第11讲 探索三角形相似的条件（暑假预习举一反三讲义）新九年级数学上册新教材北师大版

第11讲 探索三角形相似的条件（暑假预习讲义） 【新教材北师大版】 【知识框架+2个知识归纳+5个题型+课后作业】 模块二 探索三角形相似的条件 根据相似多边形的定义，三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫作相似三角形． 那么，两个三角形至少满足哪些条件就相似呢？能否类比两个三角形全等的条件，寻找判定两个三角形相似的条件呢？ 【知识点1 相似三角形的判定】 1. 定理1：两角分别对应相等的两个三角形相似． 已知和和和，若，，则． 2. 定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 已知和和，若，，则． 3. 定理3：三边对应成比例的两个三角形相似． 已知和和，若，则． 【知识点2 黄金分割】 1. 定义：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫作线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫作黄金比． 2. 黄金比：． 【题型1 利用两角对应相等判定相似】 【例1】如图，中，，，．将沿图中的剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知，如图，在中，，D是线段上一点（不与端点B、C重合），连结，以为边，在的右侧作等边，线段与线段交于点F．求证：． 【变式1-2】如图，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，在中，D为上一点，E为上一点，如果，． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 【题型2 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似】 【例2】如图，在中，D为边上一点，，，．求证：． 【变式2-1】如图，与相交于点，已知，，，．求证：． 【变式2-2】如图，点D，E分别在的边，上，且，则下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，中，是边上的高，且． （1）求证； （2）求的大小． 【题型3 利用三边对应成比例判定相似】 【例3】如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上．请判断与是否相似？并证明你的结论． 【变式3-1】如图所示，在四边形中，，．求证：平分． 【变式3-2】若和满足下列条件，其中能使的是（   ） A．，，，，， B．，，，，， C．，，，，， D．，，，，， 【变式3-3】如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（    ）． A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①②③ 【题型4 选择或添加条件使两个三角形相似】 【例4】如图，已知和，点在边上，点在边上，边和边交于点．如果．那么添加下列一个条件后，仍无法判定与一定相似的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，下列条件不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，已知，P是上一点，连接，要使，只需添加条件______．（只要写出一种合适的条件） 【变式4-3】如图，，添加一个条件：_____，使．（写一个即可） 【题型5 黄金分割】 【例5】黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清的边 ， 上，且，“远”字的笔画“、”的位置在 的黄金分割点处，且 若，则 的长为_______(结果保留根号)． 【变式5-1】点P是线段的黄金分割点， 且 ，那么 _______． 【变式5-2】如图，社区为了打造“便民休闲角”，计划将一块闲置空地改造成如图所示的集阅读区、健身区和绿植区的小型休闲广场．已知阅读区（）和健身区（）均为正方形，且点、分别为、的黄金分割点（其中，），若长为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式5-3】我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为．如图，在中，，，平分交于点，若，则的长为（     ）                                          A． B． C． D． 模块三 课后作业 1．能判定的条件是（    ） A． B．， C．， D．， 2．如图，点D、E分别是在边上，添加下列条件（    ）仍不能判断与相似． A． B． C． D． 3．如图，在四边形中，．若，则的度数是_________． 4．黄金分割是汉字结构美学的核心规律，也是建阳雕版印刷中汉字排版的重要依据，尽显建阳雕版工匠的设计智慧．借助边长为a的正方形习字格书写建阳刻本常用汉字“潭”，字体端庄舒展、比例协调．已知一条分割线的端点A、B分别在习字格的边、上，且且，点C是线段的黄金分割点，满足（），若．则正方形习字格边长a的长为________． 5．如图，在中，，，，点在上．若与相似，则__________cm． 6．如图，在正方形中，点E是的中点，点F、G分别在边上，连接，若，求证：． 7．如图，在中，，交于点，交于点． 求证：（1）； （2）． 8．如图，在菱形中，E为边上一点．现要添加一个条件，使． （1）若添加的条件为，求证：； （2）若添加下列条件，也可以使，则这个条件是_______（填序号）； ①；②；③． （3）在（1）的条件下，若，，求菱形的边长． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 探索三角形相似的条件（暑假预习讲义） 【新教材北师大版】 【知识框架+2个知识归纳+5个题型+课后作业】 模块二 探索三角形相似的条件 根据相似多边形的定义，三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫作相似三角形． 那么，两个三角形至少满足哪些条件就相似呢？能否类比两个三角形全等的条件，寻找判定两个三角形相似的条件呢？ 【知识点1 相似三角形的判定】 1. 定理1：两角分别对应相等的两个三角形相似． 已知和和和，若，，则． 2. 定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 已知和和，若，，则． 3. 定理3：三边对应成比例的两个三角形相似． 已知和和，若，则． 【知识点2 黄金分割】 1. 定义：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫作线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫作黄金比． 2. 黄金比：． 【题型1 利用两角对应相等判定相似】 【例1】如图，中，，，．将沿图中的剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定逐一判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴，故选项不符合题意； B、∵，， ∴，故选项不符合题意； C、由图形可知，只有，不能判断，故选项符合题意； D、∵，， ∴，故选项不符合题意． 故选：C． 【变式1-1】已知，如图，在中，，D是线段上一点（不与端点B、C重合），连结，以为边，在的右侧作等边，线段与线段交于点F．求证：． 【分析】先根据等边三角形的性质得到，与已知的相等；再利用对顶角相等得到；最后根据两角分别相等的两个三角形相似，即可证得． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 又∵（对顶角相等）， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． 【变式1-2】如图，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键． 根据相似三角形的性质得到，， 根据四边形的内角和等于计算即可． 【详解】解：，，， ，， ， 故选：D． 【变式1-3】如图，在中，D为上一点，E为上一点，如果，． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质． （1）根据，可得，即有，结合，可得； （2）根据，可得，即，代入已知条件即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴，则， ∵，，， ∴， ∴． 【题型2 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似】 【例2】如图，在中，D为边上一点，，，．求证：． 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 求出两组对应边的比例，利用两边对应成比例且其夹角相等的判定方法证明相似． 【详解】证明：∵在中，D为边上一点，，，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 【变式2-1】如图，与相交于点，已知，，，．求证：． 【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据边长得出对应边成比例，依据对顶角相等得到，即可证明． 【详解】证明：∵， ， ， 又， ∴． 【变式2-2】如图，点D，E分别在的边，上，且，则下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由及，可证明，即可得到；另三个结论均无法证明． 【详解】解：，， ， ， B选项正确； 和不是同位角， 无法证明， A选项错误； ， ， C选项错误； ，且与不一定会相等， 与不一定会相等， D选项错误． 故选：B． 【变式2-3】如图，中，是边上的高，且． （1）求证； （2）求的大小． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质． （1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明； （2）由（1）知，然后根据相似三角形的对应角相等可得：，然后由，可得：，即． 【详解】（1）证明：∵是边上的高， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即． 【题型3 利用三边对应成比例判定相似】 【例3】如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上．请判断与是否相似？并证明你的结论． 【分析】在网格中，利用勾股定理求出和的各条边长，计算，看比值是否相等即可判断与是否相似，利用两个三角形对应三边成比例判定即可证明结论． 【详解】相似，证明如下： 在中，； 在中，； ， 即， ． 【变式3-1】如图所示，在四边形中，，．求证：平分． 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的判定得到，进而利用相似三角形的对应角相等可得答案． 【详解】证明：， ． ， ． 平分． 【变式3-2】若和满足下列条件，其中能使的是（   ） A．，，，，， B．，，，，， C．，，，，， D．，，，，， 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定——三组对应边成比例，则两个三角形相似． 分别计算对应边的比例，判断是否相等，即可得出两个三角形是否相似． 【详解】解：A、∵，，，∴，∴．故此选项符合题意； B、∵，，∴，故此选项不符合题意； C、∵，，，∴，故此选项不符合题意； D、∵，，∴，故此选项不符合题意． 故选：A． 【变式3-3】如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（    ）． A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定，勾股定理，掌握好相似三角形的判定定理是关键． 结合网格图与勾股定理，计算出每个三角形的三边长，利用三边对应成比例的判定定理判断相似三角形． 【详解】解：由网格图和勾股定理可得， ①中三角形的三边长为，，； ②中三角形的三边长为，，； ③中三角形的三边长为，，； ④中三角形的三边长为，，； ∵， ∴①和③中的三角形相似． 故选：C． 【题型4 选择或添加条件使两个三角形相似】 【例4】如图，已知和，点在边上，点在边上，边和边交于点．如果．那么添加下列一个条件后，仍无法判定与一定相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可由得到；利用或可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似先判断，再利用有两组角对应相等的两个三角形相似判定，从而得到与相似，于是可对各选项进行判断 ． 【详解】解： 当时， 则， ， ，故A不符合题意； 当，则，即， ， ， ， ， ， ， ，故B不符合题意； 当，则， ， ， ， ， ， ， ，故C不符合题意； 根据，无法得到与相似，故D符合题意． 故选：D． 【变式4-1】如图，下列条件不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定方法逐一进行判断即可. 【详解】解：∵， ∴当时，根据两角对应相等，能判定与相似； 当，根据两角对应相等，能判定与相似； 当，不能判定与相似； 当，根据两组对应边成比例，夹角相等，能判定与相似； 故只有C选项符合题意. 故选：C． 【变式4-2】如图，已知，P是上一点，连接，要使，只需添加条件______．（只要写出一种合适的条件） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据相似三角形的判定定理进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∴若添加时，则可根据“两组角对应相等的两个三角形相似”判定； 若添加时，则可根据“两组角对应相等的两个三角形相似”判定； 若添加（）时，则可根据“两组对应边成比例且它们的夹角也相等的两个三角形相似”判定； 故答案为：（答案不唯一）． 【变式4-3】如图，，添加一个条件：_____，使．（写一个即可） 【答案】（或或） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理（两角分别相等、两边成比例且夹角相等）是解题的关键． 先由推出，再分别添加一组对应角相等或对应边成比例，利用相似三角形的判定定理证明． 【详解】解：情况：添加条件， ∵， ∴， 即． ∵，， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． 情况：添加条件， ∵， ∴， 即． ∵，， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． 情况：添加条件， ∵， ∴， 即． ∵，， ∴（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）． 故答案为：（或或）． 【题型5 黄金分割】 【例5】黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清的边 ， 上，且，“远”字的笔画“、”的位置在 的黄金分割点处，且 若，则 的长为_______(结果保留根号)． 【答案】/ 【分析】先证明四边形是矩形，根据黄金分割的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 又∵， ∴． 故答案为：． 【变式5-1】点P是线段的黄金分割点， 且 ，那么 _______． 【答案】/ 【分析】根据黄金分割的定义求出的长度，再利用线段的和差关系计算即可． 【详解】解： 点是线段的黄金分割点， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式5-2】如图，社区为了打造“便民休闲角”，计划将一块闲置空地改造成如图所示的集阅读区、健身区和绿植区的小型休闲广场．已知阅读区（）和健身区（）均为正方形，且点、分别为、的黄金分割点（其中，），若长为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据黄金分割点的定义求解即可． 【详解】解：∵长为，且点为的黄金分割点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点为的黄金分割点，四边形是正方形， ∴点为的黄金分割点， ∴， 即的长为． 故选：B． 【变式5-3】我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为．如图，在中，，，平分交于点，若，则的长为（     ）                                          A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出和的度数，结合角平分线定义求出的度数，进而证得是顶角为的等腰三角形，利用题目给出的“黄金三角形”底与腰的比值关系即可求解． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， ， 是顶角为的等腰三角形，即“黄金三角形”， ， ， ． 故选：A． 模块三 课后作业 1．能判定的条件是（    ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定，需熟练掌握相似三角形的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；两角分别相等的两个三角形相似等是解题的关键．据此逐一分析选项即可求解． 【详解】解：A、三边对应成比例但对应边匹配错误，应为才能判定相似，故A错误． B、与、与不是对应角，不满足两角分别相等的判定条件，故B错误． C、，但与不是这两组边的夹角，不满足两边对应成比例且夹角相等的条件，故C错误． D、，且（是与的夹角，是与的夹角）， 满足两边对应成比例且夹角相等的相似判定定理，则，故D正确． 故选：D． 2．如图，点D、E分别是在边上，添加下列条件（    ）仍不能判断与相似． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可：两组角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似． 【详解】解：由，，可以根据两组角对应相等的两个三角形相似证明，故A不符合题意； 由可得，再由，可以根据两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似证明，故B不符合题意； 由，可得，再由，可以根据两组角对应相等的两个三角形相似证明，故D不符合题意； 由结合现有条件，无法证明与相似，故C符合题意； 故选：C． 3．如图，在四边形中，．若，则的度数是_________． 【答案】/度 【分析】本题考查了相似三角形的定义及判定相似三角形的性质，解题的关键是掌握其性质． 利用三边成比例证明，可得的度数． 【详解】解：， ， ， ． ． 故答案为： ． 4．黄金分割是汉字结构美学的核心规律，也是建阳雕版印刷中汉字排版的重要依据，尽显建阳雕版工匠的设计智慧．借助边长为a的正方形习字格书写建阳刻本常用汉字“潭”，字体端庄舒展、比例协调．已知一条分割线的端点A、B分别在习字格的边、上，且且，点C是线段的黄金分割点，满足（），若．则正方形习字格边长a的长为________． 【答案】 【分析】根据题意可得，结合，得出，则，结合，列出方程，即可求解． 【详解】解：∵点在线段上，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： ． 5．如图，在中，，，，点在上．若与相似，则__________cm． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论①，②，先证明，再通过对应线段成比例，求出，综合两种情况，得到的值． 【详解】解：分两种情况讨论： ①，如下图 ， ， ； ②，如下图，即， ，， ， ， ， 综上所述，的值为或． 6．如图，在正方形中，点E是的中点，点F、G分别在边上，连接，若，求证：． 【分析】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定等知识点，掌握两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键． 由正方形的性质可得，再结合已知条件可得，然后根据相似三角形的判定定理即可证明结论． 【详解】证明：四边形是正方形， ，               点E是的中点， ，              ，     ． 7．如图，在中，，交于点，交于点． 求证：（1）； （2）． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出是解决问题的关键． （1）利用已知得出，即可得出答案； （2）利用，得出，进而求出即可． 【详解】（1）证明：，， ． ． ， ， ； （2）， ． ，， ， ． 8．如图，在菱形中，E为边上一点．现要添加一个条件，使． （1）若添加的条件为，求证：； （2）若添加下列条件，也可以使，则这个条件是_______（填序号）； ①；②；③． （3）在（1）的条件下，若，，求菱形的边长． 【分析】（1）根据菱形的性质可得，即可求证； （2）根据相似三角形的判定定理解答即可； （3）根据相似三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ， ， 又， ； （2）解：四边形是菱形， ， ， ∴可添加，使； （3）解：四边形是菱形， ， 又， ，即， ， ∵，， ， ， 即菱形的边长为． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $