第十四章全等三角形题型突破2026-2027学年人教版数学八年级上册（26题型）

**基本信息** 以26类题型系统覆盖全等三角形概念、性质、判定及角平分线应用，构建从基础到综合的逻辑训练体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念基础|题型1-3（6题）|图形辨别、定义辨析|从全等图形到三角形定义，建立对应元素认知| |性质应用|题型4-7（12题）|对应关系判断、角度边长计算、证明推理|由性质概念到计算应用，强化等量代换思想| |判定方法|题型10-15（18题）|SSS/SAS/ASA/AAS/HL及条件补充|按判定定理分类训练，形成方法选择策略| |综合应用|题型9、16-26（30题）|动态分类、多结论判断、角平分线应用|结合运动变化与实际情境，提升应用意识与逻辑推理能力|

第十四章全等三角形题型突破2026-2027学年 人教版八年级上册（26题型） 题型1：全等图形的辨别 1.下列四个图形中，属于全等图形的是（　　） A．①和② B．②和③ C．①和③ D．③和④ 2.下列个图形中，是全等图形的是（       ） A．，，， B．与 C．，， D．与 3.下列各组图形中，属全等图形的是（       ） A．周长相等的两个等腰三角形 B．面积相等的两个长方形 C．面积相等的两个直角三角形 D．周长相等的两个圆 题型2：全等图形相关问题 1.下列说法不正确的是（       ） A．如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同 B．图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关 C．全等图形的面积相等，面积相等的两个图形是全等图形 D．全等图形的周长相等，面积相等 2.下列说法正确的是（    ） A．两个形状相同的图形称为全等图形 B．两个圆是全等图形 C．全等图形的形状、大小都相同 D．面积相等的两个三角形是全等图形 3.下列说法：①两个形状相同的图形称为全等图形；②边、角分别对应相等的两个多边形全等；③全等图形的形状、大小都相同；④面积相等的两个三角形全等．其中正确的是（       ） A．①②③ B．①②④ C．①③ D．②③ 题型3：全等三角形的定义 1.如图是小明用七巧板拼成的一个机器人，其中全等三角形有（       ） A．1 对 B．2 对 C．3 对 D．4 对 2.下列说法正确的是（　　） A．全等三角形是指形状相同的三角形 B．全等三角形是指面积相等的两个三角形 C．全等三角形的周长和面积相等 D．所有等边三角形是全等三角形 题型4：全等三角形的对应顶点、边、角 1.△ABC中，∠B＝∠C，若与△ABC全等的三角形中有一个角是92°，则这个角在△ABC中的对应角是（　　） A．∠A B．∠A或∠B C．∠C D．∠B或∠C 2.如图，△ABD≌△CDB，若AB∥CD，则AB的对应边是（       ） A．DB B．BC C．CD D．AD 3.如图所示，△ABC≌△CDA，且AB与CD是对应边，那么下列说法错误的是（　　） A．∠1与∠2是对应角 B．∠B与∠D是对应角 C．BC与AC是对应边 D．AC与CA是对应边 题型5：全等三角形的性质（概念类） 1.下列命题中：①形状相同的两个三角形是全等形；②在两个三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；③全等三角形的对应边相等；④全等三角形对应边上的高相等．其中真命题有（       ）个． A． B． C． D． 2.有下面的说法：①全等三角形的形状相同；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等．其中正确的说法有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.下列说法正确的是（       ） A．全等三角形的周长和面积分别相等 B．全等三角形是指形状相同的两个三角形 C．全等三角形是指面积相等的两个三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 题型6：全等三角形的性质（计算类） 1.如图，已知△ABC△BDE，，则∠ABE的度数为（     ） A．30° B．35° C．40° D．45° 2.如图，点B、D、E、C在同一直线上，△ABD≌△ACE，∠AEC＝100°，则∠DAE＝（       ） A．10° B．20° C．30° D．80° 3.如图，若△ABC≌△DEF，AC＝4，AB＝3，EF＝5，则△ABC的周长为 　 　． 题型7：全等三角形的性质（证明类） 1.如图，△ACF≌△DBE，∠E＝∠F，若AD＝11，BC＝7． （1）试说明AB＝CD． （2）求线段AB的长． 2.如图，已知△ABC≌△DAE，点A、C、D在同一条直线上． （1）请判断AB与DE的位置关系，并说明理由； （2）若ED＝3，CD＝4，求线段AB的长． 3.如图，已知△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EH＝2． （1）求∠F的度数及DH的长； （2）AB与DE平行吗？说明理由． 题型9：全等三角形中的动态问题（分类讨论） 1.如图，AB＝12m，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC＝4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，当P、Q两点同时出发t分钟后△CAP全等于△PBQ，则此时t的值是（       ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．如图，CA⊥AB于点A，AB＝8，AC＝4，射线BM⊥AB于点B，一动点E从A点出发以2个单位/秒沿射线AB运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，若点E经过t秒（t＞0），△DEB与△BCA全等，则t的值为 　 　秒． 3.如图，，．点P在线段上以1的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以x的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为．若与全等，则x的值为 ． 题型10：全等三角形的判定（SSS） 1.如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（       ） A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④ 2.如图所示，尺规作图作∠AOB的平分线，方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP，由作法得到△OCP≌△ODP的根据是　 　． 3.如图，两根长12m的绳子，一端系在旗杆上的同一位置，另一端分别固定在地面上的两个木桩上（绳结处的误差忽略不计），现只有一把卷尺，如何来检验旗杆是否垂直于地面？请说明理由． 题型11：全等三角形的判定（SAS） 1.如图，AC与BD相交于点O，∠1＝∠2，若用“SAS”说明△ABC≌△BAD，则还需添加的一个条件是（            ） A．AD＝BC B．∠C＝∠D C．AO＝BO D．AC＝BD 2.如图，已知三个内角的角平分线相交于点，点在的延长线上，且，连接，若，则的度数为______． 3.已知：如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE．BC＝EF；(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)若点E为BC中点，EC＝6，求线段BF的长度． 题型12：全等三角形的判定（ASA） 1.如图，点B，F，C，E在同一直线上，AC＝DF，∠1＝∠2，如果根据“ASA”判断△ABC≌△DEF，那么需要补充的条件是（　　） A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．BF＝CE D．∠B＝∠D 2.如图，已知AB＝AD，∠1＝∠2，要根据“ASA”使△ABC≌△ADE，还需添加的条件是　 　． 3.如图，已知，，点D在AC边上，，AE和BD相交于点O． (1)求证：；(2)若，，求∠ADB的度数． 题型13：全等三角形的判定（AAS） 1.如图，点A，B，C，D在同一直线上，∠AEC＝∠DFB，AB＝DC，请补充一个条件：　 　，能使用“AAS”的方法得△ACE≌△DBF． 2.如图，已知∠ABC＝∠DCB，若添加条件　 　，则可由AAS证明△ABC≌△DCB；若添加条件　 　，则可由SAS证明△ABC≌△DCB；若添加条件　 　，则可由ASA证明△ABC≌△DCB． 3.如图，BD是△ABC中AC边上的中线，过点C作CE∥AB，交BD的延长线于点E，F为△ABC外一点，连接CF、DF，且DE＝DF、∠ADF＝∠CDE．求证： （1）△ABD≌△CED；（2）CA平分∠BCF． 题型14：全等三角形的判定（HL） 1.如图，在中，，，为边上一点，于点．若，，则的长为（　　） A． B．2 C． D．4 2.如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件_____． 3.如图，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE=BC，∠1=∠2． (1)求证：Rt△ADE≌Rt△BEC； (2)△CDE是不是直角三角形？并说明理由． 题型15：补充判定全等的条件 1.如图，∠A＝∠D，BC＝EF，要得到△ABC≌△DEF，只需添加（　　） A．AC＝DF B．∠E＝∠B C．AB＝DE D．DE∥AB 2.如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列条件：不能使△ABC≌△AED的条件（　　） A．BC＝ED B．AB＝AE C．∠C＝∠D D．∠B＝∠E 3.如图，∠1＝∠2，下列条件中不能使△ABD≌△ACD的是（　　） A．AB＝AC B．∠B＝∠C C．∠ADB＝∠ADC D．DB＝DC 题型16：灵活选择判定方法证明两个三角形全等 1.如图，△ABC的高BD与CE相交于点O，OD＝OE，AO的延长线交BC于点M，请你写出图中三对全等的直角三角形，并选择其中一对全等三角形进行证明． 2.如图，点E在AB上，∠A＝∠B＝∠CED＝90°，CE＝ED．求证：△ACE≌△BED． 3.如图，在中，延长边至点E，使得，连接交于点F，求证：． 题型17：全等三角形的判定与性质（证两次全等） 1.如图，已知AE∥DF，OE＝OF，∠B＝∠C，求证：AB＝CD． 2.如图，AB＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，点D是EF上一点，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE＝CF，连接BD，求证：Rt△ADE≌Rt△CDF． 3.如图，AB＝AC，E、D分别是AB、AC的中点，AF⊥BD，垂足为点F，AG⊥CE，垂足为点G，试判断AF与AG的数量关系，并说明理由． 题型18：全等三角形的判定与性质（多结论） 1.如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，过点A作AF∥BC且AF＝AD，点E是AC上一点且AE＝AB，连接EF，DE．连接FD交BE于点G．下列结论中正确的有（　　）个． ①∠FAE＝∠DAB；②BD＝EF；③FD平分∠AFE；④S四边形ABDE＝S四边形ADEF；⑤BG＝GE． A．2 B．3 C．4 D．5 2.如图，在△ABC中，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，AM⊥CE于P，交BC于M，AN⊥BD于Q，交BC于N，∠BAC＝110°，AB＝6，AC＝5，MN＝2，结论：①AP＝MP；②BC＝9；③∠MAN＝30°；④AM＝AN．其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3.如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD（OA＜OC），∠AOB＝∠COD＝α，直线AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD，②∠OAM＝∠OBM，③∠AMB＝α，④OM平分∠BOC，其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 题型19：利用角平分线的性质求长度 1.如图，在中，，AD平分，交BC于点D，，，则CD的长为（       ） A．3 B．4 C．6 D．8 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，，AD平分∠BAC，则点D到AB的距离为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3.如图，AC平分∠BAD，∠B+∠D=180°，CE⊥AD于点E，AD=18cm，AB=11cm，那么DE的长度为_____________________cm． 题型20：利用角平分线的性质求面积 1.如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的角平分线交于点O，AB=6cm，BC=9cm，△ABO的面积为18，则△BOC的面积为（     ） A．27 B．54 C． D．108 2.如图，分别平分的周长为18，，则的面积为（       ） A．18 B．30 C．54 D．27 3.如图，AD平分∠BAO，D(0，－3)，AB＝10，则ABD的面积为____． 题型21：利用角平分线的性质证明 1.如图，△ABE中，∠E＝90°，AC是∠BAE的角平分线． （1）若∠B＝40°，求∠BAC的度数； （2）若D是BC的中点，△ADC的面积为16，AE＝8，求BC的长． 2.如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM＝PN． 3.如图，△ABC中，∠ACB＝100°，点D在边BC延长线上，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝50°． （1）求∠ACE的度数； （2）求证：AE平分∠CAF； （3）若AC+CD＝16，AB＝10，且S△ACD＝24，则△ABE的面积． 题型22：角平分线的判定 1.如图，点是内一点，PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB，且，则点是（ ） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点 2.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线． 如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（　　） A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．以上均不正确 3．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E为BC的中点，且AE平分∠BAD．求证：DE是∠ADC的平分线． 题型23：尺规作角平分线 1.如图，用直尺和圆规作在∠AOB内确定射线OH，点P是射线OH上一点，过点P分别作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F，若PE＝3，则PF的长为（　　） A．1.5 B．3 C．4 D．5 2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是 　 　． 3.如图，在中，．请用尺规在边上作一点，使点到点的距离与点到边的距离．（保留作图痕迹，不写作法）. 题型24：角平分线的性质与判定综合运用 1.如图O是内的一点，且O到三边AB、BC、CA的距离．若，则（ ）． A．125° B．135° C．105° D．100° 2.如图，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，垂足为E．若AD＝DE且∠C＝50°，则∠ABD＝_____°． 3.如图，中，点D在边延长线上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且．    (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，且，求的面积． 题型25：利用角平分线的性质判断多结论问题 1.如图，在中，是高，是角平分线，是中线与相交于，以下结论正确的有（    ）    ①；②； ③；④； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、BC于点M、N．分别以点M、N为圆心，以大于MN的长度为半径画弧，两弧相交于点P，过点P作线段BD，交AC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，则下列结论①CD=ED；②∠ABD=∠ABC；③BC=BE；④AE=BE中，一定正确的是（     ） A．①②③ B．①②③④ C．②④ D．②③④ 3.如图，在中，，，，分别是和的角平分线，，交于点O，分别过点O作于点M，作于点N．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ）      A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型26：角平分线的性质的实际应用 1.如图，是三条两两相交的公路，现需建一个仓库，要求仓库到三条公路距离相等，则仓库的可能地址有（ ）处． A． B． C． D． 2.如图，有三条道路围成，其中，一个人从处出发沿着行走了到达处，恰为的平分线，则此时这个人到的最短距离为 ．    3.如图，两条公路，交于点O，村庄M，N的位置如图所示，M在公路上，现要修建一个快递站P，使快递站到两条公路的距离相等，且到两村庄的距离也相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．    学科网（北京）股份有限公司 $ 第十四章全等三角形题型突破2026-2027学年 人教版八年级上册（26题型） 题型1：全等图形的辨别 1.下列四个图形中，属于全等图形的是（　　） A．①和② B．②和③ C．①和③ D．③和④ 【答案】A 2.下列个图形中，是全等图形的是（       ） A．，，， B．与 C．，， D．与 【答案】D 3.下列各组图形中，属全等图形的是（       ） A．周长相等的两个等腰三角形 B．面积相等的两个长方形 C．面积相等的两个直角三角形 D．周长相等的两个圆 【答案】D 题型2：全等图形相关问题 1.下列说法不正确的是（       ） A．如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同 B．图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关 C．全等图形的面积相等，面积相等的两个图形是全等图形 D．全等图形的周长相等，面积相等 【答案】C 2.下列说法正确的是（    ） A．两个形状相同的图形称为全等图形 B．两个圆是全等图形 C．全等图形的形状、大小都相同 D．面积相等的两个三角形是全等图形 【答案】C 3.下列说法：①两个形状相同的图形称为全等图形；②边、角分别对应相等的两个多边形全等；③全等图形的形状、大小都相同；④面积相等的两个三角形全等．其中正确的是（       ） A．①②③ B．①②④ C．①③ D．②③ 【答案】D 题型3：全等三角形的定义 1.如图是小明用七巧板拼成的一个机器人，其中全等三角形有（       ） A．1 对 B．2 对 C．3 对 D．4 对 【答案】B 2.下列说法正确的是（　　） A．全等三角形是指形状相同的三角形 B．全等三角形是指面积相等的两个三角形 C．全等三角形的周长和面积相等 D．所有等边三角形是全等三角形 【答案】C。 题型4：全等三角形的对应顶点、边、角 1.△ABC中，∠B＝∠C，若与△ABC全等的三角形中有一个角是92°，则这个角在△ABC中的对应角是（　　） A．∠A B．∠A或∠B C．∠C D．∠B或∠C 【答案】A 2.如图，△ABD≌△CDB，若AB∥CD，则AB的对应边是（       ） A．DB B．BC C．CD D．AD 【答案】C 3.如图所示，△ABC≌△CDA，且AB与CD是对应边，那么下列说法错误的是（　　） A．∠1与∠2是对应角 B．∠B与∠D是对应角 C．BC与AC是对应边 D．AC与CA是对应边 【答案】C 题型5：全等三角形的性质（概念类） 1.下列命题中：①形状相同的两个三角形是全等形；②在两个三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；③全等三角形的对应边相等；④全等三角形对应边上的高相等．其中真命题有（       ）个． A． B． C． D． 【答案】B 2.有下面的说法：①全等三角形的形状相同；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等．其中正确的说法有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 3.下列说法正确的是（       ） A．全等三角形的周长和面积分别相等 B．全等三角形是指形状相同的两个三角形 C．全等三角形是指面积相等的两个三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 【答案】A 题型6：全等三角形的性质（计算类） 1.如图，已知△ABC△BDE，，则∠ABE的度数为（     ） A．30° B．35° C．40° D．45° 【答案】A 2.如图，点B、D、E、C在同一直线上，△ABD≌△ACE，∠AEC＝100°，则∠DAE＝（       ） A．10° B．20° C．30° D．80° 【答案】B 3.如图，若△ABC≌△DEF，AC＝4，AB＝3，EF＝5，则△ABC的周长为 　 　． 【答案】12． 题型7：全等三角形的性质（证明类） 1.如图，△ACF≌△DBE，∠E＝∠F，若AD＝11，BC＝7． （1）试说明AB＝CD． （2）求线段AB的长． 【答案】解：（1）∵△ACF≌△DBE， ∴AC＝DB， ∴AC﹣BC＝DB﹣BC， 即AB＝CD （2）∵AD＝11，BC＝7， ∴AB＝（AD﹣BC）＝（11﹣7）＝2 即AB＝2 2.如图，已知△ABC≌△DAE，点A、C、D在同一条直线上． （1）请判断AB与DE的位置关系，并说明理由； （2）若ED＝3，CD＝4，求线段AB的长． 【答案】（1）AB∥DE，理由见解析． （2）7． 【解答】解：（1）AB∥DE，理由如下： ∵△ABC≌△DAE， ∴∠D＝∠CAB， ∴AB∥DE； （2）∵△ABC≌△DAE， ∴AC＝ED＝3，AB＝AD， ∵AD＝AC+CD＝4+3＝7， ∴AB＝7． 3.如图，已知△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EH＝2． （1）求∠F的度数及DH的长； （2）AB与DE平行吗？说明理由． 【答案】（1）∠F＝35°，DH＝6． （2）AB∥DE，理由见解析． 【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEF， ∴∠F＝∠ACB，DE＝AB＝8， ∴DH＝DE﹣EH＝8﹣2＝6， ∵∠A＝85°，∠B＝60°， ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝35°， ∴∠F＝∠ACB＝35°； （2）AB∥DE，理由如下： ∵△ABC≌△DEF， ∴∠ABC＝∠DEF， ∴AB∥DE． 题型9：全等三角形中的动态问题（分类讨论） 1.如图，AB＝12m，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC＝4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，当P、Q两点同时出发t分钟后△CAP全等于△PBQ，则此时t的值是（       ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 2．如图，CA⊥AB于点A，AB＝8，AC＝4，射线BM⊥AB于点B，一动点E从A点出发以2个单位/秒沿射线AB运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，若点E经过t秒（t＞0），△DEB与△BCA全等，则t的值为 　 　秒． 【答案】2，6，8． 3.如图，，．点P在线段上以1的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以x的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为．若与全等，则x的值为 ． 【答案】1或 题型10：全等三角形的判定（SSS） 1.如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（       ） A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④ 【答案】A 2.如图所示，尺规作图作∠AOB的平分线，方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP，由作法得到△OCP≌△ODP的根据是　 　． 【答案】SSS． 3.如图，两根长12m的绳子，一端系在旗杆上的同一位置，另一端分别固定在地面上的两个木桩上（绳结处的误差忽略不计），现只有一把卷尺，如何来检验旗杆是否垂直于地面？请说明理由． 【答案】解：用卷尺测量出BD、CD，看它们是否相等，若BD＝CD，则AD⊥BC． 理由如下：∵在△ABD和△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠ADB＝∠ADC， 又∵∠ADB+∠ADC＝180°， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°，即AD⊥BC． 题型11：全等三角形的判定（SAS） 1.如图，AC与BD相交于点O，∠1＝∠2，若用“SAS”说明△ABC≌△BAD，则还需添加的一个条件是（            ） A．AD＝BC B．∠C＝∠D C．AO＝BO D．AC＝BD 【答案】D 2.如图，已知三个内角的角平分线相交于点，点在的延长线上，且，连接，若，则的度数为______． 【答案】 3.已知：如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE．BC＝EF；(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)若点E为BC中点，EC＝6，求线段BF的长度． 【答案】(1)证明见解析(2)18 （1）证明：如图，∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS）． （2）解：∵点E为BC中点，EC=6，∴EB=EC=6，∴BC=EB+EC=6+6=12，∴BC=EF=12，∴BF=EB+EF=6+12=18，∴线段BF的长度为18． 题型12：全等三角形的判定（ASA） 1.如图，点B，F，C，E在同一直线上，AC＝DF，∠1＝∠2，如果根据“ASA”判断△ABC≌△DEF，那么需要补充的条件是（　　） A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．BF＝CE D．∠B＝∠D 【答案】C． 2.如图，已知AB＝AD，∠1＝∠2，要根据“ASA”使△ABC≌△ADE，还需添加的条件是　 　． 【答案】∠B＝∠D． 3.如图，已知，，点D在AC边上，，AE和BD相交于点O． (1)求证：；(2)若，，求∠ADB的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (1)解：证明：和相交于点，． 在和中，，． 又，，． 在和中，，； (2)解：，，， ，． 题型13：全等三角形的判定（AAS） 1.如图，点A，B，C，D在同一直线上，∠AEC＝∠DFB，AB＝DC，请补充一个条件：　 　，能使用“AAS”的方法得△ACE≌△DBF． 【答案】∠A＝∠D． 2.如图，已知∠ABC＝∠DCB，若添加条件　 　，则可由AAS证明△ABC≌△DCB；若添加条件　 　，则可由SAS证明△ABC≌△DCB；若添加条件　 　，则可由ASA证明△ABC≌△DCB． 【答案】∠A＝∠D，AB＝DC，∠ACB＝∠DBC． 3.如图，BD是△ABC中AC边上的中线，过点C作CE∥AB，交BD的延长线于点E，F为△ABC外一点，连接CF、DF，且DE＝DF、∠ADF＝∠CDE．求证： （1）△ABD≌△CED；（2）CA平分∠BCF． 【答案】证明：（1）∵CE∥AB，∴∠ABD＝∠CED，∠BAD＝∠DCE， ∵BD是△ABC中AC边上的中线，∴AD＝CD， 在△ABD和△CED中，，∴△ABD≌△CED（AAS）； （2）∵△ABD≌△CED，∴BD＝DE，又∵DE＝DF，∴BD＝DF， ∵∠ADF＝∠CDE，∠CDE＝∠ADB，∴∠ADB＝∠ADF， ∴180°﹣∠ADB＝180°﹣∠ADF，∴∠BDC＝∠FDC， 在△BDC和△FDC中，，∴△BDC≌△FDC（SAS），∴∠BCD＝∠FCD，∴CA平分∠BCF． 题型14：全等三角形的判定（HL） 1.如图，在中，，，为边上一点，于点．若，，则的长为（　　） A． B．2 C． D．4 【答案】D 2.如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件_____． 【答案】AB＝AC 3.如图，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE=BC，∠1=∠2． (1)求证：Rt△ADE≌Rt△BEC； (2)△CDE是不是直角三角形？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)△DEC为直角三角形，理由见解析 （1）证明：∵∠1=∠2， ∴ED=CE， ∵∠A=∠B=90°， 在Rt△ADE和Rt△BEC中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）； （2）解：△CDE是直角三角形，理由如下： 证明：由（1）得Rt△ADE≌Rt△BEC， ∴∠AED=∠BCE， ∵∠B=90°， ∴∠BCE+∠CEB=90°， ∴∠AED+∠CEB=90°， ∴∠DEC=180°-90°=90°， ∴△DEC为直角三角形． 题型15：补充判定全等的条件 1.如图，∠A＝∠D，BC＝EF，要得到△ABC≌△DEF，只需添加（　　） A．AC＝DF B．∠E＝∠B C．AB＝DE D．DE∥AB 【答案】B． 2.如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列条件：不能使△ABC≌△AED的条件（　　） A．BC＝ED B．AB＝AE C．∠C＝∠D D．∠B＝∠E 【答案】A． 3.如图，∠1＝∠2，下列条件中不能使△ABD≌△ACD的是（　　） A．AB＝AC B．∠B＝∠C C．∠ADB＝∠ADC D．DB＝DC 【答案】D． 题型16：灵活选择判定方法证明两个三角形全等 1.如图，△ABC的高BD与CE相交于点O，OD＝OE，AO的延长线交BC于点M，请你写出图中三对全等的直角三角形，并选择其中一对全等三角形进行证明． 【答案】图中全等的直角三角形有：，，，，，，证明见解析 【详解】解：，，，，，． 理由如下： 在与中，， ， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 在与中，， ， ∴． 在与中，， ， ∴． 在与中， ， ∴． 在与中，， ∴． 综上所述，图中全等的直角三角形有：，，，，，（任选三对即可）． 2.如图，点E在AB上，∠A＝∠B＝∠CED＝90°，CE＝ED．求证：△ACE≌△BED． 【答案】见解析 【详解】证明：∵∠A＝∠B＝∠CED＝90°， ∴∠C+∠CEA＝90°，∠CEA+∠DEB＝90°， ∴∠C＝∠DEB， 在△ACE和△BED中， ∵， ∴△ACE≌△BED（AAS）． 3.如图，在中，延长边至点E，使得，连接交于点F，求证：． 【答案】见解析 【详解】在中，∵，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∴． 题型17：全等三角形的判定与性质（证两次全等） 1.如图，已知AE∥DF，OE＝OF，∠B＝∠C，求证：AB＝CD． 【答案】证明：如图，∵AE∥DF， ∴∠AEO＝∠DFO． 在△AOE与△DOF中， ． ∴△AOE≌△DOF（ASA）． ∴OD＝OA． 在△AOB与△DOC中， ． ∴△AOB≌△DOC（ASA）． ∴AB＝CD． 2.如图，AB＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，点D是EF上一点，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE＝CF，连接BD，求证：Rt△ADE≌Rt△CDF． 【答案】证明：∵∠BAD＝∠BCD＝90°， 在Rt△ABD和Rt△CBD中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△CBD（HL）， ∴AD＝CD， ∵AE⊥EF于E，CF⊥EF于F， ∴∠E＝∠F＝90°， 在Rt△ADE和Rt△CDF中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）． 3.如图，AB＝AC，E、D分别是AB、AC的中点，AF⊥BD，垂足为点F，AG⊥CE，垂足为点G，试判断AF与AG的数量关系，并说明理由． 【答案】解：结论：AF＝AG． 理由：∵AB＝AC，E、D分别是AB、AC的中点， ∴ADACAB＝AE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵AF⊥BD，AG⊥CE， ∴∠AFB＝∠AGC＝90°． 在△ABF和△ACG中， ， ∴△ABF≌△ACG（AAS）， ∴AF＝AG． 题型18：全等三角形的判定与性质（多结论） 1.如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，过点A作AF∥BC且AF＝AD，点E是AC上一点且AE＝AB，连接EF，DE．连接FD交BE于点G．下列结论中正确的有（　　）个． ①∠FAE＝∠DAB；②BD＝EF；③FD平分∠AFE；④S四边形ABDE＝S四边形ADEF；⑤BG＝GE． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D． 2.如图，在△ABC中，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，AM⊥CE于P，交BC于M，AN⊥BD于Q，交BC于N，∠BAC＝110°，AB＝6，AC＝5，MN＝2，结论：①AP＝MP；②BC＝9；③∠MAN＝30°；④AM＝AN．其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C． 3.如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD（OA＜OC），∠AOB＝∠COD＝α，直线AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD，②∠OAM＝∠OBM，③∠AMB＝α，④OM平分∠BOC，其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B． 题型19：利用角平分线的性质求长度 1.如图，在中，，AD平分，交BC于点D，，，则CD的长为（       ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】A 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，，AD平分∠BAC，则点D到AB的距离为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C． 3.如图，AC平分∠BAD，∠B+∠D=180°，CE⊥AD于点E，AD=18cm，AB=11cm，那么DE的长度为_____________________cm． 【答案】3.5 题型20：利用角平分线的性质求面积 1.如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的角平分线交于点O，AB=6cm，BC=9cm，△ABO的面积为18，则△BOC的面积为（     ） A．27 B．54 C． D．108 【答案】A 2.如图，分别平分的周长为18，，则的面积为（       ） A．18 B．30 C．54 D．27 【答案】D 3.如图，AD平分∠BAO，D(0，－3)，AB＝10，则ABD的面积为____． 【答案】15 题型21：利用角平分线的性质证明 1.如图，△ABE中，∠E＝90°，AC是∠BAE的角平分线． （1）若∠B＝40°，求∠BAC的度数； （2）若D是BC的中点，△ADC的面积为16，AE＝8，求BC的长． 【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠E＝90°， ∴∠BAE＝90°﹣40°＝50°， ∵AC是∠BAE的角平分线， ∴∠BAC＝∠BAE＝25°； （2）∵S△ADC＝DC•AE， ∴×DC×8＝16， ∴DC＝4， ∵D是BC的中点， ∴BC＝2CD＝8． 2.如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM＝PN． 【解答】证明：∵BD为∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠CBD， 在△ABD和△CBD中， ， ∴△ABD≌△CBD（SAS）， ∴∠ADB＝∠CDB， ∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD， ∴PM＝PN． 3.如图，△ABC中，∠ACB＝100°，点D在边BC延长线上，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝50°． （1）求∠ACE的度数； （2）求证：AE平分∠CAF； （3）若AC+CD＝16，AB＝10，且S△ACD＝24，则△ABE的面积． 【答案】（1）解：由条件可得∠ACD＝180°﹣∠ACB＝80°， ∵EH⊥BD，∠CEH＝50°， ∴∠DCE＝90°﹣∠CEH＝40°， ∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝40°． （2）证明：如图，过点E作EM⊥BF于点M，作EN⊥AC于点N， ∵BE平分∠ABC，EM⊥BF，EH⊥BD， ∴EM＝EH， 由（1）可知，∠ACE＝∠DCE＝40°，即CE平分∠ACD， 由条件可得EN＝EH， ∴EM＝EN， 又∵点E在∠CAF的内部， ∴AE平分∠CAF； （3）解：如上图，过点E作EM⊥BF于点M，作EN⊥AC于点N， 由（2）已得：EM＝EH＝EN， 设EM＝EH＝EN＝x， ∵S△ACD＝24， ∴S△ACE+S△DCE＝24， ∴，即， ∴， ∴x＝3， ∴EM＝3， ∵AB＝10， ∴△ABE的面积为． 题型22：角平分线的判定 1.如图，点是内一点，PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB，且，则点是（ ） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点 【答案】B 2.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线． 如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（　　） A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．以上均不正确 【答案】A． 3．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E为BC的中点，且AE平分∠BAD．求证：DE是∠ADC的平分线． 【答案】证明：如图，过点E作EF⊥AD于F， ∵∠B＝90°，AE平分∠BAD， ∴BE＝EF， ∵E是BC的中点， ∴BE＝CE， ∴CE＝EF， 又∵∠C＝90°，EF⊥AD， ∴DE是∠ADC的平分线． 题型23：尺规作角平分线 1.如图，用直尺和圆规作在∠AOB内确定射线OH，点P是射线OH上一点，过点P分别作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F，若PE＝3，则PF的长为（　　） A．1.5 B．3 C．4 D．5 【答案】B． 2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是 　 　． 【答案】15． 3.如图，在中，．请用尺规在边上作一点，使点到点的距离与点到边的距离．（保留作图痕迹，不写作法）. 【答案】画图见解析 【分析】作∠BAC的平分线交BC于点P即可求解． 【详解】解：如图，点即为所求． 题型24：角平分线的性质与判定综合运用 1.如图O是内的一点，且O到三边AB、BC、CA的距离．若，则（ ）． A．125° B．135° C．105° D．100° 【答案】A 2.如图，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，垂足为E．若AD＝DE且∠C＝50°，则∠ABD＝_____°． 【答案】 3.如图，中，点D在边延长线上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且．    (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，且，求的面积． 【答案】(1)40° (2)见解析 (3)15 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：如图：过E点分别作于M，与N，    ∵平分， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∴， ∴平分． （3）解：∵， ∴， 即，解得， ∵， ∴． 题型25：利用角平分线的性质判断多结论问题 1.如图，在中，是高，是角平分线，是中线与相交于，以下结论正确的有（    ）    ①；②； ③；④； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、BC于点M、N．分别以点M、N为圆心，以大于MN的长度为半径画弧，两弧相交于点P，过点P作线段BD，交AC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，则下列结论①CD=ED；②∠ABD=∠ABC；③BC=BE；④AE=BE中，一定正确的是（     ） A．①②③ B．①②③④ C．②④ D．②③④ 【答案】A 3.如图，在中，，，，分别是和的角平分线，，交于点O，分别过点O作于点M，作于点N．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ）      A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 题型26：角平分线的性质的实际应用 1.如图，是三条两两相交的公路，现需建一个仓库，要求仓库到三条公路距离相等，则仓库的可能地址有（ ）处． A． B． C． D． 【答案】D 2.如图，有三条道路围成，其中，一个人从处出发沿着行走了到达处，恰为的平分线，则此时这个人到的最短距离为 ．    【答案】200 3.如图，两条公路，交于点O，村庄M，N的位置如图所示，M在公路上，现要修建一个快递站P，使快递站到两条公路的距离相等，且到两村庄的距离也相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．    【答案】解：点P即为所求，如图所示： 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