精品解析：山西省名校联考2024-2025学年高一下学期7月期末总结考试数学试题

2024~2025学年第二学期高一7月期末总结考 数 学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册、必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出复数，根据共轭复数的概念确定，再根据复数虚部的概念进行判断. 【详解】由题意知， 所以，即复数的虚部为. 故选：C 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用集合交运算求结果即可. 【详解】因为集合，，所以． 故选：B 3. 一个口袋中装有20个红球和若干个黑球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黑球的个数，小张采用了如下的方法：每次从口袋中摸出1个球，记下球的颜色后再把球放回口袋中摇匀.不断重复上述过程900次，共摸出红球400次，根据上述数值，估计口袋中黑球的个数为（ ） A. 25 B. 30 C. 35 D. 40 【答案】A 【解析】 【分析】设黑球的个数为n，根据古典概型概率公式列式求解即可. 【详解】设黑球的个数为n，由古典概型的概率公式可得，解得. 故选：A. 4. 已知点E为所在平面内一点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的线性运算求解即可. 【详解】因为，所以，即， 所以. 故选：B 5. 已知、表示两个不同的平面，是一条直线且，则是的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义及线面关系判断即可. 【详解】由平面与平面垂直的判定定理知，为平面内的一条直线，如果，则，故充分性成立； 反过来为平面内的一条直线，由可能有或或与相交（不垂直）三种情况，故必要性不成立． 所以“”是“”的充分非必要条件． 故选：A． 6. 已知样本容量为4的样本的平均数为8，方差为，在此基础上获得新数据8，把新数据加入原样本得到样本容量为5的新样本，则该新样本的标准差为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据均值公式与方差公式计算． 【详解】记原来的数据为，新增数据为， 由题意，， 又，所以， 所以该新样本的标准差为. 故选：C. 7. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由辅助角公式化简可得，由余弦函数性质可得，再利用正弦定理及二倍角公式化简计算即可求解. 【详解】由题意得， 即， 因为，，则，且余弦函数在上单调递减， 所以，即， 又，所以， 又，所以， 又，所以，所以. 故选：D. 8. 已知函数，则函数的零点个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】令，由可得，，，分类讨论结合函数图象分析求解即可. 【详解】求函数的零点个数，即求方程的不同实数根的个数， 如图，作出函数的大致图象， 令，则，解得，，． 当时，，则，此时方程无解； 当时，，则，此时方程有3个不同实数根； 当时，，则，此时方程有2个不同实数根． 综上可知，函数的零点个数为5． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 甲投篮一次投中的概率为，每次投篮是否投中相互独立，若甲连续投篮两次，则下列说法正确的是（ ） A. 事件“两次均投中”与“恰好投中一次”为互斥事件 B. 事件“两次均未投中”与“至少投中一次”为对立事件 C. 恰好投中一次的概率为 D. 至多投中一次的概率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用互斥事件、对立事件的意义判断AB；利用相互独立事件的概率及互斥、对立 事件的概率公式计算判断CD. 【详解】对于A，事件“两次均投中”与“恰好投中一次”不能同时发生，是互斥事件，A正确； 对于B，事件“两次均未投中”与“至少投中一次”不能同时发生，但必有一个发生，是对立事件，B正确； 对于C，恰好投中一次的概率为，C错误； 对于D，两次均投中的概率为，所以至多投中一次的概率为，D正确. 故选：ABD 10. 已知，且，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，利用同角三角函数关系和正弦和角公式得到；B选项，计算出，展开后代入求解；C选项，得到，结合角的范围得到；D选项，在C基础上，得到，结合求出. 【详解】A选项，由，得， 所以，则， 所以，A正确； B选项，由，得， 即，又， 解得，B错误； C选项，， 又，故，所以，C错误； D选项，由，得， 所以， 与联立，得，D正确. 故选：AD. 11. 在棱长为4的正方体中，点，，分别为棱，，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线，是异面直线 B. 直线与所成角的余弦值为 C. 三棱锥的内切球的体积为 D. 平面截正方体所得截面的面积为18 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据异面直线的判定定理判断A的真假；构造异面直线所成的角，解三角形求两直线所成角的余弦；先判断三棱锥是正四面体，利用体积法求其内切球的半径，进而求内切球的体积，判断C的真假；作出截面，再求截面面积，判断D的真假. 【详解】对A：如图： 取中点为，连接，，， 因，所以共面，且平面， 又平面，，平面，所以直线与异面.故A正确； 对B：取的中点，取的中点，则， 所以为直线与所成的角或其补角. 连接，在中，，，， 由余弦定理得：， 即直线与所成角的余弦值为，故B正确； 对C：如图： 由题意，三棱锥为棱长是的正四面体，设其内切球的球心为O，半径为R， 所以， 又， 所以，解得， 则三棱锥的内切球的体积为，故C错误； 对D：如图： 延长，交于点，连接交于点，连接， 因为平面平面，平面平面，平面平面，所以. 在梯形中，，，. 则梯形的高为， 所以等腰梯形的面积为，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 小胡同学记录了10次上学途中所花的时间（单位：分钟）分别为：13，12，14，13，13，15，11，16，15，17，则这组数据的第60百分位数为________. 【答案】14.5## 【解析】 【分析】先将数据从小到大排列，再根据百分位数求解方式求解即可. 【详解】将这组数据从小到大排列为：11，12，13，13，13，14，15，15，16，17， 又10×60%=6，所以这组数据的第60百分位数为. 故答案为：14.5 13. 在矩形中，，，点是边上的一点，且，则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】以平面内一组基底表示，再由向量数量积运算律计算即可. 【详解】由题意知，， 所以. 故答案为： 14. 已知直三棱柱的体积为24，，若直三棱柱的所有顶点都在球O的球面上，则球O表面积的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三棱柱几何特征结合外接球公式求出半径，最后应用基本不等式求出最小值结合球的表面积公式计算求解. 【详解】设，，又， 所以直三棱柱的体积，解得. 设球O的半径为R，由题意知， 当且仅当时等号成立，所以球O表面积的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设，复数. （1）若复数是纯虚数，求实数m的值； （2）若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的概念列出方程求解即可； （2）根据复数对应的点在第二象限，列出不等式组求解. 【小问1详解】 因为， 又复数是纯虚数，所以， 解得. 【小问2详解】 复数z在复平面内对应的点为， 又复数z在复平面内对应的点位于第二象限，所以 解得，即实数m的取值范围是. 16. 某蛋糕店为了了解顾客对某款蛋糕的满意程度，对购买该蛋糕的顾客进行问卷调查，现随机抽取了200名顾客的满意度评分（分数均在内），将所得数据分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求m的值，并估计这200名顾客的满意度评分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）在第四、五两组中；按比例分配的分层随机抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人送优惠券，求选出的2人来自同一组的概率. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1求出，再由频率分布直方图求均值即可； （2）分层抽样后列出样本事件空间，利用古典概型求解即可. 【小问1详解】 由题意知， 解得. 估计这200名顾客的满意度评分的平均数. 【小问2详解】 从第四组抽取的人数为（人），记为a，b，c，d， 从第五组抽取的人数为（人），记为e， 从这5人中选出2人，有，，，，，，，，，，共有10种情况， 其中选出的两人来自同一组的有，，，，，，共6种情况， 故选出的2人来自同一组的概率为. 17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）若，求证：为等边三角形； （2）若，，点D是边AB上的一点，且，求线段CD的长. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用余弦定理求出，再利用正弦定理得出； （2）根据即可求出. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 又，所以 若，由正弦定理得，所以， 所以，所以， 又，所以为等边三角形. 【小问2详解】 因为，即， 所以， 解得. 18. 如图，我们把由平面内夹角成60°的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系称为“完美坐标系”.设，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”. （1）已知向量的“完美坐标”分别为，，求； （2）已知向量的“完美坐标”分别为，，证明：； （3）已知向量的“完美坐标”分别为，，设函数，求的值域. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由向量的线性表示及模长公式求解即可； （2）根据向量数量积的运算律计算，并化简即可证明； （3）由（2）得，令，化简得到即可得到值域. 【小问1详解】 因为向量的“完美坐标”分别为，，所以，， 所以， 又，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，且夹角为60°， 所以，， 所以. 【小问2详解】 证明：由（1）知， 所以 ，即. 【小问3详解】 因为向量的“完美坐标”分别为，， 由（2）得. 令，则， 因为，所以，即， 令， 所以当时，取得最小值， 当时，取得最大值， 所以的值域为. 19. 如图，在三棱锥中，平面平面，是边长为2的等边三角形，，，点E是棱PB的中点，点M是棱BC上的一点. （1）求证：； （2）若，求二面角的余弦值； （3）若直线EM与平面所成角的正弦值为，求线段BM的长. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求证平面即可得证； （2）取BF的中点O，连接EO， 过点E作，垂足为G，连接OG，求证平面得到为二面角的平面角，求出即可得解； （3）先求证平面得到点M不同于点C，过点M作，垂足为H，进而求证平面得直线EM与平面所成的角为，设，由得到，再由即可求出. 【小问1详解】 证明：取AB的中点F，连接PF，因为是边长为2的等边三角形， 所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面， 又平面，所以. 在中，，所以，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以. 【小问2详解】 取BF的中点O，连接EO，因为E为线段PB的中点， 所以，， 由（1）知，平面，又平面，所以，所以. 过点E作，垂足为G，连接OG，，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以为二面角的平面角. 因为平面，又平面，所以， 又，所以， 所以，即，解得. 因为平面，平面，所以， 又，所以，所以， 所以， 即二面角的余弦值为. 【小问3详解】 因平面，平面，所以， 又是边长为2的等边三角形，点E是棱PB的中点，所以， 又，平面，所以平面. 显然点M不同于点C，过点M作，垂足为H，又平面， 所以，又，平面， 所以平面，所以直线EM与平面所成的角为. 设，所以，， 在中，， 所以，即， 所以，所以， 解得或（舍），即 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年第二学期高一7月期末总结考 数 学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册、必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 一个口袋中装有20个红球和若干个黑球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黑球的个数，小张采用了如下的方法：每次从口袋中摸出1个球，记下球的颜色后再把球放回口袋中摇匀.不断重复上述过程900次，共摸出红球400次，根据上述数值，估计口袋中黑球的个数为（ ） A. 25 B. 30 C. 35 D. 40 4. 已知点E为所在平面内一点，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知、表示两个不同的平面，是一条直线且，则是的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知样本容量为4的样本的平均数为8，方差为，在此基础上获得新数据8，把新数据加入原样本得到样本容量为5的新样本，则该新样本的标准差为（ ） A. B. C. D. 5 7. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则函数的零点个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 甲投篮一次投中的概率为，每次投篮是否投中相互独立，若甲连续投篮两次，则下列说法正确的是（ ） A. 事件“两次均投中”与“恰好投中一次”为互斥事件 B. 事件“两次均未投中”与“至少投中一次”为对立事件 C. 恰好投中一次的概率为 D. 至多投中一次的概率为 10. 已知，且，若，，则（ ） A B. C. D. 11. 在棱长为4的正方体中，点，，分别为棱，，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线，是异面直线 B. 直线与所成角的余弦值为 C. 三棱锥的内切球的体积为 D. 平面截正方体所得截面的面积为18 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 小胡同学记录了10次上学途中所花的时间（单位：分钟）分别为：13，12，14，13，13，15，11，16，15，17，则这组数据的第60百分位数为________. 13. 在矩形中，，，点是边上的一点，且，则的值为________. 14. 已知直三棱柱的体积为24，，若直三棱柱的所有顶点都在球O的球面上，则球O表面积的最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设，复数. （1）若复数是纯虚数，求实数m的值； （2）若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围. 16. 某蛋糕店为了了解顾客对某款蛋糕的满意程度，对购买该蛋糕的顾客进行问卷调查，现随机抽取了200名顾客的满意度评分（分数均在内），将所得数据分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求m值，并估计这200名顾客的满意度评分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）在第四、五两组中；按比例分配的分层随机抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人送优惠券，求选出的2人来自同一组的概率. 17. 在中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，且. （1）若，求证：为等边三角形； （2）若，，点D是边AB上的一点，且，求线段CD的长. 18. 如图，我们把由平面内夹角成60°两条数轴Ox，Oy构成的坐标系称为“完美坐标系”.设，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”. （1）已知向量的“完美坐标”分别为，，求； （2）已知向量的“完美坐标”分别为，，证明：； （3）已知向量的“完美坐标”分别为，，设函数，求的值域. 19. 如图，在三棱锥中，平面平面，是边长为2的等边三角形，，，点E是棱PB的中点，点M是棱BC上的一点. （1）求证：； （2）若，求二面角的余弦值； （3）若直线EM与平面所成角的正弦值为，求线段BM的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $