精品解析：山西晋城市部分校联考2025-2026学年高一下学期7月期末自测数学试题

山西晋城市部分校联考2025-2026学年高一下学期7月期末自测数学试题 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A版必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，是复数，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的减法运算求解. 【详解】由题意. 2. 已知向量，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为向量，，且，则，解得. 3. 某学校高一年级由440名男同学和330名女同学组成，现用分层随机抽样的方法从高一年级中随机抽取一个容量为84的样本进行睡眠质量调查，其中应抽取的男同学人数为（ ） A. 36 B. 42 C. 48 D. 54 【答案】C 【解析】 【分析】使用分层抽样的定义计算. 【详解】应抽取的男同学人数为：. 4. 某圆锥的体积为，底面半径为1，则该圆锥的侧面展开图所对应的扇形的圆心角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据体积先计算出圆锥的高，再根据高计算出圆锥的母线，即展开图扇形的半径，最后在根据弧长公式求出圆心角. 【详解】设圆锥的高为，则，解得，母线长为， 所以圆锥的侧面展开图所对应的扇形的圆心角为． 故选：D． 5. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可. 【详解】若，，则或，故A错误； 若，，，则与可能平行，可能相交，可能异面，故B错误； 若，，则或，又， 则与可能平行，可能相交，故C错误； 两条平行直线，其中一条与一个平面垂直，则另一条也与该平面垂直，故D正确． 故选：D． 6. 从不超过20的质数中，任选两个不同的质数，，记，则事件“”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知质数有，结合确定对应的情况数，及8个质数中任选2个的情况数，应用古典概型的概率求法求概率. 【详解】不超过的质数有共8个， 任选其中2个数差的绝对值小于4，有共6组， 所以任选2个不同的质数差的绝对值小于4的情况有种， 从8个质数中任选2个不同的质数有种， 所以，所求概率为. 7. 在中，内角、、所对的边分别为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理化简可得，计算可得，由正弦定理可得，代入可得答案. 【详解】由余弦定理得， 所以，所以，故． 由正弦定理，得， 故． 故选：B． 8. 如图，在梯形中，为上一点，且满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及定义求解. 【详解】在梯形中，令，由，得， 由，得，所以 . 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某企业积极响应国家节水号召，对污水进行净化再利用，如图是该企业近7年的污水净化量（单位：t）的折线图，则（ ） A. 这组数据的众数是56 B. 这组数据的极差是4 C. 这组数据的60%分位数是55 D. 去掉第5年的数据后，新数据的方差会变小 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意将数据从小到大排列为52，52，53，54，55，56，56，即可得众数与极差，对于C，由百分位数计算方法即可求解，对于D，先求出这组数据的平均数为54，且第5年的数据为54，由方差的计算公式可知，去掉第5年的数据后方差变大，故D错误. 【详解】将数据从小到大排列为52，52，53，54，55，56，56，众数是52和56，A错误；极差是，B正确； 对于C，，所以60%分位数是从小到大排列的第5个数，即为55，C正确； 对于D，该组数据的平均数为，第5年的数据为54，设原始数据的方差为，去掉第5年的数据后的方差为，则 ， ， 即，故D错误. 故选：BC. 10. 在复平面内，复数，对应的点分别为，，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，且，则，关于轴对称 C. 若，则 D. 若，且，是关于的方程的两个根（，），则 【答案】BC 【解析】 【详解】若，则，故A错误； 因为，，所以，则，关于轴对称，故B正确； 若，则，则，故C正确； 由题意得，，则，故D错误. 11. 如图，正方体的棱长为2，分别是棱上的点（不包括端点），且，则下列说法正确的是（ ） A. 正方体的外接球的表面积为 B. 若平面与平面的交线为，则 C. 若平面与平面所成的二面角为，的面积为，则 D. 若，则平面截正方体所得截面的面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】求出正方体的体对角线得球半径判断A；利用线面平行的判定性质推理判断B；作出二面角并求解判断C；作出截面并求出面积判断D. 【详解】对于A，由，得正方体的外接球半径， 因此正方体的外接球表面积为，A错误； 对于B，由，，得四边形是平行四边形，， 而平面，平面，则平面， 是平面与平面的交线，平面，因此，B正确； 对于C，分别取的中点，，连接，则， ，，，又，则，， 因此是平面和平面所成的二面角的平面角， 则，C正确； 对于D，延长使得，连接交于点，连接交于点， 则，，且，， 四边形为菱形，平面截正方体所得截面为五边形， 又，，， 所以的面积为，五边形的面积为，D错误． 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 有一个专养草鱼的池塘，为了估计池塘内草鱼的数量，养殖人员从池塘内捞出60条草鱼，做上标记后放回池塘，10天后，他又从池塘内捞出50条草鱼，发现其中有2条草鱼有标记，则可估计该池塘内共有_______________条草鱼． 【答案】1500 【解析】 【详解】设该池塘内共有条草鱼， 则，解得， 所以估计该池塘内有1500条草鱼． 13. 在正四棱台中，，高为1，则直线与所成角的余弦值为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正棱台的几何性质求得，从而求得，过点作的垂线，垂足为，可得，从而求得的值，由异面直线所成角的定义确定异面直线与所成的角，由余弦定理求解即可得其余弦值. 【详解】在正四棱台中，， 所以. 因为高为1，所以， 过点作的垂线，垂足为，易得， 所以， 同理可得． 因为，所以为异面直线与所成角或补角， 在中，， 由余弦定理得， 故异面直线与所成角的余弦值为． 14. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形面积公式与余弦定理，可得，再根据同角关系式可得，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得，结合条件可得取值范围，进而求得的取值范围，令，则，然后由对勾函数的单调性即可求出． 【详解】在中，由余弦定理得， 且的面积， 由，得，化简得， 又，，联立得， 解得或（舍去）， 所以， 因为为锐角三角形， 所以，，所以， 所以，所以，所以， 设，其中，所以， 由对勾函数单调性知在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，；当时，， 所以，即的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得，进而可以求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量与的夹角为，，． （1）若，求实数的值； （2）求向量与的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，可得，根据数量积的运算律及定义可得； （2）先求得向量与的数量积及模，根据夹角公式可得. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 即， 解得． 【小问2详解】 由题意得， ， 设向量与的夹角为， 则． 即向量与的夹角的余弦值为. 16. 甲、乙两人参加猜灯谜比赛，每局比赛甲、乙各猜一个灯谜，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则平局，规定先胜2局的一方赢得奖品并结束此次比赛．已知每局比赛甲猜对的概率为，乙猜对的概率为，在每局比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各局结果也互不影响． （1）求每局比赛中甲获胜的概率，乙获胜的概率及甲、乙平局的概率； （2）求此次比赛进行3局就结束的概率． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式及对立事件的概率公式可得； （2）分析比赛进行3局就结束的各种情况，根据互斥事件的概率加法公式可得. 【小问1详解】 设每局比赛中，甲获胜为事件，乙获胜为事件，甲、乙平局为事件， 则，， ． 【小问2详解】 设比赛进行3局就结束为事件，第局比赛中甲获胜为事件，第局比赛中乙获胜为事件，， 则， 所以 ． 17. 某公司为了解客户对其旗下某产品的满意程度，随机抽取了200名客户进行满意度调查，并将评分（满分100分）按，，，，分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求图中a的值，并估计这200名客户的满意度评分的平均数（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）已知样本中在内的评分的平均数为64.5，方差为14，在内的评分的平均数是74.5，方差是9，求落在内的评分的平均数与方差． 【答案】（1），74.5． （2）平均数为70.5，方差为35 【解析】 【小问1详解】 根据题意，，解得． ， 估计这200名客户的满意度评分的平均数为74.5． 【小问2详解】 由频率分布直方图可知评分在，的频率比为， 则样本中在内的评分的平均数为， 样本中在内的评分的方差为 18. 在中，内角的对边分别为，且. （1）求； （2）若为锐角三角形，求的取值范围； （3）已知点是边上的一点，且，求的长. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理求解即可. （2）用正弦定理将转化为，由已知结合正切函数的性质求出的范围，最后得到答案. （3）设，再利用向量表示出，化简求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 由余弦定理得， 又，所以. 【小问2详解】 由（1）知，所以， 因为， 又为锐角三角形，则所以， 所以，所以，即的取值范围是. 【小问3详解】 设，则， 因为，所以，联立解得 因为， 所以， ， 所以. 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，平面平面，点E，F分别是的中点． （1）求证：平面平面； （2）求三棱锥外接球的表面积； （3）设与平面所成角为，求的取值范围． 【答案】（1）因为底面是边长为2的菱形，且， 所以和均为等边三角形. 因为点是的中点，所以． 因为，所以. 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质定理结合菱形的性质证得平面，再由面面垂直的判定定理得平面平面； （2）由三棱锥的特征，确定其外接球的半径等于外接圆的半径，利用正弦定理求得外接圆的半径，从而求得三棱锥外接球的表面积； （3）取的中点，作，垂足为，根据线面角的定义，.若点在线段（不含端点）上，设；若点在线段（不含端点）上，设.利用余弦定理及同角三角函数关系式，用或表示，结合基本不等式可求得的取值范围.若点与重合，直接求出的值，综合所有情况，可得的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，则. 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面，因为为直角三角形，所以为外接圆的圆心. 所以三棱锥的外接球球心一定在平面内，且为的外心， 三棱锥的外接球的半径等于外接圆的半径. 因为是等边三角形，， 由正弦定理，得（为的外接圆半径）， 解得，即三棱锥的外接球半径为． 所以三棱锥外接球的表面积为． 【小问3详解】 取的中点，作，垂足为，连接． 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面为与平面所成的角，所以． ①若在线段（不含端点）上，如图1，设， 因为为的中点，所以， 因为F，G分别是的中点，所以，又， 所以，由余弦定理得， 所以． 令，由，得， 所以，当且仅当，即时等号成立． 又，所以的取值范围为． ②若在线段上（不含端点），如图2，设， 因为，所以， 又，所以，由余弦定理得， 所以． 令，由，得，所以． 令，任取， 则， 因为，所以， 故，即， 所以在上单调递增，且，所以的取值范围为． ③若与重合，则． 综上所述，的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西晋城市部分校联考2025-2026学年高一下学期7月期末自测数学试题 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A版必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，是复数，若，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 3. 某学校高一年级由440名男同学和330名女同学组成，现用分层随机抽样的方法从高一年级中随机抽取一个容量为84的样本进行睡眠质量调查，其中应抽取的男同学人数为（ ） A. 36 B. 42 C. 48 D. 54 4. 某圆锥的体积为，底面半径为1，则该圆锥的侧面展开图所对应的扇形的圆心角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 6. 从不超过20的质数中，任选两个不同的质数，，记，则事件“”的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，内角、、所对的边分别为，若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在梯形中，为上一点，且满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某企业积极响应国家节水号召，对污水进行净化再利用，如图是该企业近7年的污水净化量（单位：t）的折线图，则（ ） A. 这组数据的众数是56 B. 这组数据的极差是4 C. 这组数据的60%分位数是55 D. 去掉第5年的数据后，新数据的方差会变小 10. 在复平面内，复数，对应的点分别为，，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，且，则，关于轴对称 C. 若，则 D. 若，且，是关于的方程的两个根（，），则 11. 如图，正方体的棱长为2，分别是棱上的点（不包括端点），且，则下列说法正确的是（ ） A. 正方体的外接球的表面积为 B. 若平面与平面的交线为，则 C. 若平面与平面所成的二面角为，的面积为，则 D. 若，则平面截正方体所得截面的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 有一个专养草鱼的池塘，为了估计池塘内草鱼的数量，养殖人员从池塘内捞出60条草鱼，做上标记后放回池塘，10天后，他又从池塘内捞出50条草鱼，发现其中有2条草鱼有标记，则可估计该池塘内共有_______________条草鱼． 13. 在正四棱台中，，高为1，则直线与所成角的余弦值为_______________． 14. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量与的夹角为，，． （1）若，求实数的值； （2）求向量与的夹角的余弦值． 16. 甲、乙两人参加猜灯谜比赛，每局比赛甲、乙各猜一个灯谜，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则平局，规定先胜2局的一方赢得奖品并结束此次比赛．已知每局比赛甲猜对的概率为，乙猜对的概率为，在每局比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各局结果也互不影响． （1）求每局比赛中甲获胜的概率，乙获胜的概率及甲、乙平局的概率； （2）求此次比赛进行3局就结束的概率． 17. 某公司为了解客户对其旗下某产品的满意程度，随机抽取了200名客户进行满意度调查，并将评分（满分100分）按，，，，分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求图中a的值，并估计这200名客户的满意度评分的平均数（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）已知样本中在内的评分的平均数为64.5，方差为14，在内的评分的平均数是74.5，方差是9，求落在内的评分的平均数与方差． 18. 在中，内角的对边分别为，且. （1）求； （2）若为锐角三角形，求的取值范围； （3）已知点是边上的一点，且，求的长. 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，平面平面，点E，F分别是的中点． （1）求证：平面平面； （2）求三棱锥外接球的表面积； （3）设与平面所成角为，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $