第09讲 十字相乘与分组分解（暑假预习讲义，3题型突破+过关检测）新七年级数学新教材沪教版五四制

第09讲 十字相乘与分组分解 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1十字相乘法 题型2 分组分解法 题型3因式分解的应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 十字相乘法 二次三项式、十字交叉线、常数项拆分、一次项系数和、首一二次三项式、首项系数不为1、整体换元、参数求值、符号匹配、分解彻底 分组分解法 四项多项式、五项多项式、六项多项式、两两分组、三一分组、组间公因式、先公式再平方差、添拆项、综合分解、因式分解三步法（一提二套三十字/分组） 基础目标（必会） 1. 理解十字相乘法、分组分解法的原理，知道二者均是整式乘法的逆向变形。 2. 熟练分解首项系数为1的二次三项式 ，掌握常数项正负拆分规则。 3. 掌握四项多项式两种分组思路：两两分组（提取组间公因式）、三一分组（完全平方+平方差）。 4. 牢记因式分解规范：先提公因式，再套公式，最后十字/分组，结果分解至整式不可再分。 提升目标（重点） 1. 会处理含字母系数、二元二次三项式的十字相乘；会用整体换元法分解复合二次三项式。 2. 能对五项、六项多项式合理分组，掌握添项、拆项辅助分组的简单技巧。 3. 综合运用提公因式、公式、十字、分组四种方法分解复杂多项式。 1. 培养逆向思维、符号观察能力，精准判断多项式结构匹配对应分解方法。 2. 规范书写分解步骤，规避符号、漏分解、分解不彻底等典型错误。 3. 会利用十字相乘求参数、化简求值、简便运算。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法 x2 ab x a x b ax + bx = ( a + b) x 知识点02 分组分解法 1.分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 2.【方法规律】分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 3.添、拆项法 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 【方法总结】两类考法： ① 两两分组，组内提公因式后整体再提公因式； ② 三一分组，先完全平方，再平方差分解。 知识点03因式分解的一般步骤 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解． （4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 题型1 十字相乘法 【例1】．（23-24七年级上·上海普陀·期中）已知多项式，分解后有一个因式为，那么k的值可以是（    ） A．5； B．； C．7； D．． 【例2】．多项式分解因式为，其中，，为整数，则的取值有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【例3】．（25-26七年级上·上海杨浦·期末）因式分解：_____． 【例4】．（25-26七年级上·上海崇明·期中）分解因式： 【例5】．（25-26七年级上·上海·期末）因式分解： 【技巧归纳】 1.先观察多项式，提取全部公因式，首项为负先提负号 2.判断二次三项式类型（系数为1/不为1） 3.试拆常数项，交叉验算匹配一次项系数 4.整体换元题型，先换元分解，再还原原式 5.展开验算，确保无剩余因式、分解彻底 【变式1-1】．（2025七年级上·上海·专题练习）数学课上老师出了一道因式分解的思考题，题意是能在有理数的范围内因式分解，则整数m的值有几个．小军和小华为此争论不休，请你判断整数m的值有几个？（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【变式1-2】．（25-26七年级上·上海松江·期末）若关于的整式可以在有理数范围内因式分解，则整数的值是_____． 【变式1-3】．（25-26七年级上·上海·期中）若取图中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，则的值为_______． 【变式1-4】．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段检测）分解因式： 【变式1-5】．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 题型2 分组分解法 【例6】．用分组分解的因式，分组正确的是（　　） A． B． C． D． 【例7】．（22-23七年级上·上海宝山·期中）分解因式：___________． 【例8】．（25-26七年级上·上海金山·阶段检测）因式分解：________． 【例9】．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）因式分解：． 【技巧归纳】 1.四项式优先试2+2分组，无法分解再换3+1分组 2.式子含平方项，优先凑平方差、完全平方公式 3.先局部分解，再整体提取公因式 4.可自由调整多项式项的顺序，方便凑公式、凑公因式 5.全程注意符号变化，杜绝括号变号错误 【变式2-1】．把分解因式，正确的分组为（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】．（25-26七年级上·上海宝山·期中）因式分解：______． 【变式2-3】．（25-26七年级上·上海虹口·期末）因式分解： 【变式2-4】．（25-26七年级上·上海·阶段检测）阅读：分解因式． 解：原式 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为“配方法”，此题为用配方法分解因式． 请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题： 分解因式： (1)； (2)． 题型3 因式分解的应用 【例10】（25-26七年级上·上海浦东新·阶段检测）若分解因式有一个因式是，则另一个因式是（    ） A． B． C． D． 【例11】．（25-26七年级上·上海松江·期中）已知一个长方形公园的面积为，若长方形公园的长为，则宽为__________． 【例12】．（25-26七年级上·上海·期中）若，，，，则，，的大小关系是________．（用“”号连接） 【例13】．（25-26七年级上·上海普陀·阶段检测）已知a、b为整数，可以分解成三个一次因式的乘积，其中的两个因式为和，求的值．（待定系数法） 【例14】．（25-26七年级上·上海普陀·期中）如果一个整数能表示成（是整数）的形式，那么称这个数为“完全数”．例如，，那么10是“完全数”．再如，（是整数），所以M也是“完全数”． (1)请你再写一个小于10的“完全数”：______； (2)请判断是整数是否是“完全数”，并说明理由； (3)已知（是整数，k是常数），如果S是“完全数”，求k的值； (4)如果整数m，n都是“完全数”，试说明：也是“完全数”． 【变式3-1】（25-26七年级上·上海·期中）数学服务于生活，灵活运用数学知识解决生活中的问题是需要倡导的重要理念．在日常生活中如取款上网等都需要有密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理：如多项式因式分解的结果为，当，时，各因式的值是，，，于是密码就可以为018162，也可以是180162，对于多项式，取，时，密码不可能为（   ） A．124824 B．241248 C．122448 D．482124 【变式3-2】．（25-26七年级上·上海金山·期中）一个四位正整数，其各个位上数字均不相同且不为零．若其千位数字是十位数字的整数倍，百位数字是个位数字的整数倍，那么称这个四位正整数叫“间倍数”，例如满足，，则是“间倍数”．已知“间倍数”，且均为整数，若无论两位数是什么数，“间倍数”都能被整除，且，“间倍数”为______． 【变式3-3】．（25-26七年级上·上海·课后作业）[类比思想]利用我们学过的知识，可以导出下面这个等式： ． 该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美． (1)请你展开右边检验这个等式的正确性； (2)利用上面的式子计算：． 【变式3-4】．（25-26七年级上·上海徐汇·期中）阅读：分解因式． 解：原式 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为“配方法”，此题为用配方法分解因式，请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题： 因式分解： (1)； (2) 【变式3-5】．（25-26七年级上·上海宝山·期末）【阅读理解】 如果一个正整数能表示成（是正整数）的形式，那么称这个正整数为“方差数”． 小明采用举例的方式，有序地列出了一些“方差数”，想从中寻找规律： ， ，， ，，， 小杰采用不同的方法，找到一类“方差数”，试图发现“方差数”更本质的特征： 设为正整数且，因为， 所以这样的数都是“方差数”，即所有奇数（1除外）都是“方差数”． 【尝试运用】 （1）填空：①16______“方差数”（填“是”或“不是”）； ②因为（____）（____），所以2025是“方差数”； （2）已知（是正整数且，是常数），请写出的值，使得不论取何值，都是“方差数”，并说明理由； 【深入探究】 （3）你能像小杰一样找到一类“方差数”吗？如果能，试描述你找到的这类“方差数”的特征，并说明理由； （4）请写出40到50之间的所有“方差数”（不包含40和50）． 一、单选题 1．下列分解因式错误的是（    ） A． B． C． D． 2．已知是因式分解的结果，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．多项式分解因式为，其中a，m，n为整数，则a的取值有（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．无数个 4．若，且a、b、k均为整数，则k的值不可能是（　　） A．6 B．7 C．8 D．． 5．用分组分解法将分解因式，下列分组不恰当的是（　　） A． B． C． D． 6．已知a，b为正整数，满足，则的最大值为（    ） A．28 B．43 C．76 D．78 二、填空题 7．因式分解：_______． 8．因式分解：________． 9．分解因式： ___________． 10．因式分解：______． 11．因式分解：______． 12．因式分解：________． 13．分解因式：______． 14．已知，则_____． 15．因式分解：___________． 16．因式分解：______． 17．已知，则代数式的值为_____． 18．已知 ，，，则多项式的值为________． 三、解答题 19．因式分解：． 20．因式分解： 21．因式分解 (1)． (2)． 22．因式分解： (1) (2) 23．因式分解： (1)； (2)． 24．因式分解： (1)； (2)； (3)． 25．已知关于的整式（其中为常数项）可以写成两个因式的积，其中一个是，求另外一个因式． 26．若一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数，类似地，多项式及称作完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式； 例如：求代数式的最小值． 原式．可知当时，有最小值，最小值是． (1)用配方法分解因式：； (2)当为何值时，代数式有最大值，并求出这个最大值． (3)求使得是完全平方数的所有整数的积(直接写出答案)． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 十字相乘与分组分解 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1十字相乘法 题型2 分组分解法 题型3因式分解的应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 十字相乘法 二次三项式、十字交叉线、常数项拆分、一次项系数和、首一二次三项式、首项系数不为1、整体换元、参数求值、符号匹配、分解彻底 分组分解法 四项多项式、五项多项式、六项多项式、两两分组、三一分组、组间公因式、先公式再平方差、添拆项、综合分解、因式分解三步法（一提二套三十字/分组） 基础目标（必会） 1. 理解十字相乘法、分组分解法的原理，知道二者均是整式乘法的逆向变形。 2. 熟练分解首项系数为1的二次三项式 ，掌握常数项正负拆分规则。 3. 掌握四项多项式两种分组思路：两两分组（提取组间公因式）、三一分组（完全平方+平方差）。 4. 牢记因式分解规范：先提公因式，再套公式，最后十字/分组，结果分解至整式不可再分。 提升目标（重点） 1. 会处理含字母系数、二元二次三项式的十字相乘；会用整体换元法分解复合二次三项式。 2. 能对五项、六项多项式合理分组，掌握添项、拆项辅助分组的简单技巧。 3. 综合运用提公因式、公式、十字、分组四种方法分解复杂多项式。 1. 培养逆向思维、符号观察能力，精准判断多项式结构匹配对应分解方法。 2. 规范书写分解步骤，规避符号、漏分解、分解不彻底等典型错误。 3. 会利用十字相乘求参数、化简求值、简便运算。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法 x2 ab x a x b ax + bx = ( a + b) x 知识点02 分组分解法 1.分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 2.【方法规律】分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 3.添、拆项法 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 【方法总结】两类考法： ① 两两分组，组内提公因式后整体再提公因式； ② 三一分组，先完全平方，再平方差分解。 知识点03因式分解的一般步骤 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解． （4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 题型1 十字相乘法 【例1】．（23-24七年级上·上海普陀·期中）已知多项式，分解后有一个因式为，那么k的值可以是（    ） A．5； B．； C．7； D．． 【答案】D 【知识点】十字相乘法 【分析】根据题意直接利用十字相乘法，进行分析判断即可． 【详解】解：∵多项式因式分解后有一个因式为， ∴另一个因式是， 即， ∴k的值为． 故选：D． 【点睛】本题考查利用十字乘法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 【例2】．多项式分解因式为，其中，，为整数，则的取值有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【知识点】十字相乘法 【分析】把12分解为两个整数的积的形式，a等于这两个整数的和． 【详解】解：时，； 时，； 时，； 时，； 时，； 时，； ∴的取值有个． 故选：D． 【点睛】本题考查了用十字相乘法进行因式分解．能够得出m、n之积为12，m、n之和为a是解题的关键． 【例3】．（25-26七年级上·上海杨浦·期末）因式分解：_____． 【答案】 【知识点】十字相乘法 【分析】此题主要考查因式分解．本题为二次三项式的因式分解，通过寻找两个数满足和为、积为，进而分解. 【详解】解：， 故答案为：． 【例4】．（25-26七年级上·上海崇明·期中）分解因式： 【答案】 【知识点】十字相乘法 【分析】本题主要考查了用十字相乘法分解因式，十字相乘法分解因式就是把三项式的两个平方项分别分解成两个单项式的乘积，单项式交叉相乘的和等于中间项，然后再横向书写． 【详解】解： ． 【例5】．（25-26七年级上·上海·期末）因式分解： 【答案】 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查因式分解的综合运用，涉及十字相乘法分解因式．先将看作一个整体，把原式转化为关于该整体的二次三项式，用十字相乘法分解；再对分解后得到的因式中可继续分解的部分，再次用十字相乘法分解，直至所有因式在有理数范围内均不能再分解． 【详解】解：原式， ． 【技巧归纳】 1.先观察多项式，提取全部公因式，首项为负先提负号 2.判断二次三项式类型（系数为1/不为1） 3.试拆常数项，交叉验算匹配一次项系数 4.整体换元题型，先换元分解，再还原原式 5.展开验算，确保无剩余因式、分解彻底 【变式1-1】．（2025七年级上·上海·专题练习）数学课上老师出了一道因式分解的思考题，题意是能在有理数的范围内因式分解，则整数m的值有几个．小军和小华为此争论不休，请你判断整数m的值有几个？（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查了利用十字相乘法分解因式，熟练掌握十字相乘法是解题关键．根据题意得出常数项20需分解成两个整数的乘积，再根据十字相乘法可得所有可能的值，由此即可得． 【详解】解：∵能在有理数的范围内因式分解，且要使得m为整数， ∴常数项20需分解成两个整数的乘积，即，，，，，， ∴，，，，，， ∴，，，，，， 综上，整数的值有2个， 故选：B． 【变式1-2】．（25-26七年级上·上海松江·期末）若关于的整式可以在有理数范围内因式分解，则整数的值是_____． 【答案】/或/或 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查公式法的因式分解，掌握十字相乘法是解题的关键． 设因式分解形式为，则，，由为整数，、为整数，枚举的整数解求即可． 【详解】解：因式分解形式为， 故，， 由于为整数，且， 则、为整数， 的整数解有：，或，或，或，， 对应： 当，时； 当，时； 当，时； 当，时， 故整数的值为或， 故答案为：． 【变式1-3】．（25-26七年级上·上海·期中）若取图中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，则的值为_______． 【答案】9或12或21 【知识点】十字相乘法 【分析】本题主要考查了因式分解，根据题意可得或或，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴或 或 ， ∴的值可以是9或12或21， 故答案为：9或12或21． 【变式1-4】．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段检测）分解因式： 【答案】 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查了利用了十字相乘法进行因式分解，利用了十字相乘法分解的分解原则是关键．将4化为，化为，用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解： 【变式1-5】．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式、十字相乘法 【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．先提取公因式，再利用十字相乘法分解即可． 【详解】解： ． 题型2 分组分解法 【例6】．用分组分解的因式，分组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分组分解法 【分析】把二、三、四项作为一组，第一项作为一组，然后根据完全平方公式和平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 故选：D． 【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，正确分组是解答本题的关键． 【例7】．（22-23七年级上·上海宝山·期中）分解因式：___________． 【答案】 【知识点】分组分解法 【详解】解： ． 【例8】．（25-26七年级上·上海金山·阶段检测）因式分解：________． 【答案】 【知识点】分组分解法 【分析】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确分组是解题关键．直接将原式重新分组进而利用提取公因式法分解因式即可． 【详解】解： . 故答案为 【例9】．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）因式分解：． 【答案】 【知识点】分组分解法 【分析】本题考查了因式分解． 通过分组分解，将多项式分为两组后分别提取公因式，再提取两组的公因式完成因式分解． 【详解】解： ． 【技巧归纳】 1.四项式优先试2+2分组，无法分解再换3+1分组 2.式子含平方项，优先凑平方差、完全平方公式 3.先局部分解，再整体提取公因式 4.可自由调整多项式项的顺序，方便凑公式、凑公因式 5.全程注意符号变化，杜绝括号变号错误 【变式2-1】．把分解因式，正确的分组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分组分解法 【分析】把后三项为一组，利用完全平方公式计算，再利用平方差公式继续分解因式即可． 【详解】解： ． 故选：A． 【点睛】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是一三分组．本题中后三项正好符合完全平方公式，应考虑后三项为一组． 【变式2-2】．（25-26七年级上·上海宝山·期中）因式分解：______． 【答案】 【知识点】分组分解法 【分析】本题考查了因式分解－分组分解法、提公因式法，正确找出可提取的公因式是解题关键． 利用分组分解法，将原式重新组合为，再进行因式分解，前两项提公因式a，后两项提公因式，再应用提公因式法分解即可. 【详解】解： 故答案为： 【变式2-3】．（25-26七年级上·上海虹口·期末）因式分解： 【答案】 【知识点】分组分解法、平方差公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的几种常用方法． 先分组，再由平方差公式分解． 【详解】解： ． 【变式2-4】．（25-26七年级上·上海·阶段检测）阅读：分解因式． 解：原式 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为“配方法”，此题为用配方法分解因式． 请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题： 分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】分组分解法 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）仿照题意得到，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先把原式提取公因数2，再仿照题意得到，最后利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型3 因式分解的应用 【例10】（25-26七年级上·上海浦东新·阶段检测）若分解因式有一个因式是，则另一个因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题主要考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式的结构特征并能灵活运用是解题的关键． 先利用平方差公式对进行因式分解，然后根据已知条件找出另一个因式，解题思路是先对式子进行变形分解，再结合已知因式确定另一个因式． 【详解】解： 因为有一个因式是， 所以另一个因式是， 故选：D． 【例11】．（25-26七年级上·上海松江·期中）已知一个长方形公园的面积为，若长方形公园的长为，则宽为__________． 【答案】 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题主要考查了因式分解的应用， 根据长方形面积公式，宽等于面积除以长，将给定表达式通过因式分解和约分进行化简． 【详解】解：长方形的面积为， 因为长方形的长为， 所以宽为：． 故答案为：． 【例12】．（25-26七年级上·上海·期中）若，，，，则，，的大小关系是________．（用“”号连接） 【答案】 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法、因式分解的应用 【分析】本题主要考查了整式乘法运算，分解因式，通过计算y与x的差以及z与y的差，利用已知条件判断差值符号，从而确定大小关系． 【详解】解：∵， ∴，，，，， ∵，，， ∴ ， ， ∴，，即，， ∴． 故答案为：． 【例13】．（25-26七年级上·上海普陀·阶段检测）已知a、b为整数，可以分解成三个一次因式的乘积，其中的两个因式为和，求的值．（待定系数法） 【答案】 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查的是因式分解的应用，设，得出，代入后求值即可求出结论． 【详解】解：设， 则， ， 解得， ． 【例14】．（25-26七年级上·上海普陀·期中）如果一个整数能表示成（是整数）的形式，那么称这个数为“完全数”．例如，，那么10是“完全数”．再如，（是整数），所以M也是“完全数”． (1)请你再写一个小于10的“完全数”：______； (2)请判断是整数是否是“完全数”，并说明理由； (3)已知（是整数，k是常数），如果S是“完全数”，求k的值； (4)如果整数m，n都是“完全数”，试说明：也是“完全数”． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 (3) (4)见解析 【知识点】有理数的乘方运算、运用完全平方公式进行运算、因式分解的应用 【分析】本题考查新定义，因式分解的应用，掌握“完全数”的定义是解题的关键． （1）根据“完全数”的定义即可解答； （2）根据“完全数”的定义即可解答； （3）利用完全平方公式将S配成“完全数”，即可解答； （4）设，（为整数），再证明即可． 【详解】（1）解：， 是完全数， 故答案为：（答案不唯一）； （2）解：是，理由如下： ， （是整数）是“完全数”； （3）解：时，S为“完全数”，理由如下： ， 对于任意整数x、y，S都是“完全数”，，也是整数， ∴，即，S是完全数； （4）证明：设，（为整数）， ， 、b、c、d是整数， ，都是整数， 是完全数． 【变式3-1】（25-26七年级上·上海·期中）数学服务于生活，灵活运用数学知识解决生活中的问题是需要倡导的重要理念．在日常生活中如取款上网等都需要有密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理：如多项式因式分解的结果为，当，时，各因式的值是，，，于是密码就可以为018162，也可以是180162，对于多项式，取，时，密码不可能为（   ） A．124824 B．241248 C．122448 D．482124 【答案】D 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查因式分解的应用，涉及提公因式法和平方差公式，理解新定义，正确因式分解，是解答的关键．先对多项式 进行因式分解，提取公因式后应用平方差公式，得到 ，代入 和 ，计算各因式的值，得到 12、24、48；密码由这三个数字按任意顺序拼接成六位数，列出所有可能组合，与选项对比即可判断． 【详解】解：∵ ， 且，， ∴ ， ， ， ∴ 因式值为 12、24、48， 可能密码有：122448、124824、241248、244812、481224、482412 选项A（124824）、B（241248）、C（122448）均符合， 选项D（482124）无法拆分为12、24、48的任意排列， ∴ 密码不可能为D． 故选：D． 【变式3-2】．（25-26七年级上·上海金山·期中）一个四位正整数，其各个位上数字均不相同且不为零．若其千位数字是十位数字的整数倍，百位数字是个位数字的整数倍，那么称这个四位正整数叫“间倍数”，例如满足，，则是“间倍数”．已知“间倍数”，且均为整数，若无论两位数是什么数，“间倍数”都能被整除，且，“间倍数”为______． 【答案】、 【知识点】数字类规律探索、因式分解的应用 【分析】本题考查新定义、有理数的混合运算、因式分解，解题的关键是读懂题意，理解“间倍数”的概念． 根据题意求得，根据都能被整除，得或或，再根据，分类求得或，结合是四位数，分类讨论求解即可得到答案． 【详解】解： ， ∵无论两位数是什么数，“间倍数”都能被整除， 能被整除，即能被整除， ， 或或，满足能被整除，即能被整除， ∵， 当时，，则， ， ∴两位数， ∵，且是四位数， 当时，即，若，则，得； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，得，不满足数字各不相同的条件，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，，则， ， ∴两位数， ∵，且是四位数， 当时，即，若，则，得； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，得，不满足数字各不相同的条件，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 综上所述，符合题意的“间倍数”为、， 故答案为：、． 【变式3-3】．（25-26七年级上·上海·课后作业）[类比思想]利用我们学过的知识，可以导出下面这个等式： ． 该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美． (1)请你展开右边检验这个等式的正确性； (2)利用上面的式子计算：． 【答案】(1)见解析； (2)3． 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，熟练掌握完全平方公式并能灵活运用． （1）根据完全平方公式和合并同类项的方法可以将等式右边的式子进行化简，从而可以得出结论； （2）根据题目中的等式可以求得所求式子的值． 【详解】（1）解： ， 故正确； （2）解：对于， 我们可以利用上述等式进行计算，令，，． 根据，则： ． 【变式3-4】．（25-26七年级上·上海徐汇·期中）阅读：分解因式． 解：原式 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为“配方法”，此题为用配方法分解因式，请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题： 因式分解： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）仿照题意得到，再利用平方差公式分解因式即可； （2）仿照题意得到，最后利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式3-5】．（25-26七年级上·上海宝山·期末）【阅读理解】 如果一个正整数能表示成（是正整数）的形式，那么称这个正整数为“方差数”． 小明采用举例的方式，有序地列出了一些“方差数”，想从中寻找规律： ， ，， ，，， 小杰采用不同的方法，找到一类“方差数”，试图发现“方差数”更本质的特征： 设为正整数且，因为， 所以这样的数都是“方差数”，即所有奇数（1除外）都是“方差数”． 【尝试运用】 （1）填空：①16______“方差数”（填“是”或“不是”）； ②因为（____）（____），所以2025是“方差数”； （2）已知（是正整数且，是常数），请写出的值，使得不论取何值，都是“方差数”，并说明理由； 【深入探究】 （3）你能像小杰一样找到一类“方差数”吗？如果能，试描述你找到的这类“方差数”的特征，并说明理由； （4）请写出40到50之间的所有“方差数”（不包含40和50）． 【答案】（1）①是 ②1013，1012 （2）7 （3）所有4的倍数（4除外）都是“方差数” （4）41，43，44，45，47，48，49 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题主要考查了新定义“方差数”的理解与应用，因式分解的应用，解题的关键是理解新定义运算．根据“方差数”的定义进行解答即可． 【详解】（1）解：①， 16是“方差数”； ②因为， 所以2025是“方差数”． 故答案为：①是；②1013，1012． （2）解：当时，不论取何值，都是“方差数”，理由如下： ， 要使不论取何值，都是“方差数”， 则，即， 此时，， 是正整数且， 和都是正整数，且，满足“方差数”的定义， 当时，无论不论取何值，都是“方差数”． （3）解：能． 设为正整数且， 则， 所以这样的数都是“方差数”， 即所有4的倍数（4除外）都是“方差数”． （4）解：由题意和（3）可知，所有奇数（1除外）都是“方差数”， 所有4的倍数（4除外）都是“方差数”， 所以40到50之间（不包含40和50）的所有“方差数”是：41，43，44，45，47，48，49． 一、单选题 1．下列分解因式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用因式分解的方法判断即可． 【详解】解：A. ，正确；     B. ，错误，所以此选项符合题意； C. ，正确； D. ，正确 故选B. 【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 2．已知是因式分解的结果，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解与多项式相乘的关系，注意正确计算多项式的乘法，然后系数对应相等．把多项式相乘展开，再根据对应项系数相等求解即可． 【详解】∵， ∴ ∴． 故选：A． 3．多项式分解因式为，其中a，m，n为整数，则a的取值有（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．无数个 【答案】B 【分析】本题考查了用十字相乘法进行因式分解．能够得出、之积为，、之和为是解题的关键．把分解为两个整数的积的形式，等于这两个整数的和． 【详解】解：时，； 时，； 时，； 时，； 的取值有4个． 故选：． 4．若，且a、b、k均为整数，则k的值不可能是（　　） A．6 B．7 C．8 D．． 【答案】A 【分析】本题考查多项式的因式分解与整数性质的综合应用，解题关键是利用多项式乘法展开后对应系数相等，枚举所有满足条件的整数对计算k的可能值，进而判断选项. 【详解】解：∵ ∴对比系数可得， ∵a、b为整数且 ∴所有满足条件的整数对及对应k值为： ； ； ； ； ； ； （交换a、b位置，k值不变，略） ∴k的可能值为，6不在其中 ∴k的值不可能是6， 故选：A， 5．用分组分解法将分解因式，下列分组不恰当的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分组分解法，结合提公因式法，对选项一一进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A． ，故选项A分组正确，不符合题意； B． ，故选项B分组正确，不符合题意； C．无法进行分组分解，故选项C分组错误，符合题意； D． ，故选项D分组正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了分组分解法、提公因式法分解因式，解本题的关键在熟练掌握相关的分解因式的方法． 6．已知a，b为正整数，满足，则的最大值为（    ） A．28 B．43 C．76 D．78 【答案】C 【分析】将利用分组分解法化为，再根据a，b为正整数，分类讨论即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴， ∵a，b为正整数，要使最大，则b的值应比a大， ∴当时，； 当时，， ∴的最大值为76， 故选：C． 【点睛】此题考查了分组分解法的应用，解题的关键在于把等号左边的式子化为乘积的形式． 二、填空题 7．因式分解：_______． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 8．因式分解：________． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 利用十字相乘法分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 9．分解因式： ___________． 【答案】 【分析】本题考查了分组分解法分解因式．首先将前三项分组进而利用完全平方公式和平方差公式分解因式得出即可． 【详解】解： 故答案为：． 10．因式分解：______． 【答案】 【分析】本题考查了用分组分解法进行因式分解．当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解，后三项可以利用完全平方公式分解因式，且与第一项可以继续利用平方差公式分解因式，所以应考虑为一组． 【详解】解： ． 故答案为：． 11．因式分解：______． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，运用分组分解法进行分解即可． 【详解】解：． 故答案为： 12．因式分解：________． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．通过分组分解法，将原式分为两组，分别提取公因式后，再提取公因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 13．分解因式：______． 【答案】 【分析】先将前三项分为一组，利用完全平方公式分解，再利用平方差公式继续分解即可得到最终结果． 【详解】原式 ． 14．已知，则_____． 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解的应用，通过因式分解将化为，然后代入已知条件和计算． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为： 15．因式分解：___________． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，利用十字相乘法进行因式分解是解题的关键． 利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解：, 故答案为：． 16．因式分解：______． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，将原式展开再分组为，再根据平方差公式和提公因式法进行分解即可．掌握公式法和提公因式法分解因式是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：． 17．已知，则代数式的值为_____． 【答案】 【分析】本题是因式分解的应用，考查了利用因式分解解决求值问题；具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入；但要注意分解因式后，有一个因式与已知不符合，因此要对已知的两式进行变形，再代入．先分解因式，再将已知的，，两式相加得：，整体代入即可． 【详解】解： ， ，， ， 当，时，原式， 故答案为：． 18．已知 ，，，则多项式的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解的应用，先求出，，，再将所求代数式变形为，再代入计算可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴ ， 故答案为：． 三、解答题 19．因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键．先将多项式变形为，再利用完全平方公式分解因式，然后利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】解：原式 ． 20．因式分解： 【答案】 【分析】本题考查因式分解的分组分解法，以及完全平方公式、平方差公式的应用．关键是通过合理分组，将原式转化为可利用公式分解的形式：先把原式中能构成完全平方的项结合，得到完全平方式后，再与剩余项结合形成平方差的形式，最后用平方差公式完成分解． 【详解】解：原式 ． 21．因式分解 (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． （1）使用十字相乘法因式分解； （2）先分组形成完全平方式，再利用平方差公式分解． 【详解】（1）解： ∵， ∴； （2）解： ． 22．因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解． （1）先用换元法，再利用十字相乘法分解因式即可． （2）先用分组分解法，再利用公式法分解因式即可． 【详解】（1）解：令， 则原式变成：， ， 再把代入得， 故 （2）解： 23．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解． （1）根据十字相乘法分解成，再根据平方差公式分解即可； （2）先分组分解，再提取公因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 24．因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查因式分解，选择合适的方法进行因式分解是解题的关键． （1）用平方差公式进行因式分解； （2）综合提取公因式法和公式法进行因式分解； （3）用十字相乘法进行因式分解． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 25．已知关于的整式（其中为常数项）可以写成两个因式的积，其中一个是，求另外一个因式． 【答案】 【分析】由于整式可以写成两个因式的积，且其中一个因式已知，可设另一个因式为，通过比较系数求解即可．本题主要考查了因式分解的定义和多项式乘多项式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：设另一个因式为， 则， 比较系数得，， 解得，， ∴另一个因式为． 26．若一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数，类似地，多项式及称作完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式； 例如：求代数式的最小值． 原式．可知当时，有最小值，最小值是． (1)用配方法分解因式：； (2)当为何值时，代数式有最大值，并求出这个最大值． (3)求使得是完全平方数的所有整数的积(直接写出答案)． 【答案】(1)； (2)当时，代数式有最大值； (3) 【分析】本题考查配方法的综合应用，涵盖因式分解、代数式最值求解、完全平方数的整数解探究，核心是通过配方法将代数式转化为完全平方式，结合平方差公式、非负数性质或整数因数分解求解． （1）通过配方法构造平方差形式，再利用平方差公式完成因式分解； （2）先提取二次项系数，对括号内式子配方后，结合二次项系数的正负判断最值的存在条件与取值； （3）通过设完全平方数为整数平方的形式，配方后转化为整数因数分解问题，枚举所有可能的因数对求出整数，再计算乘积． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， 当即时，代数式有最大值，最大值为； （3）解：设(为非负整数)， 配方得：， 两边乘4得：，即， 、为整数， 和均为整数，且为的整数因数对，且， 的整数因数对为：、、、，分情况求解： ①当，两式相加得，解得； ②当，两式相加得，解得； ③当，两式相加得，解得； ④当，两式相加得，解得； 所有整数为5、2、、，它们的积为． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $