暑期预习讲义（第3讲）——二次根式 - 2026--2027学年北师大版八年级数学上册

暑期预习讲义（第3讲）——二次根式 （知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】二次根式定义 2 【知识点二】二次根式的乘法与除法运算 2 【知识点三】最简二次根式与同类二次根式 2 【知识点四】分母有理化 3 【知识点五】二次根式的混合运算法则 3 二.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】二次根式的意义 3 【题型 2】二次根式的乘除运算 6 【题型 3】最简二次根式与同类二次根式 7 【题型 4】二次根式的加减运算 9 【题型 5】分母有理化 10 【题型 6】二次根式的混合运算 12 【题型 7】二次根式的化简求值 15 三.经典题型精析（综合提升） 17 【题型 8】二次根式的大小比较 17 【题型 9】新定义下实数的运算 20 【题型 10】与实数运算的有关规律探究 22 四.同步自测 25 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 25 （二） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 29 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 32 一.教材知识梳理 【知识点一】二次根式定义 观察下列代数式:，，，，，（其中）。可以发现，这些式子我们在前面都已学习过,它们的共同特征是:都含有开方运算,并且被开方数都是非负数。 一般地，形如的式子叫作二次根式，叫作被开方数。 【特别说明】判断一个式子是不是二次根式，要同时看两点：① 有没有二次根号；② 根号内的被开方数是否，两点缺一不可。 【知识点二】二次根式的乘法与除法运算 1. 直接写出下列各式运算结果 （1） ； （2） ； （3） ； （4） 。 根据运算结果我们得到下列二次根式运算结果大小关系： （1） ；（2） ； （3） ； （4） 。 由运算结果我们得出：二次根式乘法也除法运算法则 ， 。 反过来，把以上运算法则左右两边进行交换，仍然成立，即 ， 。 【知识点三】最简二次根式与同类二次根式 1、 最简二次根式：一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫作最简二次根式。 2、 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式之后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式。 【特别说明】（1）化简二次根式时,通常要求最终结果中分母不含有根号,而且各个二次根式是最简二次根式；（2）掌握了同类二次根式，类似于合并同类项，我们就可以进行二次根式的加减运算。 【知识点四】分母有理化 分母有理化，是指通过适当的代数变形，把分母中含有二次根式的代数式，化为分母是有理数（不含根号） 的形式，同时保持整个代数式的值不变的过程，叫作分母有理化。 分母有理化的方法： 类型 1：分母是单项式根号：如； 类型 2：分母是含有根号的二项式： 【知识点五】二次根式的混合运算法则 二次根式的混合运算与整式混合运算法则相同，其运算步骤如下： 1、先乘方，再乘除，最后加减； 2、 有括号时，先算括号内的运算（先小括号，再中括号，最后大括号）； 3、 同级运算（只有乘除或只有加减），从左到右依次计算。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】二次根式的意义 【例题1】（25-26八年级下·江苏扬州·期末）若实数x、y同时满足，则的值为________． 【答案】/0.2 【分析】根据二次根式有意义的条件求出x的值，即可求出y的值，再计算即可． 解：根据题意得， 解得， ∴， ∴． 【变式1】（2026·贵州遵义·模拟预测）式子在实数范围内无意义，则的值可能是（     ） A． B． C．1 D．6 【答案】A 【分析】二次根式在实数范围内无意义时，被开方数为负数，据此求出x的取值范围，再结合选项判断即可． 解：∵式子在实数范围内无意义， ∴由题意得 ， 解得， 观察选项，只有，符合条件， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级下·广东湛江·期中）下列各式中，一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据二次根式的定义判断即可，二次根式需同时满足两个条件：根指数为2，被开方数为非负数． 解：二次根式的定义为形如的式子，据此逐一判断： ∵ 选项A中，可能为负数，不满足被开方数非负，∴ 不一定是二次根式； ∵ 选项B中根指数为2，被开方数，满足二次根式的定义，∴ 一定是二次根式． ∵ 选项C中根指数为3，属于三次根式，∴ 不是二次根式； ∵ 选项D中的被开方数，式子无意义，∴ 不是二次根式； 【变式3】（25-26八年级下·吉林松原·期中）问题情景：请认真阅读下列这道例题的解法并填空． （1）例：已知，求的值． 解：由得，_____，_____，_____； （2）尝试应用 若为实数，且，化简： （3）拓展创新 ①已知，求的值． ②已知实数，在数轴上的对应点如图所示，化简． 【答案】（1）2022，2023，；（2）1；（3）①；② 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件可求出x的值，从而得到y的值，即可求解； （2）根据二次根式有意义的条件可求出x的值，从而得到y的值，即可求解； （3）①根据二次根式有意义的条件可求出，从而得到，然后代入即可求解； ②由数轴得，得到，，然后化简求解即可． 解：（1）解：由得，， ∴， ∴； （2）解：由，得， ∴， ∴； （3）解：①由，得， ∴， ∴； ②由数轴得， ∴， ∴ ． 【题型 2】二次根式的乘除运算 【例题2】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）． （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法的运算法则是解题的关键． （1）（2）直接利用二次根式的乘除法运算法则计算即可得出答案． 解：（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式1】（24-25八年级上·湖北十堰·期末）下列计算错误的是：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了本题主要考查了二次根式的运算，解决本题的关键是根据二次根式的运算法则进行计算即可． 解：A选项：，故A选项正确； B选项：，故B选项正确； C选项：，故C选项错误； D选项：，故D选项正确． 故选：C ． 【变式2】（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）计算：______． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的乘除法运算，按顺序计算即可，熟知相关计算法则是解题的关键． 解：， 故答案为：2． 【变式3】（25-26八年级上·全国·单元测试）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式的化简运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先运算乘法，然后化简二次根式即可； （2）先运算二次根式的乘除法，然后化为最简二次根式即可． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型 3】最简二次根式与同类二次根式 【例题3】（24-25八年级下·山东泰安·阶段检测）已知二次根式． （1）求使得该二次根式有意义的的取值范围； （2）已知是最简二次根式，且与可以合并．求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，最简二次根式和同类二次根式的定义，熟知二次根式的相关知识是解题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于进行求解即可； （2）根据最简根式和同类二次根式的定义可得，解方程即可得到答案． 解：（1）解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：； （2）解：， ∵最简二次根式与可以合并， ∴， 解得：． 【变式1】（25-26八年级下·江苏常州·阶段检测）下列二次根式中，最简二次根式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简二次根式的定义，即满足被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，逐个判断选项即可得到答案． 解：对于选项A，满足上述两个条件， 是最简二次根式； 对于选项B，，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式 对于选项C，，被开方数能开得尽方，不是最简二次根式， 对于选项D，，原根式分母含二次根式，不是最简二次根式． 【变式2】（25-26八年级下·甘肃平凉·期中）与最简二次根式是同类二次根式，则__________． 【答案】 【分析】根据同类二次根式的定义可得，即可求解． 解：∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·甘肃陇南·阶段检测）计算：． 【答案】 【分析】先根据二次根式的性质化简，然后再算二次根式的加减即可. 解：原式 . 【题型 4】二次根式的加减运算 【例题4】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 解：（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式1】（24-25八年级下·全国·课后作业）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式的加减运算法则是解题的关键． 根据二次根式的加减运算是合并同类二次根式，合并时系数相加减，被开方数不变，据此逐一判断选项即可． 解：A、与被开方数不同，不是同类二次根式，不能合并，故选项不符合题意； B、与被开方数不同，不是同类二次根式，不能合并，故选项不符合题意； C、3与不是同类二次根式，不能合并，故选项不符合题意； D、，故选项符合题意． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·单元复习）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的加减运算，解题关键是掌握同类二次根式的定义及二次根式的化简与合并法则，即只有同类二次根式（被开方数相同的最简二次根式）才能合并，合并时系数相加减，被开方数不变． 先判断是否是同类二次根式，再判断计算是否正确即可． 解：A：与被开方数不同，不是同类二次根式，无法合并，A错误； B：，与被开方数不同，不是同类二次根式，无法合并，B错误； C：，，则，C错误； D：，，则，D正确； 故选：D． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： （1）； （2）． 【答案】（1）0；（2） 【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算，二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，再运算乘法，最后运算减法，即可作答． （2）先根据二次根式的性质化简，再运算乘法，去括号，最后运算加减法，即可作答． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【题型 5】分母有理化 【例题5】（25-26八年级上·全国·课后作业）化简． 解：． 请回答下列问题： （1）归纳：请直接写出下列各式的结果 ①________； ②________． （2）应用：化简． 【答案】（1）①，②；（2） 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，分母有理化，准确熟练的进行计算是解题的关键． （1）利用分母有理化进行计算即可； （2）先进行分母有理化，然后进行计算即可得到答案； 解：（1）解：①； ② （2）解：原式 ． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）将分母有理化的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了分母有理化，熟练掌握二次根式运算法则是解本题的关键． 通过分子分母同时乘以 ，消除分母中的根号，实现分母有理化． 解：， ∴ 分母有理化的结果为， 故选： A． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，则________． 【答案】0 解：， ． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了分母有理化， （1）分子和分母都乘以，再根据平方差公式计算； （2）分子和分母都乘以，再根据平方差公式和完全平方公式计算． 解：（1）解：原式； （2）解：原式． 【题型 6】二次根式的混合运算 【例题6】（25-26八年级下·全国·周测）计算： （1）． （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先根据完全平方公式，二次根式的除法计算，再算加减法即可； （2）先根据二次根式的乘法法则、平方差公式计算，再算加减法即可． 解：（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算， 对于（1），先分母有理化，再通分合并； 对于（2），先分母有理化，再通分计算． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式2】（25-26八年级上·山西运城·期中）计算 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 （1）把二次根式的除法法则公式补充完整，_________（，）； （2）从第_________步开始出现错误； （3）请写出正确的计算过程． 【答案】（1）；（2）一；（3）见分析 【分析】本题考查二次根式的混合运算，二次根式的性质． （1）根据二次根式的除法运算法则进行分析； （2）第一步错误； （3）原式先化简二次根式，然后算除法，再算加减法． 解：（1）解：， 故答案为：； （2）解：第一步开始出现了错误，分母只有一个； 故答案为：一； （3）解： ． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（）利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可； （）利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并即可； 本题考查了二次根式的加减和混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型 7】二次根式的化简求值 【例题7】（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）已知，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）4；（2）13 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先进行分母有理化，得，，故，，然后代入进行计算，即可作答． （2）把，代入进行计算，即可作答． 解：（1）解：依题意，，， 则，． ∴． （2）解：由（1）得，， ∴． 【变式1】（24-25八年级下·广西玉林·期中）若，则代数式的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式、代数式求值等知识点，根据分母有理化化简成为解题的关键． 由完全平方公式可得，再代入计算即可． 解：当时 ． 故选C． 【变式2】（24-25九年级上·甘肃武威·期末）已知，则=__________ 【答案】9 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，正确对所求的代数式进行变形是解题的关键． 将原式通过配方法转化为完全平方式的形式，然后利用已知条件代入求值． 解：∵，， ∴原式． 故答案为：9． 【变式3】（25-26八年级下·安徽六安·期中）已知． （1）求和的值； （2）利用（1）的结论求的值． 【答案】（1）4，1；（2）98 【分析】（1）直接把分别代入和计算， （2）由（1）得，再代入计算，即可作答． 解：（1）解：依题意， ． 则 ． （2）解：由（1）得， 三.经典题型精析（综合提升） 【题型 8】二次根式的大小比较 【例题8】（25-26八年级下·湖北孝感·期中）阅读下面的材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 例如：， 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小． 例如：比较和的大小． 解：，， ∵， ∴． （1）对二次根式进行“分子有理化”； （2）比较和的大小． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（）利用题干中的方法将分子有理化即可； （）利用题干中的方法先将它们分子有理化，通过比较倒数的大小得出结论． 解：（1）解： ； （2）解： ， ， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·湖南永州·期中）已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，将各数变形为，，，再结合即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：，，， ∵， ∴， 故选：D． 【变式2】（25-26九年级下·湖南衡阳·自主招生）已知，，则a与b的大小关系为________． 【答案】/ 【分析】可求出，比较出与的大小，即可得到与的大小关系，进而可得答案． 解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·福建莆田·期中）已知， 若，则；若，则；若，则 若，则；若，则；若，则． 若，则；若，则；若，则 （1）试比较：与大小关系 （2）试比较：与大小关系 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）求出的结果即可得到答案； （2）可求出，，根据即可得到结论． 解：（1）解：， ； （2）解：， ， 又 ， ∴． 【题型 9】新定义下实数的运算 【例题9】（2026·河北张家口·二模）淇淇和老师玩计算游戏，规定给出实数数对时，根据公式来计算．例如：给出实数数对时，计算结果为． （1）老师给出实数数对，淇淇计算如下： ……第一步 ……第二步 ．……第三步 淇淇上述计算过程中，第__________步开始出错，正确结果为__________． （2）若实数数对为，请根据公式计算出对应的结果． 【答案】（1）二；20；（2） 【分析】（1）根据混合运算求解即可． （2）根据混合运算求解即可． 解：（1）解：给出实数数对，计算如下： ． （2）解：实数数对为，计算如下： ． 【变式1】（25-26七年级下·广西北海·期中）用“”表示一种新运算：对于任意正实数，都有，如，则的结果是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 解：根据题中的新定义得： ． 【变式2】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）对任意两个实数，定义一种运算：，例如：，那么_________． 【答案】 【分析】根据新定义的运算规则，按照运算顺序先计算括号内的部分，再计算括号外的部分，先比较各数大小，再根据运算规则取对应值即可得到结果． 解：， ，，，， ， ． 【变式3】（25-26八年级下·河北唐山·期中）定义两种新运算，规定：，，其中，为实数，且． （1）求的值． （2）求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据新定义列式，利用平方差公式计算即可； （2）根据新定义列式，利用完全平方公式展开，合并同类二次根式计算即可． 解：（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：∵，， ∴ ． 【题型 10】与实数运算的有关规律探究 【例题10】（25-26八年级下·广西南宁·期中）细心观察图形，认真分析各式，然后解答下面问题： ，（是的面积）； ，（是的面积）； ，（是的面积）；…… （1）请你直接写出_________，_________； （2）请用含有n（n为正整数）的式子填空：_________，_________． （3）我们已经知道，因此将分子、分母同时乘以，分母就变成了4，请仿照这种方法求的值． 【答案】（1）7，；（2）n，；（3）88 【分析】（1）结合图形及已知的、、及面积，即可求解； （2）结合图形及已知的、、及面积找出规律，即可求解； （3）原式化为，仿照已知的方法求解即可． 解：（1）解：，． （2）解：，． （3）解：原式 ． 【变式1】（25-26八年级下·湖北恩施·期中）将1，，，按下列规律排列，若规定表示第m排从左至右第n个数，例如，表示．那么，表示和的数的积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图可知，第排有个数，以、、、四个数字为一组进行循环，前排共有个数字，进而确定与的数字，求积即可． 解：由图可知：第一排： 1 个数，第二排 2 个数，第三排 3 个数，第四排 4 个数，第排有个数，从第一排到第排共有：个数，且每四个数一个循环，表示第排第5个数， ∵前4排共有个数， ∴为第个数， ， ∴表示的数是； ∵表示第10排第8个数即第53个数， ， ∴表示的数为， ∴表示和的数的积是； 【变式2】（2026·安徽阜阳·一模）对于实数，在它的允许取值范围内，经过第1次变换可得，经过第2次变换可得，经过第3次变换可得，…，以此类推． （1）当时，______； （2）当时，______． 【答案】 2 / 【分析】（1）根据给定的变换规则，先计算再计算即可； （2）先计算前几次变换的结果，归纳得到循环周期，再根据总项数和周期计算总和． 解：（1）当时，， ； （2）当时， ， ， ， 因此结果每3个数为一个循环周期， 一个周期内的和为， ， ． 【变式3】（25-26八年级下·安徽六安·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ……按照以上规律，解决下列问题． （1）写出第5个等式：______________；第个等式：________________；（用含的等式表示） （2）请用（1）中你发现的规律计算：． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）观察3个等式得出第5个等式和第个等式； （2）根据，计算求解即可． 解：（1）解：第5个等式：， 第个等式：； （2）解： ． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·宁夏吴忠·期中）下列各式是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二次根式的定义为：形如的式子叫做二次根式，需同时满足根指数为2、被开方数为非负数两个条件． 解：A、的被开方数，无意义，不是二次根式； B、的根指数为2，被开方数，符合二次根式定义，是二次根式； C、中的取值不确定，当时不是二次根式，不符合要求； D、的根指数为3，属于三次根式，不是二次根式． 2．（25-26八年级下·安徽六安·阶段检测）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的运算法则和性质，逐一计算各选项即可判断正误． 解：A、，故原计算正确； B、，故原计算错误； C、，故原计算错误； D、与不是同类二次根式，不能直接合并相加，故原计算错误． 3．（25-26八年级下·陕西榆林·期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，根据定义逐一判断选项即可． 解：A．，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； B．，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C．，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； D．满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式，符合题意． 4．（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 解：A、，原运算错误，不符合题意； B、，原运算错误，不符合题意； C、，原运算错误，不符合题意； D、，原运算正确，符合题意. 5．（25-26八年级下·河北廊坊·阶段检测）为使算式的计算结果为有理数，则“□”中应填写的运算符号是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用完全平方公式展开，再分别代入不同运算符号计算，根据结果是否为有理数做出判断即可. 解： 对各选项分别验证： A 、填时，，是有理数，符合题意； B 、填时，，是无理数，不符合题意； C、填时，，是无理数，不符合题意； D、填时，，是无理数，不符合题意； 6．（25-26八年级下·北京·期中）下列二次根式，能与合并的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】能与合并的二次根式是同类二次根式，同类二次根式的定义为化简后被开方数相同的二次根式，只需将各选项化简，判断被开方数是否为3即可得到结果． 解：对于选项A：与不是同类二次根式，不能合并，故A错误； 对于选项B：与不是同类二次根式，不能合并，故B错误； 对于选项C：是整数，与不是同类二次根式，不能合并，故C错误； 对于选项D：，与是同类二次根式，能合并，故D正确． 7．（2026·河北沧州·二模）和相乘后得正有理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，利用平方差公式可简化计算，只需将各选项与相乘，判断结果是否为正有理数即可得到答案． 解：选项A∶ ，结果是无理数，不符合要求． 选项B∶ ，结果是无理数，不符合要求． 选项C∶ ，结果是负有理数，不符合要求． 选项D∶ ，是正有理数，符合要求． 8．（24-25八年级下·山东德州·开学考试）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质，由，则，所以，从而可得，然后求解即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 解：∵， ∴， ∴， ∴，解得， 故选：． 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，则代数式的值为（    ） A．25 B． C．3 D．5 【答案】D 【分析】本题需要先求出与的值，再将代数式进行变形，转化为含有与的形式，最后代入求值． 解： = 故答案选：D． 【点拨】本题考查了二次根式的化简求值以及完全平方公式、平方差公式的应用，掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． 10．（25-26八年级下·四川绵阳·期中）如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成的正方形的面积是75， ，图中空白的地方是一个正方形，则这个小正方形的面积为（　　） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】通过正方形的面积求出边长为，根据图形之间的联系求出空白小正方形的边长，即可求解． 解：∵正方形的面积是75， ∴， ∵， ∴， ∴空白小正方形的边长， ∴这个小正方形的面积为． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2025·上海杨浦·一模）__________ 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质化简，根据，即可作答． 解：依题意，， 故答案为：． 12．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）分母有理化：________． 【答案】 【分析】找出原式分母的有理化因式，将分子与分母同乘该有理化因式，再利用平方差公式化简分母，整理后得到结果． 解： ． 13．（2026·湖南长沙·二模）要使式子有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 解：根据二次根式的性质，二次根式有意义要求被开方数为非负数，因此可得：， 解不等式得：． 14．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期中）比较大小：________． 【答案】＞ 【分析】因为 ，，所以，，从而得到． 解：因为， 所以． 因为， 所以， 所以． 15．（25-26七年级下·江西上饶·期中）规定新运算：，其中a，b为实数，则________． 【答案】 解：由题意得：， ∴． 16．（25-26八年级上·重庆开州·期中）______． 【答案】 【分析】本题考查平方根和绝对值等实数的运算，先计算平方根与绝对值，最后进行实数的加减运算． 解：． 故答案为：． 17．（2025·河北邯郸·二模）有三根长度分别为的木棒，已知为整数，若这三根木棒能围成三角形，则的值为_____． 【答案】2 【分析】本题主要考查了实数的运算，无理数的估算，三角形三边关系的应用，三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此可得，再证明即可得到答案． 解：由三角形的三边关系可知，，即． ∵， ∴， ，且， ∴， ∴， 为整数， 的值为2， 故答案为：2． 18．（23-24八年级下·山东聊城·期中）将1，，，按右侧方式排列．若规定表示第m排从左向右第n个数，则与表示的两数之积是________． 【答案】 【分析】根据题中所给排列方式，求出与表示的数，再相乘即可解决问题． 解：由题知， 因为第1排有1个数，第2排有2个数，第3排有3个数，， 所以第排有个数， 则前排数的总个数为：； 当时， ， 即前9排数的总个数为45， 所以第10排第一个数是的总第46个数， 又因为， 所以表示的数为； 当时， ， 即前14排数的总个数为105， 又因为， 所以表示的数为； 即与表示的两数之积为． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）计算题： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据二次根式的乘除运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式的加减运算法则进行计算即可． 解：（1）解：， ， ， ， ． （2）解： ， ， ． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级下·重庆·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·安徽淮南·阶段检测）已知，求下列代数式的值． （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先求解，，再结合因式分解可得答案； （2）先求解，结合完全平方公式的变形求解即可． 解：（1）解：， ，， ． （2）解：， ， ． 22．（本小题满分10分）（2026·广东佛山·三模）以下是小军同学的根式运算过程： 计算： 解：原式第①步 第②步 第③步 上述解答过程，第几步首次出错？错误的原因是什么？写出正确的计算过程． 【答案】从第①步首次出错；错因是平方差公式运用错误； 正确过程如下：                               ． 解：略 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·浙江金华·期中）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）化简： （2）若． ①求的值． ②直接写出代数式的值 ； ． 【答案】（1）；（2）①；，2025 【分析】（1）先分母有理化，然后再进行二次根式的运算即可； （2）①由题意易得，则，然后可得，进而代入求解即可； ②由①及根据整体思想可进行求解． 解：（1）解：原式 ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ①； ② ； ． 24．（本小题满分12分）（23-24九年级上·河南驻马店·阶段检测）张老师善于对教材习题进行迁移拓展，帮助同学们形成整体的、发展的数学思维．某道教材习题题目为：“要使有意义，求a的值”，张老师根据此题整合所学知识形成了一道探究题，请你解答． （1）问题情境 例：已知，求的值． 解：由，得______，______，______； （2）探究迁移 若x，y为实数，且，计算：； （3）拓展应用 已知，求的值． 【答案】（1）2023；2024；；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中被开方数的取值范围：二次根式中的被开方数是非负数． （1）解不等式组即可求出x、y及的值； （2）根据例题的解法，列出不等式组，即可求得，，进而化简代数式求值即可； （3）根据例题的解法，列出不等式组，即可求得，，进而求出即可． 解：（1）解：∵， ∴， 解得：， ∴，； （2）解：由， 解得:，， ∴ ； （3）解：由， 得，， ∵， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第3讲）——二次根式 （知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】二次根式定义 2 【知识点二】二次根式的乘法与除法运算 2 【知识点三】最简二次根式与同类二次根式 2 【知识点四】分母有理化 3 【知识点五】二次根式的混合运算法则 3 二.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】二次根式的意义 3 【题型 2】二次根式的乘除运算 4 【题型 3】最简二次根式与同类二次根式 4 【题型 4】二次根式的加减运算 5 【题型 5】分母有理化 5 【题型 6】二次根式的混合运算 6 【题型 7】二次根式的化简求值 7 三.经典题型精析（综合提升） 7 【题型 8】二次根式的大小比较 7 【题型 9】新定义下实数的运算 8 【题型 10】与实数运算的有关规律探究 9 四.同步自测 10 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 10 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 12 一.教材知识梳理 【知识点一】二次根式定义 观察下列代数式:，，，，，（其中）。可以发现，这些式子我们在前面都已学习过,它们的共同特征是:都含有开方运算,并且被开方数都是非负数。 一般地，形如的式子叫作二次根式，叫作被开方数。 【特别说明】判断一个式子是不是二次根式，要同时看两点：① 有没有二次根号；② 根号内的被开方数是否，两点缺一不可。 【知识点二】二次根式的乘法与除法运算 1. 直接写出下列各式运算结果 （1） ； （2） ； （3） ； （4） 。 根据运算结果我们得到下列二次根式运算结果大小关系： （1） ；（2） ； （3） ； （4） 。 由运算结果我们得出：二次根式乘法也除法运算法则 ， 。 反过来，把以上运算法则左右两边进行交换，仍然成立，即 ， 。 【知识点三】最简二次根式与同类二次根式 1、 最简二次根式：一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫作最简二次根式。 2、 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式之后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式。 【特别说明】（1）化简二次根式时,通常要求最终结果中分母不含有根号,而且各个二次根式是最简二次根式；（2）掌握了同类二次根式，类似于合并同类项，我们就可以进行二次根式的加减运算。 【知识点四】分母有理化 分母有理化，是指通过适当的代数变形，把分母中含有二次根式的代数式，化为分母是有理数（不含根号） 的形式，同时保持整个代数式的值不变的过程，叫作分母有理化。 分母有理化的方法： 类型 1：分母是单项式根号：如； 类型 2：分母是含有根号的二项式： 【知识点五】二次根式的混合运算法则 二次根式的混合运算与整式混合运算法则相同，其运算步骤如下： 1、先乘方，再乘除，最后加减； 2、 有括号时，先算括号内的运算（先小括号，再中括号，最后大括号）； 3、 同级运算（只有乘除或只有加减），从左到右依次计算。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】二次根式的意义 【例题1】（25-26八年级下·江苏扬州·期末）若实数x、y同时满足，则的值为________． 【变式1】（2026·贵州遵义·模拟预测）式子在实数范围内无意义，则的值可能是（     ） A． B． C．1 D．6 【变式2】（25-26八年级下·广东湛江·期中）下列各式中，一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级下·吉林松原·期中）问题情景：请认真阅读下列这道例题的解法并填空． （1）例：已知，求的值． 解：由得，_____，_____，_____； （2）尝试应用 若为实数，且，化简： （3）拓展创新 ①已知，求的值． ②已知实数，在数轴上的对应点如图所示，化简． 【题型 2】二次根式的乘除运算 【例题2】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）． （2）． 【变式1】（24-25八年级上·湖北十堰·期末）下列计算错误的是：（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）计算：______． 【变式3】（25-26八年级上·全国·单元测试）计算： （1）； （2）． 【题型 3】最简二次根式与同类二次根式 【例题3】（24-25八年级下·山东泰安·阶段检测）已知二次根式． （1）求使得该二次根式有意义的的取值范围； （2）已知是最简二次根式，且与可以合并．求的值． 【变式1】（25-26八年级下·江苏常州·阶段检测）下列二次根式中，最简二次根式是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·甘肃平凉·期中）与最简二次根式是同类二次根式，则__________． 【变式3】（25-26八年级下·甘肃陇南·阶段检测）计算：． 【题型 4】二次根式的加减运算 【例题4】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【变式1】（24-25八年级下·全国·课后作业）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·单元复习）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： （1）； （2）． 【题型 5】分母有理化 【例题5】（25-26八年级上·全国·课后作业）化简． 解：． 请回答下列问题： （1）归纳：请直接写出下列各式的结果 ①________； ②________． （2）应用：化简． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）将分母有理化的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： （1）； （2）． 【题型 6】二次根式的混合运算 【例题6】（25-26八年级下·全国·周测）计算： （1）． （2）． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： （1）； （2）． 【变式2】（25-26八年级上·山西运城·期中）计算 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 （1）把二次根式的除法法则公式补充完整，_________（，）； （2）从第_________步开始出现错误； （3）请写出正确的计算过程． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： （1） （2） 【题型 7】二次根式的化简求值 【例题7】（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）已知，． （1）求的值； （2）求的值． 【变式1】（24-25八年级下·广西玉林·期中）若，则代数式的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D． 【变式2】（24-25九年级上·甘肃武威·期末）已知，则=__________ 【变式3】（25-26八年级下·安徽六安·期中）已知． （1）求和的值； （2）利用（1）的结论求的值． 三.经典题型精析（综合提升） 【题型 8】二次根式的大小比较 【例题8】（25-26八年级下·湖北孝感·期中）阅读下面的材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 例如：， 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小． 例如：比较和的大小． 解：，， ∵， ∴． （1）对二次根式进行“分子有理化”； （2）比较和的大小． 【变式1】（25-26八年级上·湖南永州·期中）已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级下·湖南衡阳·自主招生）已知，，则a与b的大小关系为________． 【变式3】（25-26八年级下·福建莆田·期中）已知， 若，则；若，则；若，则 若，则；若，则；若，则． 若，则；若，则；若，则 （1）试比较：与大小关系 （2）试比较：与大小关系 【题型 9】新定义下实数的运算 【例题9】（2026·河北张家口·二模）淇淇和老师玩计算游戏，规定给出实数数对时，根据公式来计算．例如：给出实数数对时，计算结果为． （1）老师给出实数数对，淇淇计算如下： ……第一步 ……第二步 ．……第三步 淇淇上述计算过程中，第__________步开始出错，正确结果为__________． （2）若实数数对为，请根据公式计算出对应的结果． 【变式1】（25-26七年级下·广西北海·期中）用“”表示一种新运算：对于任意正实数，都有，如，则的结果是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）对任意两个实数，定义一种运算：，例如：，那么_________． 【变式3】（25-26八年级下·河北唐山·期中）定义两种新运算，规定：，，其中，为实数，且． （1）求的值． （2）求的值． 【题型 10】与实数运算的有关规律探究 【例题10】（25-26八年级下·广西南宁·期中）细心观察图形，认真分析各式，然后解答下面问题： ，（是的面积）； ，（是的面积）； ，（是的面积）；…… （1）请你直接写出_________，_________； （2）请用含有n（n为正整数）的式子填空：_________，_________． （3）我们已经知道，因此将分子、分母同时乘以，分母就变成了4，请仿照这种方法求的值． 【变式1】（25-26八年级下·湖北恩施·期中）将1，，，按下列规律排列，若规定表示第m排从左至右第n个数，例如，表示．那么，表示和的数的积是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·安徽阜阳·一模）对于实数，在它的允许取值范围内，经过第1次变换可得，经过第2次变换可得，经过第3次变换可得，…，以此类推． （1）当时，______； （2）当时，______． 【变式3】（25-26八年级下·安徽六安·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ……按照以上规律，解决下列问题． （1）写出第5个等式：______________；第个等式：________________；（用含的等式表示） （2）请用（1）中你发现的规律计算：． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·宁夏吴忠·期中）下列各式是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·安徽六安·阶段检测）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·陕西榆林·期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·河北廊坊·阶段检测）为使算式的计算结果为有理数，则“□”中应填写的运算符号是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·北京·期中）下列二次根式，能与合并的是（     ） A． B． C． D． 7．（2026·河北沧州·二模）和相乘后得正有理数的是（     ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·山东德州·开学考试）若，则（    ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，则代数式的值为（    ） A．25 B． C．3 D．5 10．（25-26八年级下·四川绵阳·期中）如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成的正方形的面积是75， ，图中空白的地方是一个正方形，则这个小正方形的面积为（　　） A． B． C． D．5 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2025·上海杨浦·一模）__________ 12．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）分母有理化：________． 13．（2026·湖南长沙·二模）要使式子有意义，则x的取值范围是______． 14．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期中）比较大小：________． 15．（25-26七年级下·江西上饶·期中）规定新运算：，其中a，b为实数，则________． 16．（25-26八年级上·重庆开州·期中）______． 17．（2025·河北邯郸·二模）有三根长度分别为的木棒，已知为整数，若这三根木棒能围成三角形，则的值为_____． 18．（23-24八年级下·山东聊城·期中）将1，，，按右侧方式排列．若规定表示第m排从左向右第n个数，则与表示的两数之积是________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）计算题： （1）； （2）． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级下·重庆·期中）计算： （1）； （2）． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·安徽淮南·阶段检测）已知，求下列代数式的值． （1）； （2）． 22．（本小题满分10分）（2026·广东佛山·三模）以下是小军同学的根式运算过程： 计算： 解：原式第①步 第②步 第③步 上述解答过程，第几步首次出错？错误的原因是什么？写出正确的计算过程． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·浙江金华·期中）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）化简： （2）若． ①求的值． ②直接写出代数式的值 ； ． 24．（本小题满分12分）（23-24九年级上·河南驻马店·阶段检测）张老师善于对教材习题进行迁移拓展，帮助同学们形成整体的、发展的数学思维．某道教材习题题目为：“要使有意义，求a的值”，张老师根据此题整合所学知识形成了一道探究题，请你解答． （1）问题情境 例：已知，求的值． 解：由，得______，______，______； （2）探究迁移 若x，y为实数，且，计算：； （3）拓展应用 已知，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $