第13讲 一次函数的应用（暑假预习举一反三讲义）新八年级数学上册新教材北师大版

第13讲 一次函数的应用（暑假预习讲义） 【新教材北师大版】 【知识框架+1个知识归纳+9个题型+课后作业】 模块二 一次函数的应用 某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v（单位：m/s）与其下滑时间t（单位：s）之间的关系如图所示． （1）写出v与t之间的关系式； （2）物体下滑3s时速度是多少? 确定正比例函数的表达式需要几个条件？确定一次函数的表达式呢？与同伴进行交流． 【知识点1 一次函数的应用】 1．判断等量关系为一次函数的情况： （1）函数图象是直线（或直线的一部分）； （2）用表格呈现数据时：当自变量的变化值均匀时，函数的变化值也是均匀的，而且当自变量的变化值为1时，函数的变化值就是自变量的系数； （3）用语言呈现数据时：当自变量每变化1个单位时，因变量就相应变化个单位． 2．常见类型： （1）最优方案或方案选择问题：常通过比价函数值的大小关系确定方案； （2）利润最大或费用最少问题：通过函数增减性确定最值． 注意：根据实际情况确定变量的取值范围． 【题型1 求一次函数解析式】 【例1】若正比例函数的图象经过，则这个图象必经过（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义以及正比例函数上点的特点，设正比例函数为：，把代入求出正比例函数，然后根据选项一一验证即可． 【详解】解：设正比例函数为：， ∵正比例函数的图象经过 ∴， 解得：． ∴． ．把代入可得出，左边等于右边，则这个图象必经过点，故该选项符合题意； ．把代入可得出，左边不等于右边，则这个图象不经过点，故该选项不符合题意； ．把代入可得出，左边不等于右边，则这个图象不经过点，故该选项不符合题意； ．把代入可得出，左边不等于右边，则这个图象不经过点，故该选项不符合题意； 故选：A． 【变式1-1】一次函数的图象经过点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知点坐标代入解析式，解一元一次方程即可得到的值． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴将代入得：， 移项得：， 解得：． 故选：B． 【变式1-2】下列四个点中只有一个点不在一次函数的图象上，这个点是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先选取两个点求出一次函数的解析式，再将剩余两个点代入解析式验证，不满足解析式的点即为不在图象上的点． 【详解】解：选取点和代入得： ，解得：， ∴该一次函数解析式为， ∴当时，则；当时，则； ∴选项C在该一次函数图象上，而选项D不在这个一次函数图象上． 故选：D． 【变式1-3】若一次函数的图像经过点，则（    ）在该函数图像上． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先用待定系数法求出一次函数的解析式，再一一验证各点是否在该函数图像上即可． 【详解】解：一次函数的图像经过点， ， ， 一次函数解析式为：； A、当时，，故不在该函数图像上，故选项A不符合题意； B、当时，，故不在该函数图像上，故选项B不符合题意； C、当时，，故在该函数图像上，故选项C符合题意； D、当时，，故不在该函数图像上，故选项D不符合题意； 故选：C． 【题型2 根据正比例关系求解析式】 【例2】已知与成正比例关系，且当时，． （1）求与之间的函数解析式； （2）当时，直接写出的取值范围． 【分析】本题主要考查正比例函数，掌握待定系数法求解析式，正比例函数图象的性质是解题的关键． （1）根据正比例函数的定义设，把时，代入计算即可； （2）根据正比例函数图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵与成正比例关系， ∴设， 当时，， ∴， 解得，， ∴，整理得，， ∴与之间的函数解析式为； （2）解：由（1）可得，与之间的函数解析式为， ∴， ∴随的增大而增大， 当时，；当时，； ∴当时，的取值范围为． 【变式2-1】已知与成正比例，当时，． （1）求出y与x的函数关系式； （2）判断点是否在函数图像上． 【分析】本题考查了正比例函数的图像与性质，熟练掌握正比例函数的图像与性质是解题的关键． （1）由题意可设，代入，求出的值，即可求解； （2）代入，求出对应的值，即可判断． 【详解】（1）解：∵与成正比例， ∴， 代入，得，， 解得， ∴， 整理得：； （2）解：当时，， ∴点不在函数图像上． 【变式2-2】已知与成正比例，且时，． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当时，求x的取值范围． 【分析】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，关键是将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题． （1）已知与成正比例，即可以设，把代入即可求得k的值，从而求得函数解析式； （2）求得和时所对应的函数值，然后根据一次函数的增减性即可求得x的取值范围． 【详解】（1）解：设， 把，代入得：， 解得：， 则该函数关系式为：， ； （2）解：把代入，得， 把代入，得， 因为，所以随的增大而减小， 所以当时，． 【变式2-3】已知与成正比例，当时． （1）求关于的函数表达式； （2）若点在该函数图象上，求的值． 【分析】本题考查了正比例函数的定义，正比例函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，设，然后把，代入计算，即可作答． （2）依题意，把点代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵与成正比例， ∴设， ∵当时，， ∴， 解得． ∴， 即． （2）解：由（1）得， ∵点在该函数图象上， ∴， 解得． 【题型3 弹簧问题】 【例3】一根弹簧在不受力时，长度为，在弹性限度内，弹簧的长度（）与所挂物体的质量（）满足一次函数关系（）．已知当物体的质量每增加时，弹簧的长度就相应增加，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数中自变量和因变量的变化关系，求解一次函数的比例系数，代入解析式化简即可得到结果. 【详解】解：设所挂物体质量为时，弹簧长度为，代入解析式得， ∵物体质量每增加，弹簧长度相应增加， ∴此时质量为，长度为，代入解析式得， 把代入上式，得， 解得 . 故选：C． 【变式3-1】一个弹簧不挂重物时长，挂上的物体后，弹簧伸长．在弹性限度内，挂上重物后弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比．则弹簧总长y（单位：）关于所挂物体质量x（单位：）的函数解析式为________． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 根据题意找出弹簧伸长的长度与重物质量的关系：伸长的长度是所挂重物质量的2倍和弹簧总长等于弹簧原长加上不挂重物长度时长度，列出函数解析式即可． 【详解】解：设函数解析式为， 由题意知，点，， 解得：， 函数解析式为 【变式3-2】在弹性限度内，弹簧的长度随所挂物体的质量的增加而增长，经过实验与测量，得到弹簧的长度与所挂物体的质量之间的对应关系如下表： 物体的质量 1 2 3 4 5 弹簧的长度 13 13.5 14 15 若弹簧的长度是，则所挂物体的质量是______． 【答案】9 【分析】本题主要考查了变量之间的关系，根据表格得出物体的质量每增加，弹簧的长度增加，设所挂物体的质量是，弹簧的长度为，则，求出x的值即可． 【详解】解：由表格可知，物体的质量每增加，弹簧的长度增加， 设所挂物体的质量是，弹簧的长度为，则： ， 把代入得：， 解得：． 故答案为：9． 【变式3-3】一根弹簧在竖直且不挂物体状态下长为，随着所挂物体质量的增加，弹簧长度随之增加．已知所挂物体质量小于，弹簧长度与所挂物体质量成一次函数关系．当物体质量为时，弹簧长度为，设物体质量为，弹簧长度为． （1）当时，求关于的函数表达式； （2）当弹簧长度为时，求所挂物体的质量． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用． （1）利用待定系数法，即可得出答案； （2）把代入中，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意，设关于的函数表达式为， 把，代入中， 得， 解得：， ∴与的函数关系式为：； （2）解：当弹簧长度为时， 即， 解得：， ∴当弹簧长度为时，所挂物体的质量为12kg． 【题型4 体积问题】 【例4】如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的横截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在水槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度（厘米）与注水时间（分钟）之间的关系如图2所示，根据图象提供的信息，解答下列问题： （1）图2中折线表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系；（以上两空选填“甲”或“乙”） （2）点的纵坐标表示的实际意义是 ； （3）注水多长时间时，甲、乙两个水槽中的水的深度相同？ （4）若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积． 【分析】本题考查的是用一次函数解决实际问题．解题时注意应用一次函数的性质，理解图象的实际意义． （1）根据题目中甲槽向乙槽注水可以得到折线是乙槽中水的深度与注水时间之间的关系，相应的线段表示表示的意义可求； （2）点B表示的实际意义是乙槽内液面恰好与圆柱形铁块顶端相平； （3）分别求出两个水槽中y与x的函数关系式，令y相等即可得到水位相等的时间； （4）用水槽的体积减去水槽中水的体积即可得到铁块的体积． 【详解】（1）图2中折线表示乙槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段表示甲槽中水的深度与注水时间之间的关系． 故答案为：乙，甲； （2）由图象可知，水面上升到与铁块上面重合后，水面上升的速度发生变化，故到点B的纵坐标表示的实际意义是乙槽中铁块的高度为14厘米． 故答案为：乙槽中铁块的高度为14厘米； （3）设线段、的解析式分别为： ， ， ∵经过点和，DE经过和 ，解得， ，解得， ∴解析式为，解析式为， 令， 解得， ∴注水2分钟时，甲、乙两个水槽中水的深度相同； （4）若乙槽中没有铁块，则乙槽水位上升高度为厘米， ∴乙槽中铁块体积为立方厘米． 【变式4-1】某种气体在时的体积为，温度每升高，它的体积增加． （1）写出气体体积与温度之间的函数表达式 （2）求当温度为时气体的体积． （3）当气体的体积为时，温度为多少摄氏度？ 【分析】（1）根据题意，直接写出函数表达式即可，气体体积=时的体积+增加的体积； （2）将代入（1）中的函数表达式即可； （3）将代入（1）中的函数表达式即可． 【详解】（1）解：根据题意得： ． （2）当时，， ∴当温度为时，气体的体积为． （3）当时，， 解得：， ∴气体的体积为时，温度为． 【变式4-2】爱好数学研究的依依同学受《乌鸦喝水》故事的启发，在学习完一次函数后，利用未装满水的容器和体积相同的小球（实心小铁球）进行了一次小游戏，她发现壁厚均匀的圆柱形容器的总高度为，里面装有一定量的水，未放小球前测得水面高度为，她将这些体积相同的小球逐个放入容器中，观察发现容器中水面高度与她放入容器中的小球个数（个）之间的系如图所示．根据图中信息，解答下列问题： （1）求图中段与之间的函数关系式；（无需写出自变量的取值范围） （2）当水面高度为时，求依依放入容器中的小球个数． 【分析】本题考查一次函数的应用，正确理解题意是解题的关键： （1）设图中段与之间的函数关系式为，将，代入解析式，求解得出，即可得出答案； （2）令，得， 解得，即可得出答案． 【详解】（1）解：设图中段与之间的函数关系式为． 根据题意，得 解得 图中段与之间的函数关系式为． （2）解：在中， 令，得， 解得， 依依放入容器中的小球个数为10个． 【变式4-3】物体通常有热胀冷缩现象，根据调查及查阅相关资料发现，一定量的酒精在某段温度内体积y（单位：L）和温度x（单位：）有关，下表列出了不同温度时酒精的体积： 温度 0 5 10 15 20 … 体积 … （1）根据表中数据，在平面直角坐标系中，描点，连线．若体积y（单位：L）和温度x（单位：）在一定范围内符合我们学习过的某种函数关系，则可能是_______函数关系（填“正比例”“一次”“二次”或“反比例”）； （2）根据上述判断，求酒精的体积y与温度x之间的函数关系式； （3）在温度为时，酒精的体积y与温度x也符合此函数关系式，则将这些酒精倒入到最大容量为的量筒中（倾倒过程无损失），试判断是否会有酒精溢出，并说明理由． 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用； （1）先描点，再画图，再根据图象判断函数类型即可； （2）先利用待定系数法求解函数解析式，再检验即可； （3）把代入计算的值，再与比较即可． 【详解】（1）解：如图，描点画图如下： 根据图象可得：体积y（单位：L）和温度x（单位：）的一次函数； （2）解：体积y（单位：L）和温度x（单位：）的解析式为， 把与代入可得： ， 解得：， ∴体积y（单位：L）和温度x（单位：）的解析式为； 经检验，解析式符合题意； （3）解：当时， ∴， ∵， ∴将这些酒精倒入到最大容量为的量筒中（倾倒过程无损失），有酒精溢出． 【题型5 行程问题】 【例5】体育场跑道上，起点到终点的距离为1000米，小红沿跑道从跑到，停留5分钟后再原路返回，期间小红离开处的路程 (米)与离开处的时间(分)之间的函数关系如图中折线所示． （1）求去程时 关于的函数表达式，并写出取值范围； （2）已知返程的时间共15分钟，其中前10分钟内的平均速度与后5分钟内的平均速度之比为，试求点 的纵坐标． 【分析】（1）先求得小红沿跑道从跑到用时5分钟，再求出从跑到的速度，从而得解； （2）设返程时前10分钟内的平均速度为米/分钟，则后5分钟内的平均速度为米/分钟，再返回路程是1000米列出方程求出，可知段的解析式，再将代入计算即可． 【详解】（1）解：∵停留5分钟后再原路返回，由图可知10分钟时原路返回， ∴小红沿跑道从跑到用时5分钟， ∴从跑到的速度是：(米/分钟)， ∴去程时 关于的函数表达式为：； （2）解：设返程时前10分钟内的平均速度为米/分钟，则后5分钟内的平均速度为米/分钟， ∴， 解得：， ∴段的解析式是：， 当时，， ∴点 的纵坐标为500． 【变式5-1】已知，、两地相距120千米，甲骑自行车以20千米／时的速度由起点前往终点，乙骑摩托车以40千米／时的速度由起点前往终点．两人同时出发，各自到达终点后停止．设两人之间的距离为（千米），甲行驶的时间为（小时），则下图中正确反映与之间函数关系的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别计算甲、乙到达终点所需的时间以及两人相遇的时间，将运动过程分为相遇前、相遇后乙到达终点前、乙到达终点后甲到达终点前三个阶段，分析与的函数关系及图象特征即可． 【详解】解：甲走完全程需小时，乙走完全程需小时， 两人相遇时间为小时， ∴图象与轴交点横坐标为2， 当时，两人相向而行，， 当时，两人背向而行，乙未到达终点，， 当时，，此时乙到达终点A， ∴图象在处出现转折，且对应纵坐标为60， 当时，乙停止运动，甲继续行驶，， 当时，，甲到达终点B， 综上所述，图象应经过点，，，且段比段更陡， 观察选项，只有B符合． 【变式5-2】甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度（单位：）与无人机上升的时间（单位：）之间的关系如图所示．当甲飞至乙上方，且两无人机之间的高度差为时，乙无人机在飞行过程中上升的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图象求出甲、乙两无人机高度与时间的函数解析式，根据“甲飞至乙上方且高度差为”列方程求出时间，进而计算乙上升的高度． 【详解】解：设甲无人机的高度与时间的函数关系式为， 由图象可知，甲经过点， ，解得， ． 设乙无人机的高度与时间的函数关系式为， 由图象可知，乙经过点和， ， 解得， ． 甲飞至乙上方，且两无人机之间的高度差为， ，即， 解得． 此时乙无人机上升的高度为：． 【变式5-3】小明和小丽骑行去山庄游玩，小明比小丽晚出发小时，追上小丽后休息了一段时间，继续以相同的速度骑行，他们离出发点的路程关于时间的变化情况如图所示． （1）分别求出小丽和小明骑行的速度． （2）求线段所在直线的函数表达式． （3）求小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程． 【分析】（1）根据速度路程时间计算即可； （2）求出点B的坐标，由路程速度时间写出线段所在直线的函数表达式即可； （3）写出线段所在直线的函数表达式，求出与交点坐标，再根据出发点与山庄之间的距离计算小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程即可． 【详解】（1）解：小丽骑行的速度为， ， ∴， 小明骑行的速度为． 答：小丽骑行的速度为，小明骑行的速度为； （2）解：， ， ∴， ， ∴线段所在直线的函数表达式为； （3）解：线段所在直线的函数表达式， 当小明第二次追上小丽时，得 ， 解得， ． 答：小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程为． 【题型6 方案选择问题】 【例6】元旦假期，小弘同学去某草莓园摘草莓，已知该草莓园内的草莓单价是每千克40元．为满足客户需求，该草莓园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的草莓按原价的七折收费； 乙方案：游客进园不需购买门票，采摘的草莓在10千克以内按原价收费，超过10千克后，10千克部分按原价收费，超过部分按原价的五折收费． 设小弘同学的采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元． （1）当采摘量超过10千克时，分别求出、关于x的函数表达式； （2）若小弘同学的采摘量为15千克，选择哪种方案更划算？请说明理由． （3）若你去摘草莓，你会选择哪种方案？请说明理由． 【分析】（1）根据甲、乙收费方案即可求解； （2）当时，分别求出，，即可进行判断； （3）分类讨论：当时，当时，求出当时，得到或，再结合图象即可求出优惠方案． 【详解】（1）解：由题意，当时， 甲方案：， 乙方案：， ∴ ，； （2）解：当时， ， ， ∵ ， ∴ 选择甲方案更划算； （3）解：当时，甲方案收费为：，乙方案收费为：， 当时，解得， 当时， 设，即， 解得， ∴当或时，甲、乙方案一样； 当或时，选择乙方案； 当时，选择甲方案； 因此，选择方案取决于计划采摘量：若采摘量等于千克或千克时两种一样，采摘量少于千克或大于千克，选乙方案；若多于千克、少于千克，选甲方案． 【变式6-1】某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案； 方案一：每人票价打九折； 方案二：10人以内含10人不优惠，超过10人的部分打八折． 设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元． （1）分别写出方案一、方案二中，与x之间的关系式； （2）某单位共38人去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由． 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式： （1）根据两种优惠方案，列出关系式即可； （2）求出时的值，比较大小即可． 【详解】（1）解：由题意，； ； ；； （2）选方案二更优惠，理由如下： 当时，；； ， 选方案二更优惠． 【变式6-2】某化妆品公司每月付给销售人员的工资有两种方案．方案一：没有底薪，只拿销售提成；方案二：底薪加销售提成．设x（件）是销售商品的数量，y（元）是销售人员的月工资．如图，为方案一的函数图像，为方案二的函数图像．已知方案二中每件商品的销售提成比方案一少30元．根据图中信息解答下列问题（注：销售提成是指从销售每件商品得到的销售额中提取一定数量的费用）： （1）求对应的函数表达式． （2）方案二中每月付给销售人员的底薪是多少元？ （3）小李是该化妆品公司的销售人员，他选择哪种方案才能使月工资更多？ 【分析】（1）设对应的函数表达式为，由待定系数法就可以求出解析式； （2）由题意得方案二中每件商品的销售提成为元，设对应的函数表达式为，利用待定系数法求得，因此方案二中每月付给销售人员的底薪为3600元； （3）由建立方程，先求出两种工资方案所得到的工资数额相等时x的值，再观察图像即可得出销售方案． 【详解】（1）解：设对应的函数表达式为． 由题图，得， 解得， 对应的函数表达式为． （2）（2）方案二中每件商品的销售提成比方案一少30元， 设对应的函数表达式为． 把代入，得， 解得， 方案二中每月付给销售人员的底薪是3600元． （3）（3）由（1）知，．由（2）知，． 令，解得． 当销售数量为120件时，两种方案所得到的月工资相等． 由题图可得，当销售件数少于120时，选择方案二才能使月工资更多；当销售件数等于120时，选择两种方案所得到的月工资一样；当销售件数多于120时，选择方案一才能使月工资更多． 【变式6-3】随着端午节的临近，，两家超市开展促销活动，各自推出不同购物优惠方案，如表： 超市 超市 优惠方案 所有商品按七五折出售 购物金额每满100元返40元 （1）当购物金额为90元时，选择______超市（填“”或“”）更省钱；当购物金额为120元时，选择______超市（填“”或“”）更省钱； （2）当购物金额为元时，请分别写出它们的实付金额（元）与购物金额（元）之间的函数表达式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱？ 【分析】本题考查了一次函数的实际应用及方案选择问题，解题的关键是根据两家超市的优惠方案列出实付金额的函数表达式，通过比较函数值的大小确定最省钱的购物方案． （1）分别计算购物金额为元和元时在A、B超市的实付金额，比较后得出更省钱的超市； （2）分情况列出A、B超市实付金额与购物金额的函数表达式超市为一次函数，B超市分和两段）；通过解方程和不等式比较函数值大小，确定不同购物金额范围内的最优选择． 【详解】（1）解：当购物金额为元时， A超市实付金额：元； B超市实付金额：元（不满元不返现）． ∵，∴选择A超市更省钱． 当购物金额为元时， A超市实付金额：元； B超市实付金额：元（满元返元）． ∵， ∴选择B超市更省钱． （2）解：A超市实付金额函数表达式：． B超市实付金额函数表达式： 当时，不返现，； 当时，满元返元，． 比较省钱方案： 当时，，选择A超市更省钱； 当时，令，解得． 当时，，选择B超市更省钱； 当时，，两家超市实付金额相同； 当时，，选择A超市更省钱． 答：当或时，选择A超市更省钱；当时，两家超市实付金额相同；，当时，选择B超市更省钱． 【题型7 调配问题】 【例7】现从A村，B村向甲、乙两地运送蔬菜，A村，B村两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，从A村到甲地运费50元/吨，到乙地30元/吨；从B村到甲地运费60元/吨，到乙地45元/吨．设A村往甲地运送蔬菜x吨． （1）设A村运费为元，请写出与的函数关系式，并说明x为何值时，最小？ （2）设总运费为W元，请写出W与x的函数关系式．并求出当时，怎样调运蔬菜才能使运费最少？ 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据总运费等于从A村到甲地的总运费加上从A村到乙地的总运费之和，列出函数关系式，根据一次函数的性质，进行求解即可； （2）根据总运费等于两村的运费之和，列出函数关系式，根据一次函数的性质，进行求解即可． 【详解】（1）根据题意，A村往乙地运送蔬菜吨， 则， ∵， ∴随x的减小而减小， ∵， ∴当时，最小． （2）根据题意，B村往甲地运送蔬菜吨，B村往乙地运送蔬菜吨， 则， ∵， ∴W随x的减小而减小， ∵， ∴当时，W的值最小， ∴A村往甲地运送蔬菜1吨、往乙地运送蔬菜13吨，B村将14吨蔬菜全部运往甲地可使运费最少． 【变式7-1】长城化工厂有化肥1000吨，安秦化工厂有化肥1500吨，现要把化肥运往两家农场，如果从长城化工厂运往农场和农场运费分别是50元/吨与80元/吨，从安秦化工厂运往农场和农场运费分别30元/吨与44元/吨，现已知农场需要化肥1100吨，农场需要化肥1400吨． （1）如果设从长城化工厂运往农场吨化肥，求此时所需的总运费（元）与（吨）之间的函数关系式（直接写出自变量的取值范围）． （2）如果你是业务经理，请你计算一下怎样调运花钱最少，并求出最少运费． 【分析】此题考查了一次函数的应用． （1）从长城化工厂运往农场吨化肥，从安秦化工厂运往农场化肥吨，则从安秦化工厂运往农场，据此列出一次函数解析式即可； （2）根据一次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：从长城化工厂运往农场吨化肥， 从长城化工厂运往农场吨化肥， 从安秦化工厂运往农场化肥吨，则从安秦化工厂运往农场吨， （2）由于是一次函数，， 随的增大而减小． ，当时，运费最少，最少运费是114600元， 当从长城化工厂运往农场1000吨，从安秦化工厂运往农场肥料100吨，从安秦化工厂运往农场1400吨时总运费最少，最少运费是114600元． 【变式7-2】A城有肥料，B城有肥料．现要把这些肥料全部运往C，D两乡．从A城往C，D两乡运肥料的费用分别为元/t和元/t；从B城往C，D两乡运肥料的费用分别为元/t和元/t．现C乡需要肥料，D乡需要肥料， （1）设从A城调运x吨肥料到C乡（），补充完整下列表格 A地 B地 C地 x ② D地 ① ③ ①     ②     ③ （2）怎样调运，可使总运费最少？请写出具体方案及计算过程 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据表格结合题意求解即可； （2）先求出运费关于的函数关系式，再由一次函数的性质分析求解． 【详解】（1）解：由题意得A地向D地调运，则乡还需要，则地调运到C地，则地剩余调运到D地， 故答案为：①；②；③； （2）解：设总运费为y元，由题意得： （）， ∵在函数中，， ∴y随x的增大而减小， ∴时，总运费y有最小值， 此时，，，， 答：从A城乡运往C乡吨，运往D乡0吨；从B城运往C乡吨，运往D乡吨，此时总运费最少，最小值为元． 【变式7-3】A县和B县春季分别急需化肥100吨和60吨，C县和D县分别储存化肥110吨和50吨，全部调配给A县和B县．运费如下表所示： 出发地/运费（元/吨）/目的地 C县 D县 A县 40 45 B县 35 50 （1）设从C县运到A县的化肥为x吨，则从C县运往B县的化肥为 吨，从D县运往A县的化肥为 吨，从D县运往B县的化肥为 吨； （2）求总运费W（元）与x（吨）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）求最低总运费，并说明运费最低时的运送方案． 【分析】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意和题目中的数据，可以写出总运费W（单位：元）关于x（单位：t）的函数解析式，并求出自变量x的取值范围； （3）根据（1）中的函数关系式和一次函数的性质，可以求得最低总运费和此时的运送方案． 【详解】（1）解：从C县运往B县的化肥：， 从D县运往A县的化肥：， 从D县运往B县的化肥：； （2）解：， A县的化肥全从C县运进，则， D县的化肥全运往A县，则， 所以自变量x的取值范围是； （3）解：由（2）知：， ∴w与x成一次函数，，w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w最小， （元）， 从C县运到A县的化肥为50吨，从C县运往B县的化肥为吨，从D县运往A县的化肥为吨，D县的化肥全运往A县． 【题型8 最大利润问题】 【例8】哈国客商准备在乌鲁木齐采购一批特色商品，经调查，A型商品的进价是160元/件，B型商品的进价是150元/件． （1）若该哈国客商购进A，B型商品共250件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，且不小于80件，已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出．设购进A型商品m件，求该客商销售这批商品的利润与之间的函数解析式，并写出的取值范围； （2）在（1）的条件下，哈国客商决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金元．求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益． 【分析】（1）根据总利润=两种商品的利润之和，列出解析式即可解决问题； （2）结合（1）可得，分三种情形讨论即可解决问题． 【详解】（1）解：因为客商购进A型商品m件，所以客商购进B型商品件， A型商品每件利润为（元），B型商品每件利润为（元）． 由题意：， ∴， ∵， ∴； ∴该客商销售这批商品的利润与m之间的函数解析式是： ，m为正整数． （2）解：由（1）得： ①当时，即时，随m的增大而增大，所以时，最大利润为元； ②当时，即时最大利润为17500元； ③当时，即时，随m的增大而减小， ∵， 所以时，最大利润为元． 【变式8-1】三门峡卢氏山川秀美，物产丰富，有“香菇之都”和“中国核桃之乡”美称．某特产店在春节期间推出了菌菇和核桃两种礼盒．已知售出1个菌菇礼盒和2个核桃礼盒的销售总额为320元，售出1个菌菇礼盒的销售额比售出1个核桃礼盒的销售额多20元． （1）求菌菇礼盒和核桃礼盒的销售单价； （2）由于销量较好，老板决定再次购进这两种礼盒共20个，且菌菇礼盒至少购进10个．若在售价不变的情况下，每个菌菇礼盒的利润率为，每个核桃礼盒盈利25元．设购进个菌菇礼盒，这批礼盒全部售完后所获得的利润为元． ①求关于的函数解析式； ②当购进_____________个菌菇礼盒时能获得最大利润，最大利润是_____________元． 【分析】（1）设1个核桃礼盒的销售单价为x元，则可表示1个菌菇礼盒的销售单价，根据等量关系：售出1个菌菇礼盒和2个核桃礼盒的销售总额为320元，列出一元一次方程，并求解即可； （2）①求得1个菌菇礼盒的进价，进而得其利润，再由利润和即可得到关于的函数解析式； ②根据①所列的函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：设1个核桃礼盒的销售单价为x元，则1个菌菇礼盒的销售单价为元， 由题意，得， 解得， 则； 答：菌菇礼盒和核桃礼盒的销售单价分别为120元和100元； （2）解：①每个菌菇礼盒的进价为（元），利润为（元）， 则，其中； ②，且 ∵， ∴w随a的增大而减小， ∴当时，w最大，且最大值为， 答：当购进10个菌菇礼盒时能获得最大利润，最大利润是450元． 【变式8-2】利群商场准备购进甲、乙两种服装出售，甲种服装每件售价130元，乙种服装每件售价100元，每件甲种服装的进价比乙种服装的进价贵20元，购进3件甲种服装的费用和购进4件乙种服装的费用相等，现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不超过65件． （1）甲、乙两种服装每件的进价分别是多少元？ （2）如果这100件服装都可售完，那么如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【分析】（1）设甲种服装每件的进价是x，则乙种服装的进价是元，根据题意列出方程，求出解即可； （2）设计划购买a件甲服装，则购进件乙服装，根据总利润相等得出一次函数，再结合一次函数图象的性质，并根据得出答案． 【详解】（1）解：设甲种服装每件的进价是x，则乙种服装的进价是元，根据题意，得 ， 解得，则， 所以甲，乙两种服装每件的进价分别是80元，60元； （2）解：设计划购买a件甲服装，则购进件乙服装，总利润为w元，根据题意，得 ，其中， ∵， ∴w随着a的增大而增大， ∴当时，w最大， 即， 所以当购进65件甲服装，35件乙服装时利润最大，最大利润是4650元． 【变式8-3】某车间有50名工人，每人每天可加工16个甲种零件或15个乙种零件，安排其中一部分工人加工甲种零件，其余工人加工乙种零件，已知每加工一个甲种零件可获利20元，每加工一个乙种零件可获利24元． （1）若该车间某天获利17000元，问这天加工甲种零件的工人有多少人？ （2）由于生产需要，每天都需要加工两种零件，设加工甲种零件的人数为m，该车间每天的获利为w元，若，当m为何值时，该车间一天的获利w最大？最大为多少元？ 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，根据题意列出一元一次方程是解题的关键． （1）首先根据题意设出这天加工甲种零件的工人有x人，则加工乙种零件的工人有人，再根据加工甲种零件的总利润+加工乙种零件的总利润=17000列出一元一次方程，再求解方程即可； （2）首先根据题意得到w关于m的函数表达式，再判断函数的增减性，进而得到在时，存在最大值，进而求出最大值即可． 【详解】（1）解：设这天加工甲种零件的工人有x人，则加工乙种零件的工人有人， ∴，解得：， ∴这天加工甲种零件的工人有25人； （2）解：由题意可得：， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∵， ∴当时，， ∴当时，该车间一天的获利最大，最大为17200元． 【题型9 梯度计价问题】 【例9】某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户月用电量及分档计费标准： 计费档 户月用电量x/（kW·h） 单价/[元/（kW·h）] 第一档 0.5 第二档 0.6 第三档 0.8 （1）当时，写出电费y（单位：元）与用电量x之间的表达式； （2）某户12月的电费是127元，求该户12月的用电量． 【分析】（1）用电量分为两部分计费：前170千瓦时按单价0.5元计算，超出170千瓦时的部分按单价0.6元计算，总电费为两部分电费相加； （2）先算出各档位电费区间，判断127元落在第几档，再代入对应解析式解方程． 【详解】（1）解：由题意得，当时，． （2）解：， ， 设用电量为xkW·h， 由题意得， ， 解得， 则该户12月的用电量为240kW·h． 【变式9-1】某玩具店销售某种玩具时，顾客一次购买件以内的（含件）按原价付款，超过件的，超出部分按原价的九折付款．若付款总数（元）与顾客一次购买数量（件）之间的函数关系如图所示，则这件商品每件的原价为（     ）． A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】先设商品每件的原价为元，根据题意可得超过件时，付款总数（元）与顾客一次购买数量（件）之间的函数关系为：，由图像可知，过点，代入求解即可． 【详解】设商品每件的原价为元， 超过件时，付款总数（元）与顾客一次购买数量（件）之间的函数关系为： ， 由图像可知，过点， ∴， 解得：， 答：商品每件的原价为元． 【变式9-2】为保障城乡供水事业可持续发展，某市水费采用阶梯计价，下表是该市居民生活用水的收费标准： 阶梯等级 每人每月用水量 价格 一阶 不超过 2.6元 二阶 超过不超过 3.9元 三阶 超过 7.8元 王老师家有口人，设他家某月人均用水量为，应缴水费是元，当时，与之间的函数关系式为______． 【答案】 【分析】根据阶梯收费标准，先确定时人均水费的计算方式，再结合家庭人口数得到总水费，整理后即可得到与的函数关系式． 【详解】解：当时， 人均用水量中，不超过部分的水费为 元， 超过部分的水量为，该部分水费为元． 因此人均水费为元， 已知王老师家有4口人，总应缴水费， 当时，与之间的函数关系式为． 【变式9-3】为鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准： 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 2.73 第二档 3.28 第三档 3.82 （1）当时，求出燃气费（单位：元）与之间的关系式； （2）某户一年用气量是，求该户这一年的燃气费； （3）某户去年一年的燃气费是1311元，求该户去年一年的用气量． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数的关系式， （1）第一档用气总费用加上超过第一档用气量的费用可得关系式； （2）直接将代入（1）关系式，可得答案； （3）先求出第一档的最高费用，第二档的最高费用，可知该用气费用属于第二档，可得一元一次方程，求出解即可． 【详解】（1）解： 由表格可知，当时，． （2）解：， 当时，， 所以，当用气量为时，该户这一年的燃气费为1147元． （3）解：当时，（元）， 当时，（元）， ， 所以，该户用气量属于第二档， 当时，， 解得，， 所以当燃气费为1311元时，该户去年一年的用气量为． 模块三 课后作业 1．若一个正比例函数的图象经过点，则该正比例函数的图象也一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，根据自变量求函数值，掌握求正比例函数的解析式是解题的关键． 根据题意可得正比例函数解析式，再代入计算即可求解． 【详解】解：一个正比例函数的图象经过点， ∴设正比例函数解析式为，把点代入得， ∴正比例函数解析式为， A、，即当时，，故原选项不在正比例函数解析式的图象上，不符合题意； B、，即当时，，故原选项在正比例函数解析式的图象上，符合题意； C、，即当时，，故原选项不在正比例函数解析式的图象上，不符合题意； D、，即当时，，故原选项不在正比例函数解析式的图象上，不符合题意； 故选：B ． 2．一支蜡烛，点燃后其剩余长度与燃烧时间之间的关系如表所示，则蜡烛原长为__________． 燃烧时间/分 10 20 30 40 50 … 剩余长度 19 18 17 16 15 … 【答案】 【分析】根据表格中燃烧时间与剩余长度的变化规律，得到剩余长度与燃烧时间的函数关系式，燃烧时间为时的剩余长度即为蜡烛原长． 【详解】解：设燃烧时间为分钟，蜡烛剩余长度为， 由表格数据可得，燃烧时间每增加分钟，剩余长度减少，可得蜡烛每分钟燃烧， 设函数关系式为，其中为蜡烛原长， 将代入关系式得 ， 解得， 即蜡烛原长为． 3．已知：与成正比例，且当时，y的值为4． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若点、点是该函数图象上的两点，其中，试比较、的大小，并说明理由； （3）将所得的函数图象平移，使它经过点，求平移后的函数解析式． 【分析】（1）设，再将，代入计算即可得出结果； （2）由（1）可得，由，得出随着的增大而增大，由一次函数的性质即可得出结果； （3）设平移后的函数解析式为，将代入解析式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵与成正比例， ∴设， ∵当时，y的值为4， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 由（1）可得， ∵， ∴随着的增大而增大， ∵点、点是该函数图象上的两点，且， ∴； （3）解：设平移后的函数解析式为， 将代入解析式可得， 解得， ∴平移后的函数解析式为． 4．为响应绿色出行，某共享单车公司收费标准如下：骑行不超过1小时收费3元；超过1小时的部分，每小时收费2元(不足1小时按1小时算)．设骑行时间为x小时(，且x为正整数)，总费用为y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若小明骑行3.5小时，应付多少元？ （3）若小明付费11元．他最多骑行了几小时？ 【分析】（1）根据收费标准求解即可； （2）将代入求解； （3）将代入求解． 【详解】（1）解：根据题意得，； （2）解：骑行3.5小时按4小时算， ∴将代入得，（元） ∴应付9元； （3）解：令，得 解得 答：最多骑行5小时． 5．甲、乙两个探测气球分别从海拔和处同时出发，匀速上升．如图是甲、乙两个探测气球所在位置的海拔y（单位：m）与气球上升时间x（单位：）的函数图象，已知甲气球的函数解析式为． （1）求乙气球在上升过程中y关于x的函数解析式； （2）当这两个气球的海拔高度相差时，求上升的时间． 【分析】（1）用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）先判定当时，两个气球的海拔高度差小于，然后在时，根据两个气球的海拔高度差列方程求解即可． 【详解】（1）解：设乙气球在上升过程中y关于x的函数解析式为， 把，代入， 得， 解得， 乙气球在上升过程中y关于x的函数解析式为； （2）解：当时，两个气球的海拔高度差最大为； 当时，， 解得， 当这两个气球的海拔高度相差时，上升的时间为． 6．酒精的体积与温度之间的关系在一定范围内近似地符合一次函数关系．现测得一定量的酒精在时的体积是，在时的体积是 （1）估算这些酒精在时的体积（精确到）． （2）如果用容积为的容器来盛这些酒精，为了不使酒精溢出，酒精的温度应保持在多少摄氏度（精确到）？ 【分析】（1）根据酒精的体积与温度之间的关系在一定范围内近似地符合一次函数关系列出一次函数解析式，再分别代入20和30求出对应体积； （2）由题意可得，，即，求出t的取值范围即可． 【详解】（1）根据题意，设酒精的体积V与温度t之间的关系是为． ∴有， 解之得， ∴． ∴这些酒精在时，即时， 当时，， 当时，， ∴这些酒精在时的体积约在之间． （2）由题意得，， ∴ 解得， ∴应保持在及以下． 7．在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，该表是测得的弹簧长度与所挂物体的重量的几组对应值． 所挂物体重量 弹簧长度 （1）该表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）请你写出弹簧长度与所挂物体重量之间的关系式． （3）在弹簧的允许范围内，若所挂物体重量为，请求出此时弹簧的长度． 【分析】（1）上述表格反映了弹簧的长度与所挂物体的质量这两个变量之间的关系，其中所挂物体的质量是自变量，弹簧的长度是因变量； （2）设，然后将表中的数据代入求解即可； （3）当所挂重物为时，即将代入表达式求弹簧的长度即可． 【详解】（1）解：表中反映了所挂物体质量与弹簧长度之间的关系，其中所挂物体重量是自变量，弹簧长度是因变量； （2）解：设函数关系式为， 当时，； 当时，， ， 解得：， 函数关系式为：； （3）解：当时，， 即此时弹簧的长度为． 8．城有肥料200吨，城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往、两乡．从城运往、两乡运肥料的费用分别是每吨20元和25元，从城往、两乡运肥料的费用分别为每吨15元和24元，现在乡需要肥料240吨，乡需要肥料260吨． （1）若从城运往乡所需运费是从城运往乡所需运费的一半，求从A城运往D乡的肥料为多少吨？ （2）怎样调运化肥，可使总运费最少？最少运费是多少？ 【分析】本题考查了一次函数的应用，难点在于表示出运往各地的化肥吨数． （1）设从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨，根据题意得：，求解即可． （2）设从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨，总运费为y，然后根据总运费的表达式列式整理，再根据运往各地的肥料数不小于0列式求出x的取值范围，根据一次函数的增减性解答即可.. 【详解】（1）解：设从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨； 由题意得：，解得：， （吨） 答：从A城运往D乡的化肥为110吨： （2）解：设从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨； 由题意得：利润， ，随增大而增大． 又 当时，总运费最少，最少为（元） 答：从A城运往C乡化肥0吨，从A城运往D乡化肥200吨，从B城运往C乡化肥240吨，从B城运往D乡化肥60吨时，总运费最少，为10040元． 9．某服装品牌专柜招聘销售人员，提供了如下两种月工资方案： 方案一：没有底薪，每售出一件商品提成15元； 方案二：底薪2000元，售出的前100件商品没有提成，超过100件的部分，每售出一件商品提成10元． 设销售人员每月售出x件，方案一、方案二中销售人员的月工资分别为，（单位：元）． （1）分别直接写出，关于x的函数解析式； （2）根据每月销售量情况，销售人员小王应如何选择方案，才能使月工资更高？ 【分析】（1）根据题意列出表达式进行化简即可； （2）先画出函数图象，求出交点坐标，结合图象分析即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：， ， 即． （2）解：根据，关于x的函数关系式作图，如图所示， 当时，， 解得， 则， ∴与的交点坐标为， 即当时，，选择方案二，能使月工资更高； 当时，，选择方案一或方案二工资相同； 当时，，选择方案一，能使月工资更高． 10．某商场购进甲、乙两种商品共250件进行销售，其中甲商品的件数不大于乙商品的件数，且不小于60件，甲、乙两种商品的进价、售价如表： 甲 乙 进价（元/件） 140 120 售价（元/件） 195 170 请利用所学知识解决下列问题： （1）设商场购进甲商品的件数为件，购进甲、乙两种商品全部售出后获得利润为元，求和之间的函数关系式，并写出的取值范围； （2）在（1）的条件下，要使商场获得最大利润，该公司应购进甲多少件，最大利润是多少？ （3）在（1）的条件下，商场决定在销售活动中每售出一件甲，就从一件甲的利润中拿出元捐给慈善基金，则该商场应购进甲多少件方可获得最大利润，最大利润是多少？ 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． （1）根据题意和表格中的数据可以写出与之间的函数关系式，然后根据甲商品的件数不大于乙商品的件数，且不小于60件，可以求得的取值范围； （2）由函数关系式和的取值范围计算最大值即可； （3）根据题意可以写出最后获得的利润与之间的函数关系式，再根据一次函数的性质和的取值范围，可以求得最大利润． 【详解】（1）解：由题意可得， ， ∵甲商品的件数不大于乙商品的件数，且不小于60件，， ， 解得， 即与之间的函数关系式是（且整数）； （2）解：与之间的函数关系式是，， 随的增大而增大， ∴当时，y最大，最大值为， 即当公司应购进甲125件时，利润最大，最大利润为元； （3）解：设最后获得的利润为元， 由题意可得：， ∵， ， 随的增大而减小， ∵， 当时，取得最大值，此时， 答：该商场应购进甲商品件，方可获得最大利润，最大利润为元． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 一次函数的应用（暑假预习讲义） 【新教材北师大版】 【知识框架+1个知识归纳+9个题型+课后作业】 模块二 一次函数的应用 某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v（单位：m/s）与其下滑时间t（单位：s）之间的关系如图所示． （1）写出v与t之间的关系式； （2）物体下滑3s时速度是多少? 确定正比例函数的表达式需要几个条件？确定一次函数的表达式呢？与同伴进行交流． 【知识点1 一次函数的应用】 1．判断等量关系为一次函数的情况： （1）函数图象是直线（或直线的一部分）； （2）用表格呈现数据时：当自变量的变化值均匀时，函数的变化值也是均匀的，而且当自变量的变化值为1时，函数的变化值就是自变量的系数； （3）用语言呈现数据时：当自变量每变化1个单位时，因变量就相应变化个单位． 2．常见类型： （1）最优方案或方案选择问题：常通过比价函数值的大小关系确定方案； （2）利润最大或费用最少问题：通过函数增减性确定最值． 注意：根据实际情况确定变量的取值范围． 【题型1 求一次函数解析式】 【例1】若正比例函数的图象经过，则这个图象必经过（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】一次函数的图象经过点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列四个点中只有一个点不在一次函数的图象上，这个点是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】若一次函数的图像经过点，则（    ）在该函数图像上． A． B． C． D． 【题型2 根据正比例关系求解析式】 【例2】已知与成正比例关系，且当时，． （1）求与之间的函数解析式； （2）当时，直接写出的取值范围． 【变式2-1】已知与成正比例，当时，． （1）求出y与x的函数关系式； （2）判断点是否在函数图像上． 【变式2-2】已知与成正比例，且时，． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当时，求x的取值范围． 【变式2-3】已知与成正比例，当时． （1）求关于的函数表达式； （2）若点在该函数图象上，求的值． 【题型3 弹簧问题】 【例3】一根弹簧在不受力时，长度为，在弹性限度内，弹簧的长度（）与所挂物体的质量（）满足一次函数关系（）．已知当物体的质量每增加时，弹簧的长度就相应增加，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】一个弹簧不挂重物时长，挂上的物体后，弹簧伸长．在弹性限度内，挂上重物后弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比．则弹簧总长y（单位：）关于所挂物体质量x（单位：）的函数解析式为________． 【变式3-2】在弹性限度内，弹簧的长度随所挂物体的质量的增加而增长，经过实验与测量，得到弹簧的长度与所挂物体的质量之间的对应关系如下表： 物体的质量 1 2 3 4 5 弹簧的长度 13 13.5 14 15 若弹簧的长度是，则所挂物体的质量是______． 【变式3-3】一根弹簧在竖直且不挂物体状态下长为，随着所挂物体质量的增加，弹簧长度随之增加．已知所挂物体质量小于，弹簧长度与所挂物体质量成一次函数关系．当物体质量为时，弹簧长度为，设物体质量为，弹簧长度为． （1）当时，求关于的函数表达式； （2）当弹簧长度为时，求所挂物体的质量． 【题型4 体积问题】 【例4】如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的横截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在水槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度（厘米）与注水时间（分钟）之间的关系如图2所示，根据图象提供的信息，解答下列问题： （1）图2中折线表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系；（以上两空选填“甲”或“乙”） （2）点的纵坐标表示的实际意义是 ； （3）注水多长时间时，甲、乙两个水槽中的水的深度相同？ （4）若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积． 【变式4-1】某种气体在时的体积为，温度每升高，它的体积增加． （1）写出气体体积与温度之间的函数表达式 （2）求当温度为时气体的体积． （3）当气体的体积为时，温度为多少摄氏度？ 【变式4-2】爱好数学研究的依依同学受《乌鸦喝水》故事的启发，在学习完一次函数后，利用未装满水的容器和体积相同的小球（实心小铁球）进行了一次小游戏，她发现壁厚均匀的圆柱形容器的总高度为，里面装有一定量的水，未放小球前测得水面高度为，她将这些体积相同的小球逐个放入容器中，观察发现容器中水面高度与她放入容器中的小球个数（个）之间的系如图所示．根据图中信息，解答下列问题： （1）求图中段与之间的函数关系式；（无需写出自变量的取值范围） （2）当水面高度为时，求依依放入容器中的小球个数． 【变式4-3】物体通常有热胀冷缩现象，根据调查及查阅相关资料发现，一定量的酒精在某段温度内体积y（单位：L）和温度x（单位：）有关，下表列出了不同温度时酒精的体积： 温度 0 5 10 15 20 … 体积 … （1）根据表中数据，在平面直角坐标系中，描点，连线．若体积y（单位：L）和温度x（单位：）在一定范围内符合我们学习过的某种函数关系，则可能是_______函数关系（填“正比例”“一次”“二次”或“反比例”）； （2）根据上述判断，求酒精的体积y与温度x之间的函数关系式； （3）在温度为时，酒精的体积y与温度x也符合此函数关系式，则将这些酒精倒入到最大容量为的量筒中（倾倒过程无损失），试判断是否会有酒精溢出，并说明理由． 【题型5 行程问题】 【例5】体育场跑道上，起点到终点的距离为1000米，小红沿跑道从跑到，停留5分钟后再原路返回，期间小红离开处的路程 (米)与离开处的时间(分)之间的函数关系如图中折线所示． （1）求去程时 关于的函数表达式，并写出取值范围； （2）已知返程的时间共15分钟，其中前10分钟内的平均速度与后5分钟内的平均速度之比为，试求点 的纵坐标． 【变式5-1】已知，、两地相距120千米，甲骑自行车以20千米／时的速度由起点前往终点，乙骑摩托车以40千米／时的速度由起点前往终点．两人同时出发，各自到达终点后停止．设两人之间的距离为（千米），甲行驶的时间为（小时），则下图中正确反映与之间函数关系的是（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度（单位：）与无人机上升的时间（单位：）之间的关系如图所示．当甲飞至乙上方，且两无人机之间的高度差为时，乙无人机在飞行过程中上升的高度是（     ） A． B． C． D． 【变式5-3】小明和小丽骑行去山庄游玩，小明比小丽晚出发小时，追上小丽后休息了一段时间，继续以相同的速度骑行，他们离出发点的路程关于时间的变化情况如图所示． （1）分别求出小丽和小明骑行的速度． （2）求线段所在直线的函数表达式． （3）求小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程． 【题型6 方案选择问题】 【例6】元旦假期，小弘同学去某草莓园摘草莓，已知该草莓园内的草莓单价是每千克40元．为满足客户需求，该草莓园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的草莓按原价的七折收费； 乙方案：游客进园不需购买门票，采摘的草莓在10千克以内按原价收费，超过10千克后，10千克部分按原价收费，超过部分按原价的五折收费． 设小弘同学的采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元． （1）当采摘量超过10千克时，分别求出、关于x的函数表达式； （2）若小弘同学的采摘量为15千克，选择哪种方案更划算？请说明理由． （3）若你去摘草莓，你会选择哪种方案？请说明理由． 【变式6-1】某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案； 方案一：每人票价打九折； 方案二：10人以内含10人不优惠，超过10人的部分打八折． 设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元． （1）分别写出方案一、方案二中，与x之间的关系式； （2）某单位共38人去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由． 【变式6-2】某化妆品公司每月付给销售人员的工资有两种方案．方案一：没有底薪，只拿销售提成；方案二：底薪加销售提成．设x（件）是销售商品的数量，y（元）是销售人员的月工资．如图，为方案一的函数图像，为方案二的函数图像．已知方案二中每件商品的销售提成比方案一少30元．根据图中信息解答下列问题（注：销售提成是指从销售每件商品得到的销售额中提取一定数量的费用）： （1）求对应的函数表达式． （2）方案二中每月付给销售人员的底薪是多少元？ （3）小李是该化妆品公司的销售人员，他选择哪种方案才能使月工资更多？ 【变式6-3】随着端午节的临近，，两家超市开展促销活动，各自推出不同购物优惠方案，如表： 超市 超市 优惠方案 所有商品按七五折出售 购物金额每满100元返40元 （1）当购物金额为90元时，选择______超市（填“”或“”）更省钱；当购物金额为120元时，选择______超市（填“”或“”）更省钱； （2）当购物金额为元时，请分别写出它们的实付金额（元）与购物金额（元）之间的函数表达式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱？ 【题型7 调配问题】 【例7】现从A村，B村向甲、乙两地运送蔬菜，A村，B村两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，从A村到甲地运费50元/吨，到乙地30元/吨；从B村到甲地运费60元/吨，到乙地45元/吨．设A村往甲地运送蔬菜x吨． （1）设A村运费为元，请写出与的函数关系式，并说明x为何值时，最小？ （2）设总运费为W元，请写出W与x的函数关系式．并求出当时，怎样调运蔬菜才能使运费最少？ 【变式7-1】长城化工厂有化肥1000吨，安秦化工厂有化肥1500吨，现要把化肥运往两家农场，如果从长城化工厂运往农场和农场运费分别是50元/吨与80元/吨，从安秦化工厂运往农场和农场运费分别30元/吨与44元/吨，现已知农场需要化肥1100吨，农场需要化肥1400吨． （1）如果设从长城化工厂运往农场吨化肥，求此时所需的总运费（元）与（吨）之间的函数关系式（直接写出自变量的取值范围）． （2）如果你是业务经理，请你计算一下怎样调运花钱最少，并求出最少运费． 【变式7-2】A城有肥料，B城有肥料．现要把这些肥料全部运往C，D两乡．从A城往C，D两乡运肥料的费用分别为元/t和元/t；从B城往C，D两乡运肥料的费用分别为元/t和元/t．现C乡需要肥料，D乡需要肥料， （1）设从A城调运x吨肥料到C乡（），补充完整下列表格 A地 B地 C地 x ② D地 ① ③ ①     ②     ③ （2）怎样调运，可使总运费最少？请写出具体方案及计算过程． 【变式7-3】A县和B县春季分别急需化肥100吨和60吨，C县和D县分别储存化肥110吨和50吨，全部调配给A县和B县．运费如下表所示： 出发地/运费（元/吨）/目的地 C县 D县 A县 40 45 B县 35 50 （1）设从C县运到A县的化肥为x吨，则从C县运往B县的化肥为 吨，从D县运往A县的化肥为 吨，从D县运往B县的化肥为 吨； （2）求总运费W（元）与x（吨）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）求最低总运费，并说明运费最低时的运送方案． 【题型8 最大利润问题】 【例8】哈国客商准备在乌鲁木齐采购一批特色商品，经调查，A型商品的进价是160元/件，B型商品的进价是150元/件． （1）若该哈国客商购进A，B型商品共250件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，且不小于80件，已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出．设购进A型商品m件，求该客商销售这批商品的利润与之间的函数解析式，并写出的取值范围； （2）在（1）的条件下，哈国客商决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金元．求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益． 【变式8-1】三门峡卢氏山川秀美，物产丰富，有“香菇之都”和“中国核桃之乡”美称．某特产店在春节期间推出了菌菇和核桃两种礼盒．已知售出1个菌菇礼盒和2个核桃礼盒的销售总额为320元，售出1个菌菇礼盒的销售额比售出1个核桃礼盒的销售额多20元． （1）求菌菇礼盒和核桃礼盒的销售单价； （2）由于销量较好，老板决定再次购进这两种礼盒共20个，且菌菇礼盒至少购进10个．若在售价不变的情况下，每个菌菇礼盒的利润率为，每个核桃礼盒盈利25元．设购进个菌菇礼盒，这批礼盒全部售完后所获得的利润为元． ①求关于的函数解析式； ②当购进_____________个菌菇礼盒时能获得最大利润，最大利润是_____________元． 【变式8-2】利群商场准备购进甲、乙两种服装出售，甲种服装每件售价130元，乙种服装每件售价100元，每件甲种服装的进价比乙种服装的进价贵20元，购进3件甲种服装的费用和购进4件乙种服装的费用相等，现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不超过65件． （1）甲、乙两种服装每件的进价分别是多少元？ （2）如果这100件服装都可售完，那么如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【变式8-3】某车间有50名工人，每人每天可加工16个甲种零件或15个乙种零件，安排其中一部分工人加工甲种零件，其余工人加工乙种零件，已知每加工一个甲种零件可获利20元，每加工一个乙种零件可获利24元． （1）若该车间某天获利17000元，问这天加工甲种零件的工人有多少人？ （2）由于生产需要，每天都需要加工两种零件，设加工甲种零件的人数为m，该车间每天的获利为w元，若，当m为何值时，该车间一天的获利w最大？最大为多少元？ 【题型9 梯度计价问题】 【例9】某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户月用电量及分档计费标准： 计费档 户月用电量x/（kW·h） 单价/[元/（kW·h）] 第一档 0.5 第二档 0.6 第三档 0.8 （1）当时，写出电费y（单位：元）与用电量x之间的表达式； （2）某户12月的电费是127元，求该户12月的用电量． 【变式9-1】某玩具店销售某种玩具时，顾客一次购买件以内的（含件）按原价付款，超过件的，超出部分按原价的九折付款．若付款总数（元）与顾客一次购买数量（件）之间的函数关系如图所示，则这件商品每件的原价为（     ）． A．元 B．元 C．元 D．元 【变式9-2】为保障城乡供水事业可持续发展，某市水费采用阶梯计价，下表是该市居民生活用水的收费标准： 阶梯等级 每人每月用水量 价格 一阶 不超过 2.6元 二阶 超过不超过 3.9元 三阶 超过 7.8元 王老师家有口人，设他家某月人均用水量为，应缴水费是元，当时，与之间的函数关系式为______． 【变式9-3】为鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准： 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 2.73 第二档 3.28 第三档 3.82 （1）当时，求出燃气费（单位：元）与之间的关系式； （2）某户一年用气量是，求该户这一年的燃气费； （3）某户去年一年的燃气费是1311元，求该户去年一年的用气量． 模块三 课后作业 1．若一个正比例函数的图象经过点，则该正比例函数的图象也一定经过点（   ） A． B． C． D． 2．一支蜡烛，点燃后其剩余长度与燃烧时间之间的关系如表所示，则蜡烛原长为__________． 燃烧时间/分 10 20 30 40 50 … 剩余长度 19 18 17 16 15 … 3．已知：与成正比例，且当时，y的值为4． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若点、点是该函数图象上的两点，其中，试比较、的大小，并说明理由； （3）将所得的函数图象平移，使它经过点，求平移后的函数解析式． 4．为响应绿色出行，某共享单车公司收费标准如下：骑行不超过1小时收费3元；超过1小时的部分，每小时收费2元(不足1小时按1小时算)．设骑行时间为x小时(，且x为正整数)，总费用为y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若小明骑行3.5小时，应付多少元？ （3）若小明付费11元．他最多骑行了几小时？ 5．甲、乙两个探测气球分别从海拔和处同时出发，匀速上升．如图是甲、乙两个探测气球所在位置的海拔y（单位：m）与气球上升时间x（单位：）的函数图象，已知甲气球的函数解析式为． （1）求乙气球在上升过程中y关于x的函数解析式； （2）当这两个气球的海拔高度相差时，求上升的时间． 6．酒精的体积与温度之间的关系在一定范围内近似地符合一次函数关系．现测得一定量的酒精在时的体积是，在时的体积是 （1）估算这些酒精在时的体积（精确到）． （2）如果用容积为的容器来盛这些酒精，为了不使酒精溢出，酒精的温度应保持在多少摄氏度（精确到）？ 7．在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，该表是测得的弹簧长度与所挂物体的重量的几组对应值． 所挂物体重量 弹簧长度 （1）该表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）请你写出弹簧长度与所挂物体重量之间的关系式． （3）在弹簧的允许范围内，若所挂物体重量为，请求出此时弹簧的长度． 8．城有肥料200吨，城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往、两乡．从城运往、两乡运肥料的费用分别是每吨20元和25元，从城往、两乡运肥料的费用分别为每吨15元和24元，现在乡需要肥料240吨，乡需要肥料260吨． （1）若从城运往乡所需运费是从城运往乡所需运费的一半，求从A城运往D乡的肥料为多少吨？ （2）怎样调运化肥，可使总运费最少？最少运费是多少？ 9．某服装品牌专柜招聘销售人员，提供了如下两种月工资方案： 方案一：没有底薪，每售出一件商品提成15元； 方案二：底薪2000元，售出的前100件商品没有提成，超过100件的部分，每售出一件商品提成10元． 设销售人员每月售出x件，方案一、方案二中销售人员的月工资分别为，（单位：元）． （1）分别直接写出，关于x的函数解析式； （2）根据每月销售量情况，销售人员小王应如何选择方案，才能使月工资更高？ 10．某商场购进甲、乙两种商品共250件进行销售，其中甲商品的件数不大于乙商品的件数，且不小于60件，甲、乙两种商品的进价、售价如表： 甲 乙 进价（元/件） 140 120 售价（元/件） 195 170 请利用所学知识解决下列问题： （1）设商场购进甲商品的件数为件，购进甲、乙两种商品全部售出后获得利润为元，求和之间的函数关系式，并写出的取值范围； （2）在（1）的条件下，要使商场获得最大利润，该公司应购进甲多少件，最大利润是多少？ （3）在（1）的条件下，商场决定在销售活动中每售出一件甲，就从一件甲的利润中拿出元捐给慈善基金，则该商场应购进甲多少件方可获得最大利润，最大利润是多少？ 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $