第12讲 认识一次函数（2大知识点+5大典例+变式训练+过关检测）（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年八年级上册数学（北师大版）

第12讲 认识一次函数（2大知识点+5大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 识别一次函数 典型例题二 正比例函数的定义 典型例题三 根据一次函数的定义求参数 典型例题四 求一次函数自变量或函数值 典型例题五 列一次函数解析式并求值 知识点01 正比例函数 （1）如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例，用数学式子表示两个变量、成正比例，就是，或表示为（不等于0），是不等于零的常数. （2）解析式形如（是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数叫做比例系数.正比例函数的定义域是一切实数.确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数的解析式. 【即时训练】 1．（2025八年级上·全国·专题练习）若函数是正比例函数，则a的值是（    ） A．2 B． C．2或 D． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·上海黄浦·期中）已知函数是正比例函数，那么的值是 ． 知识点02 求函数的值 1、当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个． 2、函数表达式中只有两个变量，给定一个变量的值，将其代入函数表达式即可求另一个变量的值，即给自变量的值可求函数值，给函数值可求自变量的值． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）若点在正比例函数的图象上，则的值是（   ） A． B． C． D．1 【即时训练】 2．（24-25八年级上·广西梧州·期中）已知函数，当时，函数y的值为 ． 【典型例题一 识别一次函数】 【例1】（24-25八年级上·上海嘉定·期末）下列函数中，是的一次函数的是 （   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·上海·阶段练习）下列函数中，属于一次函数的是（    ） A． B．（，都为常数） C． D． 【例3】（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）函数：①；②；③；④；⑤．是一次函数的有 ． 【例4】（24-25八年级上·全国·课前预习）像y＝x＋1，s＝－3t＋1这些函数解析式都是常数k与自变量的 与常数b的 的形式． 一般地，形如y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做 函数．当b＝0时，y＝kx＋b即y＝kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数． 【例5】（24-25八年级上·广东河源·阶段练习）函数 是一次函数吗？如果是，请写出 ， 的值；如果不是，试说明理由． 1．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）下列函数（1）；（2）；（3）；（4）；（5）中，是一次函数的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）根据表中的自变量x与函数y的对应值，可判断此函数解析式为（    ）    A． B． C． D． 3．（2025·江苏南京·模拟预测）一次函数的图象上有一个动点，则的最小值是 ． 4．（24-25八年级上·全国·期末）已知y与z成正比例函数，且当时，，z与x成一次函数关系，函数关系式为，且过点，则y是x的 函数，函数关系式为 . 5．（24-25八年级上·吉林长春·期中）阅读理解题：对于给定的两个函数，任取自变量的一个值，当时，它们对应的函数值互为相反数；当时，它们对应的函数值相等．我们称这样的两个函数互为相关函数． 例如：一次函数，它的相关函数为 已知一次函数，请回答下列问题： (1)该一次函数的相关函数为 ． (2)已知点A(a，-6)在该一次函数的相关函数的图像上，求的值； (3)当时，求该一次函数的相关函数的最大值和最小值； (4)已知直线与轴垂直(为垂足的纵坐标)，当直线与该一次函数的相关函数的图像只有一个交点时，直接写出的取值范围． 【典型例题二 正比例函数的定义】 【例1】（24-25八年级上·河南周口·期末）下列函数中，y是x的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·福建漳州·期中）下面四个变化过程中，能用该图象反映两个变量关系的是（   ） A．压力一定时，压强与受力面积的关系 B．篮球被投出到落地，其离地高度与投出时间的关系 C．销售单价为元的某商品，销售金额与销量的关系 D．一辆匀速行驶的汽车，其行驶的速度与时间的关系 【例3】（24-25八年级上·湖北宜昌·期中）已知函数，当 时，这个函数为正比例函数． 【例4】（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）当 时，函数是正比例函数；当 时，函数是一次函数． 【例5】（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）已知与成正比例，当时，． (1)求出与的函数关系式； (2)请通过计算，判断点是否在这个函数的图象上． 1．（2025·江苏南京·模拟预测）记住是两个实数a与b的一种运算．已知，函数为正比例函数，则（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 2．（23-24八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，，点在线段上（点不与点A，重合），以为边作正方形．设，，正方形的面积为，则与，与满足的函数关系分别是（    ）    A．一次函数关系，二次函数关系 B．二次函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，一次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系图 3．（23-24八年级上·上海宝山·期末）已知是的正比例函数，当时，，那么当时， ． 4．（23-24八年级上·山东潍坊·阶段练习）两辆汽车匀速行驶时，路程与时间的关系如右图．由图象可知，两辆车的路程和时间成________比例；________号车的速度更快一些；    5．（2025八年级上·浙江·专题练习）已知与成正比例，当时， (1)求与的函数表达式； (2)当时，求函数值； (3)当时，求自变量的值． 【典型例题三 根据一次函数的定义求参数】 【例1】（24-25八年级上·四川成都·期中）若表示一次函数，则m等 于（   ） A．1 B． C．1或 D．1或 0 【例2】（23-24八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知一次函数的图象经过，两点，且当时，，则k的值为（    ） A． B．3 C． D． 【例3】（24-25八年级上·河北保定·期中）函数是关于的一次函数，则 ． 【例4】（24-25八年级上·天津·阶段练习）已知函数． （1）当 时，该函数为一次函数： （2）当 时，该函数为二次函数． 【例5】（24-25八年级上·吉林白山·阶段练习）已知函数是一次函数，求m的值． 1．（24-25八年级上·福建福州·期中）已知一次函数（，是常数，），若，点在该函数图象上，则下列说法正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）规定：是一次函数（为实数，）的“特征数”．若“特征数”是的一次函数是正比例函数，则的值是（   ） A．4 B． C．2 D． 3．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）函数，（为不等于的常数）恒经过点 ． 4．（24-25八年级上·山东青岛·期中）当 时，函数是一次函数．已知点，都在这个一次函数图像上，则，的大小关系是 ． 5．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图所示的是一个“函数求值机”的示意图，其中是的函数，当输入不同的值时，将输出对应的值，其中函数为一次函数． (1)当时，求函数的表达式． (2)当时，的值记为，当时，的值记为，则____．（填“”、“”或“”） (3)要使输出结果为2，求应输入的值． 【典型例题四 求一次函数自变量或函数值】 【例1】（24-25八年级上·福建福州·期末）下列各点中，在直线上的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）在学习了用描点法画函数图象之后，小马同学对某个一次函数列表取对应值如下： x … 0 1 2 … y … 0 3 … 他在最后描点连线时发现有一个点明显不对，这个点是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·上海虹口·期末）已知一次函数，如果，那么的值是 ． 【例4】（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图是一个运算程序示意图，若开始输入的值为，则输出值为 ． 【例5】（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）在给出的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并判断点，是否在该函数图象上，并说明理由．    1．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）关于x的一次函数的图像经过原点，则在该一次函数图像上的点的坐标可能是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·河南洛阳·模拟预测）已知y是x的一次函数，下表给出5组自变量x及其对应的函数y的值． x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … ﹣3 ﹣1 1 3 6 … 其中只有1个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（    ） A．﹣1 B．1 C．3 D．6 3．（24-25八年级上·上海·阶段练习）若k为任意实数，直线．必过一定点，此定点坐标为 ． 4．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，直线是一次函数的图象，填空： （1）当时， ； （2）当时， ． 5．（24-25八年级上·陕西渭南·期中）如图是气象台某天用仪器记录的空中气温与距地面高度之间的函数图象． (1)根据图象，求出图中的关于的函数表达式； (2)当空中气温为时，求此时距离地面的高度． 【典型例题五 列一次函数解析式并求值】 【例1】（23-24八年级上·福建福州·期末）一次函数图象经过点，则的值是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·山西晋城·期中）我们都知道“乌鸦喝水”的故事．杯中有一定量的水，假设乌鸦向杯中投放完全相同的石子，在水面高度到达杯口边缘之前，每枚石子都浸没水中，从投放第一枚石子开始记数，水面高度与投入的石子个数之间满足的函数关系是（    ） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．其他函数关系 【例3】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）汽车开始行驶时，油箱中有油45升，如果每小时耗油6升，则油箱内余油量y（升）与行驶时间x（小时）的关系式为 ． 【例4】（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）利用20米长的墙围成两个矩形花圃．花圃的一边利用墙，其它边用总长为30米的篱笆围成．围成的花圃是如图所示的矩形和矩形．设边的长为米．边长为米．写出与之间的函数关系式及自变量的取值范围： ； 【例5】（24-25八年级上·安徽淮北·期末）已知一次函数的图象经过、两点． (1)求这个函数的解析式； (2)判断点是否在该函数图象上． 1．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）已知直线经过，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）对于一次函数（k，b为常数，）下表中给出5组自变量及其对应的函数值，其中恰好有一个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（    ） 0 1 2 3 2 5 8 12 14 A．2 B．5 C．8 D．12 3．（24-25八年级上·福建福州·期中）点P(a，b)在函数y＝4x＋3的图象上，则代数式12a－3b＋1的值等于 ． 4．（24-25七年级下·江西萍乡·期末）王勇买了一张元的租书卡，每租一本书后卡中剩余金额（元）与租书本数（本）之间的关系式为 . 租书数本 卡中余额元 …… …… 5．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）王老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游．经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人元，且提供的服务完全相同．针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过人，每人都按九折收费，超过人，则超出部分每人按七五折收费．假设组团参加两日游的人数为人． (1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式； (2)若王老师组团参加两日游的共有人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助王老师选择收取总费用较少的一家． 1．（24-25八年级上·河北唐山·期中）下列表达式中是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）若函数是一次函数，则应满足的条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 3．（24-25八年级上·山西运城·期末）小颖根据正比例函数的表达式得到如下四组，的对应值，其中“▲”处的值应为（   ） 1 3 6 2 ▲ A．3 B． C．6 D． 4．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，函数和的图象相交于，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 5．（2025·河南平顶山·模拟预测）如图，矩形中，，点为的中点，点为上一点，且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，若点恰好落在线段上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·广西贵港·期末）写出一个系数为3，常数项不为0的一次函数是 ． 7．（24-25八年级上·全国·单元测试）若是关于的正比例函数，则实数 ． 8．（24-25八年级上·上海·阶段练习）若关于x的函数是一次函数，则的值为 ． 9．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，若直线与线段有交点，则的取值范围是 ． 10．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(1，1)，B(3，1)，C(2，2)，当直线y＝x＋b与△ABC有交点时，b的取值范围是 ． 11．（23-24八年级上·安徽亳州·阶段练习）已知y与成正比例，且时，，求y与x之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数． 12．（24-25八年级上·甘肃白银·期末）已知与成正比例，当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值． 13．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知一次函数． (1)为何值时，它的图象经过原点； (2)为何值时，它的图象经过点． 14．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知y是关于x的一次函数，且当时，；时，． (1)求y关于x的函数表达式； (2)请在平面直角坐标系上，画出满足条件为的一次函数图象． 15．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式，方式一：先购买会员证，每张会员证120元，只限本人当年使用，会员证游泳每次再付费10元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费15元．设小聪计划今年夏季游泳次数为（为正整数）． (1)根据题意，填写下表： 游泳次数 10 15 20 … 方式一的总费用（元） 220 270 ______ … ______ 方式二的总费用（元） 150 225 ______ … ______ (2)若小聪计划今年夏季游泳的总费用为300元，通过计算说明选择哪种付费方式，她游泳的次数比较多？ (3)张老师是游泳爱好者，他计划今年夏季在这个游泳馆游泳40次，通过计算说明，张老师选择哪种方式合算？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 认识一次函数（2大知识点+5大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 识别一次函数 典型例题二 正比例函数的定义 典型例题三 根据一次函数的定义求参数 典型例题四 求一次函数自变量或函数值 典型例题五 列一次函数解析式并求值 知识点01 正比例函数 （1）如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例，用数学式子表示两个变量、成正比例，就是，或表示为（不等于0），是不等于零的常数. （2）解析式形如（是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数叫做比例系数.正比例函数的定义域是一切实数.确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数的解析式. 【即时训练】 1．（2025八年级上·全国·专题练习）若函数是正比例函数，则a的值是（    ） A．2 B． C．2或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．一般地，两个变量、之间的关系式可以表示成形如的函数（为常数，的次数为，且），那么就叫做正比例函数．根据正比例函数的定义，可得，，进而即可求解． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴，， ∴， 故选：A． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·上海黄浦·期中）已知函数是正比例函数，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，正确把握定义是解题关键．根据正比例函数的定义，可得，且，由此即可求出的值． 【详解】解：函数是正比例函数， ，且， 解得：， 故答案为：． 知识点02 求函数的值 1、当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个． 2、函数表达式中只有两个变量，给定一个变量的值，将其代入函数表达式即可求另一个变量的值，即给自变量的值可求函数值，给函数值可求自变量的值． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）若点在正比例函数的图象上，则的值是（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数值的计算，根据题意，把点坐标代入计算即可求解． 【详解】解：点在正比例函数的图象上， ∴， 故选：A ． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·广西梧州·期中）已知函数，当时，函数y的值为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查的是求函数值，先判断出时，所符合的关系式，然后将代入对应的函数关系式即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：5． 【典型例题一 识别一次函数】 【例1】（24-25八年级上·上海嘉定·期末）下列函数中，是的一次函数的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的定义，根据一次函数的定义，形如（、为常数，且）的函数为一次函数．需逐一验证各选项是否符合该形式． 【详解】解：A.，其中，，符合一次函数的定义． B.，x的次数为2，不符合一次函数的形式． C.，即，x的次数为，不符合一次函数中x次数为1的要求． D.，可视为，其中，不满足的条件，属于常函数而非一次函数． 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·上海·阶段练习）下列函数中，属于一次函数的是（    ） A． B．（，都为常数） C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义即可求解，掌握一次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：A、是一次函数，故选项符合题意； B、（，都为常数），当时，不是一次函数，故选项不符合题意； C、，不是一次函数，故选项不符合题意； D、不是一次函数，故选项不符合题意； 故选：A． 【例3】（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）函数：①；②；③；④；⑤．是一次函数的有 ． 【答案】②④ 【分析】本题考查一次函数的定义，判定一个函数是否是一次函数，从三个方面出发：①含有一个未知数；②未知数的最高次数是1次；③是一个整式，对题中所给的五个逐项验证即可得到答案，熟记一次函数定义是解决问题的关键． 【详解】解：①，当时，不满足一次函数定义，不符合题意； ②，满足一次函数定义，符合题意； ③，是分式，不满足一次函数定义，不符合题意； ④，满足一次函数定义，符合题意； ⑤，是二次函数，不满足一次函数定义，不符合题意； 综上所述，②④是一次函数， 故答案为：②④． 【例4】（24-25八年级上·全国·课前预习）像y＝x＋1，s＝－3t＋1这些函数解析式都是常数k与自变量的 与常数b的 的形式． 一般地，形如y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做 函数．当b＝0时，y＝kx＋b即y＝kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数． 【答案】 积 和 一次 【解析】略 【例5】（24-25八年级上·广东河源·阶段练习）函数 是一次函数吗？如果是，请写出 ， 的值；如果不是，试说明理由． 【答案】 是一次函数，详见解析 【分析】根据形如的函数是一次函数，即可求解． 【详解】解：函数 是一次函数，理由： ， 属于一次函数，其中 ，． 【点睛】本题主要考查了一次函数，熟练掌握形如的函数是一次函数是解题的关键． 1．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）下列函数（1）；（2）；（3）；（4）；（5）中，是一次函数的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据一次函数的定义对各小题进行逐一分析即可． 【详解】解：（1）是正比例函数也是一次函数； （2）是一次函数； （3）不是一次函数； （4）是一次函数； （5）不是一次函数； ∴是一次函数的有：（1）（2）（4）． 故选：B． 【点睛】本题考查的是一次函数的定义，解决本题的关键是明确一次函数的定义，一般地，形如是常数的函数，叫做一次函数． 2．（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）根据表中的自变量x与函数y的对应值，可判断此函数解析式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据表格中x和y的值，结合所学过的三种函数的性质判断出正确选项． 【详解】解：根据表格中x和y的值，可以推断出y的值并不随着x的增大而一直增大或一直减小，所以该函数不是一次函数，可以排除A选项， 又因为x和y的乘积也不是不变的，所以该函数不是反比例函数，可以排除B选项， 那么在C和D这两个二次函数中选一个， 当和时，y的值相等，所以图象的对称轴是， 在对称轴的左边，y随着x的增大而增大，在对称轴的右边，y随着x的增大而减小，所以抛物线开口向下，即D选项是正确的． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数图象的性质，解题的关键是能够根据表格中的点坐标的信息判断出函数解析式． 3．（2025·江苏南京·模拟预测）一次函数的图象上有一个动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，由题意得，即得，再根据二次函数的性质解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴， ∴， ∵, ∴当时，的值最小，最小值为， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·全国·期末）已知y与z成正比例函数，且当时，，z与x成一次函数关系，函数关系式为，且过点，则y是x的 函数，函数关系式为 . 【答案】 一次， 【分析】由y与z成正比例函数，可设，根据当时，，可求出k，由，且过点，可求出b，再把z与x的关系代入到y与z的关系式中，整理即得结果. 【详解】解：∵y与z成正比例函数，∴设， ∵当时，， ∴，解得k=4， 所以y=4z， ∵一次函数过点（0,2）， ∴b=2， ∴， ∴， 所以y是x的一次函数，且函数关系式为. 【点睛】本题考查了一次函数、正比例函数的定义和待定系数法求函数的解析式，解题的关键是熟知一次函数的定义，掌握待定系数法求函数解析式的方法. 5．（24-25八年级上·吉林长春·期中）阅读理解题：对于给定的两个函数，任取自变量的一个值，当时，它们对应的函数值互为相反数；当时，它们对应的函数值相等．我们称这样的两个函数互为相关函数． 例如：一次函数，它的相关函数为 已知一次函数，请回答下列问题： (1)该一次函数的相关函数为 ． (2)已知点A(a，-6)在该一次函数的相关函数的图像上，求的值； (3)当时，求该一次函数的相关函数的最大值和最小值； (4)已知直线与轴垂直(为垂足的纵坐标)，当直线与该一次函数的相关函数的图像只有一个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)a=-1 (3)最大值为4；最小值为-8 (4) 【分析】（1）根据相关函数的定义直接写出 （2）根据点的坐标特征结合函数图像判断点在上，代入求解即可 （3）根据相关函数的增减性结合x的范围求得最值 （4）结合函数图像判断求解 【详解】（1）解：根据相关函数的定义得： 故答案为： （2）解：如图， 由点A(a，-6)的纵坐标为-6知： 点A在上 ∴-6=2a-4 解得：a=-1 故答案为：-1 （3）解：如图 当时，在上y随x的增大而增大， 当x=-2时，y=-2×2-4=-8， 所以在上的最小值为-8 同理：在上y随x的增大而减小 所以的最大值为4 综上：该相关函数的最大值为4，最小值为-8 （4）解：由题意画出图像如下： 图中两条虚线y=4、y=-4刚好是直线与该一次函数的相关函数的图像相交的临界情况， 由图像易知，当直线与该一次函数的相关函数的图像只有一个交点时: 故b的范围是： 【点睛】本题考查了一次函数的图像及性质，准确理解题意求出相关函数及作出图像是解题关键．注意数形结合思想的运用． 【典型例题二 正比例函数的定义】 【例1】（24-25八年级上·河南周口·期末）下列函数中，y是x的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数基本形式是解题的关键． 根据正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数，需满足一次项系数非零且无常数项，据此即可求解． 【详解】A、，可写为，符合的形式，其中，是正比例函数，符合题意； B、，含常数项1，不符合正比例函数无常数项的要求，不是正比例函数，不符合题意； C、，不符合正比例函数的形式，不符合题意； D、，不符合正比例函数的形式，不符合题意； 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·福建漳州·期中）下面四个变化过程中，能用该图象反映两个变量关系的是（   ） A．压力一定时，压强与受力面积的关系 B．篮球被投出到落地，其离地高度与投出时间的关系 C．销售单价为元的某商品，销售金额与销量的关系 D．一辆匀速行驶的汽车，其行驶的速度与时间的关系 【答案】C 【分析】本题考查函数的图象，根据图象可知，是的正比例函数，据此解答即可．解题的关键首先正确理解题意，然后利用数形结合的思想即可求解． 【详解】解：图象可知，是的正比例函数， A．压力一定时，压强与受力面积的积一定，不成正比例，故此选项不符合题意； B．篮球被投出到落地，其离地高度与投出时间的关系，其图象是一条曲线，故此选项不符合题意； C．销售单价为元的某商品，销售金额与销量的关系正比例，故此选项符合题意； D．一辆匀速行驶的汽车，其行驶的速度与时间的关系的图象是一条水平的线段，故此选项不符合题意． 故选：C． 【例3】（24-25八年级上·湖北宜昌·期中）已知函数，当 时，这个函数为正比例函数． 【答案】4 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，根据正比例函数的定义列式求解即可．正比例函数的定义是形如是常数，的函数，其中叫做比例系数． 【详解】解：由题意得当时，这个函数为正比例函数， ． 故答案为：4． 【例4】（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）当 时，函数是正比例函数；当 时，函数是一次函数． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数及一次函数的定义，根据正比例函数定义“形如的函数”及一次函数的定义“形如的函数”求解即可求得答案．熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：已知函数， 若该函数为正比例函数，则，且， 解得，且， 当，则符合题意； 若该函数为一次函数，则， 即； 故答案为：，． 【例5】（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）已知与成正比例，当时，． (1)求出与的函数关系式； (2)请通过计算，判断点是否在这个函数的图象上． 【答案】(1) (2)点在函数的图象上 【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，也考查了正比例函数的性质． （1）根据成正比例的定义，设，然后把已知的一组对应值代入求出k，从而得到y与x的函数关系式； （2）利用（1）中的解析式，计算自变量为2对应的函数值，若函数值等于，则可判断点在这个函数的图象上． 【详解】（1）解：设， 把，代入得， 解得， ∴； （2）解：∵时，， ∴点在函数的图象上． 1．（2025·江苏南京·模拟预测）记住是两个实数a与b的一种运算．已知，函数为正比例函数，则（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】A 【分析】本题主要考查了新定义运算，正比例函数的定义，根据为正比例函数，设，由令中即可，进一步即可得出，则，代入计算即可． 【详解】解：∵为正比例函数， ∴设， ∵， ∴只需令中即可， 即， ∴， ∴， ∴要求中，令，代入得 ∴， 故选：A． 2．（23-24八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，，点在线段上（点不与点A，重合），以为边作正方形．设，，正方形的面积为，则与，与满足的函数关系分别是（    ）    A．一次函数关系，二次函数关系 B．二次函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，一次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系图 【答案】A 【分析】根据可得，则与成一次函数，再根据正方形的面积公式可得，则S与x满足的函数关系是二次函数关系． 【详解】解：由题意得：、 ， ∴与，与满足的函数关系分别为一次函数关系，二次函数关系． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的定义，掌握正方形面积公式和线段的和差是解本题的关键． 3．（23-24八年级上·上海宝山·期末）已知是的正比例函数，当时，，那么当时， ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，利用一次函数图象上点的坐标特征即可求解，设正比例函数的解析式为，由当时，，可求出值，进而可得出正比例函数解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出当时的值，求出正比例函数解析式是解题的关键． 【详解】解：设正比例函数的解析式为， ∵当时，， ∴， 解得：， ∴正比例函数的解析式为， 当时，， 故答案为：． 4．（23-24八年级上·山东潍坊·阶段练习）两辆汽车匀速行驶时，路程与时间的关系如右图．由图象可知，两辆车的路程和时间成________比例；________号车的速度更快一些；    【答案】 正 ① 【分析】根据辆车的路程和时间的函数图像都过原点，可知两辆车的路程和时间成正比例；再根据两车行驶360千米所用的时间即可发现，①号车快一些． 【详解】解：根据图像可知：辆车的路程和时间的函数图像都过原点，则两辆车的路程和时间成正比例； 根据图像可知：①号车行驶360千米用时4小时，②号车行驶360千米用时8小时，即①号车的速度更快一些． 故答案为：正，①． 【点睛】本题主要考查了正比例函数的图像的性质、函数图像的意义等知识点，理解正比例函数图像的性质是解答本题的关键． 5．（2025八年级上·浙江·专题练习）已知与成正比例，当时， (1)求与的函数表达式； (2)当时，求函数值； (3)当时，求自变量的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正比例函数的定义得出的值，即可得出答案； （2）将代入（1）中函数解析式进而得出答案； （3）将代入（1）中函数解析式进而得出答案． 【详解】（1）解：∵与成正比例， ∴． ∴． ∵当时，， ∴． ∴． ∴与的函数表达式为； （2）当时，； （3）当时，． ∴． 【点睛】本题主要考查了待定系数法确定一次函数的解析式，一次函数的性质，利用待定系数法解答是解题的关键． 【典型例题三 根据一次函数的定义求参数】 【例1】（24-25八年级上·四川成都·期中）若表示一次函数，则m等 于（   ） A．1 B． C．1或 D．1或 0 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义，形如（为常数，）的函数叫作一次函数，由一次函数的定义可得，，求解即可． 【详解】解：∵表示一次函数， ∴，， ∴， 故选：B． 【例2】（23-24八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知一次函数的图象经过，两点，且当时，，则k的值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】分别把点，代入一次函数，根据，时，即可得出结论． 【详解】解：一次函数的图象经过，两点， ， ， ，， ， ， 即． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数图象上点的坐标满足其解析式是解题关键． 【例3】（24-25八年级上·河北保定·期中）函数是关于的一次函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的定义，解题的关键是掌握一次函数的定义，需要注意x前面的系数不能为0．根据一次函数的定义求出m的值． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·天津·阶段练习）已知函数． （1）当 时，该函数为一次函数： （2）当 时，该函数为二次函数． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的定义，一次函数的定义，利用函数的定义建立方程或不等式是解本题的关键． （1）根据一次函数的定义，一次项的系数不能为零，且二次项的系数应该为0，据此求解得出k的值； （2）根据二次函数的定义，二次项的系数不能为0，列出不等式，求解得出k的取值范围． 【详解】解：（1）∵函数为一次函数， ∴，且， 解得：且， ∴； （ 2 ）∵函数为二次函数， ∴， ∴． 故答案为：；． 【例5】（24-25八年级上·吉林白山·阶段练习）已知函数是一次函数，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义，解题关键是掌握一次函数的定义条件：k、b为常数，，自变量次数为1． 根据一次函数的定义，得到，，即可得到答案． 【详解】解：∵是一次函数， ， ． 1．（24-25八年级上·福建福州·期中）已知一次函数（，是常数，），若，点在该函数图象上，则下列说法正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数的性质，理解一次函数的增减性是解决本题的关键．根据一次函数表达式及已知条件，结合点坐标代入得到，结合即可推导参数关系，进而判断选项． 【详解】解：点在函数图象上，代入得： ∵， ∴，即， ∵，即， ∴ ∴，． 故选：A ． 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）规定：是一次函数（为实数，）的“特征数”．若“特征数”是的一次函数是正比例函数，则的值是（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．根据正比例函数的定义即可求出m的值． 【详解】解：由题意得： ∵“特征数”是的一次函数是正比例函数， ∴， ∴． 故选A． 3．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）函数，（为不等于的常数）恒经过点 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征．将变形求解即可． 【详解】解：将整理得， ， 当时，， 函数恒过点， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·山东青岛·期中）当 时，函数是一次函数．已知点，都在这个一次函数图像上，则，的大小关系是 ． 【答案】 1 / 【分析】本题考查了一次函数的性质及一次函数的定义，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键． （1）根据一次函数定义可得，且，再解即可； （2）根据一次函数的性质解答即可． 【详解】解：（1）由题意得：，且， 由可得， 由可得， 由此可得：， （2）一次函数的， 随的增大而增大， ， ． 故答案为：；． 5．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图所示的是一个“函数求值机”的示意图，其中是的函数，当输入不同的值时，将输出对应的值，其中函数为一次函数． (1)当时，求函数的表达式． (2)当时，的值记为，当时，的值记为，则____．（填“”、“”或“”） (3)要使输出结果为2，求应输入的值． 【答案】(1)当时，函数的表达式为 (2) (3)应输入的x值为或7 【分析】本题考查的是一次函数的定义，求解一次函数的自变量或函数值； （1）由为一次函数，可得，，进一步求解即可； （2）当时， ，当时， ，再比较大小即可； （3）当时，则，当时，则，再解方程即可. 【详解】（1）解：∵为一次函数， ∴，， 解得：， ∴当时，函数的表达式为； （2）解：当时，的值记为， ∴， 当时，的值记为， ∴， ∴； （3）解：当时，则， 解得：， 当时，则， 解得：. 【典型例题四 求一次函数自变量或函数值】 【例1】（24-25八年级上·福建福州·期末）下列各点中，在直线上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数上的点；将各点的坐标代入直线方程中，验证是否满足等式即可判断点是否在直线上． 【详解】解：选项A：代入方程，左边，右边．左边等于右边，故点A在直线上． 选项B：代入方程，左边，右边．左边不等于右边，故点B不在直线上． 选项C：代入方程，左边，右边．左边不等于右边，故点C不在直线上． 选项D：代入方程，左边，右边．左边不等于右边，故点D不在直线上． 综上，只有选项A满足方程， 故选：A． 【例2】（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）在学习了用描点法画函数图象之后，小马同学对某个一次函数列表取对应值如下： x … 0 1 2 … y … 0 3 … 他在最后描点连线时发现有一个点明显不对，这个点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质．根据函数的性质即可判断． 【详解】解：当或或0时，函数的值分别或或， 即自变量增加1，则函数值增加2， 所以当，函数的值应该等于， 所以点明显不对， 故选：C． 【例3】（24-25八年级上·上海虹口·期末）已知一次函数，如果，那么的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一次函数，把，代入，，得出关于a的方程，然后解方程即可． 【详解】解∶根据题意，得， ∴， 故答案为∶1． 【例4】（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图是一个运算程序示意图，若开始输入的值为，则输出值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查求一次函数的函数值，根据流程图，把代入相应的解析式，进行秋求解即可． 【详解】解：由题意，把代入，得：； 故答案为：2 【例5】（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）在给出的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并判断点，是否在该函数图象上，并说明理由．    【答案】图像见解析；点A不在该函数图象上，点B在该函数图象上，理由见解析 【分析】本题考查了作一次函数的图象，判断点是否在函数图象上，熟练掌握一次函数图象的画法及判断点是否在函数图象上时解题的关键．先求出一次函数与坐标轴的交点坐标，然后经过这两点画直线，再分别将，的坐标代入该函数解析式验证即可． 【详解】解：令，则； 令，则， 解得； 经过点，画直线，此直线即为所求作的直线；    将代入，得：， 点A不在该函数图象上， 将代入，解得：， 点B在该函数图象上． 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）关于x的一次函数的图像经过原点，则在该一次函数图像上的点的坐标可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将代入求得k的值，确定一次函数解析式，然后再根据一次函数图像上的点满足解析式即可解答． 【详解】解：∵一次函数的图像经过原点 ∴，解得： ∴一次函数的解析式为 ∴在一次函数的图像上． 故选C． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式、一次函数的性质等知识点，正确确定一次函数解析式成为解答本题的关键． 2．（2025·河南洛阳·模拟预测）已知y是x的一次函数，下表给出5组自变量x及其对应的函数y的值． x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … ﹣3 ﹣1 1 3 6 … 其中只有1个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（    ） A．﹣1 B．1 C．3 D．6 【答案】D 【分析】根据点的坐标，利用待定系数法可求出一次函数解析式，分别代入x＝1，x＝2及x＝3求出与之对应的y值，再对照表格中的y值即可得出结论． 【详解】解：将（﹣1，﹣1），（0，1）代入y＝kx+b，得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为y＝2x+1． 当x＝1时，y＝2×1+1＝3； 当x＝2时，y＝2×2+1＝5，5≠6； 当x＝﹣2时，y＝﹣2×2+1＝﹣3． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求一次函数解析式，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b是解题的关键． 3．（24-25八年级上·上海·阶段练习）若k为任意实数，直线．必过一定点，此定点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式．由变形为，则当时无论取什么值，都等于，所以对任意实数，直线必过一定点． 【详解】解： 当时，， 此定点坐标为， 故答案为． 4．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，直线是一次函数的图象，填空： （1）当时， ； （2）当时， ． 【答案】 【分析】（1）先根据一次函数经过点（0，2），（3，0），求出一次函数解析式，然后把代入函数解析式求解即可； （2）根据（1）中所求的函数解析式，把代入函数解析式求解即可 【详解】解：（1）由函数图像可知一次函数经过点（0，2），（3，0）， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为， 当时，， 故答案为：-18； （2）∵一次函数解析式为， ∴当时，， ∴， 故答案为：-42． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，求自变量或函数值，解题的关键在于能够熟练掌握一次函数解析式的求解方法． 5．（24-25八年级上·陕西渭南·期中）如图是气象台某天用仪器记录的空中气温与距地面高度之间的函数图象． (1)根据图象，求出图中的关于的函数表达式； (2)当空中气温为时，求此时距离地面的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了函数图象的性质，待定系数法求一次函数表达式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）设关于的函数表达式为，根据函数图象中的数据，利用待定系数法即可求得与之间的函数表达式； （2）根据（1）中的函数关系式，将代入即可求得答案． 【详解】（1）解：设关于的函数表达式为， 根据题意，将，代入， 则 解得：，， 故关于的函数表达式为． （2）解：当时，即， 解得：， 故当空中气温为时，此时距离地面的高度为． 【典型例题五 列一次函数解析式并求值】 【例1】（23-24八年级上·福建福州·期末）一次函数图象经过点，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键．利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出，解之即可得出的值． 【详解】解：一次函数图象经过点， 解得： 故选：C 【例2】（24-25八年级上·山西晋城·期中）我们都知道“乌鸦喝水”的故事．杯中有一定量的水，假设乌鸦向杯中投放完全相同的石子，在水面高度到达杯口边缘之前，每枚石子都浸没水中，从投放第一枚石子开始记数，水面高度与投入的石子个数之间满足的函数关系是（    ） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．其他函数关系 【答案】B 【分析】本题考查函数关系的识别，根据题意设水面原来高度为b，每枚石子可以使水面上升高度为k，可以得到，即可得出结论． 【详解】解：设水面原来高度为b，每枚石子可以使水面上升高度为k，投放x枚石子后水面高度为y，则，符合一次函数解析式， 故选B． 【例3】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）汽车开始行驶时，油箱中有油45升，如果每小时耗油6升，则油箱内余油量y（升）与行驶时间x（小时）的关系式为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了函数关系式，本题关键是明确油箱内余油量，原有的油量，x小时消耗的油量，三者之间的数量关系，根据数量关系可列出函数关系式． 根据油箱内余油量=原有的油量−x小时消耗的油量，可列出函数关系式． 【详解】解：依题意得，油箱内余油量y（升）与行驶时间x（小时）的关系式为：． 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）利用20米长的墙围成两个矩形花圃．花圃的一边利用墙，其它边用总长为30米的篱笆围成．围成的花圃是如图所示的矩形和矩形．设边的长为米．边长为米．写出与之间的函数关系式及自变量的取值范围： ； 【答案】 【分析】设边的长为米．边长为米．利用两宽加上一长等于30即可得出函数关系即可；本题考查了一次函数的实际应用，解不等式组，根据题目的条件，利用矩形的面积计算方法列出公式，即可作答． 【详解】解：依题意，设边的长为米．边长为米． 根据题意得：， 整理得：， ∵且， ∴， 故答案为：． 【例5】（24-25八年级上·安徽淮北·期末）已知一次函数的图象经过、两点． (1)求这个函数的解析式； (2)判断点是否在该函数图象上． 【答案】(1) (2)点在直线上 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，列一次函数解析式并求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，把、代入进行计算，即可作答． （2）把代入，算出，即可作答． 【详解】（1）解：设所求的一次函数的解析式为． ∵一次函数的图象经过、两点 ∴， 解得， 所求的解析式为； （2）解： 依题意，当时，， 点在直线上． 1．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）已知直线经过，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线经过得到，则，由可化为，得到，由得到，即可得到答案． 【详解】解：∵直线经过， ∴， ∴， ∴可化为， 整理得，， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是得到关于x的不等式． 2．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）对于一次函数（k，b为常数，）下表中给出5组自变量及其对应的函数值，其中恰好有一个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（    ） 0 1 2 3 2 5 8 12 14 A．2 B．5 C．8 D．12 【答案】D 【分析】试算，将数表中两组值代入一般式中，确定函数解析式，再将其它值代入，若仅有一组不能满足解析式，即为所求． 【详解】解：将，代入，得， 解得，于是， 将其它数组代入，可知，满足解析式；不满足解析式． 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数解析式，待定系数法确定一次函数解析式；掌握待定系数法是解题的关键． 3．（24-25八年级上·福建福州·期中）点P(a，b)在函数y＝4x＋3的图象上，则代数式12a－3b＋1的值等于 ． 【答案】-8 【分析】把坐标代入解析式，整体变形代入求解即可． 【详解】∵点P(a，b)在函数y＝4x＋3的图象上， ∴b=4a+3， ∴3b=12a+9， ∴12a-3b=-9， ∴12a－3b＋1=1-9=-8, 故答案为：-8． 【点睛】本题考查了一次函数图像与点的关系，熟练运用点的坐标满足函数的解析式转化条件求解是解题的关键． 4．（24-25七年级下·江西萍乡·期末）王勇买了一张元的租书卡，每租一本书后卡中剩余金额（元）与租书本数（本）之间的关系式为 . 租书数本 卡中余额元 …… …… 【答案】 【分析】由表中的数据可知每租一张碟，少0.8元，进而求出函数的关系式． 【详解】由表中的数据可知每租一张碟，少0.8元， 租碟x张，则减少0.8x元， 剩余金额y(元)与租碟张数x(张)之间的关系式为y=30−0.8x， 故答案为y=30−0.8x 【点睛】本题考查函数关系式，解题关键熟练掌握一次函数的性质. 5．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）王老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游．经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人元，且提供的服务完全相同．针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过人，每人都按九折收费，超过人，则超出部分每人按七五折收费．假设组团参加两日游的人数为人． (1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式； (2)若王老师组团参加两日游的共有人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助王老师选择收取总费用较少的一家． 【答案】(1)甲旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为，乙旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为； (2)若王老师组团参加两日游的共有人，选择乙旅行社． 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确理解题意． （1）根据题意即可得出甲、乙旅行社收取组团两日游的总费用与人数之间的函数关系式； （2）将人数代入对应的函数关系式，可分别得出两个旅行社收取组团两日游的总费用，比较大小即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 甲旅行社收取组团两日游的总费用 当时，乙旅行社收取组团两日游的总费用， 当时，乙旅行社收取组团两日游的总费用， ∴乙旅行社收取组团两日游的总费用， 答：甲旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为，乙旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为． （2）解：当时， 甲旅行社收取总费用（元） 乙旅行社收取总费用（元） ∵， ∴乙旅行社收取总费用较少， 答：若王老师组团参加两日游的共有人，选择乙旅行社． 1．（24-25八年级上·河北唐山·期中）下列表达式中是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的定义，形如（、为常数，且）的函数为一次函数．需逐一验证各选项是否符合该形式． 【详解】A、，分母含，可写为，此时的次数为，不符合一次函数的形式，该选项错误； B、，符合（，），且，是标准的一次函数，该选项正确； C、，含项，该选项错误； D、，方程中被平方，解为，不符合一次函数定义，该选项错误； 故选：B． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）若函数是一次函数，则应满足的条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为1．根据一次函数的定义列出计算解答即可． 【详解】解：由题意得，， ∴且， 故选：C． 3．（24-25八年级上·山西运城·期末）小颖根据正比例函数的表达式得到如下四组，的对应值，其中“▲”处的值应为（   ） 1 3 6 2 ▲ A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查正比例函数，熟练掌握待定系数法求出函数解析式是解题的关键．根据题意求出正比例函数解析式，即可得到答案． 【详解】解：将代入， 解得， ， 将代入， 解得． 故选：D． 4．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，函数和的图象相交于，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，先求出点A坐标，再找到直线的函数图象在直线的函数图象下方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，， ∴， ∵不等式的解集即为不等式的解集， ∴由函数图象可知，不等式的解集为， 故选：C． 5．（2025·河南平顶山·模拟预测）如图，矩形中，，点为的中点，点为上一点，且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，若点恰好落在线段上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及一次函数相关知识，解题的关键是通过构造全等三角形找到点的坐标关系． 过点作于点，证明，得到，，设，则，设直线的解析式为，得到，把代入，解得即可解． 再结合直线方程求解． 【详解】过点作于点， 四边形是矩形，， ， 点为中点， ． ， ，又， ． 在和中， ， ， ，， ， ， 设，则， 设直线的解析式为，把代入得， ， 点的横坐标为4，纵坐标为，把代入得： ， 解得． 故选：C． 6．（23-24八年级上·广西贵港·期末）写出一个系数为3，常数项不为0的一次函数是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】该题主要考查了一次函数的定义，解题关键是掌握一次函数的定义：一次函数中：、为常数，，自变量次数为1． 根据一次函数的定义解答． 【详解】解：一次函数一个系数为3，常数项不为0． ∴即可， 故答案为：（答案不唯一）． 7．（24-25八年级上·全国·单元测试）若是关于的正比例函数，则实数 ． 【答案】 【分析】本题考查的是正比例函数的定义，一般地，形如（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．依据正比例函数的定义求解即可． 【详解】解：∵是关于的正比例函数， ∴，， 解得：． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·上海·阶段练习）若关于x的函数是一次函数，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，掌握一次函数的一次项系数不能为0成为解题的关键． 由于函数是一次函数，则二次项系数为0且一次项系数不为0，据此列不等式组求解即可． 【详解】解：∵关于的函数是一次函数， ∴，解得：， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，若直线与线段有交点，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，把点、的坐标分别代入一次函数解析式，求得的最大值和最小值，可得的取值范围．用一次函数图象上点的坐标特征，找出关于的最值是解题的关键． 【详解】解：把代入得：，解得：， 把代入，得：，解得：， ∴的取值范围是． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(1，1)，B(3，1)，C(2，2)，当直线y＝x＋b与△ABC有交点时，b的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将A（1，1），B（3，1），C（2，2）的坐标分别代入直线y＝x＋b中求得b的值，再根据一次函数的增减性即可得到b的取值范围． 【详解】解：直线y＝x＋b经过点B，将B(3，1)代入直线y＝x＋b中，可得，解得； 直线y＝x＋b经过点A，将A(1，1)代入直线y＝x＋b中，可得，解得； 直线y＝x＋b经过点C，C(2，2)代入直线y＝x＋b中，可得，解得； 故b的取值范围是． 故答案为： 【点睛】本题考查一次函数图象上的点的特征，待定系数法等知识，解题的关键是应用数形结合思想，属于中考常考题型． 11．（23-24八年级上·安徽亳州·阶段练习）已知y与成正比例，且时，，求y与x之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数． 【答案】，y是x的一次函数 【分析】根据题意设，把，代入即可求解； 【详解】解：∵y与成正比例， ∴可设， 把，代入，得，   ∴， ∴y与x之间的函数关系式为，y是x的一次函数． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，掌握相关知识并正确计算是解题的关键． 12．（24-25八年级上·甘肃白银·期末）已知与成正比例，当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数及点在图象上的意义； （1）由由待定系数法设，即可求解； （2）将点代入关系式，即可求解； 会用待定系数法求解，并把看作整体是解题的关键． 【详解】（1）解：与成正比例， 设， 当时，， ， 解得：， ， 故与之间的函数关系式为； （2）解：点在这个函数的图象上， ， 解得：， 故的值为． 13．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知一次函数． (1)为何值时，它的图象经过原点； (2)为何值时，它的图象经过点． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及性质． （1）把原点坐标代入解析式得到，而，所以； （2）把代入解析式得到关于k的方程，然后解方程即可． 【详解】（1）解：把代入解析式得：， 解得：， ， ； （2）解：把代入解析式得：， 解得：． 14．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知y是关于x的一次函数，且当时，；时，． (1)求y关于x的函数表达式； (2)请在平面直角坐标系上，画出满足条件为的一次函数图象． 【答案】(1)一次函数的表达式为 (2)见详解 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，画一次函数． （1）设一次函数的表达式为，把当时，；时，代入利用待定系数法求解即可． （2）先求出时x的值，再根据一次函数的图像和性质得出当时，，然后画出的一次函数图像即可． 【详解】（1）解：由题知，设一次函数的表达式为， 则， 解得： 所以一次函数的表达式为． （2）解：当， 解得：， ∵， ∴当时，， 函数图象如图所示， 15．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式，方式一：先购买会员证，每张会员证120元，只限本人当年使用，会员证游泳每次再付费10元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费15元．设小聪计划今年夏季游泳次数为（为正整数）． (1)根据题意，填写下表： 游泳次数 10 15 20 … 方式一的总费用（元） 220 270 ______ … ______ 方式二的总费用（元） 150 225 ______ … ______ (2)若小聪计划今年夏季游泳的总费用为300元，通过计算说明选择哪种付费方式，她游泳的次数比较多？ (3)张老师是游泳爱好者，他计划今年夏季在这个游泳馆游泳40次，通过计算说明，张老师选择哪种方式合算？ 【答案】(1)320，；300， (2)方式2的游泳的次数比较多 (3)张老师选择方式1合算 【分析】（1）根据题目要求列出代数式并计算； （2）根据第一问的代数式列出方程，分别求出两种情况下的未知数的值，在进行比较大小，最后得出结论； （3）设游泳的次数为x，列出不等式即可解答． 【详解】（1）解：设小聪计划今年夏季游泳次数为， 则方式一的总费用为：元， 方式一的总费用为：元， 当时，方式一的总费用为元， 当时，方式一的总费用为元元， 根据题意，填写下表： 游泳次数 10 15 20 … 方式一的总费用（元） 220 270 320 … 方式二的总费用（元） 150 225 300 … （2）解：设小聪计划今年夏季游泳次数为， 如果选择方式一：，解得； 如果选择方式二：，解得； ∵， ∴方式二的游泳的次数比较多； （3）解：设张老师游泳次数为， 当时，； 当时，； ．所以张老师选择方式一合算． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式（或一元一次方程）是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$