21.2.4一元二次方程根与系数关系（题型专练）数学人教版九年级上册

21.2.4一元二次方程根与系数关系 题型一、不解方程求两根之和与两根之积 1．（2025春•利辛县期中）若α，β（α≠β）是一元二次方程x2﹣7x+10＝0的根，则α+β＝（　　） A．7 B．﹣7 C．10 D．﹣10 2．（2024秋•安次区校级月考）已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两个实数根，则x1•x2等于（　　） A．﹣2 B． C． D．2 3．不解方程，求出方程的两根之和与两根之积： （1）x2+3x﹣5＝0； （2）2x2﹣3x﹣5＝0． 4．求下列方程两根的和与两根的积： （1）x2+6x﹣6＝0； （2）3x2﹣2x+1＝0； （3） x2+x＝1； （4）5x2＝6x． （4） 题型二、已知方程的一根求另一个根 5．（2025•市中区一模）已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是﹣6，则另一个根是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1 6．（2024•宝安区二模）已知是一元二次方程x2﹣x+m＝0的一个根，则方程的另外一根为（　　） A． B． C． D． 7．（2025春•蜀山区期中）已知关于x的一元二次方程ax2+2ax+k+2＝0有两个实数根． （1）若方程的一个根为2，求方程的另一个根； （2）当a＝1时，求实数k的取值范围． 8．（2025春•永康市期中）已知关于x的方程x2+mx+m﹣3＝0． （1）若该方程有一个根为﹣3，求方程的另一根； （2）求证：不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 题型三、已知两根求一元二次方程 9．写出一个以﹣2、3为两根的一元二次方程　 　 ． 10．请写出一个根为3，另一个根满足﹣2＜x＜2的一元二次方程　 　 ． 11．（2024秋•辉县市校级月考）解某个一元二次方程时，甲看错了方程的常数项，因而得出的两根为8和2；乙看错了方程的一次项的系数，因而得出两根为﹣9或﹣1，那么正确的方程为（　　） A．x2﹣10x+9＝0 B．x2+10x+9＝0 C．x2﹣10x﹣9＝0 D．x2+10x﹣9＝0 题型四、利用根与系数的关系求代数式的值 12．（2024•临淄区二模）若m，n是一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0的两个根，则m2n+mn2的值是（　　） A．﹣1 B．﹣5 C．﹣6 D．6 13．（2024秋•榆中县期末）若x1、x2是方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根，则的值为（　　） A．7 B．9 C．11 D．13 14．（2025春•马边县期中）已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，则的值为　 　 ． 15.（2024秋•兴化市校级期中）已知、是方程的两个实数根，求下列各式的值： （1）； （2）． 16．（2024秋•天河区校级月考）设x1，x2是方程2x2+4x﹣3＝0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： （1）（x1+2）（x2+2）； （2）． 题型五、已知代数式的值求参数 17．（2025•江阳区校级模拟）已知关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两实数根为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝3，则m的值为 　 　 ． 18．（2025•天府新区校级模拟）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（k+6）x+3k＝0的两个实数根，且x1﹣x2，则k＝　 　 ． 19．（2024秋•濂溪区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且（2x1+x2）（x1+2x2）＝3，求m的值． 20．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2+1＝0有实数根． （1）求m 的取值范围； （2）若方程的两个实数根分别为x1，x2，且15，求m的值． 21．（2025•高密市三模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣1＝0有两个实数根x1和x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若两个实数根x1和x2满足x1+x2﹣x1x2＜4，求k的整数值． 题型一、判别式和根与系数的关系综合问题 22．（2024秋•西华县期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3|m|＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值． 23．（2024春•海阳市期末）关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+3＝0的两个实数根分别为x1，x2． （1）求m的取值范围； （2）若（x1﹣x2）2＝|x1|+|x2|，求m的值． 24．（2024秋•鄂州期末）关于x的方程x2+（2k+1）x+k2+2＝0有两个实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若x1，x2满足|x1|+|x2|＝x1x2﹣1，求k的值． 25．（2025•凉州区校级二模）已知关于x的方程x2﹣2ax﹣a+2b＝0，其中a，b为实数． （1）当a＝3，b＝﹣2时，求方程两根的平方和． （2）当a＜0时，若方程有一个根为2a，判断a与b的大小关系并说明理由． （3）若对于任何实数a，此方程都有实数根，求b的取值范围． 题型二、根与系数的关系与几何问题 26．（2024秋•常德期末）已知关于x的方程x2﹣（k+3）x+3k＝0． （1）求证：无论k取何值，方程总有实数根； （2）若斜边为5的直角三角形的两条直角边长分别是方程的两根，求k的值． 27．（2024秋•天山区校级期末）已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实数根． （1）求证无论k为何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）当k＝2时，请判断△ABC的形状并说明理由； （3）若△ABC是等腰三角形，则k的值为 　 　 ． 28．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0 （1）判断方程根的情况； （2）若方程的两根x1、x2满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝5，求k值； （3）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两根，第三边BC的长为5， ①则k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？ ②k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求出△ABC的周长． 题型三、新定义探究问题 29．（2024秋•曲阳县期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是2和4，则方程x2﹣6x+8＝0是倍根方程． （1）若一元二次方程x2﹣3x+c＝0是“倍根方程”，则c＝ 　 　 ； （2）判断方程x2﹣x﹣2＝0是不是倍根方程？并说明理由； （3）若（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）是倍根方程，求代数式4m2﹣5mn+n2的值． 30．（2025春•萧山区期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”． （1）通过计算，判断方程x2﹣x﹣6＝0是否是“邻根方程”； （2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值； （3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a、b是常数，a＞0）是“邻根方程”，令t＝8a﹣b2，试求t的最大值． 31．已知一元二次方程的两根都是整数，且不相等，若其中一根是另一根的整数倍，则称该方程是整根方程．例如：x2﹣x﹣2＝0的两根为x1＝﹣1，x2＝2．因为2是﹣1的﹣2倍，所以x2﹣x﹣2＝0是整根方程． （1）求证：方程x2+3x﹣18＝0是整根方程； （2）若存在正整数m，使关于x的一元二次方程x2﹣（m+5）x+4m+4＝0是整根方程，且关于x的一元二次方程x2﹣4x+2m＝0有实数根，求m的值． 32．（2025•厦门校级模拟）关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x﹣6＝0中，k＜0．则该方程的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个正实数根 C．两根之积为﹣6 D．两根之和为1 33．（2024•合江县一模）定义（a，b，c）为方程ax2+bx+c＝0的特征数．若特征数为（1，2k﹣2，k2﹣k）的方程的两实数根的平方和为12，则k的值为（　　） A．﹣1或4 B．﹣4 C．﹣1 D．﹣4或1 34．（2025•市中区模拟）关于x的方程x2+2x+2k＝0的两实根异号，则k满足的条件是（　　） A．k＜1 B．﹣1≤k＜1 C．k＜0 D．﹣1≤k＜0 35．（2025•江阳区校级模拟）已知四边形ABCD是菱形，菱形的两边AB、BC的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，则m的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 36．（2025•平原县一模）若α，β是一元二次方程x2﹣3x﹣8＝0的两个根，则α2﹣4α﹣β的值为　 　 ． 37．（2024秋•台州期末）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，且x1＝2x2，若a+b+c＝0，则 　 　 ． 38．（2025•玄武区一模）设x1，x2是关于x的方程x2﹣3kx﹣k﹣1＝0的根，且x1＝x2（2x1﹣1），则k的值为　 　 ． 39．（2025•镇江模拟）定义：若一元二次方程有两个整数根，且其中一个根是另一个根的整数倍，则称该方程是“一元二次倍根方程”．例如：方程x2﹣3x+2＝0的两个根为x1＝1，x2＝2，因为x2是x1的2倍，所以方程x2﹣3x+2＝0是“一元二次倍根方程”．已知n是正整数，若关于x的一元二次方程x2﹣（n+4）x+3n+3＝0是“一元二次倍根方程”，且关于y的一元二次方程y2+5y+n＝0总有两个不相等的实数根，则n的值为　 　 ． 40．（2025春•昭平县期中）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+3x+2＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）在（1）的条件下，若m取最大正整数值，设x1、x2是该方程的两根，求x2+x15的值． 41．（2025春•崇川区校级月考）定义：已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根x1，x2，若满足|x1﹣x2|＝|x1•x2|，则称此类方程为“差积方程”． 例如：，即，解得，x2＝1， ∵，∴是差积方程． （1）方程x2﹣5x+6＝0 　 　 （填是或不是）“差积方程”； （2）若关于x的方程x2﹣（m+3）x+3m＝0是“差积方程”，求出m的值． （3）若关于x的方程x2+bx+c＝0是“差积方程”，且它的一个实数根为﹣1，求b+c的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.2.4一元二次方程根与系数关系 题型一、不解方程求两根之和与两根之积 1．（2025春•利辛县期中）若α，β（α≠β）是一元二次方程x2﹣7x+10＝0的根，则α+β＝（　　） A．7 B．﹣7 C．10 D．﹣10 【答案】A 【分析】利用一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于，即可求出α+β的值． 【详解】∵α，β（α≠β）是一元二次方程x2﹣7x+10＝0的根， ∴α+β＝7． 故选：A． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 2．（2024秋•安次区校级月考）已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两个实数根，则x1•x2等于（　　） A．﹣2 B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用根与系数的关系，即可求出x1•x2的值． 【详解】∵x1，x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两个实数根， ∴x1•x2． 故选：B． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 3．不解方程，求出方程的两根之和与两根之积： （1）x2+3x﹣5＝0； （2）2x2﹣3x﹣5＝0． 【答案】（1）x1+x23，x1x25； （2）x1+x2，x1x2． 【分析】（1）先找出a，b，c，再根据x1+x2，x1x2，代值计算即可； （32）先找出a，b，c，再根据x1+x2，x1x2，代值计算即可． 【详解】（1）∵a＝1，b＝3，c＝﹣5， ∴x1+x23，x1x25； （2））∵a＝2，b＝﹣3，c＝﹣5， ∴x1+x2，x1x2． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握x1+x2，x1x2是解题的关键． 题型二、已知方程的一根求另一个根 4．求下列方程两根的和与两根的积： （1）x2+6x﹣6＝0； （2）3x2﹣2x+1＝0； （3）x2+x＝1； （4）5x2＝6x． 【答案】（1）x1+x2＝﹣6，x1x2＝﹣6； （2）x1+x2，x1x2； （3）x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣1； （4）x1+x2，x1x2＝0． 【分析】利用根与系数的关系：，，代入计算即可求解． 【详解】（1）设x1，x2是方程x2+6x﹣6＝0的两根， 则x1+x26，x1x26； （2）设x1，x2是方程3x2﹣2x+1＝0的两根， 则x1+x2，x1x2； （3）x2+x＝1变形为x2+x﹣1＝0， 设x1，x2是方程x2+x﹣1＝0的两根， 则x1+x21，x1x21； （4）5x2＝6x变形为5x2﹣6x＝0的两根， 设x1，x2是方程5x2﹣6x＝0的两根， 则x1+x2，x1x20． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题关键是熟知根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，，． 5．（2025•市中区一模）已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是﹣6，则另一个根是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1 【答案】D 【分析】设方程的另一个为根为t，则利用根与系数的关系得到﹣6+t＝﹣5，然后解一次方程即可． 【详解】设方程的另一个为根为t， 根据根与系数的关系得到﹣6+t＝﹣5， 解得t＝1， 即方程的另一个根为1． 故选：D． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 6．（2024•宝安区二模）已知是一元二次方程x2﹣x+m＝0的一个根，则方程的另外一根为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和，把已知解代入求出另一根即可． 【详解】∵是一元二次方程x2﹣x+m＝0的一个根，另一根设为a， ∴a1， 解得：a＝1，即a． 故选：C． 【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，以及一元二次方程的解，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键． 7．（2025春•蜀山区期中）已知关于x的一元二次方程ax2+2ax+k+2＝0有两个实数根． （1）若方程的一个根为2，求方程的另一个根； （2）当a＝1时，求实数k的取值范围． 【答案】（1）x2＝﹣4； （2）k≤﹣1． 【分析】（1）利用根与系数的关系可得另外一根； （2）把a＝1代入，再利用根的判别式，列出不等式，即可解答． 【详解】（1）设方程的另一个根为x2， 则， ∴x2＝﹣4； （2）当a＝1时，方程为x2+2x+k+2＝0， 由题意可得：4﹣4（k+2）≥0， 解得k≤﹣1． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，熟记相关公式是解题的关键． 8．（2025春•永康市期中）已知关于x的方程x2+mx+m﹣3＝0． （1）若该方程有一个根为﹣3，求方程的另一根； （2）求证：不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1）0； （2）见解答． 【分析】（1）先把x＝﹣3代入求出m＝3，则方程变形为x2+3x＝0，设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得到﹣3+t＝﹣3，然后解关于t的方程即可； （2）计算判别式的值得到Δ＝（m﹣2）2+8，利用非负数的性质得到Δ＞0，然后根据判别式的意义得到结论． 【解答】（1）解：把x＝﹣3代入方程得9﹣3m+m﹣3＝0，解得m＝3， 方程变形为x2+3x＝0， 设方程的另一个根为t， 根据题意得﹣3+t＝﹣3，解得t＝0， 即方程的另一根为0； （2）证明：Δ＝m2﹣4（m﹣3） ＝（m﹣2）2+8， ∵（m﹣2）2≥0， ∴Δ＞0， ∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2，x1x2．也考查了根的判别式． 题型三、已知两根求一元二次方程 9．写出一个以﹣2、3为两根的一元二次方程　x2﹣x﹣6＝0　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据根与系数的关系：两根之和，两根之积，首先写出两根之和，再写出两根之积，可直接得到方程． 【详解】∵﹣2+3＝1，﹣2×3＝﹣6， ∴方程为：x2﹣x﹣6＝0， 故答案为：x2﹣x﹣6＝0． 【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与方程的系数相结合解题是一种经常使用的解题方法． 10．请写出一个根为3，另一个根满足﹣2＜x＜2的一元二次方程　x2﹣4x+3＝0　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】由于方程另一个根满足﹣2＜x＜2，设另一个根为1，根据根与系数的关系计算出3+1＝4，3×1＝3，然后写出以3和1为两根的一元二次方程为x2﹣4x+3＝0． 【详解】∵一个根为3，方程另一个根满足﹣2＜x＜2，设另一个根为1， ∴3+1＝4，3×1＝3， ∴以3和1为两根的一元二次方程为x2﹣4x+3＝0． 故答案为：x2﹣4x+3＝0． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2，x1•x2． 11．（2024秋•辉县市校级月考）解某个一元二次方程时，甲看错了方程的常数项，因而得出的两根为8和2；乙看错了方程的一次项的系数，因而得出两根为﹣9或﹣1，那么正确的方程为（　　） A．x2﹣10x+9＝0 B．x2+10x+9＝0 C．x2﹣10x﹣9＝0 D．x2+10x﹣9＝0 【答案】A 【分析】根据根与系数的关系，甲看错了方程的常数项，得出的两根为8和2，于是一次项系数为﹣（8+2）＝﹣10，同样，乙看错了一次项的系数，得出两根为﹣9或﹣1，于是得到常数项为﹣9×（﹣1）＝9，然后写出满足条件的方程即可． 【详解】由于甲看错了方程的常数项，得出的两根为8和2，则一次项系数为﹣（8+2）＝﹣10， 而乙看错了方程的一次项的系数，得出两根为﹣9或﹣1，则常数项为﹣9×（﹣1）＝9， 所以原一元二次方程为x2﹣10x+9＝0． 故选：A． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 题型四、利用根与系数的关系求代数式的值 12．（2024•临淄区二模）若m，n是一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0的两个根，则m2n+mn2的值是（　　） A．﹣1 B．﹣5 C．﹣6 D．6 【答案】C 【分析】根据根与系数的关系，可得出mn＝﹣1，m+n＝6，再代入即可． 【详解】∵m，n是一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0的两个根， ∴mn＝﹣1，m+n＝6 ∴m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×6＝﹣6． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解答本题的关键要明确将根与系数的关系与代数式变形相结合，是一种经常使用的解题方法． 13．（2024秋•榆中县期末）若x1、x2是方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根，则的值为（　　） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【分析】利用根与系数的关系，可得出x1+x2＝3，x1x2＝﹣1，再将其代入（x1+x2）2﹣2x1x2中，即可求出结论． 【详解】∵x1、x2是方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根， ∴x1+x2＝3，x1x2＝﹣1， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝32﹣2×（﹣1）＝11． 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 14．（2025春•马边县期中）已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，则的值为　﹣7　 ． 【答案】﹣7． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得出，x1+x2＝3，再整体代入到中，即可求解． 【详解】∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2， ∴，x1+x2＝3， ∴ ＝﹣1﹣2×3 ＝﹣7． 故答案为：﹣7． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是得到，x1+x2＝3． 15.（2024秋•兴化市校级期中）已知、是方程的两个实数根，求下列各式的值： （1）； （2）． 【分析】先利用根与系数的关系得到，． （1）利用因式分解法变形得到原式，然后利用整体代入的方法计算； （2）利用完全平方公式得到原式，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据根与系数的关系得，． （1）原式； （2）原式． 16．（2024秋•天河区校级月考）设x1，x2是方程2x2+4x﹣3＝0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： （1）（x1+2）（x2+2）； （2）． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1） （2） 【分析】本题考查根与系数的关系： （1）根据根与系数的关系，得到，整体代入法进行计算即可； （2）利用根与系数的关系结合整体代入法进行计算即可． 【详解】（1）解：∵x1，x2是方程2x2+4x﹣3＝0的两个根， ∴， ∴（x1+2）（x2+2）＝2x1+2x2+x1x2+4 ； （2）∵， ∴ ． 题型五、已知代数式的值求参数 17．（2025•江阳区校级模拟）已知关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两实数根为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝3，则m的值为 　﹣3　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】先根据根的判别式的意义得到m，再根据根与系数的关系得到x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝m2，接着利用（x1+1）（x2+1）＝3得到x1x2+（x1+x2）+1＝3，所以m2+2m﹣1+1＝3，然后解关于m的方程，从而得到满足条件的m的值． 【详解】根据题意得Δ＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4m2≥0， 解得m， ∵方程的两实数根为x1，x2， ∴x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝m2， ∵（x1+1）（x2+1）＝3， ∴x1x2+（x1+x2）+1＝3， 即m2+2m﹣1+1＝3， 整理得m2+2m﹣3＝0， 解得m1＝﹣3，m2＝1， ∵m， ∴m＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2，x1x2．也考查了根的判别式． 18．（2025•天府新区校级模拟）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（k+6）x+3k＝0的两个实数根，且x1﹣x2，则k＝　±2　 ． 【答案】±2． 【分析】两根之和等于，两根之积等于，据此即可求解． 【详解】∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣（k+6）x+3k＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝k+6，x1x2＝3k， ∵x1﹣x2＝2， ∴40， ∴， ∴（k+6）2﹣12k＝40， 解得k＝±2． 故答案为：±2． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），解题关键是牢记两根之和等于，两根之积等于，据此即可求解． 19．（2024秋•濂溪区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且（2x1+x2）（x1+2x2）＝3，求m的值． 【答案】（1）； （2）m． 【分析】（1）由方程有两个实数根，结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出m的取值范围； （2）根据根与系数的关系得出x1+x2＝1﹣2m、，将（2x1+x2）（x1+2x2）＝3变形为，然后代入即可得出关于m的一元二次方程，解方程求得出m的值，结合（1）的结论即可得出m的值． 【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有两个实数根， ∴Δ＝（2m﹣1）2﹣4×1×m2≥0， 即﹣4m+1≥0， 解得：m， ∴m的取值范围为m； （2）∵x1，x2是一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝1﹣2m，x1•x2＝m2， ∵（2x1+x2）（x1+2x2）＝3， ∴， ∴， ∴2（1﹣2m）2+m2＝3， 整理得：9m2﹣8m﹣1＝0， 解得：m1，m2＝1， 又∵， ∴m． 【点睛】本题考查了跟与系数的关系以及根的判别式，根据方程解的情况结合根的判别式找出关于m的不等式或方程是解题的关键． 20．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2+1＝0有实数根． （1）求m 的取值范围； （2）若方程的两个实数根分别为x1，x2，且15，求m的值． 【答案】（1）m； （2）2． 【分析】（1）根据根与系数的关系得到Δ＝（2m+1）2﹣4（m2+1）≥0，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2+1，再由15得到（2m+1）2﹣2（m2+1）＝15，解得m1＝﹣4，m2＝2，然后利用（1）中m的取值范围确定m的值． 【解答】解；（1）根据题意得Δ＝（2m+1）2﹣4（m2+1）≥0， 解得m， 所以m的取值范围为m； （2）根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2+1， ∵15， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝15， ∴（2m+1）2﹣2（m2+1）＝15， 整理得m2+2m﹣8＝0， 解得m1＝﹣4，m2＝2， ∵m， ∴m的值为2． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了根的判别式． 21．（2025•高密市三模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣1＝0有两个实数根x1和x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若两个实数根x1和x2满足x1+x2﹣x1x2＜4，求k的整数值． 【答案】（1）k≤2； （2）0、1、2． 【分析】（1）根据根的判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）≥0，然后解不等式即可； （2）先利用根与系数的关系得到x1+x2＝2，x1x2＝k﹣1，再利用x1+x2﹣x1x2＜4得到2﹣（k﹣1）＜4，解不等式得到k的范围，然后写出整数x即可． 【详解】（1）根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）≥0， 解得k≤2； （2）根据根与系数的关系得x1+x2＝2，x1x2＝k﹣1， ∵x1+x2﹣x1x2＜4， ∴2﹣（k﹣1）＜4， 解得k＞﹣1， 而k≤2， ∴﹣1＜k≤2， ∴k的整数值为0、1、2． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了根的判别式． 题型一、判别式和根与系数的关系综合问题 22．（2024秋•西华县期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3|m|＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值． 【答案】（1）证明见解析过程； （2）m＝±1． 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． （2）利用一元二次方程根与系数的关系，得出α+β＝2，再结合 α+2β＝5即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3|m|）＝4+12|m|， 又∵|m|≥0， ∴4+12|m|≥4＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根． （2）解：由题知， ∵方程的两个实数根分别为α，β， ∴α+β＝2． 又∵α+2β＝5， ∴β＝3， 将β＝3代入方程得， 9﹣6﹣3|m|＝0， 解得m＝±1． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系、绝对值及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系、根的判别式及绝对值的性质是解题的关键． 23．（2024春•海阳市期末）关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+3＝0的两个实数根分别为x1，x2． （1）求m的取值范围； （2）若（x1﹣x2）2＝|x1|+|x2|，求m的值． 【答案】（1）m≥1； （2）． 【分析】（1）根据根的判别式的意义得到Δ＝4（m+1）2﹣4（m2+3）≥0，然后解不等式即可； （2）先利用根与系数的关系得x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2+3，再利用m＞1得到x1+x2＞0，x1x2＞0，从而得到x1＞0，x2＞0，则去绝对值和利用完全平方公式变形得到（x1+x2）2﹣4x1x2＝x1+x2，所以4（m+1）2﹣4（m2+3）＝2（m+1），然后解关于m的方程得到满足条件的m的值． 【详解】（1）根据题意得Δ＝4（m+1）2﹣4（m2+3）≥0， 解得m≥1， 即m的取值范围为m≥1； （2）根据根与系数的关系得x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2+3， ∵m≥1， ∴x1+x2＝2（m+1）＞0，x1x2＝m2+3＞0， ∴x1＞0，x2＞0， ∵（x1﹣x2）2＝|x1|+|x2|， ∴（x1﹣x2）2＝x1+x2， ∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝x1+x2， 即4（m+1）2﹣4（m2+3）＝2（m+1）， 解得m， ∵m≥1， ∴m的值为． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2，x1x2．也考查了绝对值和根的判别式． 24．（2024秋•鄂州期末）关于x的方程x2+（2k+1）x+k2+2＝0有两个实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围； （2）若x1，x2满足|x1|+|x2|＝x1x2﹣1，求k的值． 【答案】（1）k； （2）k＝2． 【分析】（1）利用判别式的意义得到Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+2）≥0，然后解不等式得到k的范围； （2）据题根与系数的关系得到x1+x2＝﹣（2k+1）＜0，x1x2＝k2+2＞0，由此推知x1＜0，x2＜0，结合已知条件得到：﹣（x1+x2）＝x1x2﹣1，代入解方程即可． 【解答】（1）根据题意得Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+2）≥0， 解得k； （2）根据题意得x1+x2＝﹣（2k+1）＜0，x1x2＝k2+2＞0， ∴x1＜0，x2＜0， ∵|x1|+|x2|＝|x1x2|﹣1， ∴﹣（x1+x2）＝x1x2﹣1， ∴2k+1＝k2+2﹣1， 整理得k2﹣2k＝0，解得k1＝0，k2＝2， ∵k， ∴k＝2． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了判别式． 25．（2025•凉州区校级二模）已知关于x的方程x2﹣2ax﹣a+2b＝0，其中a，b为实数． （1）当a＝3，b＝﹣2时，求方程两根的平方和． （2）当a＜0时，若方程有一个根为2a，判断a与b的大小关系并说明理由． （3）若对于任何实数a，此方程都有实数根，求b的取值范围． 【答案】（1）50； （2）a＜b，理由见解析； （3）． 【分析】（1）先把a＝3，b＝﹣2代入x2﹣2ax﹣a+2b＝0，得出x2﹣6x﹣7＝0，解方程得出x1＝7，x2＝﹣1，然后求出结果即可； （2）把x＝2a方入方程x2﹣2ax﹣a+2b＝0得出，求出，即可得出答案； （3）根据根的判别式得出Δ＝（2a）2﹣4（﹣a+2b）＝4a2+4a﹣8b≥0，整理得出，根据对于任何实数a，此方程都有实数根，得出对于任何实数a，恒成立，即可得出答案． 【详解】（1）当a＝3，b＝﹣2时，方程为x2﹣6x﹣7＝0， 解得：x1＝7，x2＝﹣1， ∴， 即两根的平方和为50． （2）把x＝2a方入方程x2﹣2ax﹣a+2b＝0得： 4a2﹣4a2﹣a+2b＝0， 整理得：， ∴， ∴， 即a＜b； （3）由题可知Δ＝（2a）2﹣4（﹣a+2b）＝4a2+4a﹣8b≥0， 整理得：， ∵对于任何实数a，此方程都有实数根， ∴对于任何实数a，恒成立， ∴． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，根的判别式，完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法及根的判别式． 题型二、根与系数的关系与几何问题 26．（2024秋•常德期末）已知关于x的方程x2﹣（k+3）x+3k＝0． （1）求证：无论k取何值，方程总有实数根； （2）若斜边为5的直角三角形的两条直角边长分别是方程的两根，求k的值． 【答案】（1）见解析； （2）k＝4． 【分析】（1）对于一元二次方程根的情况需判断Δ的值，可得结论； （2）设直角三角形的两条直角边长分别为a，b，利用根与系数的关系可以得到a+b，ab的值，利用勾股定理化简代入求k的值． 【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（k+3）]2﹣4×1×3k＝k2﹣6k+9＝（k﹣3）2≥0 ∴无论k取何值，方程总有实数根； （2）解：设直角三角形的两条直角边长分别为a，b， 则a+b＝k+3＞0，ab＝3k＞0， ∴k＞0， 又a2+b2＝25，（a+b）2﹣2ab＝25， ∴（k+3）2﹣2×3k＝25， 解得：k＝±4， ∵k＞0， ∴k＝﹣4应舍去， ∴k＝4． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，注意直角三角形边长为正值是解题的关键． 27．（2024秋•天山区校级期末）已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实数根． （1）求证无论k为何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）当k＝2时，请判断△ABC的形状并说明理由； （3）若△ABC是等腰三角形，则k的值为 　3或4　 ． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）△ABC为直角三角形； （3）3或4． 【分析】（1）表示出根的判别式，求出值大于0，可得出方程总有两个不相等的实数根； （2）把k＝2代入方程求出解，得到三角形三边，利用勾股定理的逆定理判断即可； （3）由△ABC为等腰三角形，得到x＝5为方程的解，把x＝5代入方程计算即可求出k的值． 【详解】（1）∵Δ＝[﹣（2k+3）]2﹣4×1×（k2+3k+2） ＝4k2+12k+9﹣4k2﹣12k﹣8 ＝1＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）当k＝2时，方程化为：x2﹣7x+12＝0， 解得：x＝3或x＝4， ∵32+42＝52， ∴△ABC为直角三角形； （3）∵△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个不相等实数根， 且△ABC为等腰三角形， ∴x＝5是方程的解，即25﹣5（2k+3）+k2+3k+2＝0， 整理得：k2﹣7k+12＝0， 解得：k＝3或k＝4． 【点睛】此题考查了根与系数的关系，根的判别式，等腰三角形的性质，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 28．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0 （1）判断方程根的情况； （2）若方程的两根x1、x2满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝5，求k值； （3）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两根，第三边BC的长为5， ①则k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？ ②k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求出△ABC的周长． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出Δ＝1＞0，由此即可得出方程有两个不相等的实数根； （2）根据根与系数的关系进行解答； （3）利用分解因式法可求出x1＝k+1，x2＝k+2．①不妨设AB＝k+1，AC＝k+2，根据BC＝5利用勾股定理即可得出关于k的一元二次方程，解方程即可得出k的值；②根据（1）结论可得出AB≠AC，由此可找出△ABC是等腰三角形分两种情况，分AB＝BC、AC＝BC两种情况考虑，根据两边相等找出关于k的一元一次方程，解方程求出k值，进而可得出三角形的三边长，再根据三角形的周长公式即可得出结论 【详解】（1）∵在方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0中，Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2k+3）]2﹣4（k2+3k+2）＝1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． （2）∵x1+x2＝2k+3，x1•x2＝k2+3k+2， ∴由（x1﹣1）（x2﹣1）＝5，得 x1•x2﹣（x1+x2）+1＝5，即k2+3k+2﹣2k﹣3+1＝5， 整理，得 k2+k﹣5＝0， 解得k； （3）∵x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝（x﹣k﹣1）（x﹣k﹣2）＝0， ∴x1＝k+1，x2＝k+2． ①不妨设AB＝k+1，AC＝k+2， ∴斜边BC＝5时，有AB2+AC2＝BC2，即（k+1）2+（k+2）2＝25， 解得：k1＝2，k2＝﹣5（舍去）． ∴当k＝2时，△ABC是直角三角形 ②∵AB＝k+1，AC＝k+2，BC＝5，由（1）知AB≠AC， 故有两种情况： （Ⅰ）当AC＝BC＝5时，k+2＝5， ∴k＝3，AB＝3+1＝4， ∵4、5、5满足任意两边之和大于第三边， ∴此时△ABC的周长为4+5+5＝14； （Ⅱ）当AB＝BC＝5时，k+1＝5， ∴k＝4，AC＝k+2＝6， ∵6、5、5满足任意两边之和大于第三边， ∴此时△ABC的周长为6+5+5＝16． 综上可知：当k＝3时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为14；当k＝4时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为16． 【点睛】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及等腰三角形的判定，熟练掌握“当根的判别式Δ＞0时，方程有两个不等实数根．”是解题的关键． 题型三、新定义探究问题 29．（2024秋•曲阳县期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是2和4，则方程x2﹣6x+8＝0是倍根方程． （1）若一元二次方程x2﹣3x+c＝0是“倍根方程”，则c＝ 　2　 ； （2）判断方程x2﹣x﹣2＝0是不是倍根方程？并说明理由； （3）若（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）是倍根方程，求代数式4m2﹣5mn+n2的值． 【答案】（1）2； （2）不是，理由见解析； （3）0． 【分析】（1）由一元二次方程x2﹣3x+c＝0是“倍根方程”，得到，即可得到结论； （2）求出方程的解即可判断出结论； （3）解方程（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）得，．由方程两根是2倍关系，得到x2＝1或4，代入解方程即可得到结论． 【详解】（1）∵一元二次方程x2﹣3x+c＝0是“倍根方程”， 又x1+x2＝3，x1x2＝c， ∴， ∴x1＝1，c＝2， 故答案为：2； （2）方程x2﹣x﹣2＝0不是“倍根方程”，理由如下： x2﹣x﹣2＝0，（x+1）（x﹣2）＝0， 解得，x1＝﹣1，x2＝2， ∴， ∴方程x2﹣x﹣2＝0不是“倍根方程”； （3）解方程（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）得，． ∵方程两根是2倍关系， ∴x2＝1或4， 当x2＝1时，，即m＝n，代入代数式得4m2﹣5mn+n2＝0， 当x2＝4时，，即n＝4m，代入代数式得4m2﹣5mn+n2＝0， 综上，4m2﹣5mn+n2＝0． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，．也考查了一元二次方程的解和解一元二次方程． 30．（2025春•萧山区期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”． （1）通过计算，判断方程x2﹣x﹣6＝0是否是“邻根方程”； （2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值； （3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a、b是常数，a＞0）是“邻根方程”，令t＝8a﹣b2，试求t的最大值． 【答案】（1）不是“邻根方程”； （2）m＝0或﹣2； （3）t的最大值为4． 【分析】（1）根据解一元二次方程的方法求出已知方程的两个根，再计算两根的差是否为1，可以确定方程是否是“邻根方程”； （2）先解方程，求出根，再根据新定义列出关于m的方程，注意有两种情况； （3）利用公式法解出一元二次方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义即可列出a与b的关系式，再由 t＝8a﹣b2可列出t与a的关系式，最后利用完全平方公式求出最大值． 【详解】（1）∵x2﹣x﹣6＝0， ∴（x﹣3）（x+2）＝0， ∴x1＝3，x2＝﹣2， ∵3≠﹣2+1， ∴x2﹣x﹣6＝0不是“邻根方程”； （2）x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0， （x﹣m）（x+1）＝0， ∴x1＝m，x2＝﹣1， ∵方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”， ∴m＝﹣1+1或m＝﹣1﹣1， ∴m＝0或﹣2． （3）ax2+bx+1＝0，∴x， ∵关于x的方程ax2+bx+1＝0（a、b是常数，a＞0）是“邻根方程”， ∴1， ∴b2＝a2+4a， ∵t＝8a﹣b2， ∴a2+4a＝8a﹣t， ∴t＝4a﹣a2＝﹣（a﹣2）2+4， ∵a＞0， ∴当a＝2时，t的最大值为4． 【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义，本题属于中等题型． 31．已知一元二次方程的两根都是整数，且不相等，若其中一根是另一根的整数倍，则称该方程是整根方程．例如：x2﹣x﹣2＝0的两根为x1＝﹣1，x2＝2．因为2是﹣1的﹣2倍，所以x2﹣x﹣2＝0是整根方程． （1）求证：方程x2+3x﹣18＝0是整根方程； （2）若存在正整数m，使关于x的一元二次方程x2﹣（m+5）x+4m+4＝0是整根方程，且关于x的一元二次方程x2﹣4x+2m＝0有实数根，求m的值． 【答案】（1）见解析； （2）1． 【分析】（1）利用因式分解法解出方程，根据倍根方程的定义判断即可； （2）利用因式分解法解出方程，根据倍根方程的定义，以及根的判别式求出m的值． 【详解】（1）∵x2+3x﹣18＝0， （x﹣3）（x+6）＝0， x1＝3，x2＝﹣6， ∵﹣6是3的﹣2倍， ∴x2+3x﹣18＝0是倍根方程； （2）x2﹣（m+5）x+4m+4＝0， x2﹣（m+5）x+4（m+1）＝0 （x﹣4）（x﹣m﹣1）＝0 x1＝4，x2＝m+1， ∵x2﹣4x+2m＝0总有两个实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×2m＝16﹣8m≥0， 解得m≤2， ∵正整数m，使得关于x的一元二次方程x2﹣（m+5）x+4m+4＝0是倍根方程，m＝2时，x2﹣7x+12＝0的根为x1＝3，x2＝4，不是倍根方程， m＝1时，x2﹣6x+8＝0的根为x1＝2，x2＝4，是倍根方程， ∴m＝1． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法和判别式，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 32．（2025•厦门校级模拟）关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x﹣6＝0中，k＜0．则该方程的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个正实数根 C．两根之积为﹣6 D．两根之和为1 【答案】C 【分析】先计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况，再根据根与系数的关系，得出两根之积和两根之和． 【详解】∵Δ＝[﹣（k+1）]2﹣4×1×（﹣6）＝（k+1）2+24＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， 故A错误，该选项不符合题意； 设x1、x2是一元二次方程x2﹣（k+1）x﹣6＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝k+1，x1•x2＝﹣6， 故C正确，该选项不符合题意；D错误，该选项不符合题意； ∴两根的符号相反， 故B错误，该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，解答本题的关键要明确：若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 33．（2024•合江县一模）定义（a，b，c）为方程ax2+bx+c＝0的特征数．若特征数为（1，2k﹣2，k2﹣k）的方程的两实数根的平方和为12，则k的值为（　　） A．﹣1或4 B．﹣4 C．﹣1 D．﹣4或1 【答案】C 【分析】根据方程的两实数根的平方和为12，得Δ≥0，x1+x2＝﹣（2k﹣2），，然后根据列方程求解即可． 【详解】根据题意可知，该方程为x2+（2k﹣2）x+k2﹣k＝0， ∵方程的两实数根的平方和为12， ∴Δ＝（2k﹣2）2﹣4（k2﹣k） ＝4k2﹣8k+4﹣4k2+4k ＝﹣4k+4≥0， ∴k≤1， 设两实数根为x1，x2，则x1+x2＝﹣（2k﹣2），， ∵ ∴（2k﹣2）2﹣2（k2﹣k）＝12， 整理得：k2﹣3k﹣4＝0， 解得：k1＝4，k2＝﹣1， ∵k≤1， ∴k＝﹣1， 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的方程，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若x1，x2是该方程的两个实数根，则x1+x2，x1x2． 34．（2025•市中区模拟）关于x的方程x2+2x+2k＝0的两实根异号，则k满足的条件是（　　） A．k＜1 B．﹣1≤k＜1 C．k＜0 D．﹣1≤k＜0 【答案】D 【分析】由方程的两实数根异号，可得出两根之积小于零，再利用二次根式的被开方数非负及Δ＞0即可解决问题． 【详解】由题知， 因为关于x的方程x2+2x+2k＝0的两实根异号， 所以且， 解得k＜0． 又因为k+1≥0， 所以k≥﹣1， 综上所述，k满足的条件是：﹣1≤k＜0． 故选：D． 【点睛】本题考查根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． 35．（2025•江阳区校级模拟）已知四边形ABCD是菱形，菱形的两边AB、BC的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，则m的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据菱形的性质可知AB＝BC，利用根的判别式Δ＝0可求出m值． 【详解】∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC， ∴Δ＝（﹣m）2﹣4×1×（）＝0， 解得m1＝m2＝1． 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质、根与系数的关系，解题的关键是利用根的判别式Δ＝0，得出关于m的方程． 36．（2025•平原县一模）若α，β是一元二次方程x2﹣3x﹣8＝0的两个根，则α2﹣4α﹣β的值为　5　 ． 【答案】5． 【分析】将α2﹣4α﹣β化为α2﹣3α﹣（α+β）分别求出α2﹣3α＝8、α+β＝3即可求得答案． 【详解】∵α、β是一元二次方程x2﹣3x﹣8的两个根， ∴α2﹣3α﹣8＝0， ∴α2﹣3α＝8， ∵α+β＝3， ∴α2﹣4α﹣β＝α2﹣3α﹣α﹣β＝α2﹣3α﹣（α+β）＝8﹣3＝5． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系、一元二次方程的解，解题关键是熟知根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 37．（2024秋•台州期末）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，且x1＝2x2，若a+b+c＝0，则 　或﹣3　 ． 【答案】或﹣3． 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】由题知， 因为a+b+c＝0， 所以x＝1是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根． 又因为关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，且x1＝2x2， 则当x1＝1时，， 则1， 所以． 当x2＝1时，x1＝2， 则1+2， 所以， 综上所述：的值为或﹣3． 故答案为：或﹣3． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 38．（2025•玄武区一模）设x1，x2是关于x的方程x2﹣3kx﹣k﹣1＝0的根，且x1＝x2（2x1﹣1），则k的值为　　 ． 【答案】． 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】因为x1，x2是关于x的方程x2﹣3kx﹣k﹣1＝0的根， 所以x1+x2＝3k，x1x2＝﹣k﹣1． 又因为x1＝x2（2x1﹣1）， 则x1+x2＝2x1x2， 所以3k＝2（﹣k﹣1）， 解得k． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 39．（2025•镇江模拟）定义：若一元二次方程有两个整数根，且其中一个根是另一个根的整数倍，则称该方程是“一元二次倍根方程”．例如：方程x2﹣3x+2＝0的两个根为x1＝1，x2＝2，因为x2是x1的2倍，所以方程x2﹣3x+2＝0是“一元二次倍根方程”．已知n是正整数，若关于x的一元二次方程x2﹣（n+4）x+3n+3＝0是“一元二次倍根方程”，且关于y的一元二次方程y2+5y+n＝0总有两个不相等的实数根，则n的值为　2或5　 ． 【答案】2或5． 【分析】用因式分解法求解方程得出x1＝3，x1＝n+1，再根据一元二次方程根的判别式，得出m的取值范围，最后根据“倍根方程”的定义，即可求解． 【详解】x2﹣（n+4）x+3n+3＝0， （x﹣3）[x﹣（n+1）]＝0， x﹣3＝0或x﹣（n+1）＝0， 解得：x1＝3，x1＝n+1， ∵y2+5y+n＝0总有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝52﹣4×1×n＞0， 解得n， ∵n是正整数， ∴n＝1，2，3，4，5，6， ∵方程x2﹣（n+4）x+3n+3＝0是“倍根方程”， ∴3能被n+1整除或n+1能被3整除， ∴n＝2或5． 故答案为：2或5． 【点睛】本题考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 40．（2025春•昭平县期中）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+3x+2＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）在（1）的条件下，若m取最大正整数值，设x1、x2是该方程的两根，求x2+x15的值． 【答案】（1）且m≠1； （2）﹣11． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，列不等式即可求解； （2）根据（1）中m的取值范围确定m的值，代入一元二次方程方程，利用根与系数的关系得到x1+x2、x1x2的值，对算式变形后代入计算即可得到答案． 【详解】（1）∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+3x+2＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝32﹣4×（m﹣1）×2＝17﹣8m＞0， 解得， 又∵m﹣1≠0， ∴m≠1， ∴m的取值范围为：且m≠1； （2）∵， ∴m的最大正整数值为2， 当m＝2时，一元二次方程为x2+3x+2＝0， ∴，， ∴原式＝x1x2（x1+x2）﹣5 ＝2×（﹣3）﹣5 ＝﹣11． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 41．（2025春•崇川区校级月考）定义：已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根x1，x2，若满足|x1﹣x2|＝|x1•x2|，则称此类方程为“差积方程”． 例如：，即，解得，x2＝1， ∵，∴是差积方程． （1）方程x2﹣5x+6＝0 　不是　 （填是或不是）“差积方程”； （2）若关于x的方程x2﹣（m+3）x+3m＝0是“差积方程”，求出m的值． （3）若关于x的方程x2+bx+c＝0是“差积方程”，且它的一个实数根为﹣1，求b+c的值． 【答案】（1）不是； （2）或； （3）2． 【分析】（1）利用分解因式法解方程，求出方程的根，再根据“差积方程”的定义进行判断即可； （2）利用分解因式法解方程，求出方程的根，再根据“差积方程”的定义列出关于m的方程，分三种情况讨论，求出m的值即可； （3）设关于x的方程x2+bx+c＝0的根为﹣1和t，根据一元二次方程根与系数的关系得：﹣1+t＝﹣b，﹣t＝c，然后根据关于x的方程x2+bx+c＝0是“差积方程”，列出关于t的方程，分三种情况讨论，求出t，再求出b，c，最后代入b+c计算即可． 【详解】（1）x2﹣5x+6＝0， （x﹣2）（x﹣3）＝0， 解得：x1＝2，x2＝3， ∵|3﹣2|≠|3×2|， ∴方程x2﹣5x+6＝0不是“差积方程”， 故答案为：不是； （2）x2﹣（m+3）x+3m＝0， （x﹣3）（x﹣m）＝0， 解得：x1＝3，x2＝m， ∵关于x的方程x2﹣（m+3）x+3m＝0是“差积方程”， ∴|3﹣m|＝|3m|， 分三种情况讨论： ①当m≥3时，m﹣3＝3m， ﹣2m＝3， m＝﹣1.5（不合题意舍去）； ②当0≤m＜3时， 3﹣m＝3m， 4m＝3， ； ③当m＜0时， 3﹣m＝﹣3m， 2m＝﹣3， ； 综上可知：m的值为或； （3）设关于x的方程x2+bx+c＝0的根为﹣1和t， ∴﹣1+t＝﹣b，﹣t＝c， ∵关于x的方程x2+bx+c＝0是“差积方程”， ∴|﹣1﹣t|＝|（﹣1）•t|， ∴|1+t|＝|t|， 当t≥1时，1+t＝t（无解）； 当0≤t＜1时，1+t＝t（无解）； 当t＜0时，t+1＝﹣t， 解得：， ∴， 解得：， ∴.. 【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题关键是熟练掌握几种常见的解方程的方法和一元二次方程根与系数的关系． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$