第10讲 相似多边形（暑假预习举一反三讲义）新九年级数学上册新教材北师大版

第10讲 相似多边形（暑假预习讲义） 【新教材北师大版】 【知识框架+2个知识归纳+4个题型+课后作业】 模块二 相似多边形 在实际生活中，我们经常会看到许多形状相同的图形．你能在下图中找出形状相同的图形吗？这些形状相同的图形有什么不同？ 【知识点1 比例线段】 1. 定义：四条线段，，，中，如果与的比等于与的比，即，那么这四条线段，，，叫作成比例线段，简称比例线段． 2. 比例的性质： （1）如果，那么； （2）如果（，，，都不等于0），那么； （3）（），那么． 【知识点2 相似多边形】 1. 定义：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫作相似多边形． 2. 相似比：相似多边形对应边的比叫作相似比． 【题型1 比例线段】 【例1】下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若四条线段满足，则称这四条线段成比例，据此对各选项逐一验证即可． 【详解】解：A、， ，， ∵， 这组线段不成比例，故本选项错误． B、， ，， ∴， 这组线段成比例，故本选项正确． C、， ，， ∵， 这组线段不成比例，故本选项错误． D、， ，， ∵， ∴这组线段不成比例，故本选项D错误． 故选：B． 【变式1-1】已知、、、为成比例线段，其中，，，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据四条线段成比例的顺序列出比例式，代入已知线段长度计算即可得到结果． 【详解】解：∵、、、为成比例线段，根据定义可得， ∴将，，代入得， 解得． 故选：B． 【变式1-2】下列长度的各组线段中，属于成比例线段的一组是（   ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 【答案】B 【分析】本题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等，同时注意单位要统一．如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对选项一一分析，排除错误答案． 【详解】解：A、，不是成比例线段，故本选项不符合题意； B、，是成比例线段，故本选项符合题意； C、，不是成比例线段，故本选项不符合题意； D、，不是成比例线段，故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式1-3】下列各组线段中，成比例的一组是（    ）． A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】本题考查比例线段的概念，若四条线段成比例，则最小线段与最大线段的乘积等于另外两条线段的乘积，据此依次判断即可． 【详解】解：对各选项依次判断： 选项A：∵，，， ∴该组线段不成比例，A错误； 选项B：∵，，，且， ∴该组线段成比例，B正确； 选项C：∵，，， ∴ 该组线段不成比例，C错误； 选项D：∵，，， ∴该组线段不成比例，D错误． 故选：B． 【题型2 比例的性质】 【例2】已知a、b、c满足．求的值． 【答案】1 【分析】设，可得，，，再将其代入式子求解即可． 【详解】解：设， 则，，， 则． 故答案为：1． 【变式2-1】若，则_______． 【答案】 【分析】根据比例的性质得到，进而代入计算即可得到结果． 【详解】解：， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2-2】已知． （1）求的值． （2）若，求的值． 【分析】本题考查比例的性质，一元一次方程的应用，求分式的值，代数式的值． （1）设，，（），代入计算即可； （2）设，，（），代入即可得到关于k的方程，求解即可得到a，b，c的值，进而解答． 【详解】（1）解：∵， 设，，（）， ∴； （2）解：∵， 设，，（）， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2-3】已知a、b、c是的三边长，且，求： （1）的值： （2）若的周长为，求a、b、c的值． 【分析】本题考查了比例的性质，熟练运用设法是解题的关键． （1）根据题干信息，假设，，，代入即可得出结果； （2）由（1）中，列方程，解出的值，再分别求出a、b、c的值． 【详解】（1）解：∵， 令，，， 则． （2）解：∵的周长为， ∴， 解得， ∴，，， 故， ，． 【题型3 相似多边形】 【例3】如图，已知，，，，试判断四边形与四边形是否相似，并说明理由． 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，根据四边形的四个角分别对应相等，四条边对应成比例可得答案. 【详解】解：四边形与四边形相似．理由如下： ∵，，，， ∴， ，，，且 ， ∴四边形与四边形相似． 【变式3-1】下列图形中，相似多边形是（   ）    A．甲与乙 B．乙与丙 C．丙与丁 D．乙与丁 【答案】C 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，根据相似多边形的判定方法可得答案. 【详解】解： ∵甲、乙、丙、丁的邻边之比分别为：；，，，且四个图形的每一个内角都是直角； ∴丙、丁两个图形的对应边成比例，对应角相等. ∴相似的是丙与丁， 故选：C． 【变式3-2】下列两个图形：①两个等边三角形；②两个等腰直角三角形；③两个正方形；④两个菱形；⑤两个正六边形，一定相似的有（    ） A．4组 B．3组 C．2组 D．5组 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似图形的判定，解题的关键是掌握相似图形的判定方法． 相似图形需对应角相等且对应边成比例． 【详解】解：①∵两个等边三角形所有角均为，对应边成比例， ∴相似，符合题意； ②∵两个等腰直角三角形角均为、、，对应边成比例， ∴相似，符合题意； ③∵两个正方形所有角均为，对应边成比例， ∴相似，符合题意； ④∵两个菱形对应角不一定相等， ∴不一定相似，不符合题意； ⑤∵两个正六边形所有角均为，对应边成比例， ∴相似，符合题意； ∴一定相似的有①、②、③、⑤，共4组， 故选：A． 【变式3-3】如图，矩形为一块绿地，长为，宽为，现计划在绿地中央建一个矩形花圃．要使矩形花圃的面积是原矩形绿地面积的一半，且矩形花圃四周的绿地等宽． （1）求花圃四周绿地的宽度； （2）矩形与矩形相似吗？请说明理由． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及相似多边形的判定，熟练掌握矩形的面积公式和相似多边形的定义是解题的关键． （1）设花圃四周绿地的宽度为米，根据矩形面积公式，分别表示出花圃的长和宽，再结合花圃面积是原绿地面积的一半列出方程求解． （2）先求出矩形的长和宽，再根据相似多边形的定义，判断对应边的比例是否相等，对应角是否相等（矩形的内角都是直角，对应角相等）． 【详解】（1）解：设花圃四周绿地的宽度为米．则花圃的长为米，宽为米．由题意得 ， ， 解得或， ∵绿地的宽度不能超过原矩形的宽度，即，解得， ∴， 答：花圃四周绿地的宽度为； （2）解：矩形与矩形不相似，理由如下： 由（）知，，则矩形的长为米，宽为米． 原矩形的长与宽的比值为，矩形的长与宽的比值为． ∵ ∴矩形与矩形不相似． 【题型4 相似多边形的性质】 【例4】如图，四边形四边形，求的长及的度数． 【分析】本题主要考查了相似四边形的性质，四边形内角和性质． 根据相似四边形的性质可得，代入求的值，然后根据四边形内角和定理得出度数． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴． ∵， ∴， 解得． ∴． 【变式4-1】如图，矩形中，，，点E，F分别在，上，若矩形矩形，则的长为____． 【答案】 【分析】根据相似多边形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵矩形矩形， ∴， 由矩形的性质可知，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式4-2】如图，四边形四边形，相似比为，点，，，四点共线，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似多边形的性质，根据相似多边形对应角相等，对应边成比例，逐项判断即可． 【详解】解：四边形四边形，相似比为， ，，， 选项A，D说法正确，不合题意； ， ， 选项B说法正确，不合题意； 现有条件不能得出， 选项C说法不一定正确，符合题意； 故选：C． 【变式4-3】如图，把一个长方形按如图方式划分成三个全等的小长方形，每一个小长方形与原长方形相似，若原长方形的长为6，则小长方形的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似图形的性质，如图，标记点E，F，则长方形长方形，根据对应边成比例列等式即可求解． 【详解】解：如图，标记点E，F，则长方形长方形， ， ， 长方形长方形， ， ， （负值舍去）， ， 故选：B． 模块三 课后作业 1．下列各组的四条线段是成比例线段的是（　　） A． B． C．，， D．，，， 【答案】D 【分析】本题考查成比例线段的判定，根据成比例线段的定义，若，则称四条线段是成比例线段；由比例的基本性质可知，这等价于，依次验证各选项即可． 【详解】解：∵成比例线段满足 A、，，，不成比例，不符合题意； B、，，，不成比例，不符合题意； C、，，，不成比例，不符合题意； D、，，，成比例，符合题意． 故选：D． 2．已知，则下面结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例内项之积等于外项之积的性质是解题关键． 根据比例的性质，把等积式写成比例式即可得出结论． 【详解】解：A、由得，故选项符合题意； B、由得，故选项不符合题意； C、由得，故选项不符合题意； D、由得，故选项不符合题意． 故选：A． 3．如图，在中，，分别是，上的点，且．若，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，关键是掌握定理的内容并能灵活运用，特别注意定理中线段的对应．设，则，再根据求解即可． 【详解】解：，， ． 设． ， ． ， ， 解得，即． 故选：B． 4．如图，四边形四边形，若 ，则____度． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟记相似多边形的对应角相等是解题的关键．根据相似多边形的对应角相等，以及四边形内角和为度求解即可． 【详解】解：四边形四边形， 又，，， ， 故答案为：． 5．如图，一个矩形广场（阴影部分）的长为，宽为，广场外围两条纵向小路的宽均为．如果设两条横向小路的宽都为，那么当x为_______时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程和相似多边形的性质，熟练掌握“如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形”是解题的关键． 根据内外矩形的对应角相等，当时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似，再利用比例性质求出即可． 【详解】解：根据题意得：内矩形长为，宽为，外矩形长为，宽为， 若内外两个矩形相似，除对应角相等外，还需，解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． ∴当时， 小路内、外边缘所围成的两个矩形相似． 故答案为：． 6．已知、、为的三边长，且，，求． 【分析】此题考查了比例的性质和勾股定理的逆定理，熟练掌握比例的有关性质是解题的关键． 通过比例关系求出三角形三边长，再根据勾股定理逆定理判断为直角三角形，最后利用直角三角形面积公式求解即可． 【详解】解：设， 则，，， ∵， ∴ 解得， ∴，，， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，直角边为a和b， ∴ ． 7．已知：，且． （1）求a、b、c的值； （2）添上一个数m，使得a、b、c、m四个数能构成比例式，那么m可以是______； （3）若四条线段a，b，c，d为成比例线段，则线段d的长为______． 【分析】（1）设，得到，代入求出，即可得到a、b、c的值； （2）根据a、b、c、m四个数能构成比例式得到或或，分别求解即可； （3）根据“成比例线段”的定义求解即可． 【详解】（1）解：设， ∴， ∵ ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵a、b、c、m四个数能构成比例式，且比例式两内项之积等于两外项之积， ∴或或， 即或或， 解得：或或； （3）解：∵四条线段a，b，c，d为成比例线段， ∴， ∴， 即， 解得：． 8．如图，已知，点在边的延长线上，点在边的延长线上，，，且． （1）的度数为______； （2）若，求的长． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似四边形的性质，正确理解相似多边形的性质是解题的关键． （1）根据平行四边形、相似多边形的性质回答即可； （2）根据平行四边形、相似多角形的性质回答即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ， ， ， ； 故答案为：； （2）解：四边形是平行四边形， ， ，，， ， ， ． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 相似多边形（暑假预习讲义） 【新教材北师大版】 【知识框架+2个知识归纳+4个题型+课后作业】 模块二 相似多边形 在实际生活中，我们经常会看到许多形状相同的图形．你能在下图中找出形状相同的图形吗？这些形状相同的图形有什么不同？ 【知识点1 比例线段】 1. 定义：四条线段，，，中，如果与的比等于与的比，即，那么这四条线段，，，叫作成比例线段，简称比例线段． 2. 比例的性质： （1）如果，那么； （2）如果（，，，都不等于0），那么； （3）（），那么． 【知识点2 相似多边形】 1. 定义：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫作相似多边形． 2. 相似比：相似多边形对应边的比叫作相似比． 【题型1 比例线段】 【例1】下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知、、、为成比例线段，其中，，，则为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列长度的各组线段中，属于成比例线段的一组是（   ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 【变式1-3】下列各组线段中，成比例的一组是（    ）． A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【题型2 比例的性质】 【例2】已知a、b、c满足．求的值． 【变式2-1】若，则_______． 【变式2-2】已知． （1）求的值． （2）若，求的值． 【变式2-3】已知a、b、c是的三边长，且，求： （1）的值： （2）若的周长为，求a、b、c的值． 【题型3 相似多边形】 【例3】如图，已知，，，，试判断四边形与四边形是否相似，并说明理由． 【变式3-1】下列图形中，相似多边形是（   ）    A．甲与乙 B．乙与丙 C．丙与丁 D．乙与丁 【变式3-2】下列两个图形：①两个等边三角形；②两个等腰直角三角形；③两个正方形；④两个菱形；⑤两个正六边形，一定相似的有（    ） A．4组 B．3组 C．2组 D．5组 【变式3-3】如图，矩形为一块绿地，长为，宽为，现计划在绿地中央建一个矩形花圃．要使矩形花圃的面积是原矩形绿地面积的一半，且矩形花圃四周的绿地等宽． （1）求花圃四周绿地的宽度； （2）矩形与矩形相似吗？请说明理由． 【题型4 相似多边形的性质】 【例4】如图，四边形四边形，求的长及的度数． 【变式4-1】如图，矩形中，，，点E，F分别在，上，若矩形矩形，则的长为____． 【变式4-2】如图，四边形四边形，相似比为，点，，，四点共线，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】如图，把一个长方形按如图方式划分成三个全等的小长方形，每一个小长方形与原长方形相似，若原长方形的长为6，则小长方形的长为（    ） A．2 B． C． D． 模块三 课后作业 1．下列各组的四条线段是成比例线段的是（　　） A． B． C．，， D．，，， 2．已知，则下面结论成立的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，分别是，上的点，且．若，，，则（　　） A． B． C． D． 4．如图，四边形四边形，若 ，则____度． 5．如图，一个矩形广场（阴影部分）的长为，宽为，广场外围两条纵向小路的宽均为．如果设两条横向小路的宽都为，那么当x为_______时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似． 6．已知、、为的三边长，且，，求． 7．已知：，且． （1）求a、b、c的值； （2）添上一个数m，使得a、b、c、m四个数能构成比例式，那么m可以是______； （3）若四条线段a，b，c，d为成比例线段，则线段d的长为______． 8．如图，已知，点在边的延长线上，点在边的延长线上，，，且． （1）的度数为______； （2）若，求的长． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $