12.2 全等三角形的判定（第4课时 全等三角形的判定“SSS”）（6大基础题型+2大巩固提升）（题型专练）数学华东师大版2024八年级上册

12.2 全等三角形的判定 （第4课时 全等三角形的判定“SSS”） 题型一：用SSS证明三角形全等（选填） 1．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）如图，在四边形中，，连接、相交于点，下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，则可推出（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）根据图中作图痕迹进行判断，下列说法一定正确的是（   ） A． B．平分 C．垂直平分线段 D．构造的依据是 4．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，四边形中，垂直平分，垂足为E，下列结论不正确的是（　） A． B． C． D．平分 5．（24-25八年级下·上海·期中）在中，与相交于点，则下列结论不一定成立的是（　　） ① ② ③ ④ A．①④ B．①②④ C．③④ D．①②③④ 6．（25-26八年级上·全国·期末）如图，E是延长线上一点，已知，则图中全等三角形有（　　） A．0对 B．1对 C．2对 D．3对 7．（2024·河北·模拟预测）如图，这是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，D，E分别是的中点，是连接弹簧和伞骨的支架，且，则弹簧M在向上滑动的过程中，总有（     ） A． B． C．平分 D． 题型二：“SSS”中添加一个条件使得三角形全等 1．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）如图，，，若要用“”证明，则还需要添加的条件是（   ） A． B． C． D．不需要添加 2．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图，已知，点B，E，C，F在一条直线上，若利用“”得到，则需要添加的条件是（    ）    A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在中，，如果要用“”证明，应增加的条件是 ． 4．（25-26八年级上·全国·课前预习）如图，已知点A，D，C，F在同一条直线上，，，要使，根据还需要添加一个条件是 ． 5．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，已知，要用“”判定，则只需添加一个适当的条件是 ． 题型三：找出三角形全等的判断依据 1．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图是油纸伞的张开示意图，，则的判定依据是（　　）      A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·四川达州·期末）数学课上，小王同学用尺规在黑板上作的角平分线，先以点为圆心，适当长度为半径画弧，交于点，分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，作射线，则就是的平分线．根据全等知识我们知道，则所用到的判定定理是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·贵州铜仁·二模）如图，在与中，若，则，这个结论的理由是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以同样的长度（大于）为半径画弧，两弧相交于点，连接，则射线是的角平分线．连接，，可以先证明，进而推出是的角平分线．判定的依据（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线．以上作图原理主要是通过（   ）判定三角形全等． A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）如图1是一乐谱架，利用立杆可进行高度调节，图2是底座部分的平面图，其中支撑杆，点E，F分别为，中点，，是连接立杆和支撑杆的支架，且．立杆在伸缩过程中，总有，其判定依据是（   ）    A． B． C． D． 题型四：简单的利用“SSS”全等三角形的判断（解答题） 1．（24-25八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，已知，，点A，D，B，F在一条直线上，，证明：． 2．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，四边形中，，，， (1)求证：； (2)求证：； 3．（24-25八年级上·全国·期中）如图，已知，求证：． 4．（24-25八年级上·河北唐山·开学考试）如图，点、、、在同一条直线上，，，．求证：． 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知．求证：． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知，求证：． 7．（24-25八年级上·湖南益阳·期中）如图，已知，，，．求证：．（提示：连接、、） 8．（24-25八年级上·广西桂林·期中）如图，点A、E、B、D在同一条直线上，且． (1)求证：； (2)指出图中所有平行的线段，并说明理由． 9．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，点E、F在上，且，，，与相交于点O，求证：． 题型五：利用“SSS”证明三角形全等求角度 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，对角线相交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，分别以为一边，向外作和．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，点D在线段上．若，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在和中，点在同一条直线上，，则的度数为（　　） A．28° B．54° C． D．82° 6．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在和中，，，，且，，延长分别与、交于点、，则的度数为 ． 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，两点在上，且有．若，，则的度数为 ． 8．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，在中，，D，E是边上的点，连接，作关于直线对称的，连接，若，则 ． 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，若，则 ． 题型六：全等三角形判定“SSS”中尺规作图问题 1．（2025·北京石景山·模拟预测）如图1，已知，用尺规作它的角平分线．如图2 第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线，于点D，E； 第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧； 第三步：画射线，射线即为所求． 上述方法通过判定，得到，其中判定的依据是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 2．（2025九年级下·北京·专题练习）下面是“作的角平分线”的尺规作图方法： （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点． （2）分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点． （3）画射线，射线即为所求． 上述方法是通过判定得到的，其中判定的依据是（    ） A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．三边分别相等的两个三角形全等 3．（24-25七年级下·广东茂名·期中）如图，点C 在的边上，用尺规作图： ①以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交于点D， 交 于点E； ②以点C 为圆心，以 的长为半径画弧，交于点F； ③以点F 为圆心，以的长为半径画弧，交前弧于点P； ④作射线；   下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·山东济南·期中）我们曾经学习“过直线外一点P作直线l的平行线”的一种方法，如图： （1）在直线l上任取一点A，以点A为圆心，以的长为半径作弧，交直线l于点B； （2）以点P为圆心，以的长为半径作弧； （3）以点A为圆心，以的长为半径作弧，交前弧于点C； （4）过点P，C作直线，则． 如果用全等三角形的知识来解释作图的道理，最恰当的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·吉林长春·一模）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在边上，连结，则下列结论错误的是（    ） A． B．连结，根据可判定 C． D．的最小值是的长 6．（2025·北京通州·一模）下面是“经过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图方法． （1）任意取一点、使点和点在的两旁， （2）设点为圆心，长为半径作弧，交于点和点． （3）分别以点和点为圆心．大于的同样长为半径作弧．两弧相交于点． （4）作直线．则直线就是所求作的垂线． 根据以上尺规作图过程（如图），给出下面四个结论：①点到四点的距离一定都相等；②点与点一定关于直线对称；③点与点一定关于直线对称；④连接．，一定有． 上述结论中，正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 7．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，已知，直线l与直线分别交于点A，B．按如下步骤作图：（1）以点A为圆心，适当长为半径画弧，交直线于点；（2）分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交直线于点；（3）分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，B、F、C、E是直线l上的四点，． (1)求证：： (2)用直尺和圆规在直线l上方作出，使得．（保留作图痕迹，不要求写作法）； (3)连接，则直线与l的位置关系是 9．（24-25七年级下·广东佛山·期中）如图，在中，，D为边上一点． (1)请使用尺规作图的方法作，使，且，点E在外． (2)在（1）所作图形的基础上，已知，，求的度数． 题型一：全等三角形的性质与”SSS”综合 1．（24-25八年级上·广东韶关·阶段练习）如图，已知，，， (1)求证： (2)若，，求的度数． 2．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）如图，在中，点D，E分别在，边上，连接，交于点F，且垂直平分，连接． (1)若的周长为22，的周长为8，求的长． (2)若，，求∠CDE的度数． 3．（2025·安徽淮北·三模）如图1，点在的平分线上． (1)若，求证：． (2)如图2，若． ①已知，求的度数． ②点在上，若，求证：． 4．（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，点B，E，C，F是直线l上的四点，，相交于点G．，，． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由； (3)连接，直接写出与l的位置关系． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）（推理能力）如图，是上的两个动点，且． (1)若点运动至图①所示的位置，且．试说明：； (2)若点运动至图②所示的位置，仍有，则还成立吗？请说明理由； (3)若点不重合，且，则和平行吗？请说明理由． 6．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，中，，在的外部作等边三角形，点为的中点，射线交于点，连接． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，的平分线交于点，交于点，分别连接，若，求的度数． 7．（24-25八年级上·全国·期末）【综合运用】如图，在中，，点在内，连接，，是等边三角形，点在外，，． (1)求的度数； (2)证明：． (3)连接，若，，求的长． 题型二：全等三角形判定“SSS”中多结论问题 1．（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形是一个筝形，其中，，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①；②；③四边形的面积，④．其中正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）如图，已知，，，以下结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 3．（2025九年级下·贵州毕节·学业考试）如图，在中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接并延长，交于点，连接．下列结论：①是的平分线；②；③判定的依据是“”；④．其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，的平分线与的垂直平分线交于点O，将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合，有如下五个结论：①；②；③是等边三角形；④；⑤．则上列说法中正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 1．（24-25八年级下·湖南长沙·开学考试）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在的边上分别取，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M、N重合，得到的平分线，做法中用到三角形全等的判定方法是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知，和交于，则图中的全等三角形的对数是（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 3．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图，点D是内部一点，点E，F，G分别是点D关于的对称点，则（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，在中，，尺规作图：（1）分别以B，C为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；（2）连接交于点，则下列结论中错误的是（   ） A．垂直平分 B．点不一定在的角平分线上 C． D．若，则垂直平分 5．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，点D，E分别为边上的点，且，，则 ． 6．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，将绕点O逆时针旋转一定角度得到，使得．若，，则 °． 7．（24-25八年级下·重庆北碚·阶段练习）在中，，．D为三角形内一点，且，则的度数为 ． 8．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）在如图所示的3×3网格中，是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是 ．    9．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，已知点A，B，D，E在同一直线上，，，，若，则的度数为 ．    10．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，中，，，为中一点，，，则线段的长是 . 11．（24-25七年级下·江西鹰潭·阶段练习）如图，，，，点，分别在，上，，延长至点H，使得，连接．求证： (1)； (2)． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知三点共线，与相交于点F，请从下列结论：①；②，选择一个进行证明． 13．（25-26八年级上·全国·课后作业）晚唐时期，风筝上已有用丝条或竹笛做成的响器，风吹声鸣，因而有了“风筝”的名字．如图是一个四边形风筝的骨架示意图，其中是风筝的支架且． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 14．（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）【新情境】 图1是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P．AP是的平分线吗？请判断并说明理由； (2)如图3，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，求的面积． 15．（24-25八年级上·广东佛山·期末）尺规作图（用无刻度直尺和圆规绘制几何图形）是一种古老而重要的几何作图技术，在现代科学研究中仍然发挥着重要的作用．用尺规作已知角的平分线是其中的一种基本作图． (1)如图1，由尺规作图痕迹，可推导出，继而得到，其中三角形全等的依据是________（单选题）； A．   B．    C．    D． (2)如图2，在射线上任取一点，作，在射线上截取一点，使，作射线．根据以上步骤，请证明是的平分线； (3)综上可发现：用尺规作已知角的平分线，其实是在角的内部构造与等角有关的图形．根据这一发现，在图3尝试第三种作法（保留作图痕迹）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.2 全等三角形的判定 （第4课时 全等三角形的判定“SSS”） 题型一：用SSS证明三角形全等（选填） 1．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）如图，在四边形中，，连接、相交于点，下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，是解题的关键．先证明，进而得到，再证明，得到，进而得到，即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴；故选项A正确； ∵， ∴；故选项B正确； ∴， ∴；故选项D正确； 在中，为斜边， ∴， ∴；故选项C错误； 故选：C． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，则可推出（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，结合题意，根据全等三角形的判定性质分析，即可得到答案． 【详解】在和中， ， ∴， 故选：B． 3．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）根据图中作图痕迹进行判断，下列说法一定正确的是（   ） A． B．平分 C．垂直平分线段 D．构造的依据是 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，全等三角形的判定和性质，根据作图得到，结合，推出，进而得到，得到平分，进行判断即可． 【详解】解：由作图可知：， ∵， ∴， ∴， ∴平分； 无法得到，垂直平分线段； 故只有选项B正确； 故选B． 4．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，四边形中，垂直平分，垂足为E，下列结论不正确的是（　） A． B． C． D．平分 【答案】C 【分析】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形底边上三线合一及三角形全等的判定，根据垂直平分线得到，，，根据可证，根据三线合一可得平分，即可得出结论． 【详解】解∶∵垂直平分， ∴，，， ∴平分， ∵，，， ∴， 由条件无法得, ∴选项A、B、D正确，选项C错误， 故选：C． 5．（24-25八年级下·上海·期中）在中，与相交于点，则下列结论不一定成立的是（　　） ① ② ③ ④ A．①④ B．①②④ C．③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，，以及全等三角形的判定与性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键．由平行四边形的性质逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，，，，， ①∵， ∴根据等底同高可得，正确； ②∵，，， ∴根据可得正确； ③∵平行四边形的对角线不一定平分对角， ∴无法得到，错误； ④∵平行四边形的对角线不一定相等， ∴无法得到，错误． 故选：C． 6．（25-26八年级上·全国·期末）如图，E是延长线上一点，已知，则图中全等三角形有（　　） A．0对 B．1对 C．2对 D．3对 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据可证明，，根据全等三角形的性质可得，，，进而根据可证明，从而得出答案． 【详解】解：∵，， ∴； ∴， ∵，， ∴； ∴， ∵， ∴． ∴图中全等三角形有，，，共3对， 故选：D． 7．（2024·河北·模拟预测）如图，这是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，D，E分别是的中点，是连接弹簧和伞骨的支架，且，则弹簧M在向上滑动的过程中，总有（     ） A． B． C．平分 D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．证明即可对各选项作出判断． 【详解】解：∵D，E分别是的中点， ∴； ∵， ∴； 在与中， ， ∴， ∴， 即平分， 故C正确； 对于A、B、D三个选项，只在伞开合的某一时刻正确； 故选：C． 题型二：“SSS”中添加一个条件使得三角形全等 1．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）如图，，，若要用“”证明，则还需要添加的条件是（   ） A． B． C． D．不需要添加 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定，根据，结合公共边直接判断即可得到答案； 【详解】解：∵，，， ∴， ∴不需要添加条件， 故选：D． 2．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图，已知，点B，E，C，F在一条直线上，若利用“”得到，则需要添加的条件是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三边对应相等的三角形是全等三角形，进行判断即可． 【详解】解：已知， ∴要利用“”得到，还需要，， ∵， ∴要得到，只需； 综上：满足题意的只有C选项； 故选C． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在中，，如果要用“”证明，应增加的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定——，解题关键是掌握全等三角形的判定——． 根据全等三角形的判定——求解． 【详解】解：在中，，，需要添加，可用“”证明， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·全国·课前预习）如图，已知点A，D，C，F在同一条直线上，，，要使，根据还需要添加一个条件是 ． 【答案】（或） 【分析】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．根据定理即可得． 【详解】解：①根据还需要添加一个条件是， ∴，即， 在和中， ， ∴． ②根据还需要添加一个条件是， 在和中， ， ∴， 故答案为：（或）． 5．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，已知，要用“”判定，则只需添加一个适当的条件是 ． 【答案】 【分析】根据全等三角形的判定：三边对应相等的两个三角形全等，即可． 【详解】∵全等三角形的判定“”：三边对应相等的两个三角形全等， ∴当和中， ， ∴， 故答案为：． 题型三：找出三角形全等的判断依据 1．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图是油纸伞的张开示意图，，则的判定依据是（　　）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定． 根据，，判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：D． 2．（24-25七年级下·四川达州·期末）数学课上，小王同学用尺规在黑板上作的角平分线，先以点为圆心，适当长度为半径画弧，交于点，分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，作射线，则就是的平分线．根据全等知识我们知道，则所用到的判定定理是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线作图和全等三角形的判定，准确分析证明是解题的关键． 【详解】解：尺规作图中，，， 即，利用即可判定， 故选：D． 3．（2025·贵州铜仁·二模）如图，在与中，若，则，这个结论的理由是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定的应用，注意判定两三角形的全等方法有，，，，，选用适当的方法证明两三角形全等是解题的关键． 利用证明，即可求解． 【详解】解：在与中， ∵， ∴． 故选：C 4．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以同样的长度（大于）为半径画弧，两弧相交于点，连接，则射线是的角平分线．连接，，可以先证明，进而推出是的角平分线．判定的依据（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键； 根据作图可得，，再根据，利用得到即可得到结论． 【详解】解：根据作图，可得，， 又∵， ， ∴， ∴是的角平分线； 故选：D． 5．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线．以上作图原理主要是通过（   ）判定三角形全等． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．由三边相等得，即由判定三角形全等． 【详解】解：根据题意，， 又，为公共边， ， 故选：B． 6．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）如图1是一乐谱架，利用立杆可进行高度调节，图2是底座部分的平面图，其中支撑杆，点E，F分别为，中点，，是连接立杆和支撑杆的支架，且．立杆在伸缩过程中，总有，其判定依据是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段中点的定义，全等三角形的判定，根据题意找出全等条件，选择恰当的判定方法是解题的关键． 【详解】解：点E，F分别为，中点， ，， ， ， 在和中 ， （）， 故答案：B． 题型四：简单的利用“SSS”全等三角形的判断（解答题） 1．（24-25八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，已知，，点A，D，B，F在一条直线上，，证明：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题时注意：三条边分别对应相等的两个三角形全等． 先根据等式性质，得到，再根据即可判定． 【详解】证明：∵， ∴， 即． 在与中， ， ∴． 2．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，四边形中，，，， (1)求证：； (2)求证：； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键： （1）证明即可； （2）证明，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即：， 又∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 3．（24-25八年级上·全国·期中）如图，已知，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据，得到，证明，即可得证． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 4．（24-25八年级上·河北唐山·开学考试）如图，点、、、在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定定理；利用证明，根据全等三角形的性质可得，再由平行线的判定即可得． 【详解】证明：， ∴，即， 又，， ， 则， ． 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】此题考查了三角形全等的判定和性质．根据三边对应相等的三角形全等证明，再全等三角形对应角相等可得，进而证明结论． 【详解】证明：在和中， ， ， 即． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．证明，得出，即可得出结论． 【详解】证明：∵在和中， ∴， ， ， ． 7．（24-25八年级上·湖南益阳·期中）如图，已知，，，．求证：．（提示：连接、、） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，连接、、，证明得到，再证明得到，据此可证明． 【详解】证明：如图所示，连接、、， ∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 8．（24-25八年级上·广西桂林·期中）如图，点A、E、B、D在同一条直线上，且． (1)求证：； (2)指出图中所有平行的线段，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的判定，全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先得到，再根据边边边证明全等即可； （2）根据全等三角形对应角相等，以及平行线的判定即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在与中 ∴； （2）解：， 理由如下： ∵， ∴，              ∴． 9．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，点E、F在上，且，，，与相交于点O，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先证明，再证明得到，进一步证明，则可证明． 【详解】证明：∵， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 题型五：利用“SSS”证明三角形全等求角度 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，对角线相交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，先证，得出 ，再根据三角形外角的性质求的度数． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：B． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，分别以为一边，向外作和．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理； 证明，可得，求出，然后计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理的应用，先证明，得出，，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：在和中， ， ， ， ， 故选：B． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，点D在线段上．若，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的判定及性质，关键利用全等三角形的判定定理证明，然后利用全等三角形的性质求解的度数． 【详解】在和中， ， ∴， ∴， 故选： D． 5．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在和中，点在同一条直线上，，则的度数为（　　） A．28° B．54° C． D．82° 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，证明是解题的关键． 证明得到，则可由三角形内角和定理求出． 【详解】 即 在和中， 故选C． 6．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在和中，，，，且，，延长分别与、交于点、，则的度数为 ． 【答案】60 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，由已知可证，推出，，结合，，可求出，的度数，再证即可求解． 【详解】解：在和中，，，， ， ，， ，， ， ， ， 在和中，，， ， 即， 故答案为：60． 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，两点在上，且有．若，，则的度数为 ． 【答案】/110度 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据“边边边”证明，根据对应角相等可得，即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，在中，，D，E是边上的点，连接，作关于直线对称的，连接，若，则 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了轴对称图形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握轴对称图形的性质和三角形全等的判定是解题的关键． 根据对称得出，根据全等三角形判定的“”定理即可证得，得出，求出，根据对称得出，代入求出即可． 【详解】解：与是关于的轴对称图形， ， 在和中， ， ， ， ， 与是关于的轴对称图形， ， 即， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，若，则 ． 【答案】72 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．先证明，得出，根据三角形内角和求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：72． 题型六：全等三角形判定“SSS”中尺规作图问题 1．（2025·北京石景山·模拟预测）如图1，已知，用尺规作它的角平分线．如图2 第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线，于点D，E； 第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧； 第三步：画射线，射线即为所求． 上述方法通过判定，得到，其中判定的依据是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定和性质．如图，连接，．根据“边边边”证明三角形全等可得结论． 【详解】解：如图，连接，． 由作图知，， 在和中， ， ∴． ∴，即平分． 故选：A． 2．（2025九年级下·北京·专题练习）下面是“作的角平分线”的尺规作图方法： （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点． （2）分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点． （3）画射线，射线即为所求． 上述方法是通过判定得到的，其中判定的依据是（    ） A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．三边分别相等的两个三角形全等 【答案】D 【分析】本题考查作图-基本作图、全等三角形的判定，由作图可得，，，再结合，可得，进而可得答案． 【详解】解：由作图可得，， ∵， ∴， ∴． ∴判定的依据是：三边分别相等的两个三角形全等． 故选：D． 3．（24-25七年级下·广东茂名·期中）如图，点C 在的边上，用尺规作图： ①以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交于点D， 交 于点E； ②以点C 为圆心，以 的长为半径画弧，交于点F； ③以点F 为圆心，以的长为半径画弧，交前弧于点P； ④作射线；   下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，由作图过程推出即可求解. 【详解】解：由作图过程可知：， ∴ ，； 由①可知：， ∵， ∴； 不能推出； 故选：C. 4．（24-25七年级下·山东济南·期中）我们曾经学习“过直线外一点P作直线l的平行线”的一种方法，如图： （1）在直线l上任取一点A，以点A为圆心，以的长为半径作弧，交直线l于点B； （2）以点P为圆心，以的长为半径作弧； （3）以点A为圆心，以的长为半径作弧，交前弧于点C； （4）过点P，C作直线，则． 如果用全等三角形的知识来解释作图的道理，最恰当的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查尺规作图—作线段，全等三角形的判定，连接，根据作图可知：，结合，即可得到，进而得到，得到即可． 【详解】解：连接， 由作图可知：， 又∵， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 5．（2025·吉林长春·一模）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在边上，连结，则下列结论错误的是（    ） A． B．连结，根据可判定 C． D．的最小值是的长 【答案】B 【分析】本题考查作图—基本作图、全等三角形的判定、角平分线的性质，由作图过程可得，，可得，即可判断A，B选项；由作图过程可知，射线为的平分线，可得，即可判断C选项；由题意知，当时，取得最小值，此时结合角平分线的性质可得，即的最小值是的长，即可判断D选项． 【详解】解：连接，， 由作图过程可得，， ∵， ∴， ∴根据可判定， 故A选项正确，不符合题意，B选项不正确，符合题意； 由作图过程可知，射线为的平分线， ∴， 故C选项正确，不符合题意； 由题意知，当时，取得最小值， ∵为的平分线，， ∴此时， 即的最小值是的长， 故D选项正确，不符合题意． 故选：B． 6．（2025·北京通州·一模）下面是“经过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图方法． （1）任意取一点、使点和点在的两旁， （2）设点为圆心，长为半径作弧，交于点和点． （3）分别以点和点为圆心．大于的同样长为半径作弧．两弧相交于点． （4）作直线．则直线就是所求作的垂线． 根据以上尺规作图过程（如图），给出下面四个结论：①点到四点的距离一定都相等；②点与点一定关于直线对称；③点与点一定关于直线对称；④连接．，一定有． 上述结论中，正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题考查尺规作图中垂线的作图原理及几何性质的应用，关键在于理解每一步作图的几何意义．通过确定垂直平分线，保证对称性，明确点与直线的对称关系满足的距离和位置条件，进而确定三角形的全等． 【详解】解：步骤（2）以点为圆心，长为半径作弧，交于点和点， ， 点是步骤（3）中以点和点为圆心．相同半径画弧的交点， ， 因点的位置由两弧交点决定，无法保证的长度等于， 故结论①错误； 步骤（3）中，以点和点为圆心．相同半径画弧， 交点必在的垂直平分线上，即是的垂直平分线， 点与点一定关于直线对称， 故结论②正确； 是垂线， ， 点的位置由作图步骤决定， 未必满足点与点到直线距离相等， 故结论③错误； （步骤2），（步骤3），为公共边， ， 故结论④正确． 故选：D． 7．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，已知，直线l与直线分别交于点A，B．按如下步骤作图：（1）以点A为圆心，适当长为半径画弧，交直线于点；（2）分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交直线于点；（3）分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，先证明，则，结合等角对等边证明，则，即可求解． 【详解】解：连接， 由题意得平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 8．（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，B、F、C、E是直线l上的四点，． (1)求证：： (2)用直尺和圆规在直线l上方作出，使得．（保留作图痕迹，不要求写作法）； (3)连接，则直线与l的位置关系是 【答案】(1)证明见解析 (2)图见解析 (3)平行 【分析】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）证明，可得，则． （2）结合全等三角形的判定，以点E为圆心，的长为半径画弧，以点F为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于点，连接，即可． （3）结合题意可知，直线与l的位置关系是平行． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即． ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，以点E为圆心，的长为半径画弧，以点F为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于点，连接， 此时， ∵， ∴， 则即为所求． （3）解：作于点M，作于点N， ∵， ∴， ∴直线与l的位置关系是平行． 故答案为：平行． 9．（24-25七年级下·广东佛山·期中）如图，在中，，D为边上一点． (1)请使用尺规作图的方法作，使，且，点E在外． (2)在（1）所作图形的基础上，已知，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，尺规作图—作三角形，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）以C为圆心，以的长为半径画弧，以B为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点E，连接，则，再由即可证明； （2）由全等三角形的性质可得的度数，再由三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵， ∴， ∴． 题型一：全等三角形的性质与”SSS”综合 1．（24-25八年级上·广东韶关·阶段练习）如图，已知，，， (1)求证： (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的内角和定理的应用． （1）先证明，进而根据证明； （2）根据全等三角形的性质可得，进而根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在与中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， 在中，． 2．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）如图，在中，点D，E分别在，边上，连接，交于点F，且垂直平分，连接． (1)若的周长为22，的周长为8，求的长． (2)若，，求∠CDE的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据轴对称的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案； （2）根据三角形内角和定理求出，证明，根据全等三角形的性质得到，求出，再根据三角形内角和定理求出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：∵是线段的垂直平分线， ∴点A与点E关于对称， ∴， ∵的周长为22，的周长为8， ∴， ∴， ∴． （2）解：在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．（2025·安徽淮北·三模）如图1，点在的平分线上． (1)若，求证：． (2)如图2，若． ①已知，求的度数． ②点在上，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的意义，解题关键是掌握全等三角形的判定方法． （1）先利用证明，再根据全等三角形的性质得出结论成立； （2）①先利用证明，再根据全等三角形的性质得出，从而可证得，再根据等边对等角证得，进而求得； ②先利用证明，再根据全等三角形的性质得出，根据，得出，从而可得结论成立． 【详解】解：（1）证明：， ． 平分， ． 又， ， ． （2）①如图，在上截取，连接． 平分， ， ∵， ， ． ， ∴， ， ， ． ． ②证明：如图，连接， 在和中， ， ． ， ， ， ． 4．（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，点B，E，C，F是直线l上的四点，，相交于点G．，，． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由； (3)连接，直接写出与l的位置关系． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰三角形，见解析 (3)平行 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据“边边边”即可证明结论； （2）根据全等三角形的性质得到，再根据等腰三角形的判定，即可得到答案； （3）先证明，然后根据等腰三角形的性质，得到，进一步利用三角形内角和性质证明，最后根据平行线的判定定理，即可得到答案． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：是等腰三角形； 理由：， ， ， 是等腰三角形； （3）解：． 理由：，， ， ， ，，，， ， ． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）（推理能力）如图，是上的两个动点，且． (1)若点运动至图①所示的位置，且．试说明：； (2)若点运动至图②所示的位置，仍有，则还成立吗？请说明理由； (3)若点不重合，且，则和平行吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立．理由见解析 (3)．理由见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定，熟悉三角形全等的判定定理是基础，在不同图形中由得出是关键． （1）由知，即，又、，由可证； （2）由知，即，又、，由可证； （3）由（1）（2）知，所以，可由平行线的判定得出． 【详解】（1）解：因为， 所以， 即． 在和中， 所以． （2）解：成立．理由如下： 因为， 所以，即． 在和中， 所以． （3）解：．理由如下： 由（1）（2）知， 所以， 所以． 6．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，中，，在的外部作等边三角形，点为的中点，射线交于点，连接． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，的平分线交于点，交于点，分别连接，若，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）由等边三角形的性质可得，，又为的中点，则，根据等边对等角得，最后用角度和差即可求解； （）设，则，则，证明垂直平分，故有，根据等边对等角得，再证明，则有，，再通过三角形的内角和定理列出方程，然后解出方程即可． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴，， ∵为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵是的平分线， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵等边三角形， ∴， ∵为的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 7．（24-25八年级上·全国·期末）【综合运用】如图，在中，，点在内，连接，，是等边三角形，点在外，，． (1)求的度数； (2)证明：． (3)连接，若，，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质，得出，，利用证明，得出，结合周角为，计算角度即可； （2）根据等边三角形的性质，得出，，结合，推出，利用证明即可； （3）根据等边三角形的性质，得出，计算得出是直角，，根据“度角所对的直角边等于斜边的一半”，求出的长，根据（2）得，则，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，由（1）得， ∴， 在和中， ， ∴； （3）解：∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵由（2）得， ∴． 题型二：全等三角形判定“SSS”中多结论问题 1．（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形是一个筝形，其中，，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①；②；③四边形的面积，④．其中正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，①根据已知条件，结合图形依据“”可判定，对此可对结论①进行判断；②由①的结论可得出，进而可依据“”判定，由此得，，然后根据平角的定义可得出，据此可对结论②、④进行判断；③由②可知，再根据三角形的面积公式，，然后由，可对结论③进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①在和中， ， ， 结论①正确； ②由①可知：， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 结论②、④正确； ③由②可知：， ，， 又， ． 结论③正确， 综上所述：结论①②③④正确． 故选：A． 2．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）如图，已知，，，以下结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题关键是掌握全等三角形的判定和性质． 利用“”证，依据全等三角形对应角相等，得．分析线段关系，判断不成立．由全等得，进而推出．根据全等三角形面积相等，得，统计正确结论个数． 【详解】∵， ∴，即． ∵，， ∴， ∴①正确． ∵， ∴， ∴②正确． 由前面已证，仅根据已知条件无法得出， ∴③错误． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴④正确． 由于，根据全等三角形的性质：全等三角形面积相等， ∴， ∴⑤正确． 综上，①②④⑤正确，正确的个数是4个， 故选：B． 3．（2025九年级下·贵州毕节·学业考试）如图，在中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接并延长，交于点，连接．下列结论：①是的平分线；②；③判定的依据是“”；④．其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了角的平分线的基本作图，三角形外角的性质，角平分线的性质，三角形全等的判定，熟练掌握上述相关的知识是解题的关键． 根据作图判定是的平分线，结合，得到，，根据三角形外角性质可得；根据作图可知：的依据是“”；根据角平分线性质可得出边上任意一点到边和边上的距离都相等，结合三角形面积公式可得． 【详解】解：根据作图判定是的平分线，故①正确； 因为， 所以， 所以， 所以，故②正确； 根据作图可知：，， 因为， 所以，故③错误； 根据角平分线的性质可知：边上任意一点到边和边上的距离都相等， 所以与面积的比等于与的比． 因为，， 所以， 所以 所以，故④正确； 综上分析可知：正确的有3个． 故选：B． 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，的平分线与的垂直平分线交于点O，将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合，有如下五个结论：①；②；③是等边三角形；④；⑤．则上列说法中正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】如图，延长交于，由为的平分线，可得，证明，则，即，进而可判断①的正误；如图，连接，同理，，则，，由可得，由是的垂直平分线，可知，则，，由折叠的性质可知，，进而可判断④的正误；由，，，，可知不是等边三角形，进而可判断③的正误；由，可得，则，进而可判断⑤的正误；由点E是动点，可知，进而可判断②的正误． 【详解】解：如图，延长交于， ∵为的平分线， ∴， ∵，，， ∴， ∴，即，①正确，故符合要求； 如图，连接， 同理，， ∴， ∵，为的平分线， ∴， ∵ ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴，， 由折叠的性质可知，，④正确，故符合要求； ∴，，，， ∴不是等边三角形，③错误，故不符合要求； ∴， ∴， ∴，⑤正确，故符合要求； ∵点E是动点， ∴不是定长， ∴，②错误，故不符合要求； 故选：B． 1．（24-25八年级下·湖南长沙·开学考试）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在的边上分别取，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M、N重合，得到的平分线，做法中用到三角形全等的判定方法是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定．已知两三角形三边分别相等，可考虑证明三角形全等，从而证明角相等． 【详解】解：做法中用到的三角形全等的判定方法是． 证明如下： 由题意得，， 在和△中， ， ∴， ∴， 故为的平分线． 故选：A． 2．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知，和交于，则图中的全等三角形的对数是（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据全等三角形的判定与性质证明即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴共有4对全等三角形， 故选：B． 3．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图，点D是内部一点，点E，F，G分别是点D关于的对称点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了考查对称的性质，三角形全等的判定与性质，连接，由对称性可得，利用可证明，可得，即可求解 ． 【详解】解：连接， ∵点E，F，G分别是点D关于的对称点， ∴， 在与中，， ∴， ∴； 同理得：， ∴； ∴， 故选：B． 4．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，在中，，尺规作图：（1）分别以B，C为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；（2）连接交于点，则下列结论中错误的是（   ） A．垂直平分 B．点不一定在的角平分线上 C． D．若，则垂直平分 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 根据题意易得，，则垂直平分，即可判断A；通过证明，得出，即可判断B；根据垂直平分，得出，即可判断C；易得为等边三角形，进而得出，即可判断D． 【详解】解：A、∵， ∴点A在垂直平分线上， 由作图可知，， ∴点D在垂直平分线上， ∴垂直平分，故A正确，不符合题意； B、∵，，， ∴， ∴， ∴点在的角平分线上，故B不正确，符合题意； C、∵垂直平分， ∴， 故C正确，不符合题意； D、∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴垂直平分，故D正确，不符合题意； 故选：B． 5．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，点D，E分别为边上的点，且，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质、邻补角等知识点，掌握全等三角形的判定与性质成为解题的关键． 先根据证明得出，再根据邻补角的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 6．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，将绕点O逆时针旋转一定角度得到，使得．若，，则 °． 【答案】50 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定及性质，三角形的内角和定理，平行线的性质，正确作出辅助线，证明三角形全等是解题的关键． 连接，，，，与相交于点D，与交于点E，先由三角形的内角和求出，再由旋转的性质得到，，，，从而证得，得到，根据三角形的内角和得到，根据求得，即可解答． 【详解】解：连接，，，，与相交于点D，与交于点E， ∵，， ∴， ∵将绕点O逆时针旋转一定角度得到， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：50 7．（24-25八年级下·重庆北碚·阶段练习）在中，，．D为三角形内一点，且，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形判定与性质，垂直平分线的判定与性质，以为边在内作正，连接，证明是等腰三角形，得到 平分，进推出为等腰的底边的中垂线，即，证明，即可作答． 【详解】解：如图，以为边在内作正，连接， ∵， ∴，， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴ 平分， ∴为等腰的底边的中垂线，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）在如图所示的3×3网格中，是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是 ．    【答案】4 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据全等三角形的判定画出图形，即可判断． 【详解】解：如图，观察图象可知满足条件的三角形有4个．      由图可得，所有格点三角形的个数是4， 故答案为：4． 9．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，已知点A，B，D，E在同一直线上，，，，若，则的度数为 ．    【答案】/85度 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 由“”可证，可得，可证，即可求解． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，中，，，为中一点，，，则线段的长是 . 【答案】6 【分析】作的平分线，交的延长线于点D，连接，由等边对等角得到，再推出，得到，然后可证，最后证，即可得． 【详解】解：如图，作的平分线，交的延长线于点D，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在与中， ∴， ∴， ∴， 在与中， ∴ ∴， 故答案为：6． 11．（24-25七年级下·江西鹰潭·阶段练习）如图，，，，点，分别在，上，，延长至点H，使得，连接．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由，得，而，即可根据证明； （2）由全等三角形的性质得，推导出，因为，且，所以，而，即可根据证明，得，则． 【详解】（1）证明：，， ． 在与中 ． （2）由（1）得，， ，． ，， ． 在和中 ， ． ， ， ． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知三点共线，与相交于点F，请从下列结论：①；②，选择一个进行证明． 【答案】选择①或②，证明见解析． 【分析】先利用（边边边）判定定理证明，得到对应角相等，再根据三角形外角性质或三角形内角和定理，对所选结论进行证明 ．本题主要考查了全等三角形的判定（）与性质，以及三角形外角性质、三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用三角形相关角的定理是解题的关键． 【详解】解：选择①．证明如下： 在和中， ， ， ． 选择②．证明如下： 在和中， ． 又， ， ． 13．（25-26八年级上·全国·课后作业）晚唐时期，风筝上已有用丝条或竹笛做成的响器，风吹声鸣，因而有了“风筝”的名字．如图是一个四边形风筝的骨架示意图，其中是风筝的支架且． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了全等三角形，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，是解题的关键 （1）根据证； （2）根据，得，由求出即可． 【详解】（1）证明：在和中， ． （2）解：， ， ． 14．（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）【新情境】 图1是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P．AP是的平分线吗？请判断并说明理由； (2)如图3，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，求的面积． 【答案】(1)是的平分线，见解析 (2)12 【分析】本题主要考查三角形全等的判定方法及角平分线的性质，能够熟练运用角平分线的性质得到高的长度是解题关键； （1）利用证明来得到即可． （2）利用角平分线上的点到角两边的距离相等得到的高，再运用面积计算公式解题即可． 【详解】（1）解：是的平分线， 理由如下： 在和中， ， ， 平分； （2）解：过点作于点， 平分， ， ， ． 15．（24-25八年级上·广东佛山·期末）尺规作图（用无刻度直尺和圆规绘制几何图形）是一种古老而重要的几何作图技术，在现代科学研究中仍然发挥着重要的作用．用尺规作已知角的平分线是其中的一种基本作图． (1)如图1，由尺规作图痕迹，可推导出，继而得到，其中三角形全等的依据是________（单选题）； A．   B．    C．    D． (2)如图2，在射线上任取一点，作，在射线上截取一点，使，作射线．根据以上步骤，请证明是的平分线； (3)综上可发现：用尺规作已知角的平分线，其实是在角的内部构造与等角有关的图形．根据这一发现，在图3尝试第三种作法（保留作图痕迹）． 【答案】(1)B (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查角平分线的作图，平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质． （1）根据，可由证明两个三角形全等； （2）根据作图可得：，，根据等腰三角形的性质和外角的性质可得，从而得证； （3）在射线上取点、，分别以为圆心，长为半径画弧，交射线于点，，连接，交于点，过点画射线，则射线为的平分线． 【详解】（1）解：根据作图可得：， ， ， ， 射线就是的平分线， 用到的三角形全等的判定方法是， 故选：． （2）解：根据作图可得：， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， 射线就是的平分线． （3）如图①，在射线上取点、，分别以为圆心，长为半径画弧，交射线于点，，连接，交于点，过点画射线，则射线为的平分线． 证明：连接， 由作图可知，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴ ∴射线就是的平分线． 学科网（北京）股份有限公司 $$