2.1一元二次方程（题型专练）数学北师大版九年级上册

2.1认识一元二次方程 题型一 一元二次方程的识别 1．（24-25九年级上·重庆永川·阶段练习）下列方程是一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程．逐一分析各选项是否符合条件． 【详解】解：A．方程含两个未知数x和y，属于二元一次方程，不符合条件． B．方程右边为分式，不是整式方程，排除． C．方程整理为，即，满足只含一个未知数x且最高次数为2，是整式方程，符合条件． D．合并同类项后为，是一元一次方程，排除． 故选：C． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）在下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程为一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．由一元二次方程的定义分别判断各选项即可． 【详解】解：A. 方程含两个未知数和，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B. 整理为，符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意； C. 方程右边含，分母含未知数，不是整式方程，故本选项不符合题意； D. 展开后，化简为，是一元一次方程，故本选项不符合题意； 故选：B． 3．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．根据一元二次方程的定义（整式方程、只含一个未知数且未知数最高次数为2）逐一判断选项． 【详解】A、方程是整式方程，仅含未知数，且的最高次数为2，符合一元二次方程的定义，本选项符合题意； B、当时，该方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、方程含分式项，不是整式方程，不符合定义，故本选项不符合题意； D、方程含两个未知数和，不是一元方程，故本选项不符合题意． 故选：A． 4．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）下列方程①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中一定是一元二次方程的有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解． 【详解】①，时，不是一元二次方程； ②，整理得，是一元二次方程； ③，不是一元二次方程； ④，不是一元二次方程； ⑤，不是一元二次方程； ⑥，是一元二次方程； ⑦，整理得，不是一元二次方程； ∴一元二次方程有②⑥，共2个． 故选：A． 6．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列方程是一元二次方程的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是含有一个未知数且未知数的最高次数是是解题关键．根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行分析即可． 【详解】解：①，是一元二次方程； ②，是一元二次方程； ③，不是整式方程，不是一元二次方程； ④，含有两个未知数，并且未知数的最高次数是，不是一元二次方程； 故选：B． 题型二 一元二次方程的一般形式 1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）关于的一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，理解并掌握一元二次方程的概念及一元二次方程的一般式是关键． 根据一元二次方程的概念及一般式“”判定即可． 【详解】解：关于的一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别为， 故选：D ． 2．（24-25八年级下·福建泉州·期末）将一元二次方程化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．1，2，6 B．1，，6 C．1，， D．1，2， 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（是常数，且）． 先将一元二次方程化为一般形式，即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为， 二次项系数、一次项系数、常数项分别是， 故选：C． 3．（24-25九年级上·湖南永州·期末）把一元二次方程化成一般形式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程一般形式是解题的关键．一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且），在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．根据题意将一元二次方程化为一般形式即可． 【详解】解： 一元二次方程化成一般形式是， 故答案为：． 4．（2024春•上城区校级期中）把关于x的方程x（2x+1）＝3化成一般式是 　 ，其中常数项是 　 ． 【答案】2x2+x﹣3＝0，﹣3． 【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：x（2x+1）＝3， 2x2+x＝3， 方程整理得：2x2+x﹣3＝0， ∴常数项为﹣3． 故答案为：2x2+x﹣3＝0，﹣3． 5．（23-24八年级下·全国·假期作业）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)关于x的方程． 【答案】(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为 (2)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为0 (3)，二次项系数为，一次项系数为，常数项为 【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握一般形式是解本题的关键； （1）先移项，把方程的右边化为0，从而可得答案； （2）先去括号，再移项，把方程的右边化为0，从而可得答案； （3）先移项，把方程的右边化为0，从而可得答案； 【详解】（1）解： 移项，得． 二次项系数为3，一次项系数为﹣2，常数项为﹣1． （2）， 去括号，得； 移项、合并同类项，得， 整理，得． 二次项系数为3，一次项系数为，常数项为0． （3） 移项、合并同类项，得． 二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 题型三 由一元二次方程的定义求字母的取值范围 1．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程，熟记一般形式为． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴，解得：， 故选：． 2．（24-25九年级上·广东广州·期中）若方程是一元二次方程，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，象这样的方程叫做一元二次方程．对于一元二次方程，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．根据二次项系数不为零列式求解即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴． 故选A． 3．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 方程是一元二次方程，二次项系数不能为零，由此即可求解． 【详解】解：根据方程是关于的一元二次方程得， ∴， 解得， 故选：D． 4．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）若关于的方程（为常数）是一元二次方程，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，注意二次项系数不为零；根据二次项系数不为零即可求解． 【详解】解：∵关于的方程（为常数）是一元二次方程， ∴， ∴； 故答案为：． 5．（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．熟记相关定义即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， 故答案为：． 题型四 由一元二次方程的定义求字母的值 1．（24-25九年级上·甘肃武威·阶段练习）关于的方程是一元二次方程，则值是（   ） A． B． C．或 D．为任意实数 【答案】C 【分析】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，本题根据一元二次方程的定义求解． 【详解】解：由题意得： ， 解得． 故选：C． 2．（24-25九年级上·北京·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（　　） A．1 B． C． D．不存在 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义得出，，即可求出a的值． 【详解】解：若方程是关于x的一元二次方程， 则， 解得， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 3．（24-25九年级下·江西吉安·阶段练习）若关于x的方程是一元二次方程，则m= ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且），特别要注意的条件．根据题意列出关于m的等式求解即可． 【详解】解：根据题意可知 解得． 故答案为：． 4．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行解答即可． 【详解】解：依题意可得， 解得， 故答案为：． 5．（24-25九年级下·全国·假期作业）方程． (1)当取何值时是一元二次方程？ (2)当取何值时是一元一次方程？ 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，一元一次方程的定义，掌握其定义是解决此题的关键． （1）只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求出的值即可； （2）只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此分和两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：方程是一元二次方程， ， ； （2）解：当时，原方程为，是一元一次方程，符合题意； 当时， 方程， ， ； 综上所述，或． 题型五 由实际问题列一元二次方程 1．《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为x尺，下列方程符合题意的是（　　） A．（x+2）2+（x﹣4）2＝x2 B．（x﹣2）2+（x﹣4）2＝x2 C．x2+（x﹣2）2＝（x﹣4）2 D．（x﹣2）2+x2＝（x+4）2 【答案】B 【分析】由题意可得门高（x﹣2）尺、宽（x﹣4）尺，长为对角线x尺，根据勾股定理可得的方程． 【详解】解：设门对角线的长为x尺，由题意得： （x﹣2）2+（x﹣4）2＝x2， 故选：B． 2．为大力实施城市绿化行动，某小区规划设置一片面积为1000平方米的矩形绿地，并且长比宽多30米，设绿地长为x米，根据题意可列方程为（　　） A．x（x+30）＝1000 B．x（x﹣30）＝1000 C．2x（x+30）＝1000 D．2x（x﹣30）＝1000 【答案】B 【分析】设绿地长为x米，则宽为（x﹣30）米，根据矩形绿地的面积为1000平方米列出方程即可． 【详解】解：设绿地长为x米，则宽为（x﹣30）米，根据题意得： x（x﹣30）＝1000，故B正确． 故选：B． 3．为丰富乡村文体生活，某区准备组织首届“美丽乡村”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，设邀请x个球队参加比赛，可列方程得（　　） A． B． C．x（x﹣1）＝28 D．x（x+1）＝28 【答案】A 【分析】利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：x（x﹣1）＝28． 故选：A． 4．（23-24九年级下·重庆·期中）由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元，设增长率为，则方程可以列为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据第一天的票房及增长率，即可得出第二天票房约5（1＋x）亿元、第三天票房约5（1＋x）2亿元，根据三天后票房收入累计达约20亿元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：第一天票房约5亿元，增长率为x， ∴第二天票房约5（1＋x）亿元，第三天票房约5（1＋x）2亿元． 依题意得：5＋5（1＋x）＋5（1＋x）2 =20． 故选：D． 5．某校在操场东边开发出一块长、宽分别为18m、10m的矩形菜园（如图），作为劳动教育系列课程的实验基地之一，为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，剩下的用于种植，且种植面积为144m2，设小道的宽为xm，根据题意可列方程为（　　） A．（18﹣2x）（10﹣x）＝144 B．2x2＝144 C．（18﹣x）（10﹣2x）＝144 D．（18﹣2x）（10﹣2x）＝144 【答案】A 【分析】由小道的宽为xm，可得出剩下的用于种植的部分可合成长为（18﹣2x）m，宽为（10﹣x）m的矩形，结合种植面积为144m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵小道的宽为xm， ∴剩下的用于种植的部分可合成长为（18﹣2x）m，宽为（10﹣x）m的矩形． 根据题意得：（18﹣2x）（10﹣x）＝144． 故选：A． 题型一 由一元二次方程的解求字母的值 1．（2025·重庆·一模）若关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为（　　） A．2 B． C． D．2或0 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解，把代入一元二次方程可得，又根据可得，进而求解，掌握一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是（） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程解的定义，解题关键是将已知根代入方程，构建关于m的一元一次方程并求解． 根据方程根的定义，将代入方程得到关于m的方程，再求解该方程即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴把代入方程，得到， ． 解得． 故选：A． 3．（2024春•海阳市期末）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+|a|﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　） A．1 B．0 C．﹣1 D．±1 【答案】C． 【分析】先把x＝0代入一元二次方程得到|a|﹣1＝0，解方程得到a＝1或a＝﹣1，然后根据一元二次方程的定义确定a的值． 【解答】解：把x＝0代入一元二次方程（a﹣1）x2+x+|a|﹣1＝0得|a|﹣1＝0， 解得a＝1或a＝﹣1， ∵a﹣1≠0， ∴a＝﹣1． 故选：C． 4．（24-25八年级下·山东东营·阶段练习）已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的定义，把代入方程得，即得，再根据即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（2024•绵阳三模）若关于x的一元二次方程（k﹣3）x2+6x+k2﹣k＝0有一个根为﹣1，则k的值为 ． 【答案】﹣3． 【分析】根据一元二次方程根的定义，将﹣1代入关于x的一元二次方程（k﹣3）x2+6x+k2﹣k＝0得到关于k的方程求解，再根据一元二次方程定义确定k值即可得到答案． 【详解】解：由题意得： 把x＝﹣1代入方程（k﹣3）x2+6x+k2﹣k＝0， 得：（k﹣3）﹣6+k2﹣k＝0， 解得：k＝±3， ∵k﹣3≠0， ∴k≠3， ∴k＝﹣3， 故答案为：﹣3． 题型二 由一元二次方程的解求代数式的值 1．（2025·浙江绍兴·一模）已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（   ） A．2027 B．2028 C．2029 D．2030 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解、已知式子的值求代数式的值、整体思想等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 把m代入一元二次方程得到，再利用整体代入法解题即可． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根， ∴，即， ∴， 故选C 2．（24-25八年级下·吉林·阶段练习）若是关于x的方程的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入得到，再整体代入求值． 【详解】解：∵是关于x的方程的解， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2025九年级下·四川资阳·学业考试）已知m为方程的根，那么的值为 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，一元二次方程的解是使方程两边相等的未知数的值，则，进而可得，，进一步可得，再把所求式子变形为，据此求解即可． 【详解】解：∵m为方程的根， ∴， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：0． 4．（24-25九年级上·北京·阶段练习）已知a是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】23 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，代数式求值，正确理解方程根的概念、利用整体代入的方法进行求解是解题的关键．先将a代入得到，对化简得到，再整体代入即可． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴ ∴ ． 5．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）已知是关于的方程的一个根， (1)求的值； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的根、分式的化简与求值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）代入到方程得到关于的方程，即可求解； （2）利用分式的运算法则化简式子，再代值计算即可． 【详解】（1）解：代入到方程得，， 解得：； （2）解： ， 代入，原式． 题型三 已知一元二次方程的根求另一方程的根 1．（2025·山东烟台·一模）若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程有一个根为，可得出关于的一元二次方程有一个根为，解之可得出x的值，此题得解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴关于的一元二次方程即有一个根为， 即， 解得：， 故选：A． 2．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）若关于的一元二次方程有一个根为2025，则方程必有一个根为（   ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程有一个根为2025，可得出关于的一元二次方程有一个根为2025，解之可得出x的值，此题得解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为2025， ∴关于的一元二次方程有一个根为2025， 即， 解得：， ∴方程必有一个根为2024． 故选：A． 3．（24-25九年级上·山西临汾·期中）关于x的一元二次方程，若则方程必有一根为（   ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据方程的解的定义进行判断即可． 【详解】解：∵，且， ∴方程必有一根为； 故选B． 4．（24-25八年级下·浙江温州·期中）若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义； 根据满足方程，得到，两边同时除以可确定所求方程的一个根． 【详解】解：把代入一元二次方程，得， ， 两边除以（，若，代入得，与矛盾 ），得， ， ． ∴当时，方程成立． ∴方程必有一根为 ， 故选：D． 5．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）若关于x的一元二次方程的其中一根为，则关于x的方程必有一根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，结合已知条件得到，求得x即可． 【详解】解：整理得， ∵关于x的一元二次方程的其中一根为， ∴关于x的方程中，， 解得：． 故答案为：． 题型四 一元二次方程解的估算 1．（2025·贵州贵阳·一模）根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是（    ） x 0 1 2 5 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查估算一元二次方程的近似值．由表格数据可知当时，的值大于0，当时，的值小于0，因此的一个解的取值范围是． 【详解】解：由表格数据可知当时，的值大于0， 当时，的值小于0， 因此的一个解的取值范围是． 故选：A． 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）根据下列表格的对应值，判断方程（，，，为常数）一个解的范围是（   ） 3.1 3.2 3.3 3.4 0.5 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求一元二次方程的近似根，根据表格，找到相邻两个的值，使的符号为一正一负，即可得出结果． 【详解】解：由表格可知：当时，，当时，， ∴当时，必然存在一个，使， ∴（，，，为常数）一个解的范围是； 故选D． 3．（23-24九年级上·四川达州·阶段练习）根据表格，判断关于的方程的一个解的取值范围为（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 -0.59 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．根据表中数据可得：和时，代数式的值一个小于，一个大于，从而可判断当的某个值时，代数式的值为． 【详解】解：当时，， 当时，， 所以方程的一个解的取值范围为：， 故选：B． 4．（24-25九年级上·广东佛山·期末）探索方程的正数解的过程如下表： 0 1 2 13 可以看出方程的正数解应介于和之间，则，分别是（   ） A．0， B．，1 C．1， D．，2 【答案】C 【分析】本题考查估算一元二次方程的近似解，理解题意、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 由列表数据可得判断出的值在1和之间即可解答． 【详解】解：通过列表可以看出看出方程的正数解应介于1和之间， ∴． 故选：C． 5．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）观察下面的表格，一元二次方程的一个近似解可以是（   ） 1.9 2 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 0 0.44 0.69 0.96 1.25 1.56 1.89 2.24 2.61 A．1.93 B．2 C．2.73 D．2.81 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，根据表格，找出使的值最接近的x的值即可． 【详解】解：由表可知，当时，，当时，， ∵原方程为， ∴一元二次方程的一个解在范围内， ∴一元二次方程的一个近似解可以是， 故选：C． 题型一 一元二次方程与新定义问题 1．（2025·云南临沧·模拟预测）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，写出这个一元二次方程为 ． 【答案】（答案唯一）． 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解三元一次方程，理解“和谐”方程和“美好”方程的定义是解题关键．根据题意得到关于一元二次方程系数的方程组，求出系数之间的关系，再写出满足条件的方程即可． 【详解】解：由题意，一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程， ， ， 一元二次方程为， ， 可取， 这个一元二次方程为（答案唯一）． 故答案为：（答案唯一）． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）已知关于的一元二次方程，如果，，满足，我们就称这个一元二次方程为美妙方程． (1)判断方程是否为美妙方程，并说明理由． (2)已知关于的美妙方程的一个根是，求这个美妙方程． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和解，理解题中所给美妙方程的定义及熟知一元二次方程解的定义是解题的关键． （1）根据美妙方程的定义对所给方程进行判断即可． （2）根据美妙方程的定义，结合方程的一个根为，得到关于，的方程组即可解决问题． 【详解】（1）解：是美妙方程，理由如下： ∵中，，，， ∴， 故该方程是美妙方程； （2）解：∵美妙方程的一个根是， ∴， 解得：， ∴这个美妙方程是． 3．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为“凤凰方程”，并说明理由； (2)若关于的方程是“凤凰方程”，求的值． 【答案】(1)是“凤凰方程”，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，准确理解“凤凰方程”的定义是解题的关键． （1）根据凤凰方程的意义进行计算即可； （2）根据凤凰方程的意义得到关于的方程计算即可． 【详解】（1）解：是“凤凰方程”，理由如下： ，，， ， 是“凤凰方程”； （2）是关于的“凤凰方程”，，，， ， 解得：． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．例如：．根据这个法则解决下列问题： (1)计算：_________． (2)判断是否为一元二次方程．如果是，请化成一般形式；如果不是，请说明理由． (3)判断，0，2，3中哪些是方程的根，并写出判断过程． 【答案】(1)3 (2)是， (3)，0；过程见解析 【分析】（1）根据直接代入求值即可； （2）根据新定义，将方程化简，进而解一元二次方程即可； （3）方法同（2）解一元二次方程，进而判断方程的根即可 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解：由题意，得． 整理，得， 是一元二次方程，化成一般形式为． （3）解：由题意，得． 整理，得． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 综上所述，，0是方程的根． 【点睛】本题考查了新定义运算，代数式求值，解一元二次方程，一元二次方程的定义，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 5．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中为常数（且．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，则的值为______． 【答案】(1) (2) (3)2025 【分析】此题考查了新定义——倒方程．熟练掌握倒方程的定义，一元二次方程根的概念，是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的性质进一步解答即可． 【详解】（1）解：方程的倒方程是；； 故答案为：； （2）解：由题意得：方程的倒方程为， 把代入方程， 得， ∴ （3）解：由题意得：方程的倒方程为， ∵m是方程的一个实数根， ∴， ∴． 故答案为：2025． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1认识一元二次方程 题型一 一元二次方程的识别 1．（24-25九年级上·重庆永川·阶段练习）下列方程是一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）在下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）下列方程①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中一定是一元二次方程的有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 6．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列方程是一元二次方程的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二 一元二次方程的一般形式 1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）关于的一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·福建泉州·期末）将一元二次方程化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．1，2，6 B．1，，6 C．1，， D．1，2， 3．（24-25九年级上·湖南永州·期末）把一元二次方程化成一般形式是 ． 4．（2024春•上城区校级期中）把关于x的方程x（2x+1）＝3化成一般式是 　 ，其中常数项是 　 ． 5．（23-24八年级下·全国·假期作业）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)关于x的方程． 题型三 由一元二次方程的定义求字母的取值范围 1．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东广州·期中）若方程是一元二次方程，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）若关于的方程（为常数）是一元二次方程，则的取值范围为 ． 5．（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 ． 题型四 由一元二次方程的定义求字母的值 1．（24-25九年级上·甘肃武威·阶段练习）关于的方程是一元二次方程，则值是（   ） A． B． C．或 D．为任意实数 2．（24-25九年级上·北京·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（　　） A．1 B． C． D．不存在 3．（24-25九年级下·江西吉安·阶段练习）若关于x的方程是一元二次方程，则m= ． 4．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的值是 ． 5．（24-25九年级下·全国·假期作业）方程． (1)当取何值时是一元二次方程？ (2)当取何值时是一元一次方程？ 题型五 由实际问题列一元二次方程 1．《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为x尺，下列方程符合题意的是（　　） A．（x+2）2+（x﹣4）2＝x2 B．（x﹣2）2+（x﹣4）2＝x2 C．x2+（x﹣2）2＝（x﹣4）2 D．（x﹣2）2+x2＝（x+4）2 2．为大力实施城市绿化行动，某小区规划设置一片面积为1000平方米的矩形绿地，并且长比宽多30米，设绿地长为x米，根据题意可列方程为（　　） A．x（x+30）＝1000 B．x（x﹣30）＝1000 C．2x（x+30）＝1000 D．2x（x﹣30）＝1000 3．为丰富乡村文体生活，某区准备组织首届“美丽乡村”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，设邀请x个球队参加比赛，可列方程得（　　） A． B． C．x（x﹣1）＝28 D．x（x+1）＝28 4．（23-24九年级下·重庆·期中）由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元，设增长率为，则方程可以列为（    ） A． B． C． D． 5．某校在操场东边开发出一块长、宽分别为18m、10m的矩形菜园（如图），作为劳动教育系列课程的实验基地之一，为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，剩下的用于种植，且种植面积为144m2，设小道的宽为xm，根据题意可列方程为（　　） A．（18﹣2x）（10﹣x）＝144 B．2x2＝144 C．（18﹣x）（10﹣2x）＝144 D．（18﹣2x）（10﹣2x）＝144 题型一 由一元二次方程的解求字母的值 1．（2025·重庆·一模）若关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为（　　） A．2 B． C． D．2或0 2．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是（） A．3 B．2 C． D． 3．（2024春•海阳市期末）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+|a|﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　） A．1 B．0 C．﹣1 D．±1 4．（24-25八年级下·山东东营·阶段练习）已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是 ． 5．（2024•绵阳三模）若关于x的一元二次方程（k﹣3）x2+6x+k2﹣k＝0有一个根为﹣1，则k的值为 ． 题型二 由一元二次方程的解求代数式的值 1．（2025·浙江绍兴·一模）已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（   ） A．2027 B．2028 C．2029 D．2030 2．（24-25八年级下·吉林·阶段练习）若是关于x的方程的解，则的值为 ． 3．（2025九年级下·四川资阳·学业考试）已知m为方程的根，那么的值为 ． 4．（24-25九年级上·北京·阶段练习）已知a是方程的一个根，求代数式的值． 5．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）已知是关于的方程的一个根， (1)求的值； (2)求． 题型三 已知一元二次方程的根求另一方程的根 1．（2025·山东烟台·一模）若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 2．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）若关于的一元二次方程有一个根为2025，则方程必有一个根为（   ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 3．（24-25九年级上·山西临汾·期中）关于x的一元二次方程，若则方程必有一根为（   ） A．1 B． C．0 D．2 4．（24-25八年级下·浙江温州·期中）若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）若关于x的一元二次方程的其中一根为，则关于x的方程必有一根为 ． 题型四 一元二次方程解的估算 1．（2025·贵州贵阳·一模）根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是（    ） x 0 1 2 5 A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）根据下列表格的对应值，判断方程（，，，为常数）一个解的范围是（   ） 3.1 3.2 3.3 3.4 0.5 A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·四川达州·阶段练习）根据表格，判断关于的方程的一个解的取值范围为（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 -0.59 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·广东佛山·期末）探索方程的正数解的过程如下表： 0 1 2 13 可以看出方程的正数解应介于和之间，则，分别是（   ） A．0， B．，1 C．1， D．，2 5．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）观察下面的表格，一元二次方程的一个近似解可以是（   ） 1.9 2 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 0 0.44 0.69 0.96 1.25 1.56 1.89 2.24 2.61 A．1.93 B．2 C．2.73 D．2.81 题型一 一元二次方程与新定义问题 1．（2025·云南临沧·模拟预测）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，写出这个一元二次方程为 ． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）已知关于的一元二次方程，如果，，满足，我们就称这个一元二次方程为美妙方程． (1)判断方程是否为美妙方程，并说明理由． (2)已知关于的美妙方程的一个根是，求这个美妙方程． 3．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为“凤凰方程”，并说明理由； (2)若关于的方程是“凤凰方程”，求的值． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．例如：．根据这个法则解决下列问题： (1)计算：_________． (2)判断是否为一元二次方程．如果是，请化成一般形式；如果不是，请说明理由． (3)判断，0，2，3中哪些是方程的根，并写出判断过程． 5．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中为常数（且．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，则的值为______． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$