第15讲 一次函数的应用（7类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）新八年级数学新教材北师大版

第15讲 一次函数的应用 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 一次函数的应用之分配方案问题 题型2 一次函数的应用之最大利润问题 题型3 一次函数的应用之行程问题 题型4 一次函数的应用之几何问题 题型5 一次函数的应用之梯度计费问题 题型6 已知直线与坐标轴交点求方程的解 题型7 利用图象法解一元一次方程 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 一次函数应用、待定系数法、图象法、方程与不等式、建模、数形结合。 1. 能根据实际问题中的条件，确定一次函数的表达式（待定系数法）。 2. 能利用一次函数的图象和性质，解决简单的实际问题（如行程、方案选择、费用等）。 3. 理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，能利用图象解方程和不等式。 4. 经历“问题—建模—求解—检验”的过程，体会数形结合与数学建模思想，提升应用能力。 学习重点：用待定系数法求一次函数的表达式，以及利用一次函数解决实际问题。 学习难点：准确从实际问题中提取信息建立函数模型，理解函数、方程、不等式三者之间的内在联系，并能灵活转化。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 一次函数的实际应用 1）数学建模的一般思路 数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 2）正确认识实际问题的应用 在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解. 注：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点. 3）选择最简方案问题 分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 【易错提醒】 一次函数实际应用易错警示：审清题意，正确设变量。注意自变量取值范围（如时间、数量非负）。求最值时，若为分段函数需比较各段。单位统一，结果要符合实际意义（如人数取整数），勿忽略端点。 即时即练1．在期中考试总结会议上，学校决定购买A，B两种奖品共120件，对表现优异的学生进行奖励．已知A种奖品的价格为32元/件，B种奖品的价格为15元/件． (1)请直接写出购买两种奖品的总费用y（元）与购买A种奖品的数量x（件）之间的关系式； (2)当购买了30件A种奖品时，总费用是多少元？ (3)若购买的A种奖品不多于50件，则总费用最多是多少元？ 【答案】(1)； (2)2310元； (3)总费用最多是2650元． 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，理解题意，确定函数关系式是解本题的关键； （1）由总费用等于购买两种奖品的费用之和建立函数关系式即可； （2）把代入（1）中的解析式计算即可； （3）利用一次函数的性质解答即可； 【详解】（1）解：根据题意，得： ， 即购买两种奖品的总费用y（元）与购买A种奖品的数量x（件）之间的关系式为； （2）当时，， 答：当购买了30件A种奖品时，总费用是2310元； （3）由题意，得， 由（1）可知为， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值为， 答：若购买的A种奖品不多于50件，则总费用最多是2650元． 2．某建筑公司现有，两工地需要租车运土，工地需要12台，工地需要18台；租车公司现有甲型车10台，乙型车20台可供选择，每天租金价格如右表． 甲型车租金 乙型车租金 工地 800元/台 600元/台 工地 600元/台 300元/台 (1)设工地租甲型车台，租乙型车______台；则工地租甲型车______台，租乙型车______台（用含的式子表示）． (2)设该公司每天的总租金为元，请求出与的函数解析式并写出的取值范围． (3)在（2）条件下，公司如何租车才能使得每天总租金最少？最少租金是多少？请说明理由． 【答案】(1)；； (2) (3)工地租甲型车10台，租乙型车2台；则工地租乙型车18台，才能使得每天总租金，最少租金是14600元 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、用代数式表示式 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用： （1）根据A，B两工地租车方案，即可求解； （2）根据租金等于每天的租金价格乘以车的数量，列出函数的关系式，即可求解； （3）根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设工地租甲型车台，租乙型车台；则工地租甲型车台，租乙型车台； 故答案为：；； （2）解：， 即与的函数解析式为； （3）解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵， 当时，y取得最小值，最小值为14600， 即工地租甲型车10台，租乙型车2台；则工地租乙型车18台，才能使得每天总租金，最少租金是14600元． 知识点02 一元一次方程与一次函数的关系 1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0 2）一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解； y=0时x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解. 【易错提醒】 一元一次方程与一次函数关系易错警示：方程ax+b=0的解是一次函数y=ax+b图象与x轴交点的横坐标。注意：方程的解是x值，交点坐标是(x,0)。勿将纵坐标当作解，也不可混淆“解”与“交点”。 即时即练1．如图，一次函数的图象与轴的交点坐标为，则下列说法：①，；②随的增大而减小；③关于的一元一次方程的解为；④当时，．其中正确的是（    ） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 【答案】B 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、判断一次函数的增减性 【分析】本题考查一次函数的图像与性质、一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数图像和性质，利用数形结合的思想解答是解题关键．根据一次函数图像所在象限及与坐标轴的交点可判断①②错误，③正确，根据一次函数图像在轴上方时与轴交点横坐标可判断④正确，综上即可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过一、二、三象限， ∴，，随的增大而增大，故①②错误， ∵一次函数与轴交于点， ∴关于的一元一次方程的解为，当时，，故③④正确， 故选：B． 题型1 一次函数的应用之分配方案问题 【例1】A城有肥料，B城有肥料．现要把这些肥料全部运往C，D两乡．从A城往C，D两乡运肥料的费用分别为元/t和元/t；从B城往C，D两乡运肥料的费用分别为元/t和元/t．现C乡需要肥料，D乡需要肥料， (1)设从A城调运x吨肥料到C乡（），补充完整下列表格 A地 B地 C地 x ② D地 ① ③ ①     ②     ③ (2)怎样调运，可使总运费最少？请写出具体方案及计算过程 【答案】(1)①；②；③ (2)从A城乡运往C乡吨，运往D乡0吨；从B城运往C乡吨，运往D乡吨，此时总运费最少为元 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据表格结合题意求解即可； （2）先求出运费关于的函数关系式，再由一次函数的性质分析求解． 【详解】（1）解：由题意得A地向D地调运，则乡还需要，则地调运到C地，则地剩余调运到D地， 故答案为：①；②；③； （2）解：设总运费为y元，由题意得： （）， ∵在函数中，， ∴y随x的增大而减小， ∴时，总运费y有最小值， 此时，，，， 答：从A城乡运往C乡吨，运往D乡0吨；从B城运往C乡吨，运往D乡吨，此时总运费最少，最小值为元． 【例2】“工欲善其事，必先利其器”．某校为开好劳动教育课准备购置一批劳动工具，学校与店主商量后，店主给出了以下两种购买方案（二选一）： 方案一劳动工具元件，运费元； 方案二劳动工具元件，免费送货上门． 若学校购买件劳动工具，按方案一购买的付款总金额为元，按方案二购买的付款总金额为元． (1)请分别写出与之间的函数解析式； (2)请你为该学校选择合适的购买方案． 【答案】(1)，； (2)当购买劳动工具少于件时，选择方案二；当购买劳动工具等于件时，两种方案均可；当购买劳动工具超过件时，选择方案一． 【分析】本题考查了一次函数的应用，读懂题意，列出函数关系式是解题的关键． （）根据题意列出函数关系式即可； （）令，即，解得，再分和进行分析即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：令，即， 解得：； 令，即，解得：； 令，即，解得：； ∴当购买劳动工具少于件时，选择方案二； 当购买劳动工具等于件时，两种方案均可； 当购买劳动工具超过件时，选择方案一． 【技巧归纳】 设两种方案的费用函数（一次函数），由自变量（数量）比较大小。求交点：令两式相等得临界值；选择：小于临界选一种，大于选另一种。注意定义域（正整数或范围）。也可列表格，代入典型值验证。常结合不等式。 【变式1-1】某化妆品公司每月付给销售人员的工资有两种方案．方案一：没有底薪，只拿销售提成；方案二：底薪加销售提成．设x（件）是销售商品的数量，y（元）是销售人员的月工资．如图，为方案一的函数图像，为方案二的函数图像．已知方案二中每件商品的销售提成比方案一少30元．根据图中信息解答下列问题（注：销售提成是指从销售每件商品得到的销售额中提取一定数量的费用）： (1)求对应的函数表达式． (2)方案二中每月付给销售人员的底薪是多少元？ (3)小李是该化妆品公司的销售人员，他选择哪种方案才能使月工资更多？ 【答案】(1) (2)方案二中每月付给销售人员的底薪是3600元 (3)当销售件数少于120时，选择方案二才能使月工资更多；当销售件数等于120时，选择两种方案所得到的月工资一样；当销售件数多于120时，选择方案一才能使月工资更多 【分析】（1）设对应的函数表达式为，由待定系数法就可以求出解析式； （2）由题意得方案二中每件商品的销售提成为元，设对应的函数表达式为，利用待定系数法求得，因此方案二中每月付给销售人员的底薪为3600元； （3）由建立方程，先求出两种工资方案所得到的工资数额相等时x的值，再观察图像即可得出销售方案． 【详解】（1）解：设对应的函数表达式为． 由题图，得， 解得， 对应的函数表达式为． （2）（2）方案二中每件商品的销售提成比方案一少30元， 设对应的函数表达式为． 把代入，得， 解得， 方案二中每月付给销售人员的底薪是3600元． （3）（3）由（1）知，．由（2）知，． 令，解得． 当销售数量为120件时，两种方案所得到的月工资相等． 由题图可得，当销售件数少于120时，选择方案二才能使月工资更多；当销售件数等于120时，选择两种方案所得到的月工资一样；当销售件数多于120时，选择方案一才能使月工资更多． 【变式1-2】某公司拟采购一批车辆，现面临传统燃油（汽油）车与氢能源车两种选型方案．该公司对两种车型在购置及整个生命周期使用过程中的费用进行了系统性分析：若总费用只受购车费用和行驶过程中燃料使用费用影响，其他因素忽略不计（即总费用=购车费用+行驶过程中燃料使用费用），调研信息如下： 设车辆行驶路程为（单位：万公里），总费用为（单位：万元） ①下表是调研中的两组数据： 车辆类型 传统燃油车 氢能源车 行驶路程（万公里） 10 10 总费用 23 28 ②两类车型各自的总费用与行驶路程的函数关系的图象如图所示，两函数图象交于点，且与轴分别交于点，点． 结合上述调研信息，回答问题： (1)传统燃油车购车费用是___________万元； (2)根据车辆行驶路程的变化，怎样选择车型使总费用较低． 【答案】(1) (2)当时，选传统燃油车总费用较低；当时，两种车总费用一样；当时，选氢能源车总费用较低 【分析】本题主要考查一次函数的运用，掌握待定系数法，一次函数图象的性质是关键． （1）根据两类车型各自的总费用与行驶路程的函数关系的图象， （2）运用待定系数法算出各自总费用与行驶路程的函数解析式，，当两种车总费用相等时，即，得到行驶路程，结合图形判定即可求解． 【详解】（1）解：，即当时，传统燃油车的总费用为万元，氢能源车的总费用为万元， ∴传统燃油车购车费用是万元； （2）解：设传统燃油车总费用与行驶路程的解析式为， 把代入得，， 解得，， ∴传统燃油车总费用与行驶路程的解析式为， 同理，设氢能源车总费用与行驶路程的解析式为， 把代入得，， 解得，， ∴氢能源车总费用与行驶路程的解析式为， 当时，， 解得，， ∴当时，选传统燃油车总费用较低； 当时，两种车总费用一样； 当时，选氢能源车总费用较低． 题型2 一次函数的应用之最大利润问题 【例3】“父亲节”即将来临，父亲的爱是伟大的！某花店购进康乃馨和玫瑰两种鲜花，康乃馨，玫瑰的进货单价分别为2元/枝、3元/枝，售价分别为8元/枝、6元/枝，某店主计划购进两种鲜花共300枝，其中康乃馨不大于200枝．设该花店计划购进康乃馨x枝，两种鲜花全部销售后可获利润y元． (1)求出y与x之间的函数关系式． (2)该花店如何进货才能获得最大利润？ 【答案】(1) (2)购进康乃馨200枝、玫瑰100枝时才能获得最大利润 【分析】（1）根据利润=销售康乃馨的利润+销售玫瑰的利润计算即可； （2）根据一次函数的增减性和x的取值范围计算即可． 本题考查一次函数的应用，写出y与x之间的函数关系式、掌握一次函数的增减性是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ∴y与x之间的函数关系式． （2）解：y与x之间的函数关系式，， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴当时y值最大， （枝）． 答：购进康乃馨200枝、玫瑰100枝时才能获得最大利润． 【例4】港务区苗木种植专业户老王承包了30亩地，分别种植柏树苗和松树苗，有关成本、销售额见下表： 种植种类 成本（万元/亩） 销售额（万元/亩） 柏树苗 2.4 3 松树苗 2 2.5 设种植柏树苗x亩，出售柏树苗和松树苗的总利润为y万元． (1)求y与x的函数表达式； (2)今年，他继续用这30亩地全部种柏树苗和松树苗，计划投入成本不超过70万元，若每亩的种植成本和销售额不变，他应如何安排种植才能获得最大收益？（收益＝销售额﹣成本） 【答案】(1) (2)他应该种植25亩柏树苗，种植5亩松树苗才能获得最大收益 【分析】本题考查了一次函数的应用，表示出与总收益的函数关系式，找出题中等量关系并列出方程是解题的关键． （1）设种植柏树苗x亩，则种植松树苗亩，根据收益=销售额-成本列出函数解析式； （2）根据总成本列出不等式求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性解答即可． 【详解】（1）解：设种植柏树苗x亩，则种植松树苗亩， ， ∴y与x的函数表达式为； （2）解：根据题意得，， 解得：， 由（1）知，， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，获得最大收益． 答：他应该种植25亩柏树苗，种植5亩松树苗才能获得最大收益． 【技巧归纳】 利润=单件利润×销量-固定成本，若均为一次关系则得一次函数。根据k符号判断：k>0，利润随销量增大而增大，取最大销量；k<0，取最小销量。注意自变量受实际限制（如库存、市场需求）。有时为分段函数。 【变式2-1】某商场计划用不超过1800元购进甲、乙两种不同品牌的水杯共50个，已知甲、乙两种品牌水杯的进价和售价如下表所示： 价格\品牌 甲品牌水杯 乙品牌水杯 进价（元/个） 40 30 售价（元/个） 50 35 设购进甲品牌水杯x个，两种品牌的水杯全部销售完后可获利y元． (1)写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)采用怎样的购进方案可以使获利最多，最多为多少? 【答案】(1)；且为整数 (2) 【分析】本题考查一次函数的实际应用，函数的区间最值问题，能够根据实际情况列出一次函数是解决本题的关键． （1）根据题意可知：总利润=甲品牌销售利润＋乙品牌销售利润，根据等量关系列出函数关系式即可； （2）根据计划用不超过1800元，计算出最多可购入的甲品牌数量，根据一次函数的增减性可计算出利润的最高值． 【详解】（1）解：由题意得； 与的函数关系式为:； 由题意得， 解得 ， ∴ 且为整数； （2）解：中， 随的增大而增大， 当时，y最大， 最大值为，此时， 当购进甲品牌30个，购进乙品牌20个时获利最多，最多为400元． 【变式2-2】“中国乳都”呼和浩特，以乳业为发展引擎，凭借优质乳业书写城市传奇、铸就辉煌．其中酸奶是深受大众喜爱的乳制饮品之一．某超市销售甲、乙两种品牌酸奶，结合以下材料解决问题． 内容 材料一 某超市销售甲、乙两种品牌的酸奶，甲种酸奶的进价为8元/罐；乙种酸奶的进货总金额（单位：元）与进货量（单位：罐）之间的关系如图所示，经过试销，甲、乙两种品牌酸奶的销售价分别为12元/罐和15元/罐． 材料二 某日，该超市销售甲、乙两种品牌的酸奶共800罐，其中乙种品牌的销售量不低于150罐，且不高于400罐． 任务一 （1）根据图像求出与的函数关系式． 任务二 （2）若购进的两种酸奶全部售完，设销售完甲、乙两种品牌的酸奶所获得的总利润为元，求出（单位：元）与乙种品牌酸奶的进货量（单位：罐）之间的函数关系式，并为该超市设计出获得最大利润的销售方案． 【答案】（1）（2），甲品牌酸奶的进货量为400罐，乙品牌酸奶的进货量为400罐时，获得的利润最大 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）设与的函数表达式为，代入即可求解； （2）设乙品牌酸奶的进货量罐，则甲品牌酸奶的进货量罐，用含的式子表示利润，根据一次函数的性质分析其最大值即可． 【详解】解：（1）依题意，设与的函数表达式为， 把代入解析式， 得， ∴与的函数表达式为； （2）依题意，乙品牌酸奶的进货量罐，则甲品牌酸奶的进货量罐， ∵乙品牌的收购量不低于150罐，且不高于400罐， ∴， 由（1）得， 则， ∵， ∴随的增大而增大， ∵， ∴当时，最大，最大值为元， （罐）， 即甲品牌酸奶的进货量为罐，乙品牌酸奶的进货量为罐时，获得的利润最大． 题型3 一次函数的应用之行程问题 【例5】汽车由南京驶往相距的上海，它的平均速度为． (1)写出汽车距上海的路程s（单位：）与行驶的时间t（单位：h）的函数关系式； (2)指出自变量t的取值范围； (3)当汽车行驶时，汽车距离上海多远？ 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，找出s与t的函数关系式． （1）根据汽车与上海的距离南京与上海的距离汽车的行驶时间速度列出函数关系式即可； （2）根据南京与上海的距离以及汽车行驶速度求出汽车到达上海所需的时间，结合实际意义进一步确定t的取值范围即可； （3）将代入（1）的函数关系式中进行计算，即可得出答案． 【详解】（1）解：． （2）解：∵， ∴t的取值范围是：． （3）解：当时，． 答：当汽车行驶时，汽车距离上海． 【例6】如图，甲、乙两人分别从同一公路上的A、B两地同时出发骑车前往C地，两人行驶的路程与甲行驶的时间之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题： (1)求甲在的时间段内的函数关系式； (2)在的时间段内，当为何值时甲、乙两人相距5千米． 【答案】(1) (2)当为3小时或5小时时甲、乙两人相距5千米 【分析】本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想和分类讨论的思想是解答本题的关键． （1）根据函数图象中的数据，可以计算出甲在的时间段内y与x之间的函数关系式； （2）根据题意，可知存在两种情况甲、乙两人相距5千米，然后分别计算出即可． 【详解】（1）解：设甲在时，y与x之间的函数关系式是， ∵点在该函数图象上， ， 解得， 即甲在时，y与x之间的函数关系式是； （2）解：设乙在时，y与x之间的函数关系式是， ∵点在函数图象上， ∴， 解得． 即乙在时，y与x之间的函数关系式是， 相遇之前两人相距，则， 解得． 相遇之后且甲到达C地之前相距，则， 解得． 答：当为3小时或5小时时甲、乙两人相距5千米． 【技巧归纳】 设时间t为自变量，路程s=vt+b（b为初始距离）。相遇时s甲=s乙，列方程求t。追及时路程差=初始距离。注意速度单位统一，方向：相向加，同向减。画线段图辅助，分段运动时需分段建立函数。 【变式3-1】一辆轿车从A地驶往B地，到达B地后立即返回A地，返回速度是原来的倍，往返共用t小时．一辆货车同时从A地驶往B地，速度是到达B地后停止．两车同时出发，匀速行驶，设轿车行驶的时间为，两车离开A地的距离为，轿车行驶过程中y与x之间的函数图象如图所示． (1)轿车从A地驶往B地的速度为 ， ； (2)在图中画出货车从A地行驶到B地的函数图象，并求货车从A地行驶到B地时y与x之间的函数关系式；（写出自变量取值范围） (3)当轿车从B地返回A地的途中与货车相遇时，求相遇处到A地的距离． 【答案】(1)80，5 (2)见解析， (3)相遇处到A地的距离为 【分析】本题主要考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，正确理解题意，根据图象得到做题所需信息是解题关键． （1）由图象可知，轿车从A地驶往B地一共行驶了，所用时间为，根据速度路程时间即可求出轿车从A地驶往B地的速度，根据图象即可得到t的值； （2）根据时间路程速度可求出货车到达B地所需时间，以此确定函数图象过和两点，根据路程速度时间即可写出y与x之间的函数关系式； （3）由题意可得轿车返回速度为，设a小时后，轿车从B地返回A地的途中与货车相遇，根据“货车走过的路程轿车从B地出发后的路程”列出方程，求得a，则相遇处到A地的距离就是货车走过的路程． 【详解】（1）解：由图象可知，轿车从A地驶往B地一共行驶了，所用时间为， ∴轿车从A地驶往B地的速度为， 由图象可知，轿车往返共用； 故答案为：80，5； （2）∵货车同时从A地驶往B地，速度是到达B地后停止， ∴货车到达B地所需时间为， ∴货车从A地行驶到B地的函数图象过和， ， 函数图象如图所示， （3）∵轿车返回速度是原来的倍， ∴轿车返回速度为， 设a小时后，轿车从B地返回A地的途中与货车相遇， 根据题意得：， 解得：， ∴相遇处到A地的距离为． 【变式3-2】如图①，一条直的公路上依次有A，B，C三个汽车站，，，一辆汽车上午8：00 从距离A站的P地出发，匀速向C站行驶，途中休息一段时间后，按原速继续前进，当到达B站时接到通知，要求中午12：00前到达C站．设汽车出发 后离A站，图②中折线表示接到通知前y与x之间的函数关系． (1)根据图象可知，接到通知前汽车行驶的速度为 ； (2)求线段 对应的函数表达式（不写自变量的取值范围）； (3)接到通知后，若汽车仍按照原来的速度行驶，则能否按时到达？如果不能按时到达，那么速度至少提高到多少可按时到达？请说明理由． 【答案】(1)80 (2) (3)不能，速度至少提高到，理由见解析 【分析】本题考查了函数图象，一次函数解析式，一次函数的应用，从图象中获取正确的信息是解题的关键 （1）由图象可知，休息前汽车行驶的路程为千米，时间为小时，根据速度路程时间解题． （2）先求出点G的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式即可； （3）由题意知，接到通知后，汽车仍按原速行驶，则全程总时间为小时，由，判断并求出速度即可． 【详解】（1）解：由图象可知，休息前汽车行驶的速度为：（千米/小时）． （2）解：休息后按原速度继续前进行驶的时间为：， 点的坐标为， 设线段所表示的与之间的函数关系式为， 则：，解得， 线段所表示的与的函数关系式为：． （3）解：若汽车按原速行驶，则不能按时到达，速度至少提高到 ． 理由如下：由（1），得接到通知前汽车行驶的速度为． 接到通知后，若汽车仍按照原来的速度行驶， 则行完全程所需时间为 ． 因为，且， 所以若汽车仍按照原来的速度行驶，则不能按时到达． 若要使其能按时到达，则速度至少提高到 ． 题型4 一次函数的应用之几何问题 【例7】如图，一次函数的图象与轴、轴分别相交于点，将该函数图象沿轴向下平移个单位长度得到新函数的图象，新图象与轴相交于点． (1)求点（用含的代数式表示）的坐标； (2)当的面积为时，求的值； (3)在的条件下，在轴上找一点，使得为等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)或或或 【分析】（1）分别把和代入一次函数中可求出点的坐标，把代入一次函数可求出点的坐标； （2）利用三角形面积公式解答即可求解； （3）由（2）可得，，再根据等腰三角形的定义分三种情况，利用勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）解：在中，令，得， ∴， 令，得， 解得， ， 平移后的表达式为中，令，得， 解得， ； （2）解：由（1）知，， ，， ， 的面积为， ∴； （3）解：由（2）知，，， ∴，， ， 当时，， 在中，由勾股定理得，， 点的坐标为或； 当时，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴点的坐标为或； 当时， ∵， ∴点不在轴上，此种情况不存在； 综上所述，点的坐标为或或或． 【例8】如图1，在中，，，动点P从A出发，沿着折线运动，速度为每秒1个单位长度，到达C点停止运动，设P点的运动时间为秒（），的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，如图2，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)若直线与的图象只有一个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)函数图象见解析，当时，的面积取得最大值 (3)或 【分析】（1）当时，，当时，由，，得，，设在中，边上的高为，由，得，即，化简得，，故； （2）先描点再连线，画出图象即可，注意空心点；性质：当时，的面积取得最大值；当时，的面积随点P运动的时间增大而增大；当时，的面积随点P运动的时间增大而减小；任选一条即可； （3）或，理由：由直线与的图象只有一个交点得，即当时，直线与只有一个交点，得；当时，直线与只有一个交点，得，故或． 【详解】（1）解：当时，， 如图，当时， ，，， ，， 设在中，边上的高为， ，， ， ，即， ； （2）解：函数图象如图， 性质：当时，的面积取得最大值；当时，的面积随点P运动的时间增大而增大；当时，的面积随点P运动的时间增大而减小； （3）解：或，理由如下： 直线与的图象只有一个交点，如图， 当时，，把代入直线得， 故当时，直线与的图象只有一个交点， 把代入直线得，把代入直线得， 故当时，直线与的图象只有一个交点， 若直线与的图象只有一个交点，或． 【技巧归纳】 将几何量（如面积、周长）表示成边长的一次函数。利用图形性质（矩形、三角形）列式，求最值时根据k的增减性取边界。注意自变量范围由几何约束决定（如边长>0）。若为动态几何，设时间t，用t表示边长再列函数。 【变式4-1】如图，直线：交x轴于点A，交y轴于点B，已知点． (1)如图，过点C作直线：． ①用含k的代数式表示b； ②若直线与线段有交点（不包含A，B两点），求k的取值范围； (2)平行于x轴的直线分别交，于D，E两点，点E在点D的右侧，点E的横坐标为m，若，且k，m均为整数，求m的值． 【答案】(1)①；②； (2)2或4或16或 【分析】（1）①代入点C的坐标，即可得到k与b的关系； ②先根据函数解析得到点A和点B的坐标，观察题目图象，可知当直线经过点A和点B时，k分别取得最大值和最小值，代入坐标求解即可； （2）由轴，可知的横坐标为，代入D和E的横坐标到对应的直线解析式，得到对应的纵坐标，令纵坐标相等求出m与k的关系，再根据k和m都为整数的条件，求整数解即可． 【详解】（1）解：①∵点在直线：上， ∴， ∴； ②∵直线：交x轴于点A，交y轴于点B， ∴，， 由①得， ∴直线：， 当直线：经过点时，，解得， 当直线：经过点时，，解得， ∴直线与线段有交点（不包含A，B两点）时，k的取值范围为； （2）解：∵平行于x轴的直线分别交，于D，E两点，点E在点D的右侧，点E的横坐标为m，， ∴设，， 又∵点D在直线上，点E在直线上， ∴，， ∴， ∴， ∵k，m均为整数， ∴， ∴m的值为2或4或16或． 【变式4-2】如图，直线分别交x轴，y轴于点A，B，过点A的另一条直线与y轴交于点N，点E是线段上的一个动点，点C为射线上一点． (1)求点A，B的坐标． (2)如图1，过点E作轴交直线于点F，设点E的横坐标为m． ①用含有m的式子表示线段的长； ②若的面积为S，求S与m之间的函数关系式； (3)把沿直线翻折得到． ①如图2，当点D在的内部时，连结并延长交于点P．若，求点P的坐标． ②如图3，点M为的中点，连结，当与x轴平行时，请直接写出的长． 【答案】(1)； (2)①；② (3)①；②5或20 【分析】（1）将，分别代入，即可求解； （2）①用含m的式子表示出点E，F的纵坐标，作差即可；②根据求解； （3）过点P作轴于点H，设点P的坐标为，由轴对称得，进而证明，推出，即可求解；②令直线交y轴于点N，根据求出点D坐标，有两种情况，一是点D在的内部，二是点D在的外部，分别用勾股定理解即可． 【详解】（1）解：， 当时，， 当时，， 解得， ，； （2）解：①点E的横坐标为m，点E是线段上的一个动点， ， 轴交直线于点F， ， 点E在点F上方， ； ② ， 即； （3）解：①如图，过点P作轴于点H，，交于点G， 点P在直线上， 设点P的坐标为， ，， 把沿直线翻折得到， ， ， ， 又， ， 又，， ， ， ， ， ， 解得， 点P的坐标为； ②令直线交y轴于点N， 与x轴平行， ， ，，点M为的中点， ， ， 设点， 由折叠得， ， 解得或， 当时，，点D在的内部，如图： 设，则，， 在中，， ， 解得， 即； 当时，，点D在的外部，如图： 同理，设，则，， 在中，， ， 解得， 即； 综上可得，的长为5或20． 题型5 一次函数的应用之梯度计费问题 【例9】某市出租车收费标准为，两公里付起步价9元，超过两公里但是不超过八公里的路程每公里付2元，超过八公里的路程每公里付3元（不足一公里按照一公里计算，如2.3公里按照3公里收费），设出租车行驶路程为，应付车费为． (1)写出当为整数（）时，车费与行驶路程的函数关系式； (2)若小明要乘坐出租车去距家7.2公里的电影院看电影，应付给司机多少钱？ 【答案】(1)（）； (2)21元． 【分析】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是根据不同的路程段确定车费的计算方式． （1）根据出租车收费标准，当（为整数）时，计算车费与行驶路程的函数关系式； （2）先根据不足一公里按一公里计算的规则确定行驶路程，再代入（1）中函数关系式计算车费． 【详解】（1）解：当（为整数）时，起步价9元，超过2公里的部分为公里，这部分每公里2元． 所以车费，化简可得， 答：车费与行驶路程的函数关系式（）； （2）解：因为不足一公里按照一公里计算，7.2公里按照8公里计算， 把代入中，可得（元）． 答：应付给司机21元． 【例10】某市自来水采用分段收费标准．设居民每月应交水费y（元），用水量x（立方米）． 用水量x（立方米） 应交水费y（元） 不超过12立方米 每立方米3.5元 超过12立方米 超过的部分每立方米4.5元 (1)求每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系式； (2)若某户居民某月交水费78元，则该户居民用水多少立方米？ 【答案】(1) (2)该户居民用水20立方米 【分析】本题考查一次函数的应用． （1）根据表格中的数据，可以写出每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系式； （2）先判断该户居民用水量的范围，然后根据（1）中的关系式，即可计算出该户居民用水多少立方米． 【详解】（1）解：由题意可得， 当时，， 当时，， 由上可得，每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系式是； （2）解：∵， ∴该户居民用水超过12立方米， 设该户居民用水a立方米， 则， 解得， 答：该户居民用水20立方米． 【技巧归纳】 分段计费：按用量或时间分区间，每段费用函数不同（一次函数）。找临界点（如阶梯水价电量），明确每段单价与起步价。求总费用时先判断所在区间，再代入对应式。注意跨段时需分段计算再求和，避免重复计费。 【变式5-1】为了增强公民的节水意识，郑州市制定了居民用水“阶梯式水价”收费标准，具体如下： 年用水量 收费标准 不超过部分 元 超过，不超过部分 元 超过部分 元 小明同学是郑州市居民，他家用水符合居民用水“阶梯式水价”收费标准． (1)小明同学家年用水，应交水费元．写出与之间的关系式； (2)小明家年交了元水费，求年小明家用了多少 (3)请你从居民用水收费方面提出你的一点建议，并简单说明原因． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查一次函数的应用，根据“阶梯式水价”收费标准，写出各阶梯y与x之间的关系式是解题的关键． （1）根据第一阶梯收费标准计算即可； （2）根据“阶梯式水价”收费标准，写出各阶梯与之间的关系式，当时，求出对应的值即可； （3）适当调整各阶梯的水量标准，既能减轻居民经济负担，又能引导居民合理用水，从这方面提出合理的建议即可． 【详解】（1）解：当时，与之间的关系式为． （2）当时，与之间的关系式为， 当时，与之间的关系式为， 当时，解得舍去)， 当时，解得， 年小明家用了水． （3）建议：适当调整各阶梯的水量标准； 原因：随着生活水平提升和用水设备普及，部分家庭用水量增长较快．若阶梯水量标准过低，大量家庭易进入高收费阶梯，增加经济负担；适当调整标准可平衡居民用水成本与节水意识，既减轻负担又引导合理用水． 【变式5-2】为鼓励市民节约用电，西安市电力公司对城乡居民用户采取按月用电量分档收费办法．现提供一户居民某月电费发票的部分信息如下表所示： 居民电费专用发票 计费期限：一个月 用电量（度） 电价（元/度） 第一档： 0.50 第二档： 0.55 第三档： 0.80 本月实用金额：106.5（元） （大写）壹佰零陆元伍角 根据以上提供信息解答下列问题： (1)如果月用电量用度来表示，实付金额用元来表示，当时，写出实付额元与月用电量度之间的函数关系式； (2)请你根据表中本月实付金额，计算这个家庭本月的实际用电量； (3)若小强和小华家一个月的实际用电量分别为120度和250度，则实付金额分别为多少元 【答案】(1) (2)这个家庭本月的实际用电量为210度 (3)小强和小华家这一个月实付金额分别为60元和128.5元 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是要根据用电量的多少分阶梯求出实付电费与用电量之间的函数关系． （1）当时，成一次函数关系，实付金额等于度内的用电付出金额与超出度的用电付出金额的和，然后即可得到y与x的函数关系式； （2）先计算出元的用电量超出度，然后把实付金额代入函数关系式进行计算即可得解； （3）根据用电度数判断出适合的函数关系式，然后把用电度数代入关系式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：当时，则 ， 答：当时，与之间的函数关系式为； （2）解：∵度电费为：， 度电费为：， ， 该家庭本月用电量属于第二档，令，则， 解的， 答：这个家庭本月的实际用电量为210度． （3）解：当时，则； ， 把代入得元； 当时，则， 当时，则元． 答：小强和小华家这一个月实付金额分别为60元和128.5元． 题型6 已知直线与坐标轴交点求方程的解 【例11】一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，方程的解即为一次函数的函数值为0时对应的的值，利用数形结合的思维解答是解题的关键． 【详解】解：由图象知，当时， ∴关于的方程的解为， 故答案为：． 【例12】已知关于x的方程的解为，则一次函数的图象与x轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数的图象与x轴的交点的横坐标为的解，由此可解． 【详解】解：关于x的方程的解为， 一次函数的图象与x轴的交点坐标为． 故答案为：． 【技巧归纳】 与x轴交点(x₀,0)即方程kx+b=0的解x₀；与y轴交点(0,b)即为常数项。已知两交点可求k、b，得解析式。也可由横截距和纵截距直接写截距式：x/a+y/b=1。注意截距符号。交点坐标代入方程验证。 【变式6-1】一次函数，当时， ，这条直线与x轴的交点的坐标是 ，因此，方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．代入求出的值，进而可得出这条直线与轴的交点坐标，于是得到方程的解． 【详解】解：当时，， 解得：， 这条直线与轴的交点是． 方程的解是， 故答案为：；，． 【变式6-2】已知一次函数的图象如图所示，利用图象回答下列问题： （1）关于的方程的解为 ； （2）关于的方程的解为 ； （3）关于的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程综合，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据函数图象作答即可． 【详解】解：由图知，一次函数过点， 则（1）关于的方程的解为； （2）关于的方程的解为； （3）关于的方程的解为． 故答案为：；；． 题型7 利用图象法解一元一次方程 【例13】一次函数（k，b为常数，且）的图象如图所示，则关于x的方程的解为 ．    【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，解题关键是运用数形结合思想求解． 结合函数图象得出一次函数图象经过点，即可求解． 【详解】解：方程的解就是一次函数函数值为时，自变量x的值，观察图象可知一次函数图象经过点， ∴的解为 故答案为：． 【例14】如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，数形结合是解题的关键．先利用求出交点的坐标，然后根据一次函数图象的交点坐标进行判断． 【详解】解：把代入得， 解得， ∴一次函数与的图象的交点为， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 【技巧归纳】 画出y=kx+b的图象，与x轴交点的横坐标即方程kx+b=0的解。也可将方程化为两个函数相等，找图象交点横坐标。近似解可用估读。注意区分方程左右两边作为两个函数，交点横坐标为解。竖线法读x。 【变式7-1】如图，直线与相交于点，则关于x的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的综合应用，解题关键是理解方程的解，即为直线与的交点的横坐标的值．结合图像可知，方程的解，即为直线与的交点的横坐标的值，即可获得答案． 【详解】解：直线与相交于点， 方程的解，即为直线与的交点的横坐标的值， 方程的解为． 故答案为：． 【变式7-2】如图，一次函数与的图象交于点，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，两一次函数图象的交点满足两函数解析式．利用P点坐标满足两函数解析式，从而得到为关于x的方程的解． 【详解】解：一次函数与的图象交于点， 即时，， 关于x的方程的解为 故答案为： 一、单选题 1．方程的解可以看作一次函数的图象与x轴交点的横坐标．则方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 移项得：， 系数化为1得：． 2．某玩具店销售某种玩具时，顾客一次购买件以内的（含件）按原价付款，超过件的，超出部分按原价的九折付款．若付款总数（元）与顾客一次购买数量（件）之间的函数关系如图所示，则这件商品每件的原价为（     ）． A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】先设商品每件的原价为元，根据题意可得超过件时，付款总数（元）与顾客一次购买数量（件）之间的函数关系为：，由图像可知，过点，代入求解即可． 【详解】设商品每件的原价为元， 超过件时，付款总数（元）与顾客一次购买数量（件）之间的函数关系为： ， 由图像可知，过点， ∴， 解得：， 答：商品每件的原价为元． 3．某生物小组观察一株植物生长，得到植物的高度（单位：）与观察的时间（单位：天）之间的关系如图所示（是线段，射线平行于轴），下列说法正确的是（     ） A．从开始观察起，30天后该植物停止长高 B．直线对应的函数解析式为 C．观察第40天时，该植物的高度为 D．该植物最高为 【答案】C 【分析】根据图像获取点、的坐标，利用待定系数法求出线段的函数解析式，进而求出点的坐标，结合图像性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：设线段对应的函数解析式为 ∵图像过点， ∴， 解得 ∴线段的解析式为，故B选项错误 当时，，即点坐标为 ∵射线平行于轴 ∴50天后该植物停止长高，且最高高度为，故A、D选项错误 当时，，即第40天植物高度为，故C选项正确． 4．在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数拉力与石块下降的高度之间的关系如图所示，则以下说法正确的是（    ）（温馨提示：当石块位于水面上方时，，当石块入水后，．） A．当石块下降时，此时石块在水里 B．当时，拉力与之间的函数表达式为 C．石块下降高度时，此时石块所受浮力是 D．当弹簧测力计的示数为时，此时石块距离水底 【答案】C 【分析】根据函数图象待定系数法求得线段的解析式，进而逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、由题图可知，石块下降到时，石块正好接触水面，故选项A错误； B、当时，设所在直线的函数表达式为：，则由图象可把点代入得： ，解得：， ∴，故选项B错误； C、当石块下降的高度为时，即时，， ∵， ∴，故选项C正确； D、当，即， 解得， ∴石块距离水底的距离为，故选项D错误． 5．如图①，在四边形中，，，点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度按的顺序在边上匀速运动，设点P的运动时间为t秒，的面积为S，S关于的函数图象如图②所示，当点P运动到中点时，的面积为（     ） A．16 B．20 C．24 D．32 【答案】B 【分析】由函数图象上的点、的实际意义可知、的长及的最大面积，从而求得、的长；接下来，再根据点运动到点时得，从而求得的长，求得直线的解析式，根据一次函数图象可得当点运动到中点时，的面积． 【详解】解：由图象可知，，， ． 根据题意可知，当点运动到点时，的面积最大，此时， ， ， ， 如图，则可得， 设直线的解析式为， 把，代入可得 ， 解得， 所以直线的解析式为， 当点P运动到中点时，即时， 把代入，得， 所以当点P运动到中点时，的面积为20． 二、填空题 6．如图，一次函数（k为常数且）和的图象相交于点A，根据图象可知关于x的方程的解是______． 【答案】 【分析】直接利用图象法，两条直线交点的横坐标即为方程的解. 【详解】解：由图象可知，关于x的方程的解是. 7．甲、乙两人从各自家中出发前往学校，乙从家到学校的路程比甲从家到学校的路程多米．如图，，分别表示甲、乙两人行走的路程（米）和甲出发时间（分钟）的函数图象．甲、乙两人同时到达学校，则甲从家到学校的路程为__________米． 【答案】 【分析】本题主要考查了函数图像，二元一次方程组，掌握根据图象得到相关量之间的等量关系是解题的关键． 【详解】解：设甲的速度为米/分钟，乙的速度为米/分钟，根据图象， 可得 解得 甲从家到学校的路程为米． 故答案为： 8．如图，点在x轴上，过点作x轴的平行线l与正比例函数的图象相交于点A，连接，点P在直线l上且位于点A的右侧，连接，，则点P的坐标是________． 【答案】 【分析】点P在点A右侧，根据可知，设直线的解析式是，把点的坐标代入解析式求出直线的解析式，再根据直线上的点的纵坐标是求出点的横坐标． 【详解】解：如下图所示， ∵， ∴， 设直线的解析式是， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 当时， 可得：， 解得：， 点坐标是． 9．平面直角坐标系中有三点，，，若直线（为非零常数）将分成面积为的两部分，则的值是__________． 【答案】4或 【分析】先找出一次函数经过定点，再根据题意将分成面积为的两部分，得为过或的直线，用待定系数法代入一次函数解析式即可． 【详解】解：∵， ∴直线必经过定点， ∵，直线将分成面积为的两部分， 直线或将分成面积为的两部分，且，，，如图所示： 此时高相等，面积之比等于底之比，即或， ∴，， ∴，， ∴， ∴直线为过或的直线， ∴或， 解得：或． 10．如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形由9块边长为1的小正方形拼成，图中阴影矩形记为区域（包含边界）．对于正方形边上的一点P，若点Q在正方形内部且线段PQ与区域有公共点，则称点Q是点P的“盲点”．点P的所有“盲点”组成的区域称为点P的“盲区”，其面积记为． (1)点的“盲区”的面积是_______； (2)若点在线段上，且，则点的“盲区”的面积______（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“盲区”的定义表示出点的“盲区”，计算即可得出结果； （2）根据“盲区”的定义表示出点的“盲区”，设点与所在的直线交轴于点，求出点，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：根据“盲区”的定义可得，点的“盲区”如图阴影部分所示： 故； （2）解：由题意可得，点的“盲区”如图阴影部分所示： 设点与所在的直线交轴于点， 设直线的表达式为， 将点，代入解析式可得， 解得， ∴直线的表达式为， 令，则， 解得，即， ∴点的“盲区”的面积． 三、解答题 11．节日期间某草莓采摘园推出优惠促销方案：采摘的草莓达到一定重量后，超过部分按照优惠价格计算．设游客在该采摘园采摘的草莓重量为千克，所花的费用为元，与之间的函数关系如图所示． (1)优惠前草莓的销售价格为每千克________元； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)若某游客在该采摘园采摘的草莓重量为千克，直接写出该游客所花的费用． 【答案】(1)40 (2) (3)900元 【分析】（1）根据函数图象，用即可求解； （2）根据待定系数法求解析式即可求解； （3）先理解题意，再把代入求解即可． 【详解】（1）解：依题意，， ∴优惠前草莓的销售价格为每千克40元． （2）解：设当时y与x的函数解析式为， 由题意可得：， 解得：， ∴当时y与x的函数解析式为． （3）解：∵ ∴当时，． 答：该游客所花的费用为900元． 12．河南驻马店汝南特产——宿鸭湖烤鸭蛋，品质天然、蛋黄呈现蟹黄口感，蛋白兼具卤蛋香气．宿鸭湖景区售卖两种口味的烤鸭蛋，分别是原味烤鸭蛋和五香烤鸭蛋．其进货单价分别为8元/盒、10元/盒．五香烤鸭蛋在售出40盒后，为吸引更多顾客，采取“打m折”促销，且促销后的价格一直保持到这批五香烤鸭蛋全部售完、原味烤鸭蛋售价不变．这两种烤鸭蛋的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：盒）之间的函数关系如图所示． (1)当时，求五香烤鸭蛋的销售额y与销售量x之间的函数解析式； (2)________；（写成中文形式） (3)当两种烤鸭蛋的销售额相同，且大于0时，求出此时销售这两种烤鸭蛋的利润和． 【答案】(1) (2)六 (3)1120元 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）分别计算前40盒的单价以及促销后的单价，即可求解折扣； （3）分别求解销售这两种烤鸭蛋的利润，再相加即可． 【详解】（1）解：销售额y与销售量x之间的函数解析式为 代入， 则 解得 ∴五香烤鸭蛋的销售额y与销售量x之间的函数解析式为； （2）解：前盒的单价为：（元/盒）； 促销后单价为：（元/盒）， 则折扣为：，故打六折， ∴六； （3）解：原味烤鸭蛋的单价为：（元/盒）， ∴原味烤鸭蛋的销售额y与销售量x之间的函数解析式为， 由函数图象可得，当两种烤鸭蛋的销售额相同，且大于0时，只有时满足条件， 令 解得， 原味烤鸭蛋的销售利润为：（元） 五香烤鸭蛋的销售利润为：（元） ∴此时销售这两种烤鸭蛋的利润和为（元） 答：销售这两种烤鸭蛋的利润和为元． 13．活动中心想打造属于自己的文化品牌，在每一届夏令营结束后给孩子们送一个纪念品，了解到两家制作纪念品的公司的优惠方案分别如下： 甲：优惠后采购所需费用（元）与优惠前所需费用（元）满足如图所示的函数关系； 乙：优惠后采购所需费用（元）与优惠前所需费用（元）满足如图所示的函数关系． 根据图象中的信息，回答下列问题： (1)请分别求出和与之间的函数关系式； (2)请根据函数图象描述乙公司的优惠方案； (3)如果你是负责此次纪念品采购的工作人员，请通过计算说明选择哪家公司更省钱？ 【答案】(1)； (2)乙公司的优惠方案是当购买费用在元及元以内时，不打折；购买费用高于元时，超过元的部分打折 (3)若此次采购优惠前费用小于元，则选择甲公司更省钱；若此次采购优惠前费用大于元，则选择乙公司更省钱；若此次采购优惠前费用等于元，则两家公司费用相同． 【分析】（1）用待定系数法分别求出和与之间的函数关系式即可； （2）结合函数图象回答即可； （3）根据两个函数的交点以及一元一次不等式的应用可得出结论． 【详解】（1）解：由题图可设， 的函数图象过点，代入可得，， 解得， ； 当时，设， 的函数图象经过点， 代入可得， 解得， 当时，； 当时，设，的函数图象经过点，， 代入得， 解得， 当时，， ； （2）当时，， 乙公司的优惠方案是当购买费用在元及元以内时，不打折；购买费用高于元时，超过元的部分打折； （3）当时， 解得， 当时，两家公司费用相同； 当时， 解得， 当时，甲公司更省钱； 当， 解得， 当时，乙更省钱． 14．项目式：智慧出行 【背景】“绿途”共享单车公司为满足不同用户的长距离骑行需求，推出了两种计时计费套餐： 畅骑套餐：收费公式为：； 随心套餐：收费公式为：； 其中，y代表骑行的总费用（元），x代表用户的骑行时长（分钟）． 【理解模型】 （1）请解释“畅骑套餐”公式中的“0.3”和“15”以及“随心套餐”公式中的“0.7”在实际计费中分别表示什么意义； 【应用模型】 （2）小航周末计划骑行去郊外景区，往返预计骑行总时长为80分钟，且在景区周边还会产生约20分钟的额外骑行时长，根据计算，他应该选择哪个套餐更省钱？ 【答案】（1）“0.3”表示每骑行1分钟的费用是0.3元，“15”表示骑行的起步费用是15元，随心套餐中，“0.7”表示每骑行1分钟的费用是0.7元； （2）他应该选择“畅骑套餐”更省钱 【分析】本题考查了一次函数的实际应用． （1）根据一次函数的表达式，结合题目中给出的收费公式，分析每个参数的实际意义即可； （2）根据题目中给出的收费公式，分别计算出“畅骑套餐”和“随心套餐”的费用，然后比较两个套餐的费用，选择费用较低的套餐即可． 【详解】解：（1）畅骑套餐中，“0.3”表示每骑行1分钟的费用是0.3元，“15”表示骑行的起步费用是15元，随心套餐中，“0.7”表示每骑行1分钟的费用是0.7元． （2）由题意知，骑行总时长为（分钟）， 当时，即骑行总时长为100分钟时，，， ∵， ∴， ∴他应该选择“畅骑套餐”更省钱． 15．在一条公路上依次有A，B，C三点，甲、乙两车同时从B地出发，甲车匀速驶向A地，乙车匀速驶向C地，到达C地后停留后，加速驶向A地，乙车比甲车早到达A地．甲、乙两车距B地的路程y（单位：）与所用时间x（单位：h）的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)A，C两地相距______； (2)求图象中线段的函数解析式； (3)直接写出甲车出发后经过多长时间与乙车相距． 【答案】(1)480 (2) (3)或或或 【分析】（1）先求得甲车行驶的速度，再求得乙车匀速驶向C地，到达C地后停留后，共用时，可求得，据此求解即可； （2）求得乙车行驶的速度，再求得点的坐标为，利用待定系数法求解即可； （3）分情况讨论，分别列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：由图象得，甲车行驶的时间为， 则甲车行驶的速度为， ∵乙车匀速驶向C地，到达C地后停留后，共用时， 如图，甲车的射线经过点， 此时甲车行驶了，即， ∴A，C两地相距； （2）解：乙车行驶的速度为， 乙车从C回到B地所用时间为， ∵， ∴点的坐标为， 设的解析式为， 将，代入得， 解得， ∴线段的解析式为； （3）解：甲车速度，解析式为； 乙车分阶段：①：解析式为，由，解得（舍去负值）； ②：两车反向行驶，超过，此情况不存在； ③：， 由，解得或； ③：， 由，解得（舍去）或； 综上，甲车出发后经过或或或与乙车相距． 16．某体育用品商场采购员要到厂家批发购买篮球和排球共个，篮球个数不少于排球个数，付款总额不得超过元，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表．设该商场采购个篮球． 品名 厂家批发价元/个 商场零售价元/个 篮球 排球 (1)求该商场采购费用（单位：元）与（单位：个）的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)该商场把这个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润； (3)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球的批发价上调了元/个，同时排球批发价下调了元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将个球全部卖出获得的最低利润是元，求的值． 【答案】(1)采购费用与的函数关系式为 (2)商场把这个球全部以零售价售出，能获得的最大利润为元 (3)将个球全部卖出获得的最低利润是元，的值为3 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据题目的条件列出函数解析式并准确找到自变量的取值范围． （1）根据单价乘以数量等于总价，表示出购买篮球和排球的总价，然后将其相加就是总共所需要的费用； （2）设总利润为W，求出W与x的关系式，运用一次函数的增减性和自变量的取值范围确定何时获得最大利润； （3）根据个球全部卖出获得的最低利润是元分情况讨论得出结果，最终确定出m的值． 【详解】（1）解：设该商场采购个篮球，则商场采购个排球 根据题意得， 解得： 答：采购费用与的函数关系式为． （2）解：设总利润为元，根据题意得： ， 随的增大而增大． 时，元 答：商场把这个球全部以零售价售出，能获得的最大利润为元 （3）解：由题意得： ①当时，即时，随的增大而增大 ， 当时， 即：． 解得：舍去 ②当时，． ，不合题意． ③当时，即时，随的增大而减小． ， 当时，． 即：， 解得：， 综上所述，将个球全部卖出获得的最低利润是元，的值为3． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 第15讲一次函数的应用 孓内容导航 01预习航标→析目标明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点破方法：典型题型深度拆解 题型1一次函数的应用之分配方案问题 题型2一次函数的应用之最大利润问题 题型3一次函数的应用之行程问题 题型4一次函数的应用之几何问题 题型5一次函数的应用之梯度计费问题 题型6已知直线与坐标轴交点求方程的解 题型7利用图象法解一元一次方程 04过关检测→练考点强落实：过关检测全面巩固 01 预习航标 关键词 学习目标导航 1.能根据实际问题中的条件，确定一次函数的表达式（待定系数法）。 一次函数应用、待定系2.能利用一次函数的图象和性质，解决简单的实际问题（如行程、方案选择、 数法、图象法、方程与费用等)。 不等式、建模、数形结3.理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，能利用图象解方 合。 程和不等式。 4.经历"问题一建模一求解一检验”的过程，体会数形结合与数学建模思想， 提升应用能力。 学习重点：用待定系数法求一次函数的表达式，以及利用一次函数解决实际问题。 学习难点准确从实际问题中提取信息建立函数模型，理解函数、方程、不等式三者之间的内在联系， 并能灵活转化。 1/20 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 02 教材全解 知|识|框|架 图象坐标读取错误 待定系数法 方案选择讨论不全 求函数解析式 高频易错点 利用图象找点 实际意义检验缺失 代入自变量求因变量 分段函数范围混清 单个一次函数应用 求函数值 代入因变量求自变量 图象信息提取 读取坐标点 解析式求法 高频考点 利用图象信息 判断增减趋势 方案选择最优 求与坐标轴交点 次函数的应用 实际应用题建模 联立方程组求解 交点问题 路程时间速度关系 求两直线交点坐标 行程问题 追及相遇问题 利用图象比较 两个一次函数应用 比较函数值大小 工作效率工作时间关系 工程问题 结合不等式求解 成本售价利润关系 实际应用模型 构建两种函数模型 利润问题 最大利润求解 方案选择问题 求临界点 分类讨论选最优 水费电费出租车费 分段计费问题 分段建立函数 知|识|精|讲 知识点01一次函数的实际应用 1)数学建模的一般思路 数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略在建模的过程中，为了既 合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、 抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型 2)正确认识实际问题的应用 在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后 根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解 注：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点 3)选择最简方案问题 分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等， 寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用 【易错提醒】 次函数实际应用易错警示：审清题意，正确设变量。注意自变量取值范围（如时间、数量非负）。求最 2/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 值时，若为分段函数需比较各段。单位统一，结果要符合实际意义（如人数取整数），勿忽略端点。 即时即练1，在期中考试总结会议上，学校决定购买A,B两种奖品共120件，对表现优异的学生进行奖 励.已知A种奖品的价格为32元/件，B种奖品的价格为15元/件. (1)请直接写出购买两种奖品的总费用y（元)与购买A种奖品的数量x(件)之间的关系式； (2)当购买了30件A种奖品时，总费用是多少元？ (3)若购买的A种奖品不多于50件，则总费用最多是多少元？ 2,某建筑公司现有A,B两工地需要租车运土，A工地需要12台，B工地需要18台；租车公司现有甲型 车10台，乙型车20台可供选择，每天租金价格如右表. 甲型车租金 乙型车租金 A工地 800元/台 600元/台 B工地 600元/台 300元/台 (1)设A工地租甲型车x台，租乙型车 台；则B工地租甲型车台，租乙型车台（用含x的 式子表示) (2)设该公司每天的总租金为y元，请求出y与x的函数解析式并写出x的取值范围. (3)在(2)条件下，公司如何租车才能使得每天总租金最少？最少租金是多少？请说明理由 知识点02一元一次方程与一次函数的关系 1)一元一次方程可转化为一般式：+b=0 2)一次函数为：y=+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解； y=0时x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解， 【易错提醒】 一元一次方程与一次函数关系易错警示：方程c+b-0的解是一次函数y=+b图象与x轴交点的横坐标。 注意：方程的解是x值，交点坐标是x,0)。勿将纵坐标当作解，也不可混淆解”与“交点”。 即时即练1.如图，一次函数y=+b的图象与x轴的交点坐标为(-2,0)，则下列说法：①k<0,b>0; ②y随x的增大而减小；③关于x的一元一次方程x+b=0的解为x=-2;④当x>-2时，y>0.其中正 确的是() 3/20 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y个 y=kx+b (2,0) A.①② B.③④ c.①④ D.②③ 03 题型突破 题型1一次函数的应用之分配方案问题 【例1】A城有肥料200t,B城有肥料300t,现要把这些肥料全部运往C,D两乡.从A城往C,D两乡运 肥料的费用分别为25元/t和20元/t:从B城往C,D两乡运肥料的费用分别为24元/t和15元/t,现C乡需 要肥料240t,D乡需要肥料260t, (1)设从A城调运x吨肥料到C乡(0≤x≤200)，补充完整下列表格 A地(200t) B地(300t) C地(240t) ② D地(260t) ① ③ ①.②.③ (②)怎样调运，可使总运费最少？请写出具体方案及计算过程 【例2】“工欲善其事，必先利其器”，某校为开好劳动教育课准备购置一批劳动工具，学校与店主商量后， 店主给出了以下两种购买方案（二选一）： 方案一劳动工具13元/件，运费30元 方案二劳动工具18元/件，免费送货上门. 若学校购买x件劳动工具，按方案一购买的付款总金额为乃元，按方案二购买的付款总金额为y元. (1)请分别写出，y,与x之间的函数解析式： (②)请你为该学校选择合适的购买方案。 【技巧归纳】 设两种方案的费用函数（一次函数），由自变量（数量）比较大小。求交点：令两式相等得临界值；选择： 小于临界选一种，大于选另一种。注意定义域（正整数或范围）。也可列表格，代入典型值验证。常结合 4/20 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 不等式。 【变式11】某化妆品公司每月付给销售人员的工资有两种方案.方案一：没有底薪，只拿销售提成；方案 二：底薪加销售提成.设x(件)是销售商品的数量，y(元)是销售人员的月工资.如图，（为方案一的 函数图像，1，为方案二的函数图像.已知方案二中每件商品的销售提成比方案一少30元.根据图中信息解 答下列问题（注：销售提成是指从销售每件商品得到的销售额中提取一定数量的费用）： 川元 8400 6000 40 可件 (1)求对应的函数表达式. (②)方案二中每月付给销售人员的底薪是多少元？ (3)小李是该化妆品公司的销售人员，他选择哪种方案才能使月工资更多？ 【变式1-2】某公司拟采购一批车辆，现面临传统燃油（汽油）车与氢能源车两种选型方案.该公司对两种 车型在购置及整个生命周期使用过程中的费用进行了系统性分析：若总费用只受购车费用和行驶过程中燃 料使用费用影响，其他因素忽略不计（即总费用=购车费用+行驶过程中燃料使用费用），调研信息如下： 设车辆行驶路程为x(单位：万公里)，总费用为y(单位：万元) ①下表是调研中的两组数据： 车辆类型 传统燃油车 氢能源车 行驶路程x(万公里) 10 10 总费用y(万元) 23 28 ②两类车型各自的总费用y与行驶路程x的函数关系的图象如图所示，两函数图象交于点P,且与y轴分别 交于点A(0,15),点B(0,25) 5/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y/万元 传统燃油车 50 45 40 氢能源车 35A 3 B 20 10 5 051015202530354045505560x/万公里 结合上述调研信息，回答问题： (1)传统燃油车购车费用是 万元： (2)根据车辆行驶路程的变化，怎样选择车型使总费用较低. 题型2一次函数的应用之最大利润问题 【例3】“父亲节即将来临，父亲的爱是伟大的！某花店购进康乃馨和玫瑰两种鲜花，康乃馨，玫瑰的进货 单价分别为2元/枝、3元/枝，售价分别为8元/枝、6元/枝，某店主计划购进两种鲜花共300枝，其中康乃 馨不大于200枝，设该花店计划购进康乃馨x枝，两种鲜花全部销售后可获利润y元 (1)求出y与x之间的函数关系式 (②)该花店如何进货才能获得最大利润？ 【例4】港务区苗木种植专业户老王承包了30亩地，分别种植柏树苗和松树苗，有关成本、销售额见下表 种植种类 成本（万元/亩） 销售额（万元/亩） 柏树苗 2.4 3 松树苗 2.5 设种植柏树苗x亩，出售柏树苗和松树苗的总利润为y万元， (I)求y与x的函数表达式： (②)今年，他继续用这30亩地全部种柏树苗和松树苗，计划投入成本不超过70万元，若每亩的种植成本和 销售额不变，他应如何安排种植才能获得最大收益？（收益=销售额-成本） 【技巧归纳】 利润=单件利润×销量-固定成本，若均为一次关系则得一次函数。根据k符号判断：心0，利润随销量增大 而增大，取最大销量k<0,取最小销量。注意自变量受实际限制（如库存、市场需求）。有时为分段函数。 【变式2-1】某商场计划用不超过1800元购进甲、乙两种不同品牌的水杯共50个，己知甲、乙两种品牌水 6/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 杯的进价和售价如下表所示： 价格品牌 甲品牌水杯 乙品牌水杯 进价（元/个） 40 30 售价（元/个） 50 35 设购进甲品牌水杯x个，两种品牌的水杯全部销售完后可获利y元. (I)写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)采用怎样的购进方案可以使获利最多，最多为多少？ 【变式2-2】“中国乳都”呼和浩特，以乳业为发展引擎，凭借优质乳业书写城市传奇、铸就辉煌.其中酸奶 是深受大众喜爱的乳制饮品之一，某超市销售甲、乙两种品牌酸奶，结合以下材料解决问题. 内容 某超市销售甲、乙两种品牌的酸奶，甲种酸奶的进价为8元/罐；乙种酸奶的进货 总金额y(单位：元)与进货量x(单位：罐)之间的关系如图所示，经过试销， 甲、乙两种品牌酸奶的销售价分别为12元/罐和15元/罐. 材 y(元) 料 1500- 500- 50150(罐) 材 某日，该超市销售甲、乙两种品牌的酸奶共800罐，其中乙种品牌的销售量不低于 料 150罐，且不高于400罐 任 务 (1)根据图像求出y与x的函数关系式. 任 (2)若购进的两种酸奶全部售完，设销售完甲、乙两种品牌的酸奶所获得的总利 务 润为w元，求出w(单位：元)与乙种品牌酸奶的进货量x(单位：罐)之间的函 数关系式，并为该超市设计出获得最大利润的销售方案， 题型3一次函数的应用之行程问题 7/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【例5】汽车由南京驶往相距300km的上海，它的平均速度为100kmh (I)写出汽车距上海的路程s(单位：km)与行驶的时间t(单位：h)的函数关系式： (②)指出自变量t的取值范围； (3)当汽车行驶2h时，汽车距离上海多远？ 【例6】如图，甲、乙两人分别从同一公路上的A、B两地同时出发骑车前往C地，两人行驶的路程y(k) 与甲行驶的时间x(h)之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题： ◆v/km 60 50 30 20 6 x/h (1)求甲在0≤x≤6的时间段内的函数关系式： (2)在0≤x≤6的时间段内，当x(h)为何值时甲、乙两人相距5千米， 【技巧归纳】 设时间t为自变量，路程s一vt+b(b为初始距离)。相遇时s甲=s乙，列方程求t。追及时路程差=初始距离。 注意速度单位统一，方向：相向加，同向减。画线段图辅助，分段运动时需分段建立函数。 【变式3-1】一辆轿车从A地驶往B地，到达B地后立即返回A地，返回速度是原来的1.5倍，往返共用t 小时，一辆货车同时从A地驶往B地，速度是60kh到达B地后停止.两车同时出发，匀速行驶，设轿车 行驶的时间为x(h),两车离开A地的距离为y(km),轿车行驶过程中y与x之间的函数图象如图所示. 个y(km) 240 o2346x) (1)轿车从A地驶往B地的速度为_kmh,t=_; (2)在图中画出货车从A地行驶到B地的函数图象，并求货车从A地行驶到B地时y与x之间的函数关系式 (写出自变量取值范围) (3)当轿车从B地返回A地的途中与货车相遇时，求相遇处到A地的距离. 【变式3-2】如图①，一条直的公路上依次有A,B,C三个汽车站，AB=250km,BC=6Okm,一辆汽车 上午8：O0从距离A站10k的P地出发，匀速向C站行驶，途中休息一段时间后，按原速继续前进，当 到达B站时接到通知，要求中午12：00前到达C站.设汽车出发xh后离A站km,图②中折线 8/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D一E一F一G表示接到通知前y与x之间的函数关系. 个 250 G A护 B c EF 90 011.5 ① ② (I)根据图象可知，接到通知前汽车行驶的速度为kmh; (2)求线段FG对应的函数表达式（不写自变量的取值范围）； (3)接到通知后，若汽车仍按照原来的速度行驶，则能否按时到达？如果不能按时到达，那么速度至少提高 到多少可按时到达？请说明理由， 题型4一次函数的应用之几何问题 【例7】如图，一次函数y=2x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点A,B,将该函数图象沿y轴向下平移 m(m>0)个单位长度得到新函数y=2x+4-m的图象，新图象与x轴相交于点C. B (1)求点A,B,C（用含m的代数式表示)的坐标； (2)当△ABC的面积为9时，求m的值； (3)在(2)的条件下，在y轴上找一点P,使得△APC为等腰三角形，求点P的坐标. 【例8】如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3,AC=4动点P从A出发，沿着折线A→B→C运动， 速度为每秒1个单位长度，到达C点停止运动，设P点的运动时间为t秒(0<t<8),△ACP的面积为 y 9/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 87654321 O123456787 图1 图2 (I)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围： (②)在给定的平面直角坐标系中，如图2，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)若直线y1=x+b与y的图象只有一个交点，请直接写出b的取值范围. 【技巧归纳】 将几何量（如面积、周长）表示成边长的一次函数。利用图形性质（矩形、三角形）列式，求最值时根据k 的增减性取边界。注意自变量范围由几何约束决定（如边长>0）。若为动态几何，设时间t,用t表示边长 再列函数。 【变式4-1】如图，直线4：y=4x+4交x轴于点A,交y轴于点B,已知点C(3,-1). B (I)如图，过点C作直线马：y=+b. ①用含k的代数式表示b: ②若直线马与线段AB有交点（不包含A,B两点），求k的取值范围； (2)平行于x轴的直线分别交4,4于D,E两点，点E在点D的右侧，点E的横坐标为m,若DE=1,且 k,m均为整数，求m的值. 【变式42】如图，直线y=x+16分别交x轴，y轴于点4，B,过点A的另一条直线y=x-10与y轴交 8 于点N,点E是线段AB上的一个动点，点C为射线OB上一点. 10/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 YA 图1 图2 图3 (1)求点A,B的坐标. (2)如图1，过点E作EF⊥x轴交直线y=x-10于点F,设点E的横坐标为m. ①用含有m的式子表示线段EF的长； ②若△ABF的面积为S,求S与m之间的函数关系式； (3)把△AOC沿直线AC翻折得到△ACD. ①如图2，当点D在△ABO的内部时，连结OD并延长交AB于点P,若AC=OP,求点P的坐标. ②如图3，点M为AB的中点，连结MD,当MD与x轴平行时，请直接写出OC的长， 题型5一次函数的应用之梯度计费问题 【例9】某市出租车收费标准为，两公里付起步价9元，超过两公里但是不超过八公里的路程每公里付2元， 超过八公里的路程每公里付3元（不足一公里按照一公里计算，如2.3公里按照3公里收费），设出租车行 驶路程为x,应付车费为y. (1)写出当x为整数(2≤x≤8)时，车费y与行驶路程x的函数关系式： (2)若小明要乘坐出租车去距家7.2公里的电影院看电影，应付给司机多少钱？ 【例10】某市自来水采用分段收费标准.设居民每月应交水费y(元)，用水量x(立方米)· 用水量x(立方米) 应交水费y(元) 不超过12立方米 每立方米3.5元 超过12立方米 超过的部分每立方米4.5元 (1)求每月应交水费y(元)与用水量x(立方米)之间的函数关系式： (②)若某户居民某月交水费78元，则该户居民用水多少立方米？ 【技巧归纳】 分段计费：按用量或时间分区间，每段费用函数不同（一次函数）。找临界点（如阶梯水价电量），明确 每段单价与起步价。求总费用时先判断所在区间，再代入对应式。注意跨段时需分段计算再求和，避免重 11/20 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 复计费。 【变式5-1】为了增强公民的节水意识，郑州市制定了居民用水阶梯式水价”收费标准，具体如下： 年用水量 收费标准 不超过180t部分 4.40元/t 超过180t,不超过300t部分 5.95元/t 超过300t部分 10.60元/t 小明同学是郑州市居民，他家用水符合居民用水“阶梯式水价”收费标准 (1)小明同学家2023年用水t(x<180),应交水费y元.写出y与x之间的关系式； (2)小明家2024年交了911元水费，求2024年小明家用了多少 (3)请你从居民用水收费方面提出你的一点建议，并简单说明原因 【变式5-2】为鼓励市民节约用电，西安市电力公司对城乡居民用户采取按月用电量分档收费办法.现提供 一户居民某月电费发票的部分信息如下表所示： 居民电费专用发票 计费期限：一个月 用电量x(度) 电价（元/度) 第一档：0<x≤180 0.50 第二档：180<x≤350 0.55 第三档：x>350 0.80 本月实用金额：106.5 （大写)壹佰零陆元伍 (元) 角 根据以上提供信息解答下列问题： (1)如果月用电量用x度来表示，实付金额用y元来表示，当180<x≤350时，写出实付额y元与月用电量x 度之间的函数关系式； (②)请你根据表中本月实付金额，计算这个家庭本月的实际用电量； (3)若小强和小华家一个月的实际用电量分别为120度和250度，则实付金额分别为多少元 题型6已知直线与坐标轴交点求方程的解 12/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【例1l】一次函数y=mw+n的图象如图所示，则关于x的方程x+n=0的解为 4 31 -543-2-10L12345x -5 【例12]已知关于的方程：+6=0的解为x=,则一次函数y=点+b的图象与轴的交点坐标为 【技巧归纳】 与x轴交点(xo,O)即方程kx+b=0的解xo;与y轴交点(0，b)即为常数项。已知两交点可求k、b,得解析式。 也可由横截距和纵截距直接写截距式：x/a+yb=1。注意截距符号。交点坐标代入方程验证。 【变式6-1】一次函数y=2x+3,当y=0时，x= ,这条直线与x轴的交点的坐标是 ,因此， 方程)x+3=0的解是 【变式6-2】己知一次函数y=心+b的图象如图所示，利用图象回答下列问题： 2345 (1)关于x的方程+b=0的解为： (2)关于x的方程a+b=-1的解为： (3)关于x的方程=1-b的解为· 题型7利用图象法解一元一次方程 【例13】一次函数y=a+b(k,b为常数，且k≠0)的图象如图所示，则关于x的方程x+b=-1的解 为 13/20 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【例14】如图，一次函数y=c+b与y=x+1的图象相交于点P(m,2),则关于x的方程+b=2的解是 y y=kx+b y=x+1 2 m 【技巧归纳】 画出y=kx+b的图象，与x轴交点的横坐标即方程kx+b=O的解。也可将方程化为两个函数相等，找图象交 点横坐标。近似解可用估读。注意区分方程左右两边作为两个函数，交点横坐标为解。竖线法读x。 【变式7-1】如图，直线y=2x与y=a+b相交于点(-1，-2)，则关于x的方程x+b=2x的解是 y=kx+b 【变式7-2】如图，一次函数y=+b(k≠0)与y=-x+2的图象交于点P(-1,3),则关于x的方程 :+b=-x+2的解为 y1=kx+b P 213 y2=-x+2 14/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 04过关检测 一、单选题 1,方程2x+1=0的解可以看作一次函数y=2x+1的图象与x轴交点的横坐标.则方程2x+3=0的解是 () A,x=-1.5 B.x=1.5 C.x=3 D.X=-3 2.某玩具店销售某种玩具时，顾客一次购买10件以内的（含10件)按原价付款，超过10件的，超出部分 按原价的九折付款.若付款总数y(元)与顾客一次购买数量x(件)之间的函数关系如图所示，则这件商 品每件的原价为()· 个y/元 152 10 20x/件 A.6元 B,7元 C.8元 D.9元 3.某生物小组观察一株植物生长，得到植物的高度y(单位：cm)与观察的时间x(单位：天)之间的关 系如图所示(AC是线段，射线CD平行于x轴)，下列说法正确的是() Ay/cm C D 12 6[A ○ 30 5060X/天 A,从开始观察起，30天后该植物停止长高B,直线AC对应的函数解析式为y=2x+6 C.观察第40天时，该植物的高度为l4cmD.该植物最高为15cm 4.在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计 的示数拉力F(N)与石块下降的高度x(cm)之间的关系如图所示，则以下说法正确的是()（温馨提示： 当石块位于水面上方时，F拉力=G重力，当石块入水后，F拉力=G重力-F浮力·） 15/20 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 个F拉力N 石块自 2.5 B 16cm O246810121316x/cm A,当石块下降3cm时，此时石块在水里 B.当6≤x≤10时，拉力F(N)与(m)之间的函数表达式为F。=三x+2 一X+ 4 4 C.石块下降高度8cm时，此时石块所受浮力是3N D。当弹簧测力计的示数为3N时，此时石块距离水底 3 cm 5.如图①，在四边形ABCD中，ABICD,LADC=90°，点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度按 A→B→C→D的顺序在边上匀速运动，设点P的运动时间为t秒，△PAD的面积为S,S关于t的函数图象如 图②所示，当点P运动到BC中点时，△PAD的面积为() S(平方单位) 32 6 10t(秒) ① ② A.16 B.20 C.24 D.32 二、填空题 6.如图，一次函数y=x+2(k为常数且k≠0)和y=3x+1的图象相交于点A,根据图象可知关于x的 方程a+2=3x+1的解是 4 7.甲、乙两人从各自家中出发前往学校，乙从家到学校的路程比甲从家到学校的路程多400米，如图，1甲， 12分别表示甲、乙两人行走的路程、（米)和甲出发时间t（分钟)的函数图象.甲、乙两人同时到达学校， 16/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 则甲从家到学校的路程为 米 s/米 l甲 046101分 8,如图，点B(2,0)在x轴上，过点(Q,2)作x轴的平行线1与正比例函数y=x的图象相交于点A,连接 AB,点P在直线1上且位于点A的右侧，连接BP,∠OAB=∠ABP,则点P的坐标是 9.平面直角坐标系中有三点A(-1,0),B(2,4),C(9,0),若直线y=c+4-2k(k为非零常数)将△ABC 分成面积为4：1的两部分，则k的值是 10.如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形0ABC由9块边长为1的小正方形拼成，图中阴影矩形 记为区域M(包含边界).对于正方形0ABC边上的一点P,若点Q在正方形0ABC内部且线段PQ与区域M 有公共点，则称点Q是点P的“盲点”.点P的所有“盲点”组成的区域称为点P的“盲区”，其面积记为 S(P). yA 34 F B M E C -1O 1 -1 (1)点E(3,1)的“盲区”的面积S(E)是 (2)若点F(t,3)在线段AB上，且2≤t≤3，则点F的“盲区的面积S(F)=(用含t的代数式表示)· 三、解答题 11.节日期间某草莓采摘园推出优惠促销方案：采摘的草莓达到一定重量后，超过部分按照优惠价格计 算.设游客在该采摘园采摘的草莓重量为x千克，所花的费用为y元，y与x之间的函数关系如图所示. 17/20 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 个y/元 700 400 10 25x/千克 (1)优惠前草莓的销售价格为每千克 元； (2)当x≥10时，求y与x之间的函数关系式： (3)若某游客在该采摘园采摘的草莓重量为35千克，直接写出该游客所花的费用， 12.河南驻马店汝南特产一宿鸭湖烤鸭蛋，品质天然、蛋黄呈现蟹黄口感，蛋白兼具卤蛋香气.宿鸭湖 景区售卖两种口味的烤鸭蛋，分别是原味烤鸭蛋和五香烤鸭蛋，其进货单价分别为8元/盒、10元/盒，五香 烤鸭蛋在售出40盒后，为吸引更多顾客，采取“打m折”促销，且促销后的价格一直保持到这批五香烤鸭蛋 全部售完、原味烤鸭蛋售价不变，这两种烤鸭蛋的销售额y(单位：元)与销售量x(单位：盒)之间的函 数关系如图所示. Ay/元 2400 2120 800 40 150x盒 (1)当40<x≤150时，求五香烤鸭蛋的销售额y与销售量x之间的函数解析式： (2)m= ；(写成中文形式) (3)当两种烤鸭蛋的销售额相同，且大于0时，求出此时销售这两种烤鸭蛋的利润和 13.活动中心想打造属于自己的文化品牌，在每一届夏令营结束后给孩子们送一个纪念品，了解到两家制 作纪念品的公司的优惠方案分别如下： 甲：优惠后采购所需费用y1(元)与优惠前所需费用x(元)满足如图所示的函数关系； 乙：优惠后采购所需费用y2(元)与优惠前所需费用x(元)满足如图所示的函数关系， 根据图象中的信息，回答下列问题： (元) 540-… B 400 1 320 A 400600 x(元) (1)请分别求出y1和y2与x之间的函数关系式； 18/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)请根据函数图象描述乙公司的优惠方案； (3)如果你是负责此次纪念品采购的工作人员，请通过计算说明选择哪家公司更省钱？ 14.项目式：智慧出行 【背景】“绿途”共享单车公司为满足不同用户的长距离骑行需求，推出了两种计时计费套餐： 畅骑套餐：收费公式为：=0.3x+15; 随心套餐：收费公式为：y,=07x; 其中，y代表骑行的总费用（元），x代表用户的骑行时长（分钟）， 【理解模型】 (1)请解释“畅骑套餐”公式中的0.3”和15”以及“随心套餐”公式中的0.7”在实际计费中分别表示什么意义 【应用模型】 (2)小航周末计划骑行去郊外景区，往返预计骑行总时长为80分钟，且在景区周边还会产生约20分钟的 额外骑行时长，根据计算，他应该选择哪个套餐更省钱？ 15.在一条公路上依次有A,B,C三点，甲、乙两车同时从B地出发，甲车匀速驶向A地，乙车匀速驶向 C地，到达C地后停留h后，加速驶向A地，乙车比甲车早1h到达A地.甲、乙两车距B地的路程y(单 位：km)与所用时间x(单位：h)的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： 个y/km 420 O2 M 6 h (1)A,C两地相距 km; (②)求图象中线段MN的函数解析式： (3)直接写出甲车出发后经过多长时间与乙车相距30m。 16,某体育用品商场采购员要到厂家批发购买篮球和排球共100个，篮球个数不少于排球个数，付款总额不 得超过11200元，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表.设该商场采购x个篮球. 品名 厂 家批发价元/个 商场零售价元/个 篮球 120 150 排球 100 120 (I)求该商场采购费用y(单位：元)与x(单位：个)的函数关系式，并写出自变量x的取值范围： (②)该商场把这100个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润； (3)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球的批发价上调了3m(m>0)元/个，同时排球 19/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 批发价下调了2m元/个，该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将100个球全部卖出获得的最低利润 是2300元，求m的值。 20/20