精品解析：宁夏回族自治区吴忠市盐池县2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题

2024~2025学年高一下学期期末考试 数学试题 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 第I卷（选择题58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数（i为虚数单位），则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数除法运算求出复数z即可求出. 【详解】依题意，， 所以. 故选：A 2. 某校高三年级共有2000人，其中男生1200人，女生800人，某次考试结束后，学校采用按性别分层随机抽样的方法抽取容量为的样本，已知样本中男生比女生人数多8人，则（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】利用分层抽样的性质直接求解. 【详解】根据分层抽样的性质可知，样本中男生人数为：， 样本中女生人数为：， 由题意，所以， 所以. 故选：C 3. 设是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下面四个说法： ①若，，则； ②若，，则； ③若，，则； ④若，，，则. 其中所有错误说法的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】①利用平面与平面的位置关系判断；②利用线面垂直的性质定理判断；③利用直线与直线的位置关系判断；④利用面面垂直的性质定理判断. 【详解】①若，，则或相交，故错误； ②若，，则可得，故正确； ③若，，则，故错误； ④若，，，当时，，故错误. 故选：C 4. 已知，，与的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出，再利用投影向量的意义求解即可. 【详解】依题意， 所以在上的投影向量为. 故选：C. 5. 经过简单随机抽样获得的样本数据为，，…，，且数据，，…，的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则所有的数据都为0 B. 若，则的平均数为6 C. 若，则的方差为12 D. 若该组数据的25%分位数为90，则可以估计总体中至少有75%的数据不大于90 【答案】C 【解析】 【分析】由平均数的方差的性质可判断A，B，C；由百分位数的定义可判断D. 【详解】对于A，数据，，…，的方差时，说明所有的数据，，…，都相等， 但不一定为0，故选项A错误； 对于B，数据，，…，的平均数， 数据的平均数为，故选项B错误； 对于C，数据，，…，的方差为， 数据方差为，故选项C正确； 对于D，数据，，…，的25%分位数为90，则可以估计总体中有至少有75%的数据大于或等于90，故选项D错误. 故选：C. 6. 如图，在正四棱锥中，，为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接交于点，连接，过点作于点，连接，证明平面，推得为直线与平面所成角，解三角形即得答案. 【详解】 如图，在正四棱锥中，连接交于点，连接，则平面， 过点作于点，连接，因平面，则， 因平面，故平面， 故为直线与平面所成角. 因，为棱的中点， 则， 故. 故选：C. 7. 如图，在中，，为CD上一点，且满足，若的面积为，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，先由的面积求出及的值，再根据平面向量共线定理，向量的加法法则和平面向量基本定理求出，进而确定，求出，再利用基本不等式即可求出的最小值. 【详解】由，可得， 所以. 由可得. 因为为CD上一点，所以设， 则 . 因为， 所以，解得， 所以， 所以 (当且仅当，即时等号成立). 所以的最小值是. 故选：D 8. 在正三棱锥中，，如图，首先将一半球水平放置于三棱锥内部，其球心与的中心重合，随后将另一小球放置于该半球正上方，使得该小球与正三棱锥的三个侧面均相切，则半球球面面积（不包括底面积）和小球表面积之和最小时，小球的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设半球的球心为点，连接，连接并延长交于点，判断小球球心在线段上， 设球的半径为，半球的半径为，利用三角形相似求得，依题得，列出题中的面积之和表示式，消元后得到关于的一元二次函数，利用其图象性质即可求得时，所求面积之和最小. 【详解】 如图，设半球的球心为点，连接，连接并延长交于点， 因另一小球在该半球正上方，且与正三棱锥的三个侧面均相切，故其球心在线段上， 连接，则球必与相切，设切点为，连接. 设球的半径为，半球的半径为. 因，， ，， 易得与相似，故有，即得， 因，即， 由题意，半球球面面积（不包括底面积）和小球表面积之和为： ， 该二次函数的开口向上，对称轴为直线， 故当时，取得最小值. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列结论正确的是（ ） A. 若为纯虚数，则 B. 若在复平面内对应的点位于第四象限，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用复数的概念求解选项A，利用复数的几何意义求解选项B，利用共轭复数的概念求解选项C，利用复数的模求解选项D. 【详解】若为纯虚数，则且，解得，故A错误； 若在复平面内对应的点位于第四象限， 则且， 解得，即，故B正确； 若，则，得，故C正确； 若，则，得，故D正确， 故选:BCD． 10. 一个正四面体形的骰子，四个面分别标有数字1，2，3，4，先后抛掷两次，每次取着地的数字．甲表示事件“第一次抛掷骰子所得数字是1”，乙表示事件“第二次抛掷骰子所得数字是2”，丙表示事件“两次抛掷骰子所得数字之和是5”，丁表示事件“两次抛掷骰子所得数字之和是6”，则下列说法正确的是（ ） A. 甲发生的概率为 B. 乙发生的概率为 C. 甲与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 【答案】AC 【解析】 【分析】由列举法求解所有基本事件，即可根据古典概型的概率公式求解概率，结合选项即可逐一求解. 【详解】设事件表示事件“第一次抛掷骰子所得数字是1”，事件表示事件“第二次抛掷骰子所得数字是2”， 事件表示事件“两次抛掷骰子所得数字之和是5”，事件表示事件“两次抛掷骰子所得数字之和是6”， 续抛掷质地均匀的正四面体形的骰子两次， 有共16种等可能的不同结果， 第一次抛掷骰子所得数字是1的情况有：， 甲发生的概率为：，故A正确； 第二次抛掷骰子所得数字是2的情况有：， 乙发生的概率为：，故B错误； 两次抛掷骰子所得数字之和是5的情况有：， 丙发生的概率为：， 两次抛掷骰子所得数字之和是6的情况有：，丁发生的概率为：， ，， 故事件甲与丙相互独立，故C正确； ，故D错误. 故选：AC. 11. 如图，在正四棱台中，，则下列说法正确的是（ ） A. 该四棱台的高为 B. 二面角的大小为 C. 若点在四边形ABCD内，，则动点的轨迹长度是 D. 若点在内部（含边界），则的最小值为4 【答案】AB 【解析】 【分析】过点作，垂足为，求得判断A；设为四边形ABCD对角线的交点，可得二面角的平面角为，求解可判断B；点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆（在正方形ABCD内，计算可判断C；由题意可得点只有落在上，才有可能取得最小值；求得最小值判断D. 【详解】如图1，过点作，垂足为，则四棱台的高为， 因为，所以，所以，A正确； 设为四边形ABCD对角线的交点，则为BD中点，．由， 知，所以二面角的平面角为， 又，所以为正三角形，所以二面角的大小为，故B正确； 由勾股定理得， 故点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆（在正方形ABCD内， 易知点到边AB，AD距离都为），所以动点的轨迹长度是，C错误； 由图1易得平面， 故平面，不妨设落在图2的（在外）处， 过作，交于，则平面平面， 故，故在Rt中，（直角边小于斜边）； 同理，，所以， 故动点只有落在上，才有可能取得最小值； 再看图3，易知， 和都为正三角形，关于的对称点为， 可知，即与重合时，有最小值，D错误． 故选：AB 第Ⅱ卷（选择题92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某圆锥的侧面积为，母线长为4，则该圆锥的高为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥侧面积公式求出底面半径，再结合母线长，利用勾股定理求出圆锥的高. 【详解】设底面半径为，母线长为， 因为侧面积，母线长， 所以 ，解得. 圆锥的高. 故答案为：. 13. 甲乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛相互独立，则恰好进行了4局结束比赛的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】分两种情况讨论，（1）甲第一局赢，第二局输，第三、四局赢；（2）乙第一局赢，第二局输，第三、四局赢，即得解. 【详解】由题得恰好进行了4局结束比赛，有两种情况： （1）甲第一局赢，第二局输，第三、四局赢，此时； （2）乙第一局赢，第二局输，第三、四局赢，此时； 所以恰好进行了4局结束比赛的概率为. 故答案为： 【点睛】本题主要考查独立事件的概率和互斥事件的概率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 14. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则______；若所在平面内的一点满足，则的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先根据正弦定理和三角函数公式求出角，再结合已知边求出角、.由推出点在以为直径的圆上.要使最小，确定点位置，得到大小.然后在中用余弦定理得出AC与、的关系，再利用基本不等式求出的最小值. 【详解】因为，由正弦定理得， 又，所以，所以，又，所以； 因为，易得. 因为，所以. 所以点P在以为直径的圆上，要使取得最小值，则点P在劣弧上(不同于A，C两点)，此时， 在△PAC中，由余弦定理得，即， 所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，且与的夹角为 （1）求； （2）若与的夹角． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)由和的夹角为，得到，进而求出； (2) 求，求出夹角. 【小问1详解】 由和的夹角为， 则，； ； 【小问2详解】 ， 故， 所以与的夹角为. 16. 为了解中学生的体育锻炼情况，调查小组在某中学随机抽取了100名学生，统计了他们某一周的综合体育活动时间（单位：时），并按照将样本数据分成6组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）补全频率分布直方图，并估计该校学生每周综合体育活动时间的中位数与平均数； （2）利用频率估计概率，若从该校随机抽取两名学生，且两名学生的体育活动情况互不影响，求这两名学生中至少有一人每周综合体育活动时间不低于8小时的概率． 【答案】（1）答案见解析，中位数为6.4，平均数为6.2. （2）0.51． 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1，可求出这一组的频率，进而求出矩形的“高度”，补全频率分布直方图，再根据中位数和平均数的概念，用评率分布直方图估计中位数和平均数. （2）利用对立事件概率的关系，结合独立事件计算公式，可求解. 【小问1详解】 第五组的频率为， 所以该组对应的小矩形高度为，故补全频率分布直方图如下： 设样本数据的中位数为，平均数为. 因为样本数据在的频率为， 样本数据在的频率为， 则，所以，解得， 故估计样本中位数为6.4. 故估计样本平均数为6.2. 由样本估计总体，该校学生每周综合体育活动时间的中位数与平均数分别为6.4和6.2． 【小问2详解】 由频率分布直方图可估计该校学生每周综合体育活动时间不低于8小时的频率为. 记事件“抽取的第1名学生每周综合体育活动时间不低于8小时”，“抽取的第2名学生每周综合体育活动时间不低于8小时”，由题意相互独立. 利用频率估计概率，． 记事件“抽取的两名学生中至少有一人每周综合体育活动时间不低于8小时”， 则 所以抽取的两名学生中至少有一人每周综合体育活动时间不低于8小时的概率为0.51． 17. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，. （1）求证：//平面 （2）求证：平面 （3）求直线与平面所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，结合正方形的性质，根据三角形的中位线的性质得，从而利用线面平行的判定定理证明即可； （2）根据线面垂直的性质定理得，再根据等腰三角形的性质得，最后利用线面垂直的判定定理证明即可； （3）由平面知直线在平面的射影为，根据线面角的定义可知即为所求的线面角，根据勾股定理分别求得，然后在直角三角形中，求得，即可得解. 【小问1详解】 连接交于点，连接， 因为四边形为正方形，所以为的中点． 因为为中点，所以． 因为平面，平面，所以平面． 【小问2详解】 由题意可得平面，又平面， 所以，又为的中点，，所以， 因，，平面， 所以平面. 【小问3详解】 由（2）知平面，所以直线在平面的射影为， 所以即为所求的线面角， 在中，，，为的中点， 所以，所以， 在直角三角形中，， 故在直角三角形中，， 又，所以，即直线与平面所成角为. 18. 如图，内角的对边分别为，为边上一点，且，. （1）已知. （ⅰ）求的值； （ⅱ）若，求的面积； （2）求的最小值. 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ） （2） 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）根据化简，结合角的关系及倍角公式即可得解； （ⅱ）先求出，进而可求出，即可求出，再结合（ⅰ）中结论即可得解； （2）先利用正弦定理化边为角，再根据化简，结合基本不等式即可得解. 【小问1详解】 （ⅰ）由题意得， ， 因为，， 所以， ， 所以， 所以； （ⅱ）由（ⅰ）得， 在中，， 所以， 又，所以， 所以； 【小问2详解】 由正弦定理得， 由（1）得， 故， 令， 因为，所以，所以， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略： （1）利用正弦定理实现“边化角”； （2）利用余弦定理实现“角化边”. 求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 19. 唐代诗人温庭筀的《新添声杨柳枝词二首》中写道“玲珑骰子安红豆，入骨相思知不知”，表达了诗人的相思之情．为迎接七夕，某超市购进了一批“玲珑骰子”（如图所示）：棱长为1的水晶正八面体（八个面都是全等的正三角形），中间的球体部分是被挖空的（表面不被破坏），并嵌入了红豆． （1）当给红豆留出最大空间时，求骰子中间被挖空的球体的表面积． （2）超市推出一项活动，在“玲珑骰子”的所有顶点中每次随机抽取三个不同的顶点，能构成等边三角形即可获得“花好”卡片，能构成直角三角形即可获得“月圆”卡片．甲乙两人每人抽取一次（抽取结果互不影响），求两人所获得的卡片能凑成“花好月圆”的概率． （3）若点P为（1）中球面上的任一点，设，，二面角的平面角为，求证：为定值． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）被挖空的球体的半径为r．球心为O，根据题意，当球体为正八面体的内切球时，留给红豆的空间最大，求出内切球体积即可； （2）运用古典概型，结合互斥事件和独立乘法公式求解即可； （3）过点P做交AB（或其延长线）于点M， 过点P做交AD（或其延长线）于点N． 则，， 为二面角的平面角．运用余弦定理，求解证明即可. 【小问1详解】 设被挖空的球体的半径为r．球心为O，根据题意， 当球体为正八面体的内切球时，留给红豆的空间最大， 此时设四棱锥的高为h，则． 所以， 正八面体每个面的面积是． 由得：．解得．所以． 【小问2详解】 在“玲珑骰子”的所有顶点中每次随机抽取三个不同的顶点， 该试验的样本空间 共20个样本点，所以． 每种选择是等可能的，因此这个实验是古典概型． 设事件甲获得“花好”卡片，事件乙获得“花好”卡片 ， 所以，从而． 设事件甲获得“月圆”卡片，事件乙获得“月圆”卡片， 任取三个顶点构成三角形，除等边三角形外，其余全部为直角三角形， 所以，从而． 记两人所获得卡片能凑成“花好月圆”为事件M， ，且与互斥，根据概率的加法公式和事件的独立性定义， 得 因此甲乙两人所获得的卡片能凑成“花好月圆”的概率为． 【小问3详解】 证明：过点P做交AB（或其延长线）于点M， 过点P做交AD（或其延长线）于点N． 则，， 为二面角的平面角． 在中，；① 在中，．② 由①②得， 从而， 所以，即． 所以为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年高一下学期期末考试 数学试题 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 第I卷（选择题58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数（i为虚数单位），则（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 某校高三年级共有2000人，其中男生1200人，女生800人，某次考试结束后，学校采用按性别分层随机抽样方法抽取容量为的样本，已知样本中男生比女生人数多8人，则（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 48 3. 设是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下面四个说法： ①若，，则； ②若，，则； ③若，，则； ④若，，，则. 其中所有错误说法的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ①③④ D. ②③④ 4. 已知，，与的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 经过简单随机抽样获得的样本数据为，，…，，且数据，，…，的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则所有的数据都为0 B. 若，则的平均数为6 C. 若，则的方差为12 D. 若该组数据的25%分位数为90，则可以估计总体中至少有75%的数据不大于90 6. 如图，在正四棱锥中，，为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，为CD上一点，且满足，若面积为，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 在正三棱锥中，，如图，首先将一半球水平放置于三棱锥内部，其球心与的中心重合，随后将另一小球放置于该半球正上方，使得该小球与正三棱锥的三个侧面均相切，则半球球面面积（不包括底面积）和小球表面积之和最小时，小球的半径为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列结论正确的是（ ） A. 若为纯虚数，则 B. 若在复平面内对应的点位于第四象限，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 一个正四面体形的骰子，四个面分别标有数字1，2，3，4，先后抛掷两次，每次取着地的数字．甲表示事件“第一次抛掷骰子所得数字是1”，乙表示事件“第二次抛掷骰子所得数字是2”，丙表示事件“两次抛掷骰子所得数字之和是5”，丁表示事件“两次抛掷骰子所得数字之和是6”，则下列说法正确的是（ ） A. 甲发生的概率为 B. 乙发生的概率为 C. 甲与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 11. 如图，在正四棱台中，，则下列说法正确的是（ ） A. 该四棱台的高为 B. 二面角的大小为 C. 若点在四边形ABCD内，，则动点的轨迹长度是 D. 若点在内部（含边界），则的最小值为4 第Ⅱ卷（选择题92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某圆锥的侧面积为，母线长为4，则该圆锥的高为______． 13. 甲乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛相互独立，则恰好进行了4局结束比赛的概率为______． 14. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则______；若所在平面内的一点满足，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，且与的夹角为 （1）求； （2）若与夹角． 16. 为了解中学生的体育锻炼情况，调查小组在某中学随机抽取了100名学生，统计了他们某一周的综合体育活动时间（单位：时），并按照将样本数据分成6组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）补全频率分布直方图，并估计该校学生每周综合体育活动时间的中位数与平均数； （2）利用频率估计概率，若从该校随机抽取两名学生，且两名学生的体育活动情况互不影响，求这两名学生中至少有一人每周综合体育活动时间不低于8小时的概率． 17. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，. （1）求证：//平面 （2）求证：平面 （3）求直线与平面所成角的大小. 18. 如图，内角对边分别为，为边上一点，且，. （1）已知. （ⅰ）求的值； （ⅱ）若，求的面积； （2）求的最小值. 19. 唐代诗人温庭筀的《新添声杨柳枝词二首》中写道“玲珑骰子安红豆，入骨相思知不知”，表达了诗人的相思之情．为迎接七夕，某超市购进了一批“玲珑骰子”（如图所示）：棱长为1的水晶正八面体（八个面都是全等的正三角形），中间的球体部分是被挖空的（表面不被破坏），并嵌入了红豆． （1）当给红豆留出最大空间时，求骰子中间被挖空球体的表面积． （2）超市推出一项活动，在“玲珑骰子”的所有顶点中每次随机抽取三个不同的顶点，能构成等边三角形即可获得“花好”卡片，能构成直角三角形即可获得“月圆”卡片．甲乙两人每人抽取一次（抽取结果互不影响），求两人所获得的卡片能凑成“花好月圆”的概率． （3）若点P为（1）中球面上的任一点，设，，二面角的平面角为，求证：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$