精品解析：湖南岳阳市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

2026年上学期高二年级期末试卷 数 学 本试卷共4页，19道题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、考号和姓名填写在答题卡指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应的标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，只交答题卡． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，可得, 则，其虚部为2. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数图象关于点成中心对称 C. 函数的最小值为 D. 若幂函数在上为减函数，则的值为 【答案】B 【解析】 【详解】函数的定义域为，即，选项A错误； 当时，，又因为函数图象关于点中心对称， 所以函数图象关于点成中心对称，选项B正确； 当时，函数，选项C错误； 因为函数是幂函数，所以，解得或， 当时，幂函数在上为增函数； 当时，幂函数在上为减函数， 所以，选项D错误. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量加法坐标运算可得坐标，然后由向量模的坐标计算方式结合三角函数知识可得答案. 【详解】， 则 . 4. 某班数学建模小组由4名男生和2名女生组成，现在从中任选2名学生参加活动，则选中的2名学生性别相同的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可知，选中的2名学生的性别相同的概率． 5. 已知集合，，则的必要不充分条件可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分集合和讨论求解，先确定的充要条件，再确定其必要不充分条件. 【详解】因为或. 若，则，解得，即A非空； 若，由，此时. 所以的充要条件为：. 对于A，为充要条件，不符合题意； 对于B，成立推不出，但成立，必有，故B符合题意； 对于C，是的充分不必要条件，不符合题意； 对于D，推不出，也推不出，不符合题意. 6. 已知数列是公差为的等差数列，若，，依次构成公比为的等比数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比中项结合是公差为的等差数列，列出方程即可求解． 【详解】由题得，，， 所以， 整理得， 所以，则， 所以． 7. 已知函数的定义域为，且对于任意实数，，都有，若函数在定义域内的最大值为，最小值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得为奇函数，为奇函数，然后由奇函数性质可得答案. 【详解】因对于任意实数，，都有， 令，可得， 再令，则，从而为奇函数. 注意到， 结合为R上奇函数，为R上偶函数， 可得为R上奇函数， 由题可得存在，且为，存在，且为. 又由奇函数性质可得， 从而. 8. 设，分别是椭圆（）的左、右焦点，直线过交椭圆于，两点（点在轴下方），交轴正半轴于点，已知椭圆的离心率，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，设，进而得到，，，再根据余弦定理建立方程求解即可. 【详解】由题意，，即， 由于，，则， 设，则， 在中，，，， 由余弦定理得， 则， 解得，即. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若构成空间的一个基底，则下列不能构成空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【详解】空间基底判定：三个向量不共面才能构成空间基底； 若存在不全为 0 实数使，则三向量共面，不能作为基底， A：因为，系数不全为 0，所以三向量共面，不能构成基底； B：因为，系数全为 1 不全为 0，所以三向量共面，不能构成基底； C：设，整理：， 不共面，解得唯一解，所以三向量不共面，可以构成基底； D：设，整理：， 不共面，解得唯一解，所以三向量不共面，可以构成基底. 10. 已知双曲线：，则（ ） A. 双曲线的实轴长为3 B. 双曲线的焦点到渐近线的距离为1 C. 若直线与的右支有两个公共点，则 D. 存在过点的直线与相交于，，且点为的中点 【答案】BC 【解析】 【分析】由实轴的定义计算可判断A选项；利用点到直线的距离公式可判断B选项；联立方程组后解不等式可判断C选项；设出直线方程，联立后利用韦达定理可判断D选项． 【详解】对于A，由题意可知，，，， 则实轴长，故A错误； 对于B，渐近线方程为，即，焦点为， 则焦点到渐近线距离为，故B正确； 对于C，联立得， 由于直线与的右支有两个公共点，设两交点的横坐标分别为， 则，， ，， 解得，故C正确； 对于D，若存在过点的直线与相交于，且为的中点， 则该直线的斜率必然存在，设直线方程为， 设的横坐标分别为，则， 联立，得， 故，此方程无解， 故不存在过点的直线与相交于，且点为的中点，故D错误． 11. 设，，（）是函数的三个零点，则（ ） A. B. C. 设命题：，，成等差数列，命题：，，成等比数列，则是的充要条件 D. 若，，成等差数列，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】参变分离后构造函数，结合导数研究其单调性后可得A、B；结合等差、等比数列性质与指数运算性质计算可得C、D. 【详解】当时，，显然不满足题意； 当时，，只有1个零点，不满足题意； 当时，由，得， 设，则函数与有3个交点， 而， 令，得或；令，得， 则函数在和上单调递减，在上单调递增， 而，，时，，如下图： 由图可知，，，则，故A正确，B错误； 对于C，由题意得，则， 由于，，成等差数列，则，故，而， 所以，故，，成等比数列， 同理，若，，成等比数列，可得，即， 可得，即可得到，，成等差数列， 所以是的充要条件，故C正确； 对于D，由C知，若，，成等差数列，则，且， 所以，化简得，则， 解得或， 又，则， 即，故，即， 又，故舍去， 所以，则，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 用斜二测画法画水平放置的正方形的直观图，得到一个平行四边形，若该平行四边形的较长的一边长为，则原正方形的面积为____________． 【答案】16 【解析】 【详解】如图，由直观图的斜二测画法知，平行于轴的线段长度不变，平行于轴的线段长度减半. 已知得到的平行四边形较长的一边为4，所以4即为原正方形的边长. 所以面积为. 13. 的展开式中，各项的系数和为____________． 【答案】1 【解析】 【详解】在的展开式中，令,代入即得各项的系数和为. 14. 若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为在上恒成立,然后构造函数，利用单调性，得到，再构造函数，求出最小值即可得解. 【详解】由题意可知,由，变形得， 即等价于，即； 令，因为，所以在上单调递增， 由，可得， 所以，等价于， 令，则， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以，因此，即得， 即实数的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记为等比数列的前项和，已知，，且． （1）求的通项公式； （2）若的各项呈现正负相间的变化规律，求，判断，，是否成等差数列，并说明理由． 【答案】（1）或 （2），，成等差数列，理由如下： 由（1）知，且的各项呈现正负相间的变化规律， 则，即，所以. 因为， 即，所以，，成等差数列． 【解析】 【分析】（1）由求出首项，再通过对用首项公比展开进一步化简求出公比，最后得到通项公式 （2）由题目要求得到公比，再有（1）中的通项公式，求出的通项公式. 再验证的值. 【小问1详解】 设数列的首项为，公比为， 因为，则，可得， 且，则，可知，， 可得，解得， 所以或. 【小问2详解】 略 16. 某新能源汽车公司近年的年销量（单位：万辆）与投入的年研发经费（单位：千万元）如下表所示： （1）根据散点图可以认为与之间存在线性相关关系，请用最小二乘法求出关于的线性回归方程； （2）已知该新能源汽车公司从配件到汽车实现了一体化生产，设为单个零件的加工成本（单位：元），该公司的某配件加工线加工的单个零件尺寸与标准件尺寸的误差，且；引进该公司最新研发的某技术后，加工的单个零件尺寸与标准件尺寸的误差，且．试计算引进技术后，单个零件的加工成本下降了多少元． 附： ①参考公式：，； ②若随机变量服从正态分布，则，． 【答案】（1） （2）8元 【解析】 【分析】（1）由已知数据求出线性回归方程的系数得线性回归方程； （2）根据正态分布的概率公式求得使用新技术前后的成本均值后可得. 【小问1详解】 由表格数据可得，， ， ， 所以，所以 所以，y关于x的线性回归方程为； 【小问2详解】 未使用新技术前，记单个零件的加工成本为，， 所以，，又，即， 所以，所以（元） 使用新技术后，记单个零件的加工成本为，， 所以，，， 即， 所以，所以（元）， （元），所以单个零件加工的成本下降了8元 17. 如图，四棱柱中，平面，平面平面．过，，三点的平面记为，与的交点为，． （1）求的值； （2）若，，二面角的大小为，求四棱柱的体积． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面平行的性质可得，，进而可得，进而可求得的值； （2）作于，连接，根据线面垂直的判定定理与性质确定为二面角的平面角，求得，结合柱体的体积公式计算即可求解.法二：由向作垂线，垂足为，过作，交于，设，，建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，利用向量法可求得，进而可求得四棱柱的体积． 【小问1详解】 因为平面平面， 平面平面， 平面平面 所以，同理可证， 在四棱柱中， 所以，， 所以，所以； 【小问2详解】 法一：因为，，，四点共面，平面即平面， 二面角大小为，即二面角大小为， 作于，连接， 因为平面，平面，所以， 又，，，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以二面角的平面角为， 即，所以， 所以． 所以，，所以， 所以四棱柱的体积． 法二：由向作垂线，垂足为，过作，交于． 所以直线，，两两垂直，以为原点，分别以直线，，为，，轴，建立空间坐标系，如图所示： 设，，，，， 所以四棱柱的体积， ， ，，，， ，， 设平面和平面的法向量分别为，， 易得， ， 取，可得， 设二面角的平面角为 ， 解得； 所以，即四棱柱的体积为. 18. 已知函数（）． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）试讨论函数的极值点个数； （3）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，有两个极值点；当时，无极值点． （3） 【解析】 【分析】（1）由条件求，再由导数的几何意义求切线的斜率，利用点斜式求切线方程并化简； （2）求导，令，分情况讨论方程的根的情况，进而可求得函数的极值点个数； （3）条件可转化为在上恒成立，令，利用导数求得的最小值，由此可得实数的取值范围． 【小问1详解】 若，，，则，， 所以在处的切线方程为：，即． 【小问2详解】 （） 令，． 1）当，即时， ，在单调递增，无极值． 2）当，即①时，对称轴，又因为， 所以当时，，，在单调递增，无极值． ②时，对称轴，解得， 所以当，时，，单调递增； 当时，，单调递减； 此时在处取得极大值，在处取得极小值，两个极值点． 综上，当时，有两个极值点，分别在处取得极大值，在处取得极小值；当时，无极值点． 【小问3详解】 ，分离参数恒成立， 令，则， 又， ，（为的导函数）， 故在单调递增，又因为， 所以当时，单调递减， 当时，单调递增． 所以， 所以，所以实数的取值范围为 19. 已知抛物线：（）的焦点为，设点，，其中，点是抛物线在第一象限的部分曲线上的一个动点，当直线的倾斜角为时，． （1）求的方程； （2）若线段与相交于点（不与点重合），过点作轴的垂线，交于点（位于第四象限），求证：，，三点共线； （3）在条件（2）下，已知，直线交轴于点，若以点为圆心，点到轴的距离为半径的圆与一条经过点的直线交于，两点，求的最小值． 【答案】（1） （2）设（），则直线的方程为， 又，消元后，得， 由韦达定理，，解得，则 依题意，点与点关于轴对称，则可得， 于是可得，而, 即，故A，D，B三点共线； （3） 【解析】 【分析】(1)利用抛物线的焦半径公式和直线斜率建立方程，求解参数. (2)参数化点的坐标，求出相关点的坐标，利用斜率相等证明三点共线. (3)利用基本不等式求和的最小值. 【小问1详解】 过点作轴的垂线，垂足为， 由，,得， 所以 又由， ，解得， 所以C的方程为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可得， 所以，， ， ， 设点到直线的距离为，则， 又， 当直线与垂直时，取得最小值 此时，则 ， 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期高二年级期末试卷 数 学 本试卷共4页，19道题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、考号和姓名填写在答题卡指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应的标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，只交答题卡． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数图象关于点成中心对称 C. 函数的最小值为 D. 若幂函数在上为减函数，则的值为 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. 某班数学建模小组由4名男生和2名女生组成，现在从中任选2名学生参加活动，则选中的2名学生性别相同的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 已知集合，，则的必要不充分条件可能是（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列是公差为的等差数列，若，，依次构成公比为的等比数列，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，且对于任意实数，，都有，若函数在定义域内的最大值为，最小值为，则（ ） A. B. C. D. 8. 设，分别是椭圆（）的左、右焦点，直线过交椭圆于，两点（点在轴下方），交轴正半轴于点，已知椭圆的离心率，且，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若构成空间的一个基底，则下列不能构成空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知双曲线：，则（ ） A. 双曲线的实轴长为3 B. 双曲线的焦点到渐近线的距离为1 C. 若直线与的右支有两个公共点，则 D. 存在过点的直线与相交于，，且点为的中点 11. 设，，（）是函数的三个零点，则（ ） A. B. C. 设命题：，，成等差数列，命题：，，成等比数列，则是的充要条件 D. 若，，成等差数列，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 用斜二测画法画水平放置的正方形的直观图，得到一个平行四边形，若该平行四边形的较长的一边长为，则原正方形的面积为____________． 13. 的展开式中，各项的系数和为____________． 14. 若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值是____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记为等比数列的前项和，已知，，且． （1）求的通项公式； （2）若的各项呈现正负相间的变化规律，求，判断，，是否成等差数列，并说明理由． 16. 某新能源汽车公司近年的年销量（单位：万辆）与投入的年研发经费（单位：千万元）如下表所示： （1）根据散点图可以认为与之间存在线性相关关系，请用最小二乘法求出关于的线性回归方程； （2）已知该新能源汽车公司从配件到汽车实现了一体化生产，设为单个零件的加工成本（单位：元），该公司的某配件加工线加工的单个零件尺寸与标准件尺寸的误差，且；引进该公司最新研发的某技术后，加工的单个零件尺寸与标准件尺寸的误差，且．试计算引进技术后，单个零件的加工成本下降了多少元． 附： ①参考公式：，； ②若随机变量服从正态分布，则，． 17. 如图，四棱柱中，平面，平面平面．过，，三点的平面记为，与的交点为，． （1）求的值； （2）若，，二面角的大小为，求四棱柱的体积． 18. 已知函数（）． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）试讨论函数的极值点个数； （3）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知抛物线：（）的焦点为，设点，，其中，点是抛物线在第一象限的部分曲线上的一个动点，当直线的倾斜角为时，． （1）求的方程； （2）若线段与相交于点（不与点重合），过点作轴的垂线，交于点（位于第四象限），求证：，，三点共线； （3）在条件（2）下，已知，直线交轴于点，若以点为圆心，点到轴的距离为半径的圆与一条经过点的直线交于，两点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $