宁夏吴忠市盐池中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

**基本信息** 高一数学期末卷立足基础，融合立体几何（如几何体旋转问题）、统计概率（如露营地游客数据百分位数）及向量复数等，通过分层设问（如解答题从证明到体积计算）考查空间观念与数据意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|几何体旋转、百分位数、圆柱展开、抽样概率、复数性质|单选考基础（如几何体旋转），多选考综合（如复数实部虚部及模）| |填空题|3题15分|向量模、直观图面积、复数运算|注重空间与代数结合（如直观图面积计算）| |解答题|5题77分|四棱锥证明与角、解三角形、概率计算、正方体体积、频率分布直方图|分层设计（如正方体题从证明到体积），融合数据意识（如露营地游客统计）|

盐池中学2025-2026学年度第二学期期末考试 高一数学试卷 总分150分 答题时间120分钟 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：(每小题5分，共计40分） 1．如图所示的几何体是由哪个平面图形旋转得到的．（    ） A． B． C． D． 2．某城市文旅部门统计了今年“五一”假期12家网红露营地的单日接待游客数量（单位：百人），其数据为5，7，9，8，12，8，6，9，11，7，9，11，则这组数据的第75百分位数是（   ） A．7 B．9 C．10 D．11 3．底面半径为1，高为的圆柱的侧面展开图是（     ） A．一个边长为的正方形 B．一个边长为的正方形 C．一个长为，宽为的矩形 D．一个长为，宽为的矩形 4．采用简单随机抽样的方法，从含有25个个体的总体中抽取1个容量为10的样本，则某个个体被抽到的概率为（ ） A． B． C． D． 5．已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则下列命题错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．如图，在矩形中，，，分别为，的中点，为中点，则（     ） A． B． C． D． 7．事件和事件相互独立，“和至少一个发生”的对立事件是（     ）． A． B． C． D． 8．随机变量，相互独立，且均等可能地取值于集合．设，，则的概率为（   ） A． B． C． D． 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．已知复数，下列说法正确的是（   ） A．的实部为1 B．的虚部为 C． D． 10．袋中有红球3个，白球2个，黑球1个，从中任取2个，则互斥的两个事件是（    ） A．至少有一个白球与都是白球 B．恰有一个红球与白、黑球各一个 C．至少一个白球与至多有一个红球 D．至少有一个红球与两个白球 11．已知一组数据，，，…，（），则下列说法正确的是（    ） A．该组数据的极差为 B．该组数据的70%分位数为 C．剔除，后得到的新数据的平均数小于原数据的平均数 D．剔除，后得到的新数据的方差小于原数据的方差 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．已知向量、满足，若为单位向量，则_________． 13．如图，是水平放置的的直观图，，，，则原的面积为__________． 14．计算：__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15.（13分).如图，已知四棱锥的底面是正方形，平面，． (1)求异面直线与所成角余弦值的大小； (2)求证：平面． 16．(15分）在中，角所对的边分别为，若． (1)求A的大小； (2)若，求的面积． 17．(15分）不透明的袋子中装有红球、绿球各1个，黄球m个，这些球除颜色外完全相同，每次从袋子中有放回地随机取出1个球，且每次黄球被取出的概率为． (1)求m的值． (2)现进行两次取球． （ⅰ）求恰好有一次取出黄球的概率； （ⅱ）求这两次取出的球的颜色相同的概率． 18．(17分）正方体的棱长为2，为棱的中点． (1)求证：平面 (2)设平面平面，求证：； (3)求三棱锥的体积． 19．(17分）某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为，，，，）． (1)求的值，并利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的中位数（结果保留两位小数）； (2)若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈； ①第3，4组分别抽取多少人； ②从这5名市民中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率 高一数学 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《高一期末数学试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C B D C C C ACD BD 题号 11 答案 AD 1．A 【详解】图中几何体为组合体，由圆锥和圆台组合而成，故可由直角三角形和直角梯形绕同一个轴旋转而成，故A正确，BD错误， C的图形绕轴旋转后得到的几何体上方为圆锥，下方为圆锥，与题设不合，故C错误. 2．C 【详解】将这组数据按从小到大的顺序排列为5，6，7，7，8，8，9，9，9，11，11，12． 因为，所以这组数据的第75百分位数是． 3．C 【详解】底面半径为1，高为的圆柱的侧面展开图是一个长为，宽为的矩形. 4．B 【详解】由于每个个体被抽到的概率相等，所以每个个体被抽到的概率是. 5．D 【详解】对于A，由，可得，故A正确； 对于B，垂直于同一条直线的两个平面平行，故B正确； 对于C，根据面面垂直的性质定理可知C正确； 对于D，若，则或与相交，故D错误． 6．C 【详解】矩形中，，分别为，的中点，为中点， 故 . 7．C 【分析】根据事件的独立性及对立定义求解. 【详解】根据已知至少有一个发生， 则对立事件为都不发生，所以的对立事件为. 8．C 【分析】根据平面向量数量积的坐标运算得出，再根据古典概型概率公式即可求解． 【详解】由，， 得． 要使，即． 由于，独立且均等可能取，1，共有4种等可能情况：，，，． 满足和为0的有2种，所以所求概率为． 9．ACD 【详解】选项A：的实部，说法正确； 选项B：的虚部是实数，不是，说法错误； 选项C：，说法正确； 选项D：共轭复数实部不变、虚部变号，得，说法正确. 10．BD 【答案】BD 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系 【分析】根据互斥事件的定义和性质判断. 【详解】袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个， 在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立. 在B中，恰有一个红球和白、黑球各一个不能同时发生，是互斥事件，故B成立； 在C中，至少一个白球与至多有一个红球，能同时发生，故C不成立； 在D中，至少有一个红球与两个白球两个事件不能同时发生，是互斥事件，故D成立； 故选：BD. 11．AD 【分析】利用极差、百分位数、平均数和方差的定义分析计算即可. 【详解】该组数据的极差为，A正确； 因为，所以该组数据的70%分位数为，B错误； 原数据的平均数为，新数据的平均数为，无法确定与的大小，C错误； 剔除数据，后得到的新数据的波动变小，所以方差变小，Ｄ正确． 12．/ 【分析】由条件平方求出. 【详解】由已知，故 由两边平方得， 所以. 13．6 【分析】根据直观图得到平面图，求出相关线段的长度，从而求出面积. 【详解】由直观图可得如下平面图形， 则，，， 则原的面积为. 14． 【分析】根据虚数单位的周期性质化简计算即得. 【详解】由虚数单位的幂次周期性，得，，，， 因此. 则 代入化简得，， 故原式. 15．(1) (2)证明：平面，平面， ， 又，平面， 平面； 【分析】（1）连接，求出，利用线面垂直的性质得到，求出，再由异面直线所成角的定义可知就是异面直线与所成角或其补角，利用余弦定理求角即可； （2）又线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定证明即可． 【详解】（1）解：连接，    则， 平面，平面， ， ， ， 就是异面直线与所成角或其补角， ， 故异面直线与所成角的大小为； （2）略 16．(1) (2) 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得：， 即，在中，， 所以，因为，所以； （2）由（1）知，，因为，， 由余弦定理，得： 即，得，所以的面积． 17．(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【详解】（1）由题可知每次黄球被取出的概率为，解得． （2）（ⅰ）因为每次黄球被取出的概率为，且两次取出的球的颜色相互独立. 所以恰有一次取出黄球的概率为． （ⅱ）由题可知，每次红球和绿球被取出的概率均为，且两次取出的球的颜色相互独立. 所以这两次取出的球的颜色相同的概率为． 18．(1)在正方体中，连接，令，连接， 由四边形为正方形，得是的中点，又是的中点， 则，又平面，平面， 所以平面. (2) 由（1）知：平面，又平面且平面平面， 所以. (3) 【分析】（1）连接，利用线面平行的判定推理得证. （2）由（1）的结论，利用线面平行的性质推理得证. （3）利用等体积法求解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）在正方体中，，， ，而点到平面的距离为正方体棱长2， 所以三棱锥的体积． 19．(1)，中位数： (2)应从第3，4组中分别抽取3人，2人； 【分析】（1）根据直方图面积为1求解a的值，再求中位数即可. （2）先确定从第3，4组中分别抽取3人，2人.再根据古典概型公式求解概率即可. 【详解】（1）由图可得：，解得； 年龄在内的频率为，年龄在内的频率为 中位数为：. （2）第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为， 所以用分层抽样的方法从第3、4两组市民中抽取5名参加座谈， 所以应从第3，4组中分别抽取3人，2人. 记第3组的3名分别为，，，第4组的2名分别为，， 则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为，，，，， ，，，，，共有10种. 其中第4组的2名，至少有一名被选中的有：，，，， ，，，共有7种， 所以至少有一人的年龄在内的概率为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $