组扑克牌按要求进行记数，并按“点”游戏规则对两组数分别进行列式计算，使其运算结果均为或． ① 依次记为：_________________ 列式计算：__________________． ② 依次记为：_________________ 列式计算：_______． 24.（2024复旦二附期末）小聪是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识，脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如5÷5÷5，（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）等，类比有理数的乘方．小聪把5÷5÷5记作f（3，5），（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）记作f（4，﹣2）． （1）直接写出计算结果，f（4，）＝　　，f（5，3）＝　　； （2）关于“有理数的除方”下列说法正确的是 　　．（填序号） ①f（6，3）＝f（3，6）； ②f（2，a）＝1（a≠0）； ③对于任何正整数n，都有f（n，﹣1）＝1； ④对于任何正整数n，都有f（2n，a）＜0（a＜0）． （3）小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式f（n，a）（n为正整数，a≠0，n≥2），要求写出推导过程将结果写成幂的形式；（结果用含a，n的式子表示） （4）请利用（3）问的推导公式计算：f（5，3）×f（4，）×f（5，﹣2）×f（6，）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新六年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题07 有理数的混合运算 知识点01 有理数的混合运算 （1）先乘方,再乘除,最后加减. （2）同级运算,从左到右进行. （3）如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行. （4）适当运用运算律,改变运算顺序,尽量简化运算. （5）带分数化成假分数,小数化为分数. 【特别提醒】 (1)“同级运算”是指加和减同级,乘和除同级,乘方和开方同级,其中开方以后会学到. (2)进行有理数的混合运算时，一要注意运算顺序,二要注意符号问题. (3)灵活地运用运算律,可以使运算快速、简便. 题型1：有理数的加减运算 【例1】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据有理数加减计算法则求解即可； （2）根据有理数加减计算法则求解即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 【点睛】本题主要考查了有理数的加减计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【例2】计算：． 【答案】0． 【解析】原式． 【总结】本题考查有理数运算法则，依次从小、中、大括号计算． 【跟踪训练】 1．计算：﹣（﹣1）+2﹣（+5）＝　　． 【分析】先利用相反数的定义及减法运算的运算法则，转化为加法，再利用加法运算进行运算即可． 【解答】解：﹣（﹣1）+2﹣（+5）＝1+2+（﹣5）＝﹣2． 故答案为：﹣2． 2.计算： （1）－3.72－1.23+4.18－2.93－1.25+3.72； （2）11－12+13－15+16－18+17； （3） （4） （5）； （6） 【答案与解析】 （1）观察各个加数，可以发现－3.72与3.72互为相反数，把它们分为一组； 4.18、－2.93与－1.25的和为0，把它们分为一组可使计算简便． 解：－3.72－1.23+4.18－2.93－1.25+3.72 ＝(－3.72+3.72)+(4.18－2.93－1.25)－1.23 ＝0+0－1.23＝－1.23 （2）把正数和负数分别分为一组． 解：11－12+13－15+16－18+17 ＝(11+13+16+17)+(－12－15－18) ＝57+(－45)＝12 （3）仔细观察各个加数，可以发现两个小数的和是－1，两个整数的和是29，三个分数通分后也不难算．故把整数、分数、小数分别分为一组． 解： （4）3.46和1.54的和为整数,把它们分为一组；－3.87与3.37的和为－0.5，把它们分为一组；与 易于通分，把它们分为一组；与同分母，把它们分为一组． 解： （5）先把整数分离后再分组． 解： 注：带分数中的整数与分数分离时，如果这个数是负数，那么分离得到的整数与分数都是负数，例如 ． （6）如果按小数、整数分组，效果似乎不是很好．可先将小数和分数统一后再考虑分组． 解： 题型2：有理数的乘除运算与乘方运算 【例3】计算的结果为（　　） A．﹣32 B．32 C．﹣64 D．64 【分析】从左到右依次计算即可． 【解答】解：原式＝16×（﹣4） ＝﹣64． 故选：C． 【例4】计算：4． 【分析】直接利用有理数的乘除运算法则计算得出答案． 【解答】解：原式＝×× ＝8． 【例5】下列各组数中，运算结果相等的是（　　） A．（﹣5）3与﹣53 B．23与32 C．﹣22与（﹣2）2 D．与 【解答】解：A、（﹣5）3＝﹣125，﹣53＝﹣125，故相等，符合题意； B、23＝8，32＝9，故不相等，不符合题意； C、﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4，故不相等，不符合题意； D、，，故不相等，不符合题意； 故选：A． 【跟踪训练】 1．计算（﹣6）÷（﹣）×6的结果是（　　） A．6 B．36 C．﹣1 D．1 【分析】将除法变为乘法，再约分计算即可求解． 【解答】解：（﹣6）÷（﹣）×6 ＝（﹣6）×（﹣6）×6 ＝36． 故选：B． 2．计算：． 【分析】先把除法变为乘法，再约分即可得出结果． 【解答】解：原式＝（﹣）×（﹣）×（﹣） ＝﹣． 3.下列各式中，正确的是       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数的乘方法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项错误，不符合题意； D、，则此项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键． 4．计算. (1)； (2). 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据有理数的乘除混合运算进行计算即可求解； （2）先将除法转化为乘法，然后根据乘法分配律进行计算即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： ． 题型3：有理数的混合运算 【例6】计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)8 (2) (3) (4)10 【分析】（1）先运用有理数加法法则和有理数减法法则计算即可； （2）先计算乘法和除法，再计算送还支即可； （3）先计算除法，再计算乘法即可； （4）运用乘法分配律计算即可． 【解析】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 . 【点睛】本题考查有理数四则混合运算，熟练掌握有理数运算法则是解题的关键，解题时注意运算顺序． 【例7】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)0 (3)0 (4) 【分析】（1）先算乘方，再算乘除，最后计算加减； （2）整理后，利用乘法分配律展开计算； （3）先将小数化为分数，计算括号内的，再算除法； （4）先算乘方，再算括号内的，最后计算除法． 【解析】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，其运算顺序为：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里边的，同级运算从左到右依次进行． 【例8】计算：﹣16÷（﹣2）3﹣22×|﹣|+（﹣1）2023． 【分析】根据有理数的混合运算法则计算即可． 【解答】解： ＝ ＝2﹣2﹣1 ＝﹣1． 【例9】计算：． 【答案】 【分析】先计算括号内的，并要先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查有理数混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键． 【跟踪训练】 1.列计算正确的是（　　） A．﹣3020×（） B．（）÷（）＝﹣2 C．（）÷（）×（） D．（）×（）＝0 【分析】根据有理数的乘法与除法运算对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、﹣3020×（）＝（﹣30+20），故本选项错误； B、（）÷（）＝（）÷（）＝﹣2，故本选项正确； C、（）÷（）×（）12，故本选项错误； D、（）×（）＝﹣1×（），故本选项错误． 故选：B． 2．计算题 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)6 (2)10 (3) (4) 【分析】（1）根据有理数加减法则依次计算； （2）根据乘法的分配律进行计算； （3）先算括号内的，再计算括号外的乘法，最后计算括号外的加减法； （4）先计算乘方和括号内的运算，再计算括号外的乘除法． 【解析】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 （4）解：原式 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟记有理数混合运算的顺序，运算法则，运算定律是解题的关键． 3.计算：． 【答案】． 【解析】原式=． 【总结】本题考查有理数的四则运算法则，先乘除，后加减，如果有括号就先算括号内再算 括号外，同一级运算注意符号，能简便计算就简便计算． 4.计算：． 【答案】． 【解析】原式． 5.计算：． 【解析】原式． 【总结】本题考查有理数混合运算． 6.计算：． 【答案】． 【解析】原式． 7.计算：． 【答案】． 【解析】原式． 题型4：用简便的方法进行有理数混合运算 【例10】用简便方法计算 （1）99（﹣9） （2）（﹣5）×（﹣3）+（﹣7）×（﹣3）+12×（﹣3） 【分析】（1）将99变形为（100），然后依据乘法的分配律进行计算即可； （2）逆用乘法的分配律计算即可． 【解答】解：（1）原式＝（100）×（﹣9） ＝﹣900 ＝﹣899． （2）原式＝（﹣5﹣7+12）×（﹣3） ＝0×（﹣3） ＝0． 【例11】用简便方法计算： （1）﹣130.34（﹣13）0.34 （2）（）×（﹣60） 【分析】（1）首先应用乘法交换律，把﹣130.34（﹣13）0.34化成﹣13130.34﹣0.34，然后应用乘法分配律，求出算式的值是多少即可． （2）应用乘法分配律，求出算式（）×（﹣60）的值是多少即可． 【解答】解：（1）﹣130.34（﹣13）0.34 ＝﹣13130.34﹣0.34 ＝﹣13×（）﹣（）×0.34 ＝﹣13×1﹣1×0.34 ＝﹣13﹣0.34 ＝﹣13.34 （2）（）×（﹣60） ＝（）×（﹣60）（﹣60）（﹣60）（﹣60） ＝20+15﹣12+28 ＝51 【例12】计算的值等于（    ） A． B． C．1010 D．1009 【答案】A 【分析】先根据算式找出规律，第1，2两个相加为，第3，4两个数相加为1，第5，6两个数相加为1，依次类推，直到第2017与2018两个数相加，最后还剩，再相加得出结果即可． 【详解】解： ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了有理数加减混合运算，解题的关键是找出规律，准确计算． 【跟踪训练】 1．用较为简便的方法计算下列各题： （1）﹣+﹣； （2）﹣8721+53﹣1279+4； （3）﹣+； （4）． 【分析】（1）根据交换律和结合律可以解答本题； （2）根据交换律和结合律可以解答本题； （3）先去绝对值，再算加法即可； （4）原式利用减法法则变形，再根据交换律和结合律即可解答本题． 【解答】（1）﹣+﹣ ＝ ＝ ＝； （2）﹣8721+53﹣1279+4 ＝（﹣8721﹣1279）+ ＝﹣10000+58 ＝﹣9942； （3）﹣+ ＝﹣|﹣|+|（﹣）+（﹣）| ＝ ＝ ＝﹣ ＝； （4） ＝ ＝ ＝ ＝． 2．计算： （1）25×﹣（﹣25）×+25×（﹣）； （2）． 【分析】（1）先变形，然后根据乘法分配律计算即可； （2）先算乘方和括号内的式子，然后算括号外的乘除法，最后算减法即可． 【解答】解：（1）25×﹣（﹣25）×+25×（﹣） ＝25×+25×﹣25× ＝25×（） ＝25×1 ＝25； （2） ＝﹣1﹣××（2﹣9） ＝﹣1﹣×（﹣7） ＝﹣1+ ＝． 3．计算 （1）； （2）． 【分析】（1）先算乘方和去绝对值，然后算乘除法，最后算加减法即可； （2）把除法转化为乘法，再利用乘法的分配律进行计算即可． 【解答】解：（1） ＝﹣8÷8﹣×（﹣2）+ ＝﹣1+1+1 ＝1； （2） ＝﹣25×+25×﹣25× ＝25×（﹣） ＝25×（﹣1） ＝﹣25． 4．计算：﹣14+（﹣5）×[（﹣2）3+6]﹣（﹣3）2． 【分析】先算乘方，再算乘法，后算加减，有括号先算括号里，即可解答． 【解答】解：﹣14+（﹣5）×[（﹣2）3+6]﹣（﹣3）2 ＝﹣1+（﹣5）×（﹣8+6）﹣9 ＝﹣1+（﹣5）×（﹣2）﹣9 ＝﹣1+10﹣9 ＝9﹣9 ＝0． 5.计算：． 【答案】 【分析】先去括号写成乘法的形式，再约分计算即可. 【详解】 ． 【点睛】本题考查有历史的乘法，根据式子特点，去括号后约分是解题的关键. 6.计算： 【答案】50 【分析】把原式写成，一共有25个，据此计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】题目主要考查有理数的加减运算，找出规律，准确计算是解题关键． 7.计算:． 【答案】 【分析】先计算括号里的值，然后求解计算即可； 【详解】解： 题型5：流程框图中的混合运算 【例13】根据图所示的程序计算，若输入x的值为2，则输出y的值为 　　；若输入x的值为﹣1，则输出y的值为 　　． 【分析】将x＝2和x＝﹣1分别代入，别判断计算结果是否大于0，即可得答案． 【解答】解：输入x的值为2，输出y的值为22×2﹣4＝4×2﹣4＝8﹣4＝4； 若输入x的值为﹣1，（﹣1）2×2﹣4＝﹣2， ∵﹣2＜0， ∴（﹣2）2×2﹣4＝4， ∴输入x的值为﹣1，输出y的值为4， 故答案为：4，4． 【例14】如图是一个数值运算程序，当输入的值为﹣3时，则输出的值为 　 　． 【分析】由题意可得其运算程序为：﹣5x2+2，再把相应的值代入运算即可． 【解答】解：由题意得其运算程序为：﹣5x2+2， 当x＝﹣3时，有： ﹣5×（﹣3）2+2 ＝﹣5×9+2 ＝﹣45+2 ＝﹣43． 故答案为：﹣43． 【跟踪训练】 1.按如图所示的程序进行计算，如果把第一次输入的数是18；而结果不大于100时，就把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求为止，则最后输出的结果为（　　） A．72 B．144 C．288 D．576 【分析】把18输入程序中计算，依此类推，结果大于100输出即可． 【解答】解：把18输入得：18×||÷[﹣（）2] ＝18（） ＝﹣36＜100， 把﹣36输入得：﹣36×||÷[﹣（）2] ＝﹣36（） ＝72＜100， 把72输入得：72×||÷[﹣（）2] ＝72（） ＝﹣144＜100， 把﹣144输入得：﹣144×||÷[﹣（）2] ＝﹣144（） ＝288＞100， 则输出的数字为288． 故选：C． 2.按如图所示的运算程序，能使运算输出的结果为2的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据含乘方的有理数混合运算法则，逐一计算各个选项的值，即可得到答案． 【解析】解：A、时，选择“否”计算，，本选项符合题意； B、，时，选择“是”计算，，本选项不符合题意； C、，时，选择“否”计算，，本选项不符合题意； D、，时，选择“是”计算，，本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查程序流程图，涉及到有理数的混合运算，理解程序图的运算规则，列出算式，根据有理数的混合运算法则，进行计算，是解题的关键． 3．计算机编程语言是指用于人与计算机之间通信的语言，是人与计算机之间传递信息的媒介，因为它是用来进行程序设计的，所以又称程序设计语言或者编程语言，如图所示的运算程序中，如果结果不大于10，就把结果作为输入的数再进行第二次计算，直到符合要求（结果大于10）为止当输出的数为11时，输入的数字不可能是（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】分别求出当，，，4时，输出的结果，即可得出答案． 【解析】解：A．把代入得：， ， ， ∴当时，输出结果是11，故A不符合题意； B．把代入得：， ， ∴当时，输出结果是11，故B不符合题意； C．把代入得：， ∴当时，输出结果是11，故C不符合题意； D．把代入得：， ， ∴当时，输出结果是15，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，解题的关键是理解题意，准确计算． 题型6：新定义题 【例15】如果对于任何有理数，定义运算“”如下，如．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照规定的运算方法把式子改为有理数的混合运算计算得出结果即可． 【详解】解： ． 故选：C． 【例16】现规定一种新运算“*”：，例如：，试求 (1)的值． (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据新定义运算可得，再计算即可； （2）根据新定义的运算法则从左至右的进行计算即可． 【解析】（1）解：∵， ∴； （2）∵， ∴． 【点睛】本题考查的是新定义运算，含乘方的有理数的混合运算，掌握运算法则和运算顺序是解本题的关键． 【例17】[概念学习] 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作aⓒ，读作“a的圈c次方”． （1）[初步探究]直接写出计算结果：3③＝　　；（）⑤＝　　； （2）关于除方，下列说法错误的是 　　； A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．对于任何正整数n，1ⓝ＝1； C.3④＝4③； D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． （3）[深入思考]我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ Ⅰ．试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式，（﹣3）④＝　　；5⑥＝　　． Ⅱ．想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于aⓝ＝　　； Ⅲ．算一算：（）④+（﹣2）⑤﹣（）⑥÷33． 【分析】【概念学习】 （1）分别按公式进行计算即可； （2）根据定义依次判定即可； 【深入思考】 （3）Ⅰ．把除法化为乘法，第一个数不变，从第二个数开始依次变为倒数，由此分别得出结果； Ⅱ．结果前两个数相除为1，第三个数及后面的数变为，则aⓝ＝a×（）n﹣1； Ⅲ．将第二问的规律代入计算，注意运算顺序． 【解答】解：【概念学习】 （1）3③＝3÷3÷3， （）⑤＝（）÷（）÷（）÷（）÷（）＝﹣8． 故答案为：，﹣8； （2）A、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1；所以选项A正确； B、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n，1ⓝ都等于1；所以选项B正确； C、3④＝3÷3÷3÷3，4③＝4÷4÷4，则 3④≠4③；所以选项C错误； D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D正确； 本题选择说法错误的，故选C； （3）【深入思考】 Ⅰ．（﹣3）④＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝（）2； 5⑥＝5÷5÷5÷5÷5÷5＝（）4； 故答案为：（）2；（ ）4； Ⅱ．aⓝ＝（）n﹣2； 故答案为：（）n﹣2； Ⅲ．（）④+（﹣2）⑤﹣（）⑥÷33． ＝（﹣3）2+（﹣2）3﹣（﹣3）4÷33 ＝9+（﹣8）﹣81÷27 ＝1﹣3 ＝﹣2． 【跟踪训练】 1．对于有理数a，b，定义运算“*”：a*b＝a2﹣ab，例如：4*2＝42﹣4×2＝8，则（﹣3）*（﹣2）＝　　． 【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果． 【解答】解：根据题中的新定义得： （﹣3）*（﹣2） ＝（﹣3）2﹣（﹣3）×（﹣2） ＝9﹣6 ＝3． 故答案为：3． 2．定义一种新的运算：，如：，则______． 【答案】 【分析】先根据新定义计算出，然后再根据新定义计算即可． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 3．对于任意有理数a、b，定义新运算“”，规定，则________． 【答案】 【分析】把相应的值代入，利用有理数的相应的法则进行运算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 4.．对于实数a、b，定义运算“*”，，例如，因为，所以，若，在数轴上对应的点分别到原点的距离相等，且两点间的距离为8，求*的值． 【答案】或32 【分析】根据，在数轴上对应的点分别到原点的距离相等，且两点间的距离为8，求出，，再分两种情况求解即可． 【解析】解：由题意得：，或 ①当，时， ； ②当，时， ． 综上，的值的值为：或32． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 5．概念学习规定：求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作2③，读作“2的圈3次方”， 记作，读作“的圈4次方”，一般地，把 (n个a，)记作，读作“a的圈n次方”． (1)直接写出计算结果： ______，______； (2)将下列运算结果直接写成幂的形式： ______；______； (3)算一算：． 【答案】(1)， (2)， (3)64 【分析】（1）（2）（3）根据新定义内容列出算式，然后将除法转化为乘法，再根据乘法和乘方的运算法则进行化简计算． 【解析】（1）解：； ， 故答案是：，； （2）解：； ， 故答案是：，； （3）解：． 【点睛】本题属于新定义题型，考查有理数乘除运算法则及对有理数乘方运算的理解，理解新定义内容，掌握有理数乘除法和有理数乘方的运算法则是解题关键． 题型9：综合提升 【例18】课堂上，老师给出1，，，-12四个有理数，借助＋，－，×，÷中的运算符号，引导学生们做如下练习： (1)计算：； (2)对于式子：1□，补全“□”中的运算符号，使运算结果为正整数，并写出运算过程． 【答案】(1)6 (2)“□”中的运算符号是－，过程见解析 【分析】（1）根据有理数的混合运算法则计算即可求解； （2）根据有理数的混合运算法则，再结合运算结果为正整数计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）“□”中的运算符号是－， ∵． ∴运算结果为正整数，符合题意，即“□”中的运算符号为：“−” ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，涉及到非负数、正整数的定义，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算法则． 【例19】团委号召各校组织开展捐赠衣物的“暖冬行动”．某校七年级6个班参加了这次捐赠活动，若每班捐赠衣物以100件为基准，超过的件数用正数表示，不足的件数用负数表示，记录如下： 班级 一班 二班 三班 四班 五班 六班 人数 40 42 45 44 40 39 件数 （1）捐赠衣物最多的班比最少的班多多少件？ （2）该校七年级学生共捐赠多少件衣物？该校七年级学生平均每人捐赠多少件衣物？ 【答案】（1）捐赠衣物最多的班比最少的班多30件；（2）该校七年级学生共捐赠650件衣物，平均每人捐赠2.6件衣物． 【分析】 （1）求出捐赠衣物最多的班额，捐赠衣物最少的班额，然后相减即可； （2）用标准捐赠衣物数加上记录的各班捐赠衣物数的和，然后除以总人数及可求出每人平均捐赠的件数． 【详解】 解：（1）由题意得捐赠衣物最多的是三班，捐赠件数是100+21=121； 捐赠衣物最少的是六班，捐赠件数是100-9=91． 121-91=30． 答：捐赠衣物最多的班比最少的班多30件； （2）18-3+21+14+9-9+6×100=50+600=650（件）， 650÷（40+42+45+44+40+39）=2.6（件） 答：该校七年级学生共捐赠650件衣物，平均每人捐赠2.6件衣物． 【点睛】 此题主要考查了正负数的意义，有理数的加法运算的应用．解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【例20】．“点”游戏规则如下：在一副扑克牌去掉大、小王中取张，根据牌面上的数字进行混合运算每张牌限用一次，使结果为或，其中红色牌代表负数，黑色牌代表正数，，，分别代表，，，例如黑桃，，和红桃，可作如下运算：或等． (1)现在四张牌为黑桃，，和方块，运用上述规则写出三种不同运算方法的算式，使其结果为或 ① ② ③ ． (2)若四张牌分别为黑桃、黑桃、梅花和方块，则如何运算写出一种即可 【答案】(1)①；②；③； (2) 【分析】(1)把数字、、、利用运算符号和括号组成算式，使运算结果为或； (2)把数字、、和利用运算符号和括号组成算式，使运算结果为或即可． 【解析】（1）解：①； ②； ③； 故答案为： ①； ②； ③； （2）． 【点睛】此题考查有理数的混合运算，掌握运算顺序与计算方法是解决问题的关键． 【例21】小刚与小明在玩数字游戏，现有5张写着不同数字的卡片（如图），小刚请小明按要求抽出卡片，完成下列问题： (1)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取?最大值是多少？ (2)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取?最小值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，如何抽取?写出运算式子．（一种即可） 【答案】(1)抽取5和4，20； (2)抽取和5，； (3)见解析． 【分析】（1）根据题意和给出的五张卡片可以解答本题； （2）根据题意和给出的五张卡片可以解答本题； （3）根据题意可以写出相应的算式即可． 【解析】（1）解：由题意可得， 从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，抽取5和4， 最大值是， 即抽取5和4，最大值是20． （2）解：由题意可得， 从中抽取2张卡片，使这两张卡片数相除的商最小，抽取和5， 最小值是， 即抽取和5，最小值是． （3）由题意可得， 解： （答案不唯一）， 即抽取0、、4、即可满足． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算、有理数大小的比较等知识点，掌握有理数的混合运算法则是解答本题的关键． 一、选择题 1．（2024上海嘉烁教育期末）不列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂的运算法则逐项判断即可. 【详解】A. ,错误；B. ,错误； C. ，正确；D. ；故选C.【点睛】 本题考查了幂的运算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键. 2．（2024上宝中学期末）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】A选项先算乘法，再算减法即可求解；B将除法变为乘法，再约分计算；C根据乘方的计算法则计算即可求解；D先算括号里面的减法，再计算除法； 【详解】A、，故选项错误； B、，故选项错误； C、，故选项错误； D、，故选项正确；故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号的，要先计算括号里面的，进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化； 3．（2023华育中学期中）计算：的结果为（     ） A．－5 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】先把除法转化成乘法，再根据有理数的乘法法则即可得出答案． 【详解】解：． 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算，掌握运算的方法、顺序与符号的判定是解决问题的关键． 4．（2023存志中学期中）小明做了下列3道计算题： ①，②，③．其中正确的有（　　　） A．0道 B．1道 C．2道 D．3道 【答案】B 【分析】先计算乘法，再计算减法可判断①；先计算乘方，再计算加减可判断②；先计算括号内的，再计算除法可判断③，进而可得答案． 【详解】解：，故①计算错误； ，故②计算正确； ，故③计算错误； 综上，计算正确的有1道．故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的运算，属于基础题目，熟练掌握运算法则是解题的关键． 5．（2023闵行华二期中）在计算1÷（﹣）时，下列是三位同学的过程．甲：原式＝1÷；乙：原式＝1÷﹣1÷；丙：原式＝1×（3﹣2），则（　　） A．甲正确 B．乙正确 C．丙正确 D．甲、乙、丙均不正确 【分析】根据题目中的式子，通过变形，即可判断甲、乙、丙是否正确． 【解答】解：1÷（﹣）＝1÷（﹣），故甲错误， 1÷（﹣）≠1÷﹣1÷，故乙错误； 1÷（﹣）＝1×（﹣6）≠1×（3﹣2），故丙错误； 故选：D． 6．（2023进华中学期中）现在定义两种新运算，“▲”、“★”，对于任意两个整数，a▲b＝a+b﹣1，a★b＝a×b﹣1，则7★（﹣3▲5）的结果是（ ） A．﹣6 B．48 C．6 D．﹣48 【答案】C 【分析】根据新定义的两种运算按运算顺序进行计算即可． 【详解】解：7★（﹣3▲5）=7★（-3+5-1）=7★1=7×1-1=6．故答案为C． 【点睛】本题主要考查了新定义运算和有理数的四则运算，理解并应用有理数的四则混合运算法则是解答本题的关键． 二、填空题 7．（2024上海闵行区·九年级二模）计算：______． 【答案】-1 【分析】先计算乘方，再计算加法即可． 【详解】，故答案为：-1． 【点睛】本题主要考查有理数的乘方和加法运算，掌握有理数乘方和加法的运算法则是解题的关键． 8．（2024文来中学期末）计算：=____． 【答案】3 【分析】根据有理数的混合运算的运算顺序，先算乘方与除法，再算加减，即可得出结果． 【详解】解：．故答案为：3． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，掌握有理数混合运算的相关运算法则是准确计算的关键． 9．（2024上外附中期末）计算6×（﹣﹣+）＝　　． 【分析】根据乘法分配律计算． 【解答】解：6×（﹣﹣+） ＝﹣6×﹣6×+6× ＝﹣3﹣2+1 ＝﹣4． 故答案为：﹣4． 10．（2023交大二附期末）计算：＝ __________ ； 【答案】． 【分析】有理数的混合运算，先做小括号里的，然后再做括号外面的． 【详解】解：==== 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，掌握运算顺序和运算法则，正确计算是解题关键． 11．（2024延安初级中学期末）现定义两种运算“”“ *”，对于任意两个孩数，，，则的结果是_________． 【答案】90 【分析】首先理解两种运算“⊕”“*”的规定，然后按照混合运算的顺序，有括号的先算括号里面的，本题先算6⊕8，3⊕5，再把它们的结果用“*”计算． 【详解】解：由题意知，（6⊕8）*（3⊕5）=（6+8-1）*（3+5-1）=13*7=13×7-1=90． 故答案为：90． 【点睛】本题考查有理数的混合运算．考查了学生读题做题的能力．理解两种运算“⊕”“*”的规定是解题的关键． 12．（2024宝山实验期末）定义一种新运算：新定义运算，则的结果是______． 【答案】18 【分析】根据新定义的运算法则计算即可求值． 【详解】解：．故答案为：18． 【点睛】本题考查了新定义的运算，理解新定义的运算法则是解题关键． 13．（2024民办兰生月考）刘佳把任意有理数对放进装有计算装置的计算盒，会得到一个新的有理数．例如把放入其中，就会得到．现将有理数对放入其中，得到有理数是______． 【答案】0 【分析】根据计算盒中的运算，把已知数对代入计算即可求出值． 【详解】解：根据题意得：（-2）2+（-3）-1=4-3-1=0．故答案为：0． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 14．（2024闵行区期末）计算（﹣81）÷×÷（﹣4）结果为 　　． 【分析】将除法变为乘法，再约分计算即可求解． 【解答】解：（﹣81）÷×÷（﹣4） ＝（﹣81）×××（﹣） ＝4． 故答案为：4． 15．（2025松江区期中）某商品进价为100元，按进价提高50%后标价，实际销售时给顾客打了八折，卖出这件商品的利润是 ． 【答案】20元 【分析】根据利润=售价-成本价，要先求售价，再求利润． 【解析】解：实际售价为：（1+50%）×100×80%=120（元）， 利润为120-100=20元． 故答案为：20元． 【点睛】此题考查有理混合运算的应用，掌握销售问题中的基本数量关系是解决问题的关键． 16．（2024大同中学阶段练习）你会玩“24点”游戏吗？请将3，4，5，9这四个数（每一个数只能用一次）用仅含有加、减、乘、除及括号进行运算，使其结果等于24．写出你的算式（只写一个即可） ． 【答案】(9+4-5)×3=24 【分析】根据有理数的混合运算即可写出算式． 【解析】依题意可得(9+4-5)×3=24 故答案为：(9+4-5)×3=24． 【点睛】此题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是熟知有理数的混合运算法则． 17．（2024复旦二附期末）在﹣1，2，﹣3，0，5这五个数中，任取两个相除，其中商最小的是　　． 【分析】首先根据有理数大小比较的方法，把所给的五个数从小到大排列；然后根据有理数除法的运算方法，要使任取两个相除，所得的商最小，用最大的数除以绝对值最小的负数即可． 【解答】解：∵﹣3＜﹣1＜0＜2＜5， ∴所给的五个数中，最大的数是5，绝对值最小的负数是﹣1， ∴任取两个相除，其中商最小的是：5÷（﹣1）＝﹣5． 故答案为：﹣5． 18．（2024宝山实验期末）定义两种新运算，观察下列式子： （1），例如，； ； （2）表示不超过的最大整数，例如，；； 根据以上规则，计算_______． 【答案】-1 【分析】分别根据（1）的新定义计算出两个中括号里的值，再根据（2）的新定义表示不超过的最大整数去中括号，即求得最终结果． 【详解】解：根据（1）的新定义，=， =， 根据（2）的新定义表示不超过的最大整数， ，，3+（-4）=-1． 故答案为：-1． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，需要有一定的运算求解能力，熟练掌握运算法则，根据新定义列出式子并求值是解决本题的关键． 3、 解答题 19．（2024上海市静安区实验中学课时练习）计算： （1） （2） 【答案】（1）-52；（2）0 【分析】（1）根据有理数的混合运算，先算乘方、再算乘法、最后算加减逐步计算即可 （2）根据有理数的混合运算，先算乘方、再算乘除、最后算加减逐步计算即可 【详解】（1）原式==-24﹣36+8=﹣52； （2）原式=1×4+(﹣8)÷2=4﹣4=0． 【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解答的关键． 20．（2024上海市静安区实验中学课时练习）计算： （1） （2） （3） （4）； （5） （6）； （7） （8） 【答案】（1）－13；（2）；（3）92；（4）；（5）；（6）；（7）；（8） 【分析】（1）先算乘方再根据减法法则计算即可； （2）根据有理数混合运算的运算顺序及运算法则进行计算即可； （3）根据有理数混合运算的运算顺序及运算法则进行计算即可； （4）根据有理数混合运算的运算顺序及运算法则进行计算即可； （5）根据有理数混合运算的运算顺序及运算法则进行计算即可； （6）逆用乘法分配律进行计算即可； （7）根据有理数混合运算的运算顺序及运算法则进行计算即可； （8）先将小数化为分数，再逆用积的乘方公式进行计算． 【详解】解：（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式； （5）原式 ； （6）原式； （7）原式 ； （8）原式． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算及运算律，积的乘方，熟记运算法则及运算律是解题的关键． 20. 计算 （1）（2023上海市娄山中学单元测试） 【答案】24 【分析】在进行有理数的混合运算时，一是要注意运算顺序，先算高一级的运算，再算低一级的运算，即先乘方，后乘除，再加减．同级运算按从左到右的顺序进行．有括号先算括号内的运算． 【详解】原式=-4-(-27)1+1=-4+27+1=24 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算的顺序（1）先乘方，再乘除，最后加减；（2）同级运算，从左至右进行；（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行. （2）（2023上海普陀区·期中）． 【答案】4 分析：分别计算数的高次幂，求绝对值，再求值. 详解：原式= . 点睛：掌握高次幂，绝对值的求法，认真计算就不会出问题，易错辨析：（-2）2=4，-（-2）2=-4， 22=4，-22=-4. （3）（2023上海普陀区·期中） 【答案】-29 分析：利用乘法分配律，展开分别计算. 详解：原式= (4)（24-25六年级上·上海宝山·期中）计算：． 【答案】1 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，先计算括号内的减法，再计算乘除法，最后计算加法即可得到答案． 【详解】解： ． 21．（2020·浙江其他模拟）计算： （1） （2）（要求简便方法计算） 【答案】（1）-21；（2） 【分析】（1）先进行幂的运算，再算括号里面的，去括号应注意括号前的负号，再算加减． （2）除数和被除数同时乘24可得再算括号里的可得出答案． 【详解】解：（1）原式＝﹣16﹣[-11+1]÷(-2)＝﹣16-5=-21； （2）原式＝＝= 【点睛】本题考查的是有理数的加减、乘除以及乘方的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 22．（2024西南模范中学练习）给出四个数：,2,6，计算“24点”，请列出四个符合要求的不同算式． （可运用加、减、乘、除、乘方运算，可用括号；注意：例如与只是顺序不同，属同一个算式．） 算式1：_________________；算式2_______________；算式3：_________________；算式4_______________； 【答案】 【分析】 由 可得由 可得由 可得由，可得从而可得答案． 【详解】 解：算式1： 算式2： 算式3： 算式4： 故答案为： 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法，注意本题答案不唯一，这是一道开放性的题目，同时考查了学生的逆向思维． 23．（2023位育中学期中）点游戏是一种扑克牌类的益智类游戏，游戏规则是：从一副扑克牌（去掉大小王）中任意抽取张牌，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为或． 例如：抽到的数字为“，，，”，则可列式并计算为：． 如果♥、◆表示正，♠、♣表示负（如“◆”为“”，“♠”为“”），请对下面两组扑克牌按要求进行记数，并按“点”游戏规则对两组数分别进行列式计算，使其运算结果均为或． ① 依次记为：_________________ 列式计算：__________________． ② 依次记为：_________________ 列式计算：_______． 【答案】①，，，；．（答案不唯一，正确即可） ②，，，；．（答案不唯一，正确即可） 【分析】根据♥、◆表示正，♠、♣表示负结合牌的点数即可表示，出各张牌表示的数，根据“点”游戏规则结合有理数的混合运算法则列式即可． 【详解】解：①四张牌依次记为，，，； 列式计算得：（答案不唯一，正确即可）； ②四张牌依次记为，，，； 列式计算得：（答案不唯一，正确即可）． 【点睛】本题考查了新定义问题和有理数的混合运算，理解“点”游戏规则并熟练掌握有理数运算法则是解题关键． 24.（2024复旦二附期末）小聪是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识，脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如5÷5÷5，（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）等，类比有理数的乘方．小聪把5÷5÷5记作f（3，5），（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）记作f（4，﹣2）． （1）直接写出计算结果，f（4，）＝　　，f（5，3）＝　　； （2）关于“有理数的除方”下列说法正确的是 　　．（填序号） ①f（6，3）＝f（3，6）； ②f（2，a）＝1（a≠0）； ③对于任何正整数n，都有f（n，﹣1）＝1； ④对于任何正整数n，都有f（2n，a）＜0（a＜0）． （3）小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式f（n，a）（n为正整数，a≠0，n≥2），要求写出推导过程将结果写成幂的形式；（结果用含a，n的式子表示） （4）请利用（3）问的推导公式计算：f（5，3）×f（4，）×f（5，﹣2）×f（6，）． 【分析】（1）根据题意计算即可； （2）①分别计算f（6，3）和f（3，6）的结果进行比较即可； ②根据题意计算即可判断； ③分为n为偶数和奇数两种情况分别计算即可判断； ④2n为偶数，偶数个a相除，结果应为正； （3）推导f（n，a）（n为正整数，a≠0，n≥2），按照题目中的做法推到即可； （4）按照上题的推导式可以将算式中的每一部分表示出来再计算． 【解答】解：（1）f（4，）4， f（5，3）＝3÷3÷3÷3÷3； 故答案为：4； ． （2）①f（6，3）＝3÷3÷3÷3÷3÷3，f（3，6）＝6÷6÷6， ∴f（6，3）≠f（3，6），故错误； ②f（2，a）＝a÷a＝1（a≠0），故正确； ③对于任何正整数n，当n为奇数时，f（n，﹣1）＝﹣1；当n为偶数时，f（n，﹣1）＝1．故错误； ④对于任何正整数n，2n为偶数，所以都有f（2n，a）＞0，而不是f（2n，a）＜0（a＜0），故错误； 故答案为：②． （3）公式f（n，a）＝a÷a÷a÷a÷…÷a÷a＝1÷（an﹣2）＝（）n﹣2（n为正整数，a≠0，n≥2）． （4）f（5，3）×f（4，）×f（5，﹣2）×f（6，） 9×（）×16 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$