微专题01 三角形内角和定理中的“A字型”“8字型”“飞镖型”求角度（专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

微专题 三角形内角和定理中的 “A字型”“8字型”“飞镖型”求角度 题型一 利用“A字型”求角度 1. 常见的A字型：标准A字型（指有平行线的），如图， 已知条件：DE∥BC，求相关角度问题. 核心结论：同位角相等：∠ADE=∠B,∠AED=∠C,内角和通用：∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠ADE+∠AED=180°. 2. 无平行线的纯A字型 已知条件：已知任意角度，求相关角度问题. 核心结论：内角和通用：∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠ADE+∠AED=180° 1．如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（    ）． A． B． C． D． 2．如图，在中，，将沿虚线剪去，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，直线，，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 4．如图是某建筑工地上的人字架，若，那么的度数为_________． 5．如图所示，的两边上各有一点，连接，求证． 题型二 利用“8字型”求角度 1.“8字型”基本现状： 2.核心结论：∠A+∠B=∠C+∠D， 3.推导过程：在△AOB与△COD中，∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180°, ∵∠AOB=∠COD， ∴∠A+∠B=∠C+∠D 1．如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（    ） A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D 2．如图，在由线段组成的平面图形中，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 3．如图，将矩形纸片沿折叠，点落在边上的点处，点落在点处，若，则的度数为（    ）． A．42° B．69° C．44° D．32° 4．如图，∠1=60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（　　） A．240° B．280° C．360° D．540° 5．如图，在中，平分，，则__________；若，则的长为 __________________． 6．下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应___________（填“增加”或“减少”）___________度． 7．线段、相交于点，连接、，我们把如图1的图形称之为“8字形”，则，如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、，若，，则的度数是______．    8．如图1，AD、BC交于点O，得到的数学基本图形我们称之为‘8’字形ABCD． （1）试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D； （2）如图2，∠ABC和∠ADC的平分线相交于E，尝试用（1）中的数学基本图形和结论，猜想∠E与∠A、∠C之间的数量关系并说明理由． 9．如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)求证：； (2)利用八字图形解决问题：如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N． ①若，求的度数； ②根据①的结果直接写出之间的关系是__________________． 题型三 利用“飞镖型”求角度 1.“飞镖型”基本现状： 2.核心结论：∠BOC=∠BAC+∠B+∠C， 3.推导过程：连接AO并延长至点D，如图， ∵∠BOD=∠B+∠BAD，∠COD=∠CAD+∠C， ∴∠BOC=∠BOD+∠COD=∠BAC+∠B+∠C. 1．在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（    ）． A． B． C． D． 2．如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的结果为（    ） A．90° B．360° C．180° D．无法确定 3．如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点D落在的内部，则（    ）． A． B． C． D． 4．如图，在三角形纸片ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外，若∠2＝18°，则∠1的度数为（　　） A．50° B．118° C．100° D．90° 5．如图，在中，，与的角平分线交于，与的角平分线交于点，依此类推，与的角平分线交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．如图，______度． 7．如图，在中，，，平分，平分，则______. 8．如图所示，已知四边形，求证． 9．如图，是的平分线，CH是的平分线，与CH交于点，若，，求的度数. 10．如图，中， (1)若、的三等分线交于点、，请用表示、； (2)若、的等分线交于点、（、依次从下到上），请用表示，． 11．模型规律：如图1，延长交于点D，则． 因为凹四边形形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．      模型应用 (1)直接应用： ①如图2，，，，则 °； ②如图3， °； (2)拓展应用： ①如图4，、的2等分线（即角平分线）、交于点，已知，，则 °； ②如图5，、分别为、的10等分线（，2，3，…，8，9）．它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则 °； ③如图6，、的角平分线、交于点D，已知，，则 °； ④如图7，、的角平分线、交于点D，则、、之间的数量关系为 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题 三角形内角和定理中的 “A字型”“8字型”“飞镖型”求角度 题型一 利用“A字型”求角度 1. 常见的A字型：标准A字型（指有平行线的），如图， 已知条件：DE∥BC，求相关角度问题. 核心结论：同位角相等：∠ADE=∠B,∠AED=∠C,内角和通用：∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠ADE+∠AED=180°. 2. 无平行线的纯A字型 已知条件：已知任意角度，求相关角度问题. 核心结论：内角和通用：∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠ADE+∠AED=180° 1．如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：， ， ， 故选：D． 2．如图，在中，，将沿虚线剪去，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵在中，， ∴， 则， 故选：B． 3．如图，直线，，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 故选：C． 4．如图是某建筑工地上的人字架，若，那么的度数为_________． 【答案】 【详解】解：如图 ，， ， ， ， 故答案为：． 5．如图所示，的两边上各有一点，连接，求证． 【答案】见解析 【详解】解：和是的外角， ． 又， ． 题型二 利用“8字型”求角度 1.“8字型”基本现状： 2.核心结论：∠A+∠B=∠C+∠D， 3.推导过程：在△AOB与△COD中，∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180°, ∵∠AOB=∠COD， ∴∠A+∠B=∠C+∠D 1．如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（    ） A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D 【答案】D 【详解】∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC， ∴∠B＝∠D， ∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D， ∴∠2＞∠D， 故选项A，B，C正确， 故选D． 2．如图，在由线段组成的平面图形中，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如下图标记， ， ， ， 又， ， ， ，故选C． 3．如图，将矩形纸片沿折叠，点落在边上的点处，点落在点处，若，则的度数为（    ）． A．42° B．69° C．44° D．32° 【答案】A 【详解】由图形翻折的性质可知，， ，， ，利用“8”字模型， ， 故选：A． 4．如图，∠1=60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（　　） A．240° B．280° C．360° D．540° 【答案】A 【详解】解：由三角形外角的性质得：∠3=∠A+∠E，∠2=∠F+∠D， ∵∠1+∠2+∠3=180°，∠1=60°， ∴∠2+∠3=120°， 即：∠A+∠E+∠F+∠D=120°， ∵∠B+∠C=120°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240°． 故选A． 5．如图，在中，平分，，则__________；若，则的长为 __________________． 【答案】 【详解】解： ，即 ，平分 如图所示，延长交于点 在和中， （） 平分 在和中， （） 故答案为：， 6．下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应___________（填“增加”或“减少”）___________度． 【答案】 减少 10 【详解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°， ∴∠ACB=180°-110°=70°， ∴∠DCE=70°， 如图，连接CF并延长， ∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF， ∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF， ∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°， 要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°， 若只调整∠D的大小， 由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠ D+100°， 因此应将∠D减少10度； 故答案为：①减少；②10． 7．线段、相交于点，连接、，我们把如图1的图形称之为“8字形”，则，如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、，若，，则的度数是______．    【答案】/35度 【详解】解：由“8字形”结论得到， ， ∵，， ∴， ∴， ∵和的平分线和相交于点P， ∴，， ∵， ∴ ． 故答案为： ． 8．如图1，AD、BC交于点O，得到的数学基本图形我们称之为‘8’字形ABCD． （1）试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D； （2）如图2，∠ABC和∠ADC的平分线相交于E，尝试用（1）中的数学基本图形和结论，猜想∠E与∠A、∠C之间的数量关系并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）2∠E＝∠A+∠C，理由见解析 【详解】解：（1）证明：∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°， 又∵∠AOB＝∠COD， ∴∠A+∠B＝∠C+∠D． （2）结论：2∠E＝∠A+∠C． 理由：∵∠ABC和∠ADC的平分线相交于E， ∴设∠ABE＝∠EBC＝x，∠ADE＝∠EDC＝y， ∵∠A+x＝∠E+y，∠C+y＝∠E+x， ∴∠A+∠C＝∠E+∠E， ∴2∠E＝∠A+∠C ． 9．如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)求证：； (2)利用八字图形解决问题：如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N． ①若，求的度数； ②根据①的结果直接写出之间的关系是__________________． 【答案】(1)见详解 (2)①；② 【详解】（1）证明：在中，， 在中，， ， ． （2）解：∵在和中，， 在和中，， ， ∵平分平分， ， ，即， ． ②、、之间的关系为． 理由如下：如下图， ∵和分别平分和， ， 在和中，， ， 在和中，， ， ， ∴、、之间的关系为． 题型三 利用“飞镖型”求角度 1.“飞镖型”基本现状： 2.核心结论：∠BOC=∠BAC+∠B+∠C， 3.推导过程：连接AO并延长至点D，如图， ∵∠BOD=∠B+∠BAD，∠COD=∠CAD+∠C， ∴∠BOC=∠BOD+∠COD=∠BAC+∠B+∠C. 1．在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，如图， ∵ ∴ 同理得 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴, 故选：B． 2．如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的结果为（    ） A．90° B．360° C．180° D．无法确定 【答案】C 【详解】如图，连接BC， ∵∠D+∠E+∠DOE=∠BOC+∠OCB+∠BOC=180°，∠DOE=∠BOC， ∴∠D+∠E=∠OBC+∠OCB， 又∵∠A+∠ABO+∠ACO+∠OBC+∠OCB=180°， ∴∠A+∠ABO+∠ACO+∠D+∠E=180°． 故选：C． 3．如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点D落在的内部，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵在△ABC中，∠A=40° ∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=140° ∵在△DBC中，∠BDC=90° ∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90° ∴140°-90°=50° 故选C． 4．如图，在三角形纸片ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外，若∠2＝18°，则∠1的度数为（　　） A．50° B．118° C．100° D．90° 【答案】B 【详解】解：在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°． 由折叠，可知：∠CDE＝∠C′DE，∠CED＝∠C′ED， ∴∠CED＝＝99°， ∴∠CDE＝180°﹣∠CED﹣∠C＝31°， ∴∠1＝180°﹣∠CDE﹣∠C′DE＝180°﹣2∠CDE＝118°． 故选：B． 5．如图，在中，，与的角平分线交于，与的角平分线交于点，依此类推，与的角平分线交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵∠A=20°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ∴∠ABC+∠ACB=160°， ∵BD1平分∠ABC，CD1平分∠ACB， ∴∠ABD1=∠ABC，∠ACD1=∠ACD， ∵BD2平分∠ABD1，CD2平分∠ACD1， ∴∠ABD2=∠ABD1=∠ABC，∠ACD2=∠ACD1=∠ACB， 同理可得∠ABD5=∠ABC，∠ACD5=∠ACB， ∴∠ABD5+∠ACD5=160×=5°， ∴∠BCD5+∠CBD5=155°， ∴∠BD5C=180-∠BCD5-∠CBD5=25°， 故选B． 6．如图，______度． 【答案】 【详解】解：如图，连接，记、的交点为， ，，， ， ， ， 故答案为：． 7．如图，在中，，，平分，平分，则______. 【答案】 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∴. 8．如图所示，已知四边形，求证． 【答案】见解析 【详解】方法1如图所示，连接BC. 在中，，即. 在中，， ； 方法2如图所示，连接AD并延长. 是的外角， . 同理，. . 即. 方法3如图所示，延长BD，交AC于点E. 是的外角， . 是的外角， . . 9．如图，是的平分线，CH是的平分线，与CH交于点，若，，求的度数. 【答案】. 【详解】解：由燕尾角的基本图形与结论可得， ① ② 是的平分线，是的平分线 ，． ①-②得，． 10．如图，中， (1)若、的三等分线交于点、，请用表示、； (2)若、的等分线交于点、（、依次从下到上），请用表示，． 【答案】(1)，， (2)， 【分析】（1）根据三角形的内角和定理可得，再由、的三等分线交于点、，可得 再根据三角形的内角和定理，即可求解； （2）根据三角形的内角和定理可得，再由、的等分线交于点、，可得 再根据三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵、的三等分线交于点、， ∴ ∴， ； （2）解：∵， ∴， ∵、的等分线交于点、， ∴ ∴， ． 11．模型规律：如图1，延长交于点D，则． 因为凹四边形形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．      模型应用 (1)直接应用： ①如图2，，，，则 °； ②如图3， °； (2)拓展应用： ①如图4，、的2等分线（即角平分线）、交于点，已知，，则 °； ②如图5，、分别为、的10等分线（，2，3，…，8，9）．它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则 °； ③如图6，、的角平分线、交于点D，已知，，则 °； ④如图7，、的角平分线、交于点D，则、、之间的数量关系为 ． 【答案】(1)①110；②260 (2)①85；②99；③142；④ 【详解】（1）解：（1）①； ②；    （2）① ； ② ； ③ ； ④ ， ， 联立得：． 所以． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $