25.2.3 因式分解法 同步练习 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦因式分解法，以“基础辨析-技能应用-综合建模”三阶分层设计，覆盖概念理解、运算技能及实际问题解决，适配新授课知识巩固与核心素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（选择1-7、填空9-11）|因式分解适用条件、基本解法、根的概念|通过辨析题（如选择1、5）强化抽象能力，直接运算题（如填空9、10）提升运算能力| |应用层（选择8、填空12、解答13）|方程求解、简单几何应用|解答题13系统训练提公因式与公式法，填空12结合等腰三角形性质培养几何直观| |综合层（解答14-16）|参数讨论、实际问题建模|解答15以矩形道路问题发展模型意识，16结合勾股定理强化推理能力与应用意识|

人教版 九年级数学上册 25.2.3 因式分解法 同步练习 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。） 1．下列一元二次方程中，最适合用因式分解法求解的是（ ） A． B． C． D． 2．方程 的解为（ ） A． B． C． D． 3．方程 的解是（ ） A． B． C． D． 4．方程 的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 5．解一元二次方程 ，最简便的方法是（ ） A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 6．若一元二次方程 因式分解的结果为 ，则 的值分别为（ ） A． B． C． D． 7．关于 的一元二次方程 有一个根为 0，则 的值为（ ） A． B． C．或 D． 8．某校组织篮球联赛，每两队之间都进行两场比赛，计划安排 42 场比赛。设参赛队伍有 支，根据题意列方程并求解，下列结论正确的是（ ） A．方程为 ，有两个正整数解 B．方程为 ，只有一个正整数解符合题意 C．方程为 ，有两个正整数解 D．方程为 ，没有正整数解 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 9．方程 的解为 。 10．方程 的解为 。 11．若 是一元二次方程 的一个根，则方程的另一个根为 。 12．等腰三角形的底和腰是方程 的两个根，则这个三角形的周长为 。 三、解答题（本大题共 4 小题，共 60 分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 13．（12 分）用因式分解法解下列方程： （1）； （2） ； （3）。 14．（14 分）已知关于 的一元二次方程 。 （1）求证：无论 取何实数，该方程总有实数根； （2）用因式分解法解这个方程。 15．（16 分）在一块长 22 米、宽 16 米的矩形空地上，修建两条宽度相等且互相垂直的道路（一条横向、一条纵向），剩余部分种植草坪。若草坪的总面积为 280 平方米，求道路的宽度。 16．（18 分）已知关于 的一元二次方程 。 （1）用因式分解法求该方程的两个根； （2）若该方程的两个根分别是一个直角三角形的两条直角边长，且斜边长为 5，求 的值。 参考答案与解析 一、选择题 1．答案：C 解析：因式分解法适用于左边易分解、右边为 0 的方程。选项 C 可直接提公因式 分解为 ，适合因式分解法；其余选项无法直接因式分解，更适合公式法。 2．答案：C 解析：移项得 ，提公因式 得 ，解得 。注意不可直接两边除以 ，避免丢根。 3．答案：C 解析：方程符合平方差形式，因式分解得 ，解得 。 4．答案：B 解析：方程左边是完全平方式，因式分解得 ，有两个相等的实数根 。 5．答案：D 解析：方程两边均含公因式 ，移项后提公因式即可快速求解，因此因式分解法最简便。 6．答案：A 解析：展开 ，对应系数得 。 7．答案：B 解析：将 代入方程得 ，解得 。 又因为方程是一元二次方程，二次项系数 ，即 ，故 。 8．答案：B 解析：双循环比赛总场数公式为 ，列方程得 ， 整理为 ，因式分解得 ，解得 。 负根不符合实际意义，舍去，因此只有 1 个正整数解符合题意。 二、填空题 9．答案： 解析：提公因式得 ，解得 。 10．答案： 解析：用平方差公式因式分解得 ，即 ，解得 。 11．答案： 解析：将 代入方程得 ，解得 。 原方程为 ，因式分解得 ，故另一个根为 。 12．答案：10 或 11 解析：因式分解方程得 ，解得 。 分两种情况： ① 腰长为 3，底边长为 4，三边为 3、3、4，满足三角形三边关系，周长为 ； ② 腰长为 4，底边长为 3，三边为 4、4、3，满足三角形三边关系，周长为 。 三、解答题 13．解：(1) 移项得 ， 提公因式得 ， 则 或 ， 解得 。 (2) 因式分解得 ， 即 ， 则 或 ， 解得 。 (3) 因式分解得 ， 解得 。 14．(1) 证明：根的判别式 。 无论 取何实数，，即 ， 无论 取何实数，该方程总有实数根。 (2) 解：方程因式分解得 ， 则 或 ， 解得 。 15．解：设道路的宽度为 米。 将草坪部分平移拼接，可得长为 米、宽为 米的矩形， 根据题意列方程： ， 整理得 ， 因式分解得 ， 解得 。 道路宽度小于矩形空地的宽 16 米， 不符合题意，舍去。 答：道路的宽度为 2 米。 16．解：(1) 方程因式分解得 ， 则 或 ， 解得 。 (2) 由题意，两条直角边长分别为 和 ，斜边长为 5， 根据勾股定理得： ， 整理得 ， 因式分解得 ， 解得 。 三角形边长为正数， 不符合题意，舍去。 综上， 的值为 3。 学科网（北京）股份有限公司 $