湖南省岳阳市2024-2025学年高二下学期期末教学质量监测数学试题

高二数学试卷 第 1页 （共 4页） 岳阳市 2025年高二教学质量监测 数 学 本试卷共 4页，19道题，满分 150分，考试用时 120分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、考号和姓名填写在答题卡指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡对应的标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改 动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，只交答题卡． 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1.已知集合 1 | 0 1 x A x x       ，  0,1, 2,3B  ，则A B  A.{0} B.{2,3} C.{1,2} D.{1,2,3} 2.若复数 z满足(1+z) (1+i)=−1，则 z所在象限为 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知等差数列 na ， 2 3 5 8 53, 10, 2    则a a a a a A. 3 B.3 C.4 D. 4 4.已知向量 a = (1, 3),向量 b = ( 2,1),则向量 a在向量 a +b上的投影向量的模为 A. 5 5 B. 11 17 17 C. 11 5 5 D. 17 17 5. 3 sin( ) , sin( 2 ) 6 5 6      若 则 A. 7 25 B. 7 25  C. 6 25 D. 6 25  6.设随机变量 X服从正态分布 N（30，62），Y服从正态分布 N（34，22），下列说法中 错误．．的是 A. (24 36) (32 36)    P X P Y B. ( 34) ( 34)P X P Y   C. ( 24) ( 24)P X P Y   D. ( 38) ( 38)P X P Y   姓 名 准考证号  高二数学试卷 第 2页 （共 4页） 7.已知直线 l与抛物线 y2=4x交于 A，B两点，且满足 AB = 3，AFB = 120 , 则线段 AB 中点到 y轴距离的最大值为 A. 3 B. 3 1 C.2 D.1 8.如图，E，F，G，H是边长为 4的正方形纸片的各边中点，将纸片沿虚线剪开，折成一 个正四棱锥 P− ABCD（E，F，G，H 四点重合于点 P）,则此正四棱锥体积最大时,底面正 方形 ABCD的边长为 A. 2 B. 9 5 C. 8 5 D.1 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9.下列说法正确的是 A.数据 7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第 70百分位数为 16 B.已知随机变量 X~B（n,p），若 E（X）=36，D（X）=9，则 n=48 C.在经验回归方程 ˆ= 0.8 2.3 y x 中，解释变量 x每增加 1个单位时，预测值 ŷ减少 1.5 个单位 D.已知随机事件 A，B，若   8.0AP ，   6.0| ABP ，   1.0| ABP ，则   55.0BP 10.若函数 y = f(x)在区间［a，b］上连续，称 dxxf b a )( 为函数 y = f(x)在区间［a，b］上的定 积分.定积分的计算可以利用牛顿―莱布尼兹公式： ),()(|)()( aFbFxFdxxf ba b a  其中 F´(x)=f(x). 又 dxxf b a )( 的几何意义是函数 y = f(x)的图象和直线 x=a，x=b及 x轴所围成的图形的有向面 积（上方为正，下方为负），如图， 2 3 11 2 1 22 2 12 1  xdx .下列说法正确的是 A. 2 0 (2 +1)   a x dx a a B. 2 2 2 0 2 a a x dx a    C. 2 1 ( ) 0 2 1 x a xa dx     D.若过函数 2( ) ( 0)f x x x  上一点作切线，该切线与函数 ( )y f x 的曲线及 轴围成的 图形面积为 1 12 , 则此切线方程为：y=2x-1 高二数学试卷 第 3页 （共 4页） 11.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 4，点 P为正方形 ABCD（包括边界）内的一个动 点，Q为 CC1的中点，M为四边形 A1B1C1D1的中心，下列结论正确的是 A.若 6 PBPA ，则点 P的轨迹是椭圆的一部分 B. 1 2 13 的最小值为PD PQ C. 6 2PA PB PD  的最小值为 D. 17 , 2 5 4 若 则△ 周长的最小值为MP ABP 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 12. 5 2 1 3（ ）（1+ ）的展开式中 的系数是x x x ． 13.已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在 x轴上，其渐近线方程为 3 y x，则此双曲线 的离心率 e= ． 14. 22 1 ln ln , 3 0 , 2      已知 若不等式 恒成立x y y x y y e x x a x 则实数 a的取值范 围是 （用区间表示）. 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）记△ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c.已知 BcCbAa cos 2 1 cos 2 1 cos  . （1）求 A； （2） 7,若a AM是∠BAC的角平分线，AM= 6 3 , 5 求△ABC的周长. 16.（15分）在临床上，EB 病毒的感染十分常见.假设某人感染 EB 病毒的概率为 3 1 .若感 染 EB病毒，检测结果呈阳性的概率为 10 9 ；若未感染 EB病毒，检测结果呈阴性的概率为 20 19 .检测结果相互独立. （1）求某人 EB病毒检测结果呈阴性的概率； （2）现有 4人参加此项 EB病毒检测，用 X， 分别表示这 4 个人中 EB病毒检测结果呈 阳性和阴性的人数，记 ，求随机变量 Z的分布列及均值.|| YXZ  Y 高二数学试卷 第 4页 （共 4页） 17.（15分）如图，三棱柱 ABC-A1B1C1中，P，M，D分别为 AC，A1B和 A1B1的中点，N 在 C1D上，且 C1N=2ND. （1）证明：MN // 平面 BC1P； （2）若四边形 BCC1B1是边长为 4的菱形，∠CBB1=60°,AC⊥平面 BCC1B1，AC=2，求直 线 BN与平面 BC1P所成角的正弦值． 18.（17分）已知函数 .,1ln)( Raax x a xf  （1）若 2a ，求曲线 )(xfy  在点 ))1(,1( f 处的切线方程； （2）当 x≥1时，f(x)>0恒成立，求正整数 a的最大值； （3）证明： *21 62)12ln()12ln()12ln( Nnnn  ， . 19.（17分）已知椭圆 E: 2 2 2 2 1( 0) x y a b a b     ，我们称圆心在原点,半径为 2 2+a b 的圆 为椭圆 E的“准圆”．若椭圆 E的离心率为 1 2 ，E上的点到它的焦点的最大距离为 3. （1）求椭圆 E的方程及椭圆 E的“准圆”方程； （2）已知点 P是椭圆 E的“准圆”上的动点，过点 P作椭圆的两条切线 1 2,l l ，证明：1 2l l ； （3）过椭圆 E的上顶点 T作⊙C： 222)3( ryx  的两条切线，与椭圆分别交于 A， B两点．问：是否存在⊙C，使得直线 AB与之相切，若存在，求出⊙C的方程；若不存在， 请说明理由． 岳阳市2025年高二教学质量监测 数学参考答案及评分细则 一、 单选题 题号 1 2 3 4 5 6 6 答案 B A B A B C 二、多选题 题号 9 10 11 答案 AB ACD ABD 三、填空题 12.-180 13.√10 4(m号 四、解答题 15[答案灯：听 2)5+V7 解析： (1)2sin A cosA gin B cos C sin C cos B sin(B+C)=ain A............3 1 、8nA≠0o8A三=2A= …5分 3 (2)等面积法： besinsin 2 2 →bcx5= 22 (b+c)× 6V31 52 →bc-66+d …8分 a2=7=b2+c-2bc cos A=b2+c-bc, …10分 综合可得6+e-改6+-6+小7 5b+c}2-18(b+c)-35=0, b+一减-名（舍去） …12分 .4ABC的周长为5+VF …13分 16答刻：四 ②分布列略，(Z)=14s 81 解析：(1)设某人感染B病毒为事件A,某人B病毒检测结果呈阴性为事件R则： 1 1010P8a=19 依题意有：P(BA1-9-1 0 …2分 P(B)=P(AB)+P(AB)=1x-9)+2x1920_2 )+一 -5分 110320303 ( 法由)可知，画=1-P阁=1号 所以X~B4,3 X=0,Y=4或X=4,Y=0时，Z=X-1=4, X=1,Y=3或X=3,Y=1时，Z=X-=2, X=2,Y=2时，Z=X-1=0, ..7分 后面同法二 法二因为X=0,1,2,3,4,又x+Y=4,所以z=X-1=2x-4=0,2,4x+y=4,…7分 设“这4个人中有k人EB病毒检测结果呈阴性”为事件A(k=0,1,2,3,4) 由于4与4互斥，A与4互斥，故 …….8分 Pz-=pa)+pa)=c+c号9 .10分 P2=0=PA)+pa)-c6+c- ....12分 Z 2 8 40 17 27 81 81 所以B(②=0 *2x40 17148 27 +4 .15分 81 8181 17.[答案]：(1)略 2,3v385 385 试题来源：教材选择性必修一P4丝T16题 解析：(1)证明： D为AB中点，且C,N=2NWD,所以N为△4BC的重心. 连B,W延长交4，C,于点E,E为4，C中点，P为4C中点，1分 则APIIEC,且AP=EC 所以APC,E为平行四边形，有AE∥PC 又AE文平面BCP,PCC平面BC,P ∴.AE∥平面BC,P 3分 同理PEBB为平行四边形，有B,E∥BP 又B,EL平面BCP,BPC平面BC,P ∴.BE∥平面BC,P 5分 AEB E=E, .平面AEB,∥平面BCP, 又MNc平面AEB, .∴N/平面BCP. .7分 E (2):AC1面BCC,B,如图以C为原点，BB,的中垂线为轴，CC,所在直线为轴， CA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， B(2N5,-2,0),C,(0,4,0),P(0,0,1),A(0,0,2),A(0,4,2),B.(2W5,2,0) 则DW5.,3.又Dm=}DC-}5.l,-0 两-丽+m-叶5-(5争 .9分 设面BCP的法向量为1=(x,y,z),BC=(-2V5,6,0)nP℃=(0,4，-1) m-BC=0 mP℃=0 三m=(5,149 .12分 45,1625,10 cos<BN,m> 3’3 3 4 3V385 14分 2V77 25 385 3 直线BW与面BC,P所成角的正弦值为3W385 …15分 385 3 18.[答案]：()x+y-2=0 (2a的最大正整数为3(3)略 解析： 0当a=2时，f)2+nx-1)月切点为(1四 …分 f是学0一 …3分 f(x)的图象在点1，f1)处的切线方程为：y-1=(x-1)即x+y20.…4分 (2r≥1时，f()=-a r 当a>1时， .xE[L,a),f(x)<0;xE(a,+oo),f(>0 “f(x)在x=时，只要f(xnn=f八d=ha+2-a>0, …6分 令g(x)=hx+2-x,其中x>1, g)1<0 ∴.g(x)在1，+∞)单调递减， 又g(3)=n3-1>0,g(4)=n4-2=21n2-2<0, ·存在x。∈(3,4)，使得g(x)0, ∴只要1<a<,f(x)>0恒成立，的最大正整数为3. …9分 当a≤1时， 了(”2，八在定义域内单调递增。 ∴f(x)≥f(1)=1>0恒成立. 综上，a的最大正整数为3. 10分 6(2)可知，x≥1时，3+血x-2>0恒成立. →nx>2-3 …11分 又.n≥1时，(2-1)-2-1-2-1-1≥0 令x=2-1由有2-0>2322-3 2-11 21 ……14分 h(2-0+h(2-0++h(2-1)>2n-3(2+ 11 1、1 即he-D+h2-D++hn(2-)>2m-3x子=2n-60->2r-6l7分 11 2 19省案刻：0号+号=l7@8)oCx-r+护=51丽 3 解析 (1)椭圆E的方程： +上 =1, …3分 43 椭圆E的“准圆”的方程：x2+y2=7 …4分 (2)(i) 证明：设过P点的直线分别与椭圆切于点M,N,当两切线，，一条斜率不存在时，可得 P(a,b),则过P点的另一条切线与x轴平行，I⊥ …5分 当两切线，斜率均存在时，设P(xy), 设过点P的一条切线为：y-y。=k(r-x) y-yo=k(x-xo) →(4k2+3)x2-8k(。-y)x+4(。-y)2-12=0 △=642(x。-)2-16(4k2+3)[(-%)2-3] -(2-4)k2-2xyk+y2-3=0 7分 。子又因为，- 6-63 63 =-1, x,2-4x2-4 .414 …9分 (ii) 设A,yB,以设y=当二5x+5g-Vx-yV5x=0 直线1，与⊙C相切，有圆心C到直线1，的距离为 50-⑤)+V3x V-3)2+x2 3x+0y-V3)=r2s2+0-V3y] →(3-r2)x2+6y-V5)x+3-20-V5)32=0() ……10分 又子+号=1口-号0-州 …11分 43 上式(*)变为 含0-r8-0+60-+6-rX=0 →-30++6s+6-r0x-6=0 6g写w+2y5g-到-0 →18.x+(r2-3)y+7W5(r2-3)=0 …12分 同理：由直线与⊙C相切可得， 18x,+(r2-3)y,+75(r2-3)=0 .1a:18x+(r2-3)y+7N5(r2-3)=0 14分 设直线1，与⊙C相切，则圆心C到直线，的距离为： 85+7r-列r V182+(2-3) 令r2-3=t, 有318+702=(t+3)182+t2) 3182+14×18+49r)=182t++3×182+3t 产-48×31-18×24=0 t=72-12V39或t=72+12V39(舍 2=1+3=75-12√39 所以存在⊙C:(x-√5)2+y2=75-1239,使得直线AB与之相切. …17分 6