25.1 一元二次方程的概念 同步练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 人教版九年级上册数学25.1一元二次方程的概念同步练，分层梯度清晰，从概念辨析到实际建模再到综合推理，适配新授课知识巩固，培养抽象能力、模型意识与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|概念定义、一般形式、系数条件|辨析式选择题（如第1-6题）和直接性填空题（如第9-10题），强化对一元二次方程本质属性的抽象能力| |应用理解层|实际问题建模、根的意义|几何与增长率情境题（如第7-8题、12题），通过长方形面积、产值增长等现实情境培养模型意识| |综合提升层|概念判断、分类讨论、代数推理|开放辨析（第13题）与多步骤解答题（第15-16题），结合参数分类讨论与代数式求值，发展逻辑推理能力|

人教版 九年级上册 数学 25.1 一元二次方程的概念 同步练习 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分。） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 2．将方程化为一元二次方程的一般形式，结果正确的是（ ） A． B． C． D． 3．若关于的方程是一元二次方程，则的值为（ ） A． B． C． D． 4．已知是一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A． B． C． D． 5．下列关于一元二次方程的说法，正确的是（ ） A．含有一个未知数，且未知数最高次数为 2 的方程是一元二次方程 B．形如的方程是一元二次方程 C．一元二次方程一定是整式方程 D．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项均不能为 0 6．无论取何实数，下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 7．一个长方形的长比宽多 3cm，面积是。设宽为，根据题意可列方程为（ ） A． B． C． D． 8．某工厂今年 1 月份产值为 50 万元，3 月份产值达到 72 万元。设每月产值的平均增长率为，根据题意可列方程为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 9．方程化为一般形式为 ，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。 10．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 。 11．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值为 。 12．一个直角三角形的两条直角边长相差 3cm，面积为。设较短的直角边长为，根据题意列方程并化为一般形式是 。 三、解答题（本大题共 4 小题，共 52 分。解答应写出文字说明、演算步骤） 13．（12 分）判断下列方程是否为一元二次方程，是的在括号内打 “√”，不是的打 “×”，并简要说明理由。 ① （ ） ② （ ） ③ （ ） ④ （ ） ⑤ （ ） ⑥ （ ） 14．（12 分）将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。 (1) ； (2) 。 15．（14 分）已知关于的方程。 (1) 当为何值时，该方程是一元二次方程？ (2) 当为何值时，该方程是一元一次方程？ 16．（14 分）已知是一元二次方程的一个根，且。 (1) 求的值； (2) 求代数式的值。 参考答案与解析 一、选择题 1．答案：C 解析：一元二次方程需同时满足：只含 1 个未知数、未知数最高次数为 2、是整式方程。A 含两个未知数，B 是分式方程，D 未知数最高次数为 3，均不符合定义。 2．答案：C 解析：去括号得，移项、合并同类项得一般形式。 3．答案：B 解析：由一元二次方程定义得，解得且，即。 4．答案：D 解析：将代入方程，得，即，解得。 5．答案：C 解析：A 忽略了 “整式方程” 的要求；B 未说明；D 中一次项系数、常数项可以为 0，只有二次项系数不能为 0；C 符合一元二次方程的定义要求。 6．答案：C 解析：一元二次方程要求二次项系数不为 0。因为，所以，恒不为 0，因此 C 选项的方程一定是一元二次方程。 7．答案：A 解析：宽为，则长为，根据长方形面积公式 “长 × 宽 = 面积”，列方程得。 8．答案：B 解析：1 月份产值为 50 万元，2 月份产值为万元，3 月份产值为万元，因此列方程为。 二、填空题 9．答案：；3；2；4 解析：去括号得，移项、合并同类项得一般形式，对应各项系数分别为 3、2、4。 10．答案： 解析：一元二次方程的二次项系数不能为 0，即，解得。 11．答案：1 解析：将代入方程，得，即，整理得。 12．答案： 解析：较短直角边为，较长直角边为，根据直角三角形面积公式列方程：，整理得一般形式。 三、解答题 13．解： ① √，理由：只含一个未知数，未知数最高次数为 2，是整式方程，符合一元二次方程定义。 ② ×，理由：含有两个未知数，是二元一次方程。 ③ ×，理由：分母中含有未知数，是分式方程，不是整式方程。 ④ ×，理由：未知数最高次数为 3，是一元三次方程。 ⑤ √，理由：只含一个未知数，未知数最高次数为 2，是整式方程，符合定义。 ⑥ ×，理由：展开整理后为，是一元一次方程。 14．解： (1) 去括号，得 移项、合并同类项，得一般形式： 二次项系数为 2，一次项系数为 - 11，常数项为 - 10。 (2) 去括号，得 移项、合并同类项，得一般形式： 二次项系数为 3，一次项系数为 - 8，常数项为 - 3。 15．解： (1) 若方程为一元二次方程，需满足： 由得，即； 由得。 综上，时，方程是一元二次方程。 (2) 若方程为一元一次方程，分两种情况讨论： ① 二次项系数为 0，且一次项系数不为 0： ，解得，此时方程为，是一元一次方程； ② 未知数最高次数为 1，且一次项系数不为 0： ，解得，此时方程为，即，是一元一次方程。 综上，或时，方程是一元一次方程。 16．解： (1) 将代入方程，得 整理得。 (2) 化简代数式： 因为，所以，可约分得： 将代入，得原式。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $