暑假作业04 平行四边形的性质与判定（12题型82题）（巩固培优）八年级数学新教材人教版

**基本信息** 聚焦平行四边形性质与判定，以12题型82题构建"基础巩固-能力提升-综合培优"三阶训练体系，通过分层设计实现从概念理解到动态应用的递进，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|定义、性质、判定及基础计算|通过选择填空（如性质求解、判定条件判断）强化对边、角、对角线核心性质的直接应用| |提升层|中位线模型、面积计算、存在性问题|以解答题（如动点分类讨论、多结论判断）训练转化思想与分类讨论能力| |培优层|综合证明、动态问题、实际应用|结合压轴题（如含参数动点、跨知识点综合证明）培养模型意识与创新思维|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业04 平行四边形的性质与判定12题型82题 【知识点1 平行四边形的定义】 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 几何语言：若，则四边形是平行四边形。 核心作用：定义既是平行四边形的性质，也是最基础的判定方法。 【知识点2 平行四边形五大核心性质（边、角、对角线）】 1.边的性质 对边平行且相等。即：。 2.角的性质 对角相等，邻角互补。即：；，其余邻角均互补。 3.对角线性质 对角线互相平分。平行四边形两条对角线相交，交点为两条对角线的中点。 几何语言：平行四边形对角线交于点，则。 4.对称性性质 平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点，不是轴对称图形。 5.衍生基础性质 对角线将平行四边形分成两对全等三角形；平行四边形内同底等高的三角形面积相等。 【知识点3 平行四边形基础判定定理】 所有判定定理均为课内基础证明题核心考点，缺一不可，需熟练区分使用场景。 1.定义判定 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2.边判定1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 3.边判定2（最高频） 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（注意：必须是同一组对边）。 4.角判定 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 5.对角线判定 对角线互相平分的四边形是平行四边形。 【知识点4 基础计算与题型】 1.周长计算：平行四边形周长=2(邻边之和)； 2.角度计算：利用对角相等、邻角互补求未知角度； 3.线段计算：利用对角线互相平分、对边相等求线段长度； 4.网格图形判定：网格中通过边长、平行关系判定平行四边形。 【知识点5 基础题型高频易错点（必规避）】 判定误区：误以为“一组对边平行，另一组对边相等”是平行四边形（等腰梯形也满足，无法判定）； 定理误用：使用一组对边平行且相等判定时，误用不同组对边，判定失效； 性质混淆：误认为平行四边形对角线相等、对角线垂直（仅特殊平行四边形满足）； 角度出错：混淆对角、邻角关系，忘记邻角互补的核心性质； 对称性记错：误将普通平行四边形判定为轴对称图形。 【知识点6 三角形中位线培优模型（平行四边形核心衍生考点）】 中位线定理是平行四边形培优第一高频考点，是线段转化、平行证明的核心工具。 1.中位线定理内容 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。 2.核心应用 通过构造中位线，实现线段倍半转化、平行关系证明，常结合平行四边形性质综合解题；多个中点出现的题型，优先考虑中位线模型。 【知识点7 平行四边形四大培优经典题型】 1.线段与角度综合证明变式 结合平行线性质、全等三角形、角平分线、中点条件，综合证明线段相等、线段平行、角度相等，是期中期末解答题必考题型，核心思路是通过平行四边形性质转化边角关系。 2.面积综合计算模型 核心规律：平行四边形中同底等高面积相等，对角线平分平行四边形面积（对角线将图形分为两个面积相等的三角形）；可延伸求解不规则阴影面积、分割图形面积。 3.动点存在性分类讨论问题（压轴难点） 题型特征：平面内线段、动点平移运动，判断何时构成平行四边形。 核心思想：分类讨论，根据平行四边形对边平行且相等的性质，分三种位置情况讨论动点坐标、运动时间，杜绝漏解。 4.多结论正误判断题型 选择压轴高频题型，结合平行四边形性质、全等、角度推导、线段关系，判断多个结论的对错，考查综合推理能力。 【知识点8 平行四边形综合解题技巧】 1.线段转化思维 利用平行四边形对边相等、对角线平分、中位线性质，实现线段等量代换，简化证明和计算。 2.平行关系转化思维 通过平行四边形的平行性质，转化为内错角、同位角相等，解决角度推导问题。 3.构造平行四边形解题 在复杂几何图形中，通过作平行线、取中点、补全图形，构造平行四边形，将陌生问题转化为基础模型求解。 【知识点9 培优核心解题思想】 转化思想：将不规则图形、复杂边角问题，转化为平行四边形基础性质、全等三角形、中位线模型求解； 分类讨论思想：动点构造平行四边形、多点位置不确定题型，全面分情况分析，避免漏解； 方程思想：结合边长、角度、对角线关系设未知数，列方程求解线段长度和角度； 模型思想：固化中位线模型、面积模型、动点模型，快速秒杀同类题型。 【题型1 利用平行四边形的性质求解】 1．在如图所示的平行四边形中，P在边上移动（不与端点重合），连接，，则下列不为定值的是（     ） A． B． C．的面积 D．面积与面积之和 【答案】A 【详解】解：∵，的值无法确定， ∴不是定值， 故选项A符合题意； ∵平行四边形， ∴， ∵，， ∴，即是定值， 故选项B不合题意； 过作于， ∴，， ∴， 即的面积是定值， 故选项C不合题意； ∵， ∴面积与面积之和是定值， 故选项D不合题意； 2．如图，在中，对角线，相交于点，过点的直线交于点，交于点，且，若，则阴影部分面积是______． 【答案】 【分析】先证，得，所以，又因为，所以，再根据平行四边形性质得，所以，把代入即可求解． 【详解】解：， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 【题型2 利用平行四边形的性质证明】 3．如图，在中，对角线与相交于点，过点作于，过点作于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质证明即可； （2）先在中由勾股定理求解，然后由面积法求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴在中，， ∵ ∴，即 ∴． 4．如图，的对角线与相交于点O． (1)尺规作图：过点O作的垂线，分别与交于点E，F（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）． (2)在（1）的条件下，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)；理由见解析 【分析】（1）分别以点A，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，作直线分别与交于点E，F，即可； （2）证明，即可解答． 【详解】（1）解：如图，即为所求；    理由：如图，连接， 由作法得：， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴． ∴． 【题型3 求平行线间的距】 5．如图，已知直线，直线l分别与a、b、c相交于点A、B、C，且．若，则直线a、c之间的距离为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质，若一条直线垂直于平行线中的一条，则它也垂直于其余平行线，从而确定直线l 是直线 a、b、c的公垂线，进而得出直线 a、c 之间的距离即为线段的长． 【详解】解：∵，， ∴，（在同一平面内，垂直于平行线中一条直线的直线必垂直于其余直线）． ∴ 线段 的长度即为直线 a、c 之间的距离． ∵ 点 A、B、C 在直线 l 上，且， ∴， ∴ 直线 a、c之间的距离为． 6．如图，直线，点在直线上，过点向直线引直线，与的交点分别是、D，若测得，并且其中有一条是表示直线与直线之间的距离，那么你认为直线与直线之间的距离应该是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂线段最短，即可得出结果. 【详解】解：直线 ，且其中有一条线段表示直线与直线之间的距离， 该线段即为点到直线的垂线段， 从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短， 该距离应为中的最小值， ， ， 直线与直线之间的距离是. 【题型4 利用平行线间距离解决问题】 7．如图，直线，点E，F在直线上（不与点C，D重合），且．若的面积为8，则的面积是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】过点A作与点G，再根据同高等底进行求解即可． 【详解】解：如图，过点A作与点G， ∵， ∴是的高， ∵，且， ∴， ∵， 又∵， ∴的面积是8． 8．如图，直线，点，在直线上，点，在直线上，且，若的面积为3，则四边形的面积为_____． 【答案】9 【分析】根据平行线间间距相等得到，据此得到的面积为6，则四边形的面积为． 【详解】解：直线， ， 的面积为3， 的面积为6， 四边形的面积为． 9．如图，如果直线，那么的面积和的面积是相等的．你能说出理由吗？你还能在这两条平行线之间画出其他与面积相等的三角形吗？ 【答案】面积相等，理由如下： 如图所示，作于M点，于N点， ∵， ∴， ∵，， ∴， 经过证明，只要以为底边，顶点落在上的三角形，面积均与的面积相等，如下图：，等，均满足面积等于的面积． 【分析】根据平行线间距离处处相等，证明即可． 【详解】略 【题型5 判断能否构成平行四边形】 10．下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解∶如图， A．，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判定四边形是平行四边形，故A不符合题意． B．，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可判定四边形是平行四边形，故B不符合题意． C．，，一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不能判定四边形是平行四边形，故C符合题意． D．， ， ， ， ，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可判定四边形是平行四边形，故D不符合题意． 11．四边形的对角线与相交于点，则下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、∵，两组对边分别平行， ∴四边形是平行四边形，不符合题意； B、∵，， ∴，则 ∴， 同理可得， ∴四边形是平行四边形，不符合题意； C、∵， ∴， 又∵， ∴ ， ∴，对角线互相平分， ∴四边形是平行四边形，不符合题意； D、当时，一组对边平行，另一组对边相等，不能判定四边形是平行四边形，符合题意． 12．下列条件：①；②；③；④．其中能判定四边形为平行四边形的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理逐个分析判断即可． 【详解】解：如图： ① ∵， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴四边形是平行四边形，故①符合要求， ② 四边形内角和为，∵，， ∴ ， ∴， ∴ ， 同理可得， ∴四边形是平行四边形，故②符合要求， ③ ，仅说明邻边相等，不能判定四边形是平行四边形，故③不符合要求． ④ ∵， ∴四边形是平行四边形，故④符合要求， 综上，符合条件的有个． 【题型6 添一个条件成为平行四边形】 13．已知四边形中，与交于点O，如果只给出条件“”，那么（    ） ①再加上条件“”，四边形一定是平行四边形； ②再加上条件“”，四边形一定是平行四边形； ③再加上条件“”，四边形一定是平行四边形； ④再加上条件“”，四边形一定是平行四边形． A．①和② B．①③和④ C．②和③ D．②③和④ 【答案】C 【分析】加上，则四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，①错误；加上，得出，则四边形一定是平行四边形，②正确；加上，证出，可得，则四边形一定是平行四边形，③正确；加上，证出，可得，则四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，④错误． 【详解】解：由题意，画出图形如下： ∵， ∴加上，则四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形；①错误； ∵， ∴， 加上， ∴， ∴， ∴四边形一定是平行四边形；②正确； ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形一定是平行四边形；③正确； ∵， ∴，， 加上， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，此时四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形；④错误； 综上，正确的是②和③． 14．如图，在四边形中，，请添加一个条件使四边形是平行四边形，可添加的条件是_____（只填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据平行四边形的判定定理解答即可． 【详解】解：添加， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 15．如图，，是对角线双向延长线上的两点，请你添加一个适当的条件：_________，使四边形是平行四边形． 【答案】 （或或） 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当添加或或时， 可证得，， ∴四边形是平行四边形． 【题型7 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 16．如图，在4×6的网格中，点M，N，P，Q都在格点上，能与格点O，A，B连接得到平行四边形的是（   ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，结合网格特点，利用平移的性质即可求解． 【详解】解：点B与点M，N，P，Q共线， ， 的长等于三个单位长度， 的对边长也应为三个单位长度， 由图可知，点M，N，P，Q中，只有的长等于三个单位长度， 能与格点O，A，B连接得到平行四边形的是点N． 17．平面直角坐标系中一个平行四边形的三个顶点的坐标分别，则第四个顶点的坐标可能是______． 【答案】 或或 【分析】本题分三种情况讨论，利用平行四边形的对边平行且相等，利用平移思想进行求解即可. 【详解】解：设已知三个顶点分别为，如图， 当以为平行四边形的一条边时，根据平行四边形的对边平行且相等， 可知，将点向左或向右移动3个单位长度，得到第四个点，分别为或； 当以为对角线时，则为平行四边形的一条边，将点先向左移动1个单位，再向下移动3个单位，得到点， 故点先向左移动1个单位，再向下移动1个单位，得到第四个点； 综上：第四个点的坐标可能为或或. 18．如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，在中． (1)点坐标为____________，点坐标为____________，点坐标为____________． (2)的形状为____________． (3)若以、、及点为顶点的四边形为平行四边形，写出点的坐标____________． 【答案】(1) (2)直角三角形 (3)或或 【分析】（1）根据点A和点C的坐标，利用勾股定理可以求得的长； （2）先判断的形状，然后根据勾股定理求得、和的长，再根据勾股定理的逆定理判断的形状即可； （3）根据题意画出点D所在的位置，然后写出点D的坐标即可． 【详解】（1）解：根据图象得：A点坐标为，B点坐标为，C点坐标为． （2）解：根据网格得：，， ，， ， 是直角三角形； （3）解：如图所示， 由图可得，以、、及点为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或． 【题型8 证明四边形是平行四边形】 19．如图，在中，D为边上一点，E为边的中点，过点C作交的延长线于点F．连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】首先得到，证明，得到，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】证明：E是边的中点， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 20．如图，四边形ABCD中，，，点、是对角线上的两点，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行线的性质可证，又因为，等量代换可得，根据同旁内角互补两直线平行，可证，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证结论成立； （2）根据平行四边形的性质可得，根据可证，根据全等三角形对应边相等可证结论成立． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）证明：由（1）可知四边形是平行四边形， ，， ， 在和中，， ， ． 21．如图，是平行四边形的对角线，平分，交于点F． (1)请用尺规作的角平分线，交于点E（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，证明四边形是平行四边形． 证明：四边形是平行四边形， ． ①________． 平分，平分， ， ②________． ③________． 四边形是平行四边形． ④________． 四边形为平行四边形． 【答案】(1)如图，的角平分线即为所作 (2)①，②，③，④ 【分析】本题考查了尺规作图，平行四边形的判定与性质，角平分线的定义等知识． （1）以C为圆心、的长度为半径画弧交于点E，连接，问题得解； （2）根据题干的思路填空即可． 【详解】（1）以C为圆心，的长为半径画弧交于点E，连接， 作图如答案所示； 作图证明：∵是平行四边形， ∴，， 根据作图有：， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是的角平分线； （2）略 【题型9 利用平行四边形的判定与性质求解】 22．如图，在中，的平分线交于点，过点作，交于点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行四边形的性质得，，再由平行四边形的判定得出四边形为平行四边形，确定，得出，即可求解． 【详解】解：在中，，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ． ∴，即， 平分交于点， ． 23．如图，在中，，点分别在边上运动，若满足，连接，则的最小值___________． 【答案】 【分析】延长至点，使得，延长至点，使得，连接、、，则，，结合垂直平分线的性质，得到，，过点作，且，则四边形是平行四边形，进而得出，再根据两点间线段最短求解即可． 【详解】解：如图，延长至点，使得，延长至点，使得，连接、、， ， ，， ， ， ，， 垂直平分，垂直平分， ，， 过点作，且， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 当、、三点共线时，有最小值． 24．如图，在中，四个内角的角平分线，，，交于E，F两点，，，，则的长为______． 【答案】 【分析】先利用平行四边形性质与角平分线证明为直角三角形，求出的长度；再证明、，通过证明得，证明四边形是平行四边形，从而求出的长度． 【详解】解：如图，延长交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分，平分，， ∴， ∴， 同理可得， 又∵ ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【题型10 利用平行四边形性质和判定证明】 25．图，是的对角线，过点B作交于点G，垂足为E，过点D作交于点H，垂足为F，连接、．则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④平分的周长，其中正确的是（   ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，通过相关性质逐一判断即可，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，,, ∴， ∵，， ∴， ∴（）①正确； ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形；②正确； ∵， ∴不一定相等；③错误； ∵四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ∴,,， ∴， ∴;④正确． 26．如图，在平行四边形中，过对角线的中点作直线分别与交于点，连接相交于点，连接相交于点，图中有几个平行四边形，为什么？ 【答案】解：图中共有个平行四边形，分别是四边形，四边形，四边形，四边形， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 【分析】由平行四边形的性质得出，，得出，由“”证明，得出，证明四边形是平行四边形，得出，，然后证明，得出四边形是平行四边形，得出，证明四边形是平行四边形． 【详解】略． 27．【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边中，，点M、N分别在边上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】如图②、过点C、M分别作的平行线，并交于点P．作射线． 在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： (1)证明：； (2)的大小为_______度，线段长度的最小值为_______ (3)如图③，长方形中，，G是的中点，线段在边上左右滑动，若，求的最小值． 【答案】(1)证明：∵过点C、M分别作的平行线，并交于点P， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴. (2)； (3)10 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到，结合已知条件即可得证； （2）根据平行线的性质，结合三角形的外角的性质，等边对等角，求出，根据垂线段最短得到当时，最短，根据含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可； （3）过点作，交于点，延长至点，使，连接，则即为的最小值，利用勾股定理进行求解即可. 【详解】（1）证明：略. （2）解：∵在等边中，， ∴， ∵， ∴， 由（1）知：，， ∴， ∵， ∴， ∴点在射线上运动， ∴当时，最短，此时的值最小， ∵， ∴当时，， ∴线段长度的最小值为； （3）解：过点作，交于点，延长至点，使，连接， ∵长方形，，G是的中点， ∴，，，，， ∴四边形是平行四边形，垂直平分， ∴，，， ∴，， ∴当三点共线时，的值最小为的长， 在中，， ∴， ∴的最小值为. 【题型11 平行四边形性质和判定的应用】 28．已知：如图，在梯形中，，平分，，的延长线交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若的周长为，，求梯形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用边角边论证三角形全等； （2）延长交于，则四边形为平行四边形，进而论证，利用等量代换即可得到结论； （3）通过论证是直角三角形得到梯形的高为，利用梯形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）证明：延长交于， ∵， ∴四边形为平行四边形． ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴，即：， ∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 又∵， 在中 ∵， ∴， ∴， ∴ ． 【点评】本题考查了梯形性质的应用，求梯形的面积时关键是证明为直角三角形． 29．如图，在中，对角线相交于点，，，．点从点出发沿方向以的速度匀速运动，到点时停止运动，连接并延长交于点．设运动时间为． (1)当为何值时，四边形是平行四边形？并说明理由； (2)当时，求四边形的面积． 【答案】(1)，理由见解析； (2)． 【分析】当运动的时间为时，，，因为四边形是平行四边形，所以，当时，四边形是平行四边形，可得关于的方程，解方程求出的值； 过点作于点，过点作于点，利用三角形的面积公式求出的长度，从而可求的面积，根据三角形中位线的性质可求出的长度，从而可求的面积，用的面积减去的面积即可得到四边形的面积． 【详解】（1）解：当时，四边形是平行四边形， 理由如下： 四边形是平行四边形， ，，， ， 在和中，， ， ． ， ． ， ，即时， 四边形是平行四边形， 解得：； （2）解：如图所示，过点作于点，过点作于点， ，，， 在中，由勾股定理，得， 由三角形的面积公式，得， ， ， ， ， ， ， ， 当时，， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、动点问题、勾股定理、全等三角形的判定与性质．本题的综合性较强，解决本题的关键是根据平行四边形的判定定理确定边之间需要满足的条件，根据条件列方程． 30．如图，在四边形中，，以点A为圆心，的长为半径作弧分别交边，边于点F，E，（点E，F都不与边的端点重合）． (1)如图，当， ①探索和的数量关系并证明你的结论； ②若平分，求证：是等边三角形并直接写出此时线段，，之间的数量关系． (2)连接，当平分时，若是以为腰的等腰三角形，求的值． 【答案】(1)①，证明见详解；②，证明见详解 (2)或1 【分析】（1）①过点A作交于点H，根据题意得出为等腰三角形，再由可根据等腰三角形的三线合一的定义可知为等腰的中垂线，从而进一步求得，，利用角度的和差关系得出，通过“”证明，从而最终得出；②通过角平分线的定义及①问中得出的结论可推导出，设，则，通过三角形内角和定理列出关于α的方程求得α的值，进一步推导出是等边三角形．设，则，再利用已知的条件可得出，，进一步推导出四边形为正方形，从而求得相关线段的表达式并进行构造，最终得出； （2）根据角平分线的定义得出，利用“”证得，得出及，此时分情况讨论：①当时，②当时，根据不同的情况作出对应的辅助线并根据不同的情况假设关键线段的长度，通过计算推导最终求得的结果． 【详解】（1）解：①， 证明：如图，过点A作交于点H， 由题意知，， ∴为等腰三角形， ∵， ∴为等腰的中垂线， ∴，， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． ②， 证明：如图，由①知，， 又∵平分， ∴， ∴， 设， 在等腰中，， ∵， ∴， ∴， 由等腰可知，根据三角形内角和定理得：， 解得， ∴， 即是等边三角形． 设，则， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 则， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， 则， ∴， 即． （2）解：∵，平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ①如图，当时，，， ∴，， ∴， 过点E作交于点N，过E作交的延长线于点M，过点A作交于点H， 设， ∴，则， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵，即， ∴； ②如图，当时，， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 综上所述，的值为或1． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形、矩形、正方形的判定与性质，等腰三角形三线合一及平行线的性质等知识点． 【题型12 三角形中位线的实际应用】 31．如图，在中，，，点D为的中点，E为线段上任意一点，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，过点F作，交直线与点H，请问与的数量关系是怎样的？请说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键．延长交于点G，易得，再说明为的中位线可得，进而得到与都是等腰直角三角形，然后再证明，最后根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】解：与的数量关系是：．理由如下： 如图：延长交于点G， 由题意，知，， ∴， 又∵点D为的中点， ∴点G为的中点，且， ∴为的中位线， ∴． ∵， ∴， ∴，即． ∵，， ∴， ， ∴． ∵与都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 32．综合与实践 【教材再现】 三角形的中位线定理是八年级下册中的一个重要命题，如图①，是的中位线，则，且． 【回顾证法】 (1)证明三角形的中位线定理的方法有很多，但多数都要通过添加辅助线完成，如图②，延长到点F，使，连接，，．如图③，取中点G，连接并延长到点F，使，连接．请你选择其中一种证法，继续完成证明过程． 【实践应用】 (2)如图④，B，C两地被池塘隔开，在无法直接测量的情况下，小明通过下面的方法测出了B，C间的距离：先在池塘外选一点A，连接，，然后测出，的中点D，E，并测出的长度为12米，则B，C两点间的距离 米． 【深入探究】 (3)如图⑤，是的中位线，是边上的中线．与是否互相平分？请证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)24 (3)与互相平分，证明见解析 【分析】（1）选择方法一：延长到点F，使，连接，，，证明四边形是平行四边形，得出，，证明四边形是平行四边形，得出，，即可证明结论； 选择方法二：取中点G，连接并延长到点F，使，连接，证明，得出，，证明四边形为平行四边形，得出，，证明四边形为平行四边形，得出，； （2）直接根据中位线性质进行求解即可； （3）连接，，证明四边形是平行四边形即可． 【详解】（1）解：选择方法一： 如图，延长到点F，使，连接，，， ∵E是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即，且； 选择方法二： 如图，取中点G，连接并延长到点F，使，连接， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵G为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，； （2）解：∵D、E分别为，的中点， ∴， ∵的长度为12米， ∴米； （3）解：与互相平分；理由如下： 如图，连接，， ∵是的中位线，是边上的中线， ∴D、E、F分别是、、的中点， ∴，且， 又， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． 33．阅读材料： 金山区某中学数学兴趣小组，在《23.4（1）三角形的中位线与重心》一课的学习后，对中位线定理的证明产生了很大的兴趣，在课后进行了延伸探究． 已知：如图（1），在中，、分别是、的中点． 求证：，且． 下面是几位同学的探究过程： 甲：过点作，交于点，过点作的平行线交的延长线于点． 乙：连接，，过点作，垂足为，分别过点、作，，交、延长线于点、． 丙：延长至点，使，连接、、．        丁：以点为原点建立平面直角坐标系，设点的坐标为，点的坐标为． (1)任务一：四位同学的方案，能证明三角形的中位线定理的有__________（填人名） (2)任务二：请选择一位同学的方案，并将证明过程补充完整． (3)任务三：该兴趣小组在某公园开展“测距”为主题的小队活动时，发现、两地被某人工湖隔开，由于只有工具：一把皮尺（测量长度略小于），某同学提出方案“我们可以在与平行的人行步道上的点、处作好标记，通过皮尺找到与的中点、，通过皮尺测量，的长度，就可以估算出、两点间的距离了”．若测得，，请直接写出、两点间的距离．（用含、的代数式表示） 【答案】(1)甲乙丙丁 (2)选择甲（或乙或丙或丁）；证明见解析 (3)、两点间的距离为 【分析】（1）根据平行四边形的判定与性质结合全等三角形的判定与性质即可判断； （2）甲：先证明四边形是平行四边形，再证明，然后证明四边形是平行四边形即可；乙：证明，，再证明四边形是平行四边形即可；丙：先证明，再证明四边形是平行四边形即可；丁：根据中点坐标公式得到，的坐标，然后根据点的坐标特征即可判定； （3）连接并延长，交延长线于点，证明，得到是的中位线，根据中位线的性质即可得解． 【详解】（1）解：甲乙丙丁； （2）解：选择甲； 过点作，交于点，过点作的平行线交的延长线于点． ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 、分别是、的中点， ，， 在和中， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，； 选择乙； 证明：连接，，过点作，垂足为，分别过点、作，，交、延长线于点、． ． 是的中点， ， 在和中， ， ， ，． 同理，，，， ， ，． ，． ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ，； 选择丙； 证明：延长至点，使，连接、、． 是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， 是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ； 选择丁； 证明：以点为原点建立平面直角坐标系，设点的坐标为，点的坐标为． ， 、分别是、的中点， ，， ，； （3）解：如图，连接并延长，交延长线于点， 点是的中点， ， ， ，， 在和中， ， ， ，，即点是的中点， 点是的中点， 是的中位线， ，即， ， 即、两点间的距离为． 1．如图，在四边形中，已知．添加下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的判定定理，结合已知条件，对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A选项，，，一组对边平行，另一组对边相等，该四边形可能是等腰梯形，不能判定四边形是平行四边形，故符合题意； B选项，，，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故不符合题意； C选项，，，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故不符合题意； D选项，，，，，，四边形是平行四边形，故不符合题意． 2．如图，在中，，，为的中点，，则的面积为（   ） A．12 B．14 C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质，推出，利用等边对等角结合三角形的内角和定理求出，勾股定理求出的长，进而求出的长，根据平行四边形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接交于点， ， ，，， 为的中点， ， ，， ， ， ， ， ． 3．对进行下列操作： 操作1：如图1，是的中位线，将沿中线方向平移到△的位置，使与边重合； 操作2：作的高，将按图2所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为． 对操作1，2中阴影部分面积，下列说法正确的是（） A．操作2中阴影部分面积大 B．面积均为面积的一半 C．面积与的面积相等 D．操作1中阴影部分面积大 【答案】B 【分析】利用中位线、平移和折叠的性质，先求出空白三角形的面积，再用梯形面积减去空白面积，得到阴影部分的面积．两次操作的阴影面积都等于原三角形面积的一半． 【详解】解：设的面积为S． ∵是的中位线， ∴，且，点E、F分别是、的中点， ∴ 点A到的距离等于点A到距离的一半． ∴． ∴ ． 由平移的性质可知，与的形状、大小完全相同， ∴ ． 又∵ 落在上，与重合， ∴ 操作1中阴影部分面积． ∵是的高，折叠后点与点重合，折痕为， ∴垂直平分． 又∵， ∴，且平分， ∴是的中位线， ∴ ，． 由折叠的性质可知，与的形状、大小完全相同， ∴ ． ∴ 操作2中阴影部分面积： ∵ ，故选项A不正确，不符合题意， ∴ 两个操作中阴影部分的面积均为面积的一半． 综上所述：只有选项B正确，符合题意． 4．如图，在平面直角坐标系中，，，，D是平面内一点，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D不可能在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】先根据题意画出符合条件的三种情况，然后根据图形判断即可． 【详解】解：如图，分别过点A、B、C作对边的平行线，分别交于点， ∴可得， 由图可知，点D不可能在第三象限． 5．如图，在中，的平分线交于点，若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质与判定以及角平分线的定义，根据四边形是平行四边形，则有，根据两直线平行，内错角相等可得，利用角平分线的定义可知，即可求出，，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 6．如图，点是内任一点，若，则图中阴影部分的面积是（    ） A．4 B．4.5 C．6 D．3.5 【答案】A 【分析】过点作平行四边形边的垂线段，因为，所以该垂线段同时也是边上的高，可据此将两个阴影三角形的面积用底和对应的高表示．根据平行四边形的高是两个阴影三角形分别以、为底时的高之和，结合三角形面积公式与平行四边形面积公式，可推出阴影部分面积和平行四边形总面积的数量关系． 【详解】如图，过点作平行四边形边的垂线， 根据平行四边形的性质：，且， 设点到的距离为，点到的距离为， 则平行四边形中，与之间的总高为， 平行四边形面积满足： ， 阴影部分为和，面积和为 ， 因此阴影部分面积为4． 7．如图，在中，，，为边上一动点，以，为边作，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的对角线互相平分，设与交于点，则为中点，，当时，最小，即最小，然后通过勾股定理即可求解 【详解】解：如图，设与相交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵为边上一动点， ∴当时，的值最小，此时的值最小，如图 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 8．如图，在中，平分交于点，连接，点分别是的中点，连接．交于点．延长交于点．则下列结论中：①平分；②；③；④；⑤，正确的有（   ）个 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定与性质，证明，所以，进而可以判断①；根据三角形中位线定理，证明四边形是平行四边形，进而可以判断②；由，进而可以判断③；根据勾股定理，进而可以判断④；证明四边形是平行四边形，所以，进而可以判断⑤． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分，故①正确； ∵点M，N分别是的中点， ∴，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵，， ，故③正确； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，故④错误； ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，故⑤正确， 综上所述：结论正确的有①②③⑤． 9．如图， 的两个外角的平分线、相交于点，过点作，分别交、于点、，连接，则下列结论：①是等腰三角形；②；③；④平分．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由平行线的性质得出，由角平分线定义得出，推出，得出，①正确； 只有为中位线时，才能，②不一定正确； 由角平分线的性质得出点到边，，的距离相等，即点到两边的距离相等，得出点在的平分线上，即是角平分线，④正确； 由角平分线的定义得出，由平行线性质得出，推出，由等腰三角形的性质得出，证出，即，③正确． 【详解】， ， ， ， ， 是等腰三角形，①正确； ， 只有为中点时，即为中位线时，才能，所以结论②不一定正确； 的两个外角平分线相交于点， 点到边，，的距离相等，即点到两边距离相等， 平分，④正确； 是角平分线， ， ， ， ， ， ， ， 即，③正确； 综上，正确为①③④共3个． 10．如图，在中，，在上取点，使，连接，过点作交，分别于点，．已知，，，当，发生变化时，代数式值不变的是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，由平行四边形的性质得，；由等腰三角形的性质及三角形内角和得，从而；在上取点G，连接，使，则，故有；再由得，得，即，从而确定答案． 【详解】解：设，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴； ∵， ∴， ∴； 在上取点G，连接，使， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 即； 故当，发生变化时，代数式的值不变； 11．如图，在中，对角线和相交于点，点是边的中点，，，则的周长为__________． 【答案】10 【分析】由平行四边形的性质得点是的中点，得出是的中位线，由中位线的性质得，进而即可求解． 【详解】解：在中，对角线和相交于点， 点是的中点， 点是边的中点，， 是的中位线， ， ， 的周长为． 12．在平行四边形中，，，则__________． 【答案】/150度 【分析】根据平行四边形对角相等的性质列方程求出，得到的度数，再利用平行四边形邻角互补的性质计算的度数． 【详解】解： 四边形是平行四边形， ， 又 ， ， ， 解得， 即， 平行四边形对边平行，同旁内角互补， ， ． 13．如图，在中，，平分交于点E，则的度数为________度． 【答案】140 【分析】根据平行四边形的性质得出，，再由平行线的性质确定，利用角平分线及三角形外角的定义求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ， ． ∵平分， ． ∵是的外角， ． 14．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，AO的中点，连接EF，若EF＝3，则OB的长为_____ ． 【答案】 6 【详解】解：∵点E、F是、的中点， ∴在中，， 且， ∴． 15．如图，的周长为，，则的面积是____． 【答案】 【分析】根据平行四边形可设，再根据周长和面积建立二元一次方程组求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴ 设 ∵的周长为 ∴，则 ∵ ∴ ∴ 解得 ∴． 16．在平面直角坐标系中，已知点，，．若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为_______________________． 【答案】或或 【分析】分三种情况，得出点的坐标，即可解决问题． 【详解】解：如图， 分三种情况： ①当，时，点的坐标为； ②当，时，点的坐标为； ③当，时，点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 17．如图，在中，，，，点E、F分别在线段、上，且，连接，若平分，则的长为 ______ 【答案】 【分析】过点B作交于H点，过点B作，交的延长线于G，根据平行线的性质以及等腰三角形的性质可知，，根据勾股定理可知，，再由线段的和差关系可知，即可求解． 【详解】 解：过点B作于H点，过B作，交的延长线于G， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴，， ∵，， ∴， 即， ∴, ∴， ∵， ∴中， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．如图，在中，，是的中点，，，，则四边形的面积______． 【答案】 【分析】先利用等腰三角形三线合一得到、，设，结合用勾股定理列方程求出，再由得，最后根据对角线垂直的四边形面积公式算出． 【详解】解：∵，是中点， ∴，且， 设， ∵，， 则， 在中，由勾股定理：代入得：， 展开化简得， 解得：，即 ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴四边形是对角线互相垂直的平行四边形， ∴． 19．如图，中，，，，则______，点P为上任意一点，连接，以、为邻边作平行四边形，连接，则的最小值______． 【答案】 5 【分析】根据勾股定理可得的长，设与交于点，过点作，由题意易得，要使的值为最小，则需满足的值也为最小，根据点到直线，垂线段最短可知：当时，的值为最小，即为的长，然后问题可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 设与交于点，过点作，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴， 要使的值为最小，则需满足的值也为最小，根据点到直线，垂线段最短可知：当时，的值为最小，即为的长， 连接，设，则， ∴， 在中，由勾股定理得：；在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 20．如图，在四边形中，连接，点E，F是上的两点，连接，，，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由，可得到，再利用证明全等即可； （2）由（1）可得，得到，证出后，可推出四边形为平行四边形，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：由（1）可得：， ∴（全等三角形对应角相等）， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴． 21．如图，在平行四边形中，点是对角线的中点，过作线段交于点，交于点，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质得到，，进而得到，证明，即可得到． 【详解】证明：在平行四边形中，点是对角线的中点， ， 四边形是平行四边形， ， ． 在和中，， ， ． 22．如图，在梯形中，，延长到点，使，连接，交于点．若是的中点，且，，求的长． 【答案】 【分析】容易证明，则点为的中点，由中位线的性质可得，因此． 【详解】解：∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，即点为的中点， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． 23．如图，在四边形中，，对角线相交于点O，过点O交于点E，交于点F，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明：∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； 【分析】根据平行线的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，根据平行四边形的判定定理即可得到结论； 【详解】略． 24．如图，在中，为对角线，是边上一点，连接并延长交的延长线于点，且，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)过点作于点G，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质和平行线的性质，可得，，进而判定，再利用全等三角形的性质可证四边形为平行四边形． （2）根据线段的和差，勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）解：由（1）得，，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴在中，由勾股定理，得， ∴． 25．如图，，分别为中，的中点，分别连结，交于点，连结，交于点，连结，．求证：与互相平分． 【答案】见解析 【分析】可证明四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质可判定四边形是平行四边形，最后根据平行四边形的性质即可得出结论． 【详解】证明：∵E为的中点，F为的中点， ∴，． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． 26．按要求解答问题： 【问题情境】 (1)如图，平行四边形中，点E和点F分别是边，的中点，连接，，，，，那么图中与面积相等的平行四边形是________________．（写出图中所有符合要求的平行四边形） 【问题探究】 (2)在由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，已知在的网格图形中，的顶点A、B、C都在格点上，画出平行四边形，使，且点G，H均在格点上（要求：只需画出一个符合要求的图形）． 阅读：《无刻度直尺作图》“无刻度直尺作图是一种特殊的几何作图方式，仅依靠无刻度的直尺这一工具来完成特定的几何图形绘制”，我们规定无刻度的直尺只能用来连接两点作线段． 【问题拓展】 (3)如图，已知平行四边形，E是边的中点，求作一点Q，使．（仅利用无刻度直尺作图，保留作图痕迹）． 【答案】(1) (2)解：如图所示，平行四边形，为所求： (3)解：如图所示，点为所求： 【分析】（1）先证明四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形，再利用平行线间距离处处相等即可解答； （2）利用网格的特点取的中点，即格点，再利用平移的性质取格点，连接，即，连接即可得到平行四边形，可得，再根据点，点到的距离相等，，可得； （3）连接并延长交延长线于点，连接并延长交延长线于点，作射线交于点即可． 【详解】（1）解：平行四边形中，， ∵点E和点F分别是边，的中点， ∴， ∴， ∴四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形， ∵平行线间距离处处相等， 设间的距离为， ∴等底等高，且面积都为， ∵， ∴与面积相等的平行四边形是； （2）解：∵点先向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到点，点先向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，即， 点，点到的距离相等， 设点，点到的距离为， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图， ∵E是边的中点， ∴， ∵平行四边形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 27．如图，在中，点E为的中点．仅用无刻度直尺在给定图形中画图． (1)在图1中，画的中点M； (2)在图2中，点P为边上一点，在上找点N，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，交于点O，连接，延长交于点M，点M即为所求； （2）连接交于点O，连接，交于点J，连接，延长交于点N，点N即为所求． 【详解】（1）解：如图中，点M即为所求； 理由：在中，，点是的中点， ∴是和的中位线， ∴， ∴， ∴四边形和四边形是平行四边形， ∴ 又点E为的中点． ∴， ∴，即点M是的中点； （2）解：如图，点N即为所求． 理由：由（1）得是的中位线，则是的中位线， ∴ ∴． 28．如图，在四边形中，，对角线、交于点，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，过点作交的延长线于点． （ⅰ）求证：为的中点． （ⅱ）连接交于点，过点作于点，若，，求的长． 【答案】(1)证明：， ，； 在和中， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形； (2)（ⅰ）证明：， ． ， 四边形是平行四边形， ． 四边形是平行四边形， ， ，即为的中点； （ⅱ）． 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得，结合题中给出的条件求出，根据全等三角形的性质得出，即可求证四边形是平行四边形； （2）（ⅰ）根据平行四边形的判定求出四边形是平行四边形，则有，根据平行四边形的性质可知，即可求证； （ⅱ）根据一个角是直角的平行四边形是矩形可判定四边形是矩形，则有，根据求出是等腰直角三角形，根据设，即可求解． 【详解】（1）略； （2）（ⅰ）略； （ⅱ）四边形是平行四边形，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形． 设，则，， ． ， ， ， ， ． 29．如图，和都是等边三角形，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明：连接，如图， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【分析】连接，根据等边三角形性质可得，，，再证明，所以，，证明为等边三角形，则有，，从而可得 ，因此得，即，又，最后通过平行四边形的判定方法即可求证． 【详解】略． 30．如图1，平行四边形纸片，的长度不确定，点P是上的一个动点，连接，把平行四边形沿着线段对折，点A的对应点为． (1)【探究1】如图2，当P与B重合时，连接，探究与的位置关系，请完成下面的证明过程： 证明：∵沿翻折至， ∴，， ∵在平行四边形中，， ∴_______， ∴____________， ∴， ∵在平行四边形中，， ∴， ∴， ∴_____________， ∴， ∵， ∴____________， ∴； (2)【探究2】如图3，若刚好能落在的中点时，且，求的长； (3)【探究3】如图4，若，，当P刚好落在点的中点上时，Q是的中点，连接，若是直角三角形，且，直接写出的长． 【答案】(1) (2)2 (3)或 【分析】（1）先根据翻折的性质得，再根据平行四边形的性质得，可得，接下来结合，可得，然后根据“等边对等角”得，进而得出最后根据“内错角相等，两直线平行”得出答案； （2）先延长与交于点M，根据平行四边形的性质和折叠的性质可得，进而得，再设，可得，然后根据“角角边”证明，可得，最后结合得出方程，求出解即可； （3）当点P刚好落在的中点上时，点Q是的中点，可得，即可得出，再分两种情况讨论：当点在下方时，交于点O，然后根据直角三角形的性质及勾股定理求出，接下来求出，最后根据点P刚好落在的中点上得出答案；当点在上方时，直线交于点O，结合直角三角形的性质求出，再求出可得答案． 【详解】（1）证明：∵沿着翻折至， ∴． 在平行四边形中，， ∴， ∴， ∴． ∵在平行四边形中，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴； （2）解：如图所示；延长与交于点M， ∵四边形是平行四边形，， ∴． ∵折叠得到， ∴， ∴， ∴， 设， ∴． ∵ ∴． ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵． ∵， ∴， 解得， ∴； （3）解：如图所示，当点P刚好落在的中点上时，点Q是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 当时，， 当点在下方时，交于点O， ∵， ∴， 则， ∴， ∴， ∴． ∵点P刚好落在的中点上， ∴； 当点在上方时，直线交于点O， ∵， ∴， 则， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵点P刚好落在的中点上， ∴， 所以的长为或． 31．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、D两点坐标分别为，，且． (1)求A、D两点坐标； (2)点B、C是x轴上两动点（B在C左侧），且四边形是平行四边形． ①如图1，当点B在原点左侧时，过点O的直线，分别交于M，N，请直接写出三条线段之间的数量关系； 当点C在原点左侧时，________；当点C在原点右侧时，________； ②如图2，当点B、C分别在原点两侧时，连接，过点O作交于点G，连接，取中点H，在上截取，使，若，求的长． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】本题考查四边形综合，坐标与图形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，二次根式有意义的条件，解一元一次不等式组等知识，作辅助线构造直角三角形或全等三角形或平行四边形是解题关键． （1）根据二次根式有意义的条件得到一元一次不等式组，求出，进而得到，即可得出、两点坐标； （2）①分两种情况讨论：当点在原点右侧时，过点作 交延长线于点，首先证明四边形是平行四边形，得到，，再证明 ，得到，即可得出数量关系；当点在原点左侧时，过点作 交于点，同理求证即可． ②解法一：延长、交于点，由（1）知，，得到，，，再用勾股定理计算，然后得出，，从而，，即可得到． 解法二：连接，延长交于点，根据平行四边形的性质，证明，得到 ，，再根据等腰直角三角形的性质，证明，， ，从而推出是等腰直角三角形，然后证明，得到 ，即可求解． 解法三：过点作，交于点，交于点，连接，证明四边形是平行四边形，再证明A，H，M三点共线，则，证明△AOD是等腰直角三角形，得到∠ADO=∠AOD=45°，因此∠GON=∠GOB=45°，根据定理得到的长，得出的坐标为，，在中，，则. 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴，； （2）解：① 或 ．理由如下： 当点在原点右侧时，过点作 交延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵ ， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ； 当点在原点左侧时，过点作 交于点， 同理可证，四边形是平行四边形，， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， 即 ． 综上，、、之间的数量关系为： 或 ． ②解法一：延长、交于点， 由（1）知，， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为中点， ∴． 解法二：连接，延长交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ， ∵是的中点， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴ ，， ∵，， ∴ ， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴， ， ∴ ， ， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴ ， ∵ ， 在和中， ， ∴， ∴ ， ∴． 解法三：过点作，交于点，交于点，连接， 则四边形是平行四边形， 又为的中点，为对角线， ∴为平行四边形的对角线，即，，三点共线， ∴， ∵，， ∴ ， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 又， ∴， ∵， ∴， ∴点的坐标为， ∵， ∴， 在中， ， ∴. 32．如图，在直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形是平行四边形，点，点．动点P从点O出发向点A匀速运动，同时动点Q从点A向点B匀速运动，速度均为每秒1个单位．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为t秒（）． (1)求点B的坐标； (2)当t为何值时，的面积是平行四边形OABC面积的一半； (3)求的最小值． 【答案】(1)点B的坐标为 (2) (3) 【分析】（1）由四边形是平行四边形，点，可得，即可求解； （2）过点作交延长线于点，延长交于点，过点作于点，可得，由题意得，，，，由的面积是平行四边形OABC面积的一半，可得，代入值即可求解； （3）由（2）可得，，，可得，取点，作点关于轴的对称点，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴点B的坐标为． （2）解：如图，过点作轴于点，延长交于点，过点作于点，过点作轴于点，取的中点，连接， ∵， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵轴，是的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 由（1）可得， 由题意得，，，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得，， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴由题意得，， ∴，符合题意， ∴当时，的面积是平行四边形面积的一半． （3）解：由（2）可得，，， ∵， ∴， ∴， 取点， ∵， ∴要使最小，即在轴上找一点，使得最小， 作点关于轴的对称点， ∴当，，三点共线时，的最小值为， ∴的最小值为． 33．定义：如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把这个四边形称为“忧乐四边形”．如图1，凸四边形沿对角线对折后完全重合，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”． (1)下列四边形一定是“忧乐四边形”的有_________． A．平行四边形  B．菱形  C．矩形  D．正方形 (2)如图2，在平行四边形中，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点．①求证：四边形是“忧乐四边形”．②若；当是直角三角形时，请求出线段的长． (3)如图1，在四边形中，，线段、之间存在怎样的数量关系？ 【答案】(1)B、D (2)①见解析；②或 (3)． 【分析】（1）根据“忧乐四边形”的定义对几个四边形进行逐一判定即可解决问题； （2）①连接、，根据折叠的性质、平行四边形的性质证明，即可解答；②分两种情况，由折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理可得出答案． （3）由四边形沿对折重合，得、，且平分、．结合，证得、均为等边三角形，进而得到，判定四边形为菱形．由菱形对角线互相垂直平分，得，且．在中，利用角对边是斜边一半，结合勾股定理，算出，最终推出． 【详解】（1）解：①平行四边形，③矩形，沿着它的一条对角线对折后不能完全重合；②菱形，④正方形，沿着它的一条对角线对折后能完全重合． ②菱形，④正方形一定是忧乐四边形； ∴一定是“忧乐四边形”的有②④； （2）①证明：如图：连接、， 是的中点， ， 将沿折叠后得到， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，且， ， ， ， ， 在和中， ， ， 四边形沿折叠完全重合， 四边形是“忧乐四边形”． ②解：∵， ∴四边形是平行四边形， 若，连接，则四边形是矩形， ， 由题意及①知，， 设，则，， ， ， ， ； 若，连接，过点作于点，，交的延长线于点，如图， 由题意得，，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵ ， ，， ∴平分，即； ，即， ， ， ， 设，则，， ∵， ∴， ， （负值舍）， ． 综上所述，的长为或． （3）解：连接，交于点O， ∵凸四边形沿对角线对折完全重合， ，，平分，平分， ∵，， 为等边三角形，为等边三角形，，， ，， ， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， 在中，， ， 设，则， 由勾股定理得： ， ， ． 1．下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中第①个图形中一共有10个平行四边形，第②个图形中一共有14个平行四边形，第③个图形中一共有19个平行四边形，……按此规律排列下去，则第⑦个图形中平行四边形的个数为（    ）． A．40 B．44 C．47 D．49 【答案】D 【分析】观察图形的变化可得7+3=10，10+4=14，14+5=19，19+6=25，25+7=32，32+8=40，40+9=49即可得结果． 【详解】解：观察图形的变化可知： 第①个图形中一共有7+3=10个平行四边形， 第②个图形中一共有10+4=14个平行四边形， 第③个图形中一共有14+5=19个平行四边形， 第④个图形中一共有19+6=25个平行四边形， 则： 第⑤个图形中一共有25+7=32个平行四边形， 第⑥个图形中一共有32+8=40个平行四边形， 第⑦个图形中一共有40+9=49个平行四边形， 故选：D． 【点睛】本题考查的是平行四边形的认识，规律型：图形的变化类，本题是一道根据图形进行数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，然后利用规律解决一般问题． 2．如图，已知平行四边形的顶点为，若将平行四边形先沿着轴进行第一次轴对称变换，所得图形再沿着轴进行第二次轴对称变换，轴对称变换的对称轴遵循轴、轴、轴、轴的规律进行，则经过第次变换后，平行四边形的顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据题意可得每次轴对称变换重复一轮，据此即可求解，找到图形的变化规律是解题的关键． 【详解】解：将平行四边形先沿着轴进行第一次轴对称变换，点的坐标为， 所得图形再沿着轴进行第二次轴对称变换，点的坐标为， 第三次轴对称变换，点的坐标为， 第四次轴对称变换，点的坐标为， ∴每次轴对称变换重复一轮， ∵， ∴经过第次变换后，平行四边形的顶点的坐标为， 故选：． 3．如图，在平面直角坐标系中，点O，，A，，B，，C，…都是平行四边形的顶点，点A，B，C，……在x轴正半轴上，，，，，，，，…．按照此规律依次排列，则第8个平行四边形的对称中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点的坐标变化规律、平行四边形的性质，根据题意先求出前几个平行四边形的对称中点的坐标，从而可找出规律，即可求解． 【详解】解：如图，作轴于点M， ∵，， ∴， ∵， ∴点M、A重合， ∴， 则的中点即为平行四边形的对称中点，其坐标为， 同理可得，，，， 则的中点即为第2个平行四边形的对称中点，其坐标为， 同理可得，第3个平行四边形的对称中点的坐标为， ⋯， 同理可得，第n个平行四边形的对称中心的坐标为， ∴第8个平行四边形的对称中心的坐标是，即， 故选：C． 4．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作分别交于点．喜欢探究的小东通过独立思考，得到以下结论：①当是的中点时；②当的形状变化时，点有可能为的中点．下列判断正确的是（    ） A．①，②都正确 B．①，②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】C 【分析】过点F作，交于点G，根据角平分线的性质和平行线的性质证明，，得出，，证明四边形为平行四边形，得出，证明，得出，判断①正确；连接，则平分，证明，求出，得出，说明这与三角形内角和为矛盾，判断②错误． 【详解】解：过点F作，交于点G，如图所示： ∵、分别平分，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵D为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； 连接，则平分， ∴， 若E为的中点，则， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵三角形内角和为， ∴这与三角形内角和为矛盾， ∴当的形状变化时，点有可能为的中点，故②错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的判定和性质，三角形内角和定理应用，解题的关键是作出辅助线，熟练熟练掌握相关的判定和性质． 5．某同学对“对角线垂直的四边形”进行了探究：如图，在四边形中，，，，，由上述条件，得到了两个结论：①，②．对于结论①、②下列说法正确的是（    ） A．①正确、②错误 B．①错误、②正确 C．①、②正确 D．①、②都错误 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，如图，过A作交的延长线于点E，当时，可证出，在中可得出，进而可得出，据此即可得①错误，如图，设，交于点O，利用勾股定理可得，故②正确，即可得出正确选项，熟练掌握其性质，正确的作出辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，过A作交的延长线于点E， ∵， ∴即， 当时， ∴， 则， 如图，过点B作交于点F， ∴四形为平行四边形， ∴， 如图，在中， ∵ ∴即， ∴， ∴， 故①错误； 如图，设，交于点O， ∵， ∴， ，，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴ ， 故②正确， 故选：B． 6．数学课上，大家一起探究三角形中位线定理的证明方法． 已知：D，E分别是的边，的中点，求证：，且． 嘉嘉和淇淇各自尝试作了一种辅助线，如图1，2．其中辅助线作法能够用来证明三角形中位线定理的是（    ） 嘉嘉的辅助线作法：延长到点F，使，连接，，． 淇淇的辅助线作法：过点E作，过点A作，与交于点F． A．嘉嘉的辅助线作法不可以，淇淇的可以 B．嘉嘉的辅助线作法可以，淇淇的不可以 C．嘉嘉和淇淇的辅助线作法都不可以 D．嘉嘉和淇淇的辅助线作法都可以 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形中位线定理的证明，掌握平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据平行四边形的判定定理和性质定理判断嘉嘉的作法；证明，根据全等三角形的性质得到，，再根据平行四边形的判定定理和性质定理判断淇淇的作法． 【详解】解：嘉嘉的作法： ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，； 淇淇的作法： ， ，， 在和中， ， ， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， 嘉嘉和淇淇的辅助线作法都可以， 故选：D． 7．如图，是边长为1的等边三角形，取边中点E，作，得到四边形，它的周长记作；取中点，作，得到四边形，它的周长记作．照此规律作下去，则___． 【答案】 【分析】本题考查三角形的中位线，平行线的性质，找规律，找出计算周长的规律是解题的关键；根据三角形的中位线求解，找规律可得，据此规律可求解. 【详解】解：∵是边长为1的等边三角形， ∴， ∵E是边中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 同理：以此方法得到的四边形都为菱形，且边长为前一个菱形边长的， 即，，……，， ∴. 故答案为：. 8．如图所示，在中，，点，分别是，边的中点，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点按这样的规律下去，的长为__________为正整数． 【答案】 【分析】本题考查三角形中位线定理，关键是根据中位线得出规律进行解答．根据中位线的定理得出规律解答即可． 【详解】解：在中，，由点分别是边的中点，点分别是的中点，， 点分别是的中点， 可得， 故． 故答案为：． 9．如图，在图中，、、分别是的边、、的中点，在图中，、、分别是的边、、的中点，，按此规律，则第个图形中平行四边形的个数共有______个． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，三角形的中位线定理等知识点，根据中位线定理先确定它们是平行四边形，然后在图（1）中，可证出有3个平行四边形；在图（2）中，可证出有6个平行四边形；…按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有个，熟练掌握三角形的中位线定理的性质是解决此题的关键． 【详解】在图（1）中，、、分别是的边、、的中点， ∴， ， ∴四边形是平行四边形，共有3个． 在图（2）中，分别是的边的中点， 同理可证：四边形、、、、、是平行四边形，共有6个． … 按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有个， 故答案为：． 10．简单探究：如图1，中，，，，求的长．可在上截取点，使，连接，将转化为一个等腰三角形和一个等腰直角三角形，从而求得的长为______．如图2，在菱形中，与交于点，，，定长线段在对角线上运动，点在点上方，且，连接和．当的值最小时，的长是______． 【答案】 / 3 【分析】根据，，得到，，结合，得到，于是得到，根据．在上截取点，使，连接， 过点A作，且，连接，则四边形是平行四边形，，转化为，根据，当G，F，C三点共线时，取得最小值，此时也取得最小值，连接交于点M，解答即可． 【详解】解：根据题意，得，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 在上截取点，使，连接，菱形中，与交于点，，， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点A作，且， 连接， 则四边形是平行四边形， ∴， ∴转化为， ∵， ∴当G，F，C三点共线时，取得最小值，此时也取得最小值， 连接交于点M， ∴当F与点M重合时，取得最小值， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，中位线定理，两点之间线段最短，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 11．【综合探究】探究小组用两个完全相同的等腰直角三角形纸片通过平移做实验． 【操作探究】 （1）如图，把重合中的向左平移成，顶点恰好是边的中点，连接，，求三角形的面积； 【深入探究】 （2）如图，把继续向左平移，当点与点重合时，连接交于点，求证：； 【拓展提升】 （3）如图，在（2）的条件下，过点作于点，连，，直接写出的长度． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】本题是几何变换综合题，考查了平移的性质，勾股定理，三角形的面积公式，平行四边形的判定和性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）根据平移的性质得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到三角形的面积； （2）连接，根据平移的性质得到，，根据平行四边形的性质即可得到； （3）过作于，根据全等三角形的判定和性质定理和等腰三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）解：把重合中的向左平移成， ， 点恰好是边的中点， ， ， ， 三角形的面积； （2）证明：连接， 把重合中的向左平移成， ，， 四边形是平行四边形， ； （3）解：过作于，交于，如图， ， ， ， ， ， ， ≌， ， ， ， ，， ≌， ， ． 12．数学综合实践课上，同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动： 【操作探究】 （1）如图1，为等边三角形，将绕点A旋转得到，连接，F是的中点，连接，图1中与的数量关系是 ；图1中的角有 个． 【迁移探究】 （2）如图2，将等边绕点A逆时针旋转，得到，连接，F是的中点，连接，探究与的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，F是的中点，连接．在旋转过程中，当时，求线段的长． 【答案】（1）；4 （2），理由见解析 （3） 【分析】本题考查了等边三角形、等腰直角三角形的性质，图形旋转的性质以及直角三角形的相关性质，解题的关键是利用旋转前后图形的全等性和特殊性，结合中点、角度关系推导线段关系． （1）由等边三角形旋转的性质，得，F是中点，故是的中位线，因此．通过角度计算，得出均为，共4个． （2）根据等边三角形旋转的性质，得，，则是等腰直角三角形．F是中点，故为等腰直角三角形，由勾股定理得，又因，所以． （3）在等腰直角中，由，得．结合 ，算出 ，因F是中点且，故． 【详解】解：（1）∵为等边三角形，将绕点A旋转，得到， ∴，且点在同一条直线上． ∵F是的中点，则是的中位线， ∴．且， ∵ 则， 又 ∴， ∴，， 由知，， ∴图1中的角有4个． 故答案为：；4． （2），理由如下： 如图所示： 等边绕点逆时针旋转，得到， ，，， ， ， 为中点，，则， 是等腰直角三角形， ， ； （3）如图所示： ∵则 ∵ ∴，则， ，， ；     的长为． 13．综合与探究 问题情境： 如图，在中，，，．分别以和为边，在三角形外部作等边三角形和，连接，，与交于点G． 问题初探： （1）的度数为__________，的长为__________． 深入探究： （2）张华同学通过计算得到结论，你认为这个结论正确吗？请说明理由． 拓展延伸： （3）在对图形探究的过程中，勤奋小组的同学们发现，并想通过构造以为对角线的平行四边形予以证明．请根据勤奋小组的思路，作出恰当的辅助线，完成证明过程． 【答案】（1）150；（2）张华同学的结论是错误的，理由见解析；（3）见解析 【分析】（1）根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理得出，根据等边三角形的性质得出，，最后求出结果即可； （2）先求出，根据勾股定理求出，求出．即可得出答案； （3）过点D作于点F，连接，证明，根据勾股定理求出，得出，证明四边形是平行四边形，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴， ∵和是等边三角形， ∴，， ∴； （2）张华同学的结论是错误的． 理由：是等边三角形， ，， ， 在中，根据勾股定理，得． ． 张华同学的结论是错误的． （3）如图，过点D作于点F，连接， 由（2）知，， ∴， 是等边三角形， ． ∵， ． 在中，根据勾股定理，得， ， 四边形是平行四边形， ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 14．小红根据学习平行四边形的经验，对平行四边形进行了拓展探究． 【问题探究】 如图1，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)在网格中找一点D，画线段且使，连接； (2)在括号内填写根据： ∵且CD＝BA， ∴四边形是平行四边形（____________） 【拓展延伸】 (3)如图2，在四边形中，，厘米，厘米，点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度由点A向点D运动，点Q以1厘米/秒的速度由点C向点B运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．请问：经过几秒，直线将四边形截出一个平行四边形？ 【答案】(1)见解析 (2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 (3)经过1秒或秒或3秒，直线PQ将四边形截出一个平行四边形 【分析】（1）根据相关要求作图即可； （2）直接运用平行线四边形的判定性质即可解答； （3）经过x秒，直线将四边形截出一个平行四边形平行四边形，根据平行四边形的判定分情况分析求解即可． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：由平行四边形的判定定理可得判定四边形是平行四边形的依据是：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． （3）解：经过x秒，直线将四边形截出一个平行四边形平行四边形，则： 米，米，米，米， ∵， ∴只需或或或，即得四边形是平行四边形． ①由，得：，解得： ； ②由，得：，解得：，不合题意，舍去； ③由，得：，解得：； ④由，得：，解得：． 答：经过1秒或秒或3秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 【点睛】本题主要考查了作平行四边形、平行四边形的判定等知识点，掌握平行四边形的判定定理是解答本题的关键． 15．小星在学习了轴对称的性质后，对三角形中角之间的关系进行了拓展探究．如图，在中，将沿折叠，点的对应点是点． (1)问题解决：如图①，，当点的对应点落在的边上时，______度； (2)问题探究：如图②，，当点的对应点落在的外部时，若，求的度数； (3)拓展延伸：如图③，当点与点重合时，将沿折叠．点的对应点是点，与相交于点，若点是的中点，，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用翻折变换的性质求解即可； （2）设，在中，利用三角形内角和定理，构建方程求解； （3）如图中，连接，，延长交于点．求出，利用全等三角形的性质证明四边形是平行四边形即可． 【详解】（1）解：如图中， 由翻折变换的性质可知，， ， ． 故答案为：． （2）如图中，设． ，， ， 由翻折变换的性质可知，， ， ， ， ． （3）如图中，连接，，延长交于点． 由翻折变换的性质可知，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ≌， ， ， 四边形是平行四边形， ， ． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 16．综合与实践 问题提出 某兴趣小组在一次综合与实践中提出这样一个问题：分别以的边、为腰，向外作等腰和等腰，使，，，点，，分别是边、，的中点，连接，，探究，的数量关系． 特例感知 （1）如图，当，，，的数量关系为：______； 类比探究 （2）如图，当为任意三角形时，猜想并证明，的数量关系； 拓展应用 （3）如图，若，直接写出的度数；（用含的式子表示） （4）如图，点，分别在外，，，点是的边的中点，连接，，证明：． 【答案】（1） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，中位线的性质，平行四边形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定； （1）根据题意得出三点共线，根据已知得，进而根据中位线的性质，即可得出结论； （2）证明，得出，进而根据中位线的性质，即可得出结论； （3）设交于点，交于点，根据全等三角形的性质可得，进而可得，则，设交于点，交于点，根据中位线的性质可得则四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质，即可求解； （4）延长至，连接，同理可得则，进而根据中位线的性质，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵， ∴ ∴三点共线， 又∵， ∴ 即 ∵点，，分别是边、，的中点， ∴ ∴ （2）如图，连接， ∵ ∴即 又∵， ∴ ∴ ∵点，，分别是边、，的中点， ∴ ∴ （3）解：如图，设交于点，交于点， ∵ ∴即 又∵ ∴ ∴ 如图，设交于点，交于点， ∵点，，分别是边、，的中点， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴， （4）如图，延长至，使得，连接， ∵ ∴ 同理可得 ∴ 又∵点是的边的中点，分别为的中点 ∴ ∴． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业04 平行四边形的性质与判定12题型82题 【知识点1 平行四边形的定义】 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 几何语言：若，则四边形是平行四边形。 核心作用：定义既是平行四边形的性质，也是最基础的判定方法。 【知识点2 平行四边形五大核心性质（边、角、对角线）】 1.边的性质 对边平行且相等。即：。 2.角的性质 对角相等，邻角互补。即：；，其余邻角均互补。 3.对角线性质 对角线互相平分。平行四边形两条对角线相交，交点为两条对角线的中点。 几何语言：平行四边形对角线交于点，则。 4.对称性性质 平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点，不是轴对称图形。 5.衍生基础性质 对角线将平行四边形分成两对全等三角形；平行四边形内同底等高的三角形面积相等。 【知识点3 平行四边形基础判定定理】 所有判定定理均为课内基础证明题核心考点，缺一不可，需熟练区分使用场景。 1.定义判定 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2.边判定1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 3.边判定2（最高频） 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（注意：必须是同一组对边）。 4.角判定 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 5.对角线判定 对角线互相平分的四边形是平行四边形。 【知识点4 基础计算与题型】 1.周长计算：平行四边形周长=2(邻边之和)； 2.角度计算：利用对角相等、邻角互补求未知角度； 3.线段计算：利用对角线互相平分、对边相等求线段长度； 4.网格图形判定：网格中通过边长、平行关系判定平行四边形。 【知识点5 基础题型高频易错点（必规避）】 判定误区：误以为“一组对边平行，另一组对边相等”是平行四边形（等腰梯形也满足，无法判定）； 定理误用：使用一组对边平行且相等判定时，误用不同组对边，判定失效； 性质混淆：误认为平行四边形对角线相等、对角线垂直（仅特殊平行四边形满足）； 角度出错：混淆对角、邻角关系，忘记邻角互补的核心性质； 对称性记错：误将普通平行四边形判定为轴对称图形。 【知识点6 三角形中位线培优模型（平行四边形核心衍生考点）】 中位线定理是平行四边形培优第一高频考点，是线段转化、平行证明的核心工具。 1.中位线定理内容 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。 2.核心应用 通过构造中位线，实现线段倍半转化、平行关系证明，常结合平行四边形性质综合解题；多个中点出现的题型，优先考虑中位线模型。 【知识点7 平行四边形四大培优经典题型】 1.线段与角度综合证明变式 结合平行线性质、全等三角形、角平分线、中点条件，综合证明线段相等、线段平行、角度相等，是期中期末解答题必考题型，核心思路是通过平行四边形性质转化边角关系。 2.面积综合计算模型 核心规律：平行四边形中同底等高面积相等，对角线平分平行四边形面积（对角线将图形分为两个面积相等的三角形）；可延伸求解不规则阴影面积、分割图形面积。 3.动点存在性分类讨论问题（压轴难点） 题型特征：平面内线段、动点平移运动，判断何时构成平行四边形。 核心思想：分类讨论，根据平行四边形对边平行且相等的性质，分三种位置情况讨论动点坐标、运动时间，杜绝漏解。 4.多结论正误判断题型 选择压轴高频题型，结合平行四边形性质、全等、角度推导、线段关系，判断多个结论的对错，考查综合推理能力。 【知识点8 平行四边形综合解题技巧】 1.线段转化思维 利用平行四边形对边相等、对角线平分、中位线性质，实现线段等量代换，简化证明和计算。 2.平行关系转化思维 通过平行四边形的平行性质，转化为内错角、同位角相等，解决角度推导问题。 3.构造平行四边形解题 在复杂几何图形中，通过作平行线、取中点、补全图形，构造平行四边形，将陌生问题转化为基础模型求解。 【知识点9 培优核心解题思想】 转化思想：将不规则图形、复杂边角问题，转化为平行四边形基础性质、全等三角形、中位线模型求解； 分类讨论思想：动点构造平行四边形、多点位置不确定题型，全面分情况分析，避免漏解； 方程思想：结合边长、角度、对角线关系设未知数，列方程求解线段长度和角度； 模型思想：固化中位线模型、面积模型、动点模型，快速秒杀同类题型。 【题型1 利用平行四边形的性质求解】 1．在如图所示的平行四边形中，P在边上移动（不与端点重合），连接，，则下列不为定值的是（     ） A． B． C．的面积 D．面积与面积之和 2．如图，在中，对角线，相交于点，过点的直线交于点，交于点，且，若，则阴影部分面积是______． 【题型2 利用平行四边形的性质证明】 3．如图，在中，对角线与相交于点，过点作于，过点作于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 4．如图，的对角线与相交于点O． (1)尺规作图：过点O作的垂线，分别与交于点E，F（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）． (2)在（1）的条件下，判断与的数量关系，并说明理由． 【题型3 求平行线间的距】 5．如图，已知直线，直线l分别与a、b、c相交于点A、B、C，且．若，则直线a、c之间的距离为（    ）． A． B． C． D． 6．如图，直线，点在直线上，过点向直线引直线，与的交点分别是、D，若测得，并且其中有一条是表示直线与直线之间的距离，那么你认为直线与直线之间的距离应该是（     ） A． B． C． D． 【题型4 利用平行线间距离解决问题】 7．如图，直线，点E，F在直线上（不与点C，D重合），且．若的面积为8，则的面积是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 8．如图，直线，点，在直线上，点，在直线上，且，若的面积为3，则四边形的面积为_____． 9．如图，如果直线，那么的面积和的面积是相等的．你能说出理由吗？你还能在这两条平行线之间画出其他与面积相等的三角形吗？ 【题型5 判断能否构成平行四边形】 10．下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（     ） A．， B．， C．， D．， 11．四边形的对角线与相交于点，则下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 12．下列条件：①；②；③；④．其中能判定四边形为平行四边形的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型6 添一个条件成为平行四边形】 13．已知四边形中，与交于点O，如果只给出条件“”，那么（    ） ①再加上条件“”，四边形一定是平行四边形； ②再加上条件“”，四边形一定是平行四边形； ③再加上条件“”，四边形一定是平行四边形； ④再加上条件“”，四边形一定是平行四边形． A．①和② B．①③和④ C．②和③ D．②③和④ 14．如图，在四边形中，，请添加一个条件使四边形是平行四边形，可添加的条件是_____（只填一个即可）． 15．如图，，是对角线双向延长线上的两点，请你添加一个适当的条件：_________，使四边形是平行四边形． 【题型7 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 16．如图，在4×6的网格中，点M，N，P，Q都在格点上，能与格点O，A，B连接得到平行四边形的是（   ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 17．平面直角坐标系中一个平行四边形的三个顶点的坐标分别，则第四个顶点的坐标可能是______． 18．如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，在中． (1)点坐标为____________，点坐标为____________，点坐标为____________． (2)的形状为____________． (3)若以、、及点为顶点的四边形为平行四边形，写出点的坐标____________． 【题型8 证明四边形是平行四边形】 19．如图，在中，D为边上一点，E为边的中点，过点C作交的延长线于点F．连接，．求证：四边形是平行四边形． 20．如图，四边形ABCD中，，，点、是对角线上的两点，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)求证：． 21．如图，是平行四边形的对角线，平分，交于点F． (1)请用尺规作的角平分线，交于点E（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，证明四边形是平行四边形． 证明：四边形是平行四边形， ． ①________． 平分，平分， ， ②________． ③________． 四边形是平行四边形． ④________． 四边形为平行四边形． 【题型9 利用平行四边形的判定与性质求解】 22．如图，在中，的平分线交于点，过点作，交于点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 23．如图，在中，，点分别在边上运动，若满足，连接，则的最小值___________． 24．如图，在中，四个内角的角平分线，，，交于E，F两点，，，，则的长为______． 【题型10 利用平行四边形性质和判定证明】 25．图，是的对角线，过点B作交于点G，垂足为E，过点D作交于点H，垂足为F，连接、．则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④平分的周长，其中正确的是（   ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 26．如图，在平行四边形中，过对角线的中点作直线分别与交于点，连接相交于点，连接相交于点，图中有几个平行四边形，为什么？ 27．【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边中，，点M、N分别在边上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】如图②、过点C、M分别作的平行线，并交于点P．作射线． 在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： (1)证明：； (2)的大小为_______度，线段长度的最小值为_______ (3)如图③，长方形中，，G是的中点，线段在边上左右滑动，若，求的最小值． 【题型11 平行四边形性质和判定的应用】 28．已知：如图，在梯形中，，平分，，的延长线交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若的周长为，，求梯形的面积． 29．如图，在中，对角线相交于点，，，．点从点出发沿方向以的速度匀速运动，到点时停止运动，连接并延长交于点．设运动时间为． (1)当为何值时，四边形是平行四边形？并说明理由； (2)当时，求四边形的面积． 30．如图，在四边形中，，以点A为圆心，的长为半径作弧分别交边，边于点F，E，（点E，F都不与边的端点重合）． (1)如图，当， ①探索和的数量关系并证明你的结论； ②若平分，求证：是等边三角形并直接写出此时线段，，之间的数量关系． (2)连接，当平分时，若是以为腰的等腰三角形，求的值． 【题型12 三角形中位线的实际应用】 31．如图，在中，，，点D为的中点，E为线段上任意一点，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，过点F作，交直线与点H，请问与的数量关系是怎样的？请说明理由． 32．综合与实践 【教材再现】 三角形的中位线定理是八年级下册中的一个重要命题，如图①，是的中位线，则，且． 【回顾证法】 (1)证明三角形的中位线定理的方法有很多，但多数都要通过添加辅助线完成，如图②，延长到点F，使，连接，，．如图③，取中点G，连接并延长到点F，使，连接．请你选择其中一种证法，继续完成证明过程． 【实践应用】 (2)如图④，B，C两地被池塘隔开，在无法直接测量的情况下，小明通过下面的方法测出了B，C间的距离：先在池塘外选一点A，连接，，然后测出，的中点D，E，并测出的长度为12米，则B，C两点间的距离 米． 【深入探究】 (3)如图⑤，是的中位线，是边上的中线．与是否互相平分？请证明你的结论． 33．阅读材料： 金山区某中学数学兴趣小组，在《23.4（1）三角形的中位线与重心》一课的学习后，对中位线定理的证明产生了很大的兴趣，在课后进行了延伸探究． 已知：如图（1），在中，、分别是、的中点． 求证：，且． 下面是几位同学的探究过程： 甲：过点作，交于点，过点作的平行线交的延长线于点． 乙：连接，，过点作，垂足为，分别过点、作，，交、延长线于点、． 丙：延长至点，使，连接、、．        丁：以点为原点建立平面直角坐标系，设点的坐标为，点的坐标为． (1)任务一：四位同学的方案，能证明三角形的中位线定理的有__________（填人名） (2)任务二：请选择一位同学的方案，并将证明过程补充完整． (3)任务三：该兴趣小组在某公园开展“测距”为主题的小队活动时，发现、两地被某人工湖隔开，由于只有工具：一把皮尺（测量长度略小于），某同学提出方案“我们可以在与平行的人行步道上的点、处作好标记，通过皮尺找到与的中点、，通过皮尺测量，的长度，就可以估算出、两点间的距离了”．若测得，，请直接写出、两点间的距离．（用含、的代数式表示） 1．如图，在四边形中，已知．添加下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，为的中点，，则的面积为（   ） A．12 B．14 C． D． 3．对进行下列操作： 操作1：如图1，是的中位线，将沿中线方向平移到△的位置，使与边重合； 操作2：作的高，将按图2所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为． 对操作1，2中阴影部分面积，下列说法正确的是（） A．操作2中阴影部分面积大 B．面积均为面积的一半 C．面积与的面积相等 D．操作1中阴影部分面积大 4．如图，在平面直角坐标系中，，，，D是平面内一点，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D不可能在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．如图，在中，的平分线交于点，若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 6．如图，点是内任一点，若，则图中阴影部分的面积是（    ） A．4 B．4.5 C．6 D．3.5 根据平行四边形的性质：，且， 设点到的距离为，点到的距离为， 则平行四边形中，与之间的总高为， 7．如图，在中，，，为边上一动点，以，为边作，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在中，平分交于点，连接，点分别是的中点，连接．交于点．延长交于点．则下列结论中：①平分；②；③；④；⑤，正确的有（   ）个 A．5 B．4 C．3 D．2 9．如图， 的两个外角的平分线、相交于点，过点作，分别交、于点、，连接，则下列结论：①是等腰三角形；②；③；④平分．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，在中，，在上取点，使，连接，过点作交，分别于点，．已知，，，当，发生变化时，代数式值不变的是(   ) A． B． C． D． 11．如图，在中，对角线和相交于点，点是边的中点，，，则的周长为__________． 12．在平行四边形中，，，则__________． 13．如图，在中，，平分交于点E，则的度数为________度． 14．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，AO的中点，连接EF，若EF＝3，则OB的长为_____ ． 15．如图，的周长为，，则的面积是____． 16．在平面直角坐标系中，已知点，，．若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为_______________________． 17．如图，在中，，，，点E、F分别在线段、上，且，连接，若平分，则的长为 ______ 18．如图，在中，，是的中点，，，，则四边形的面积______． 19．如图，中，，，，则______，点P为上任意一点，连接，以、为邻边作平行四边形，连接，则的最小值______． 20．如图，在四边形中，连接，点E，F是上的两点，连接，，，，．求证： (1)； (2)． 21．如图，在平行四边形中，点是对角线的中点，过作线段交于点，交于点，求证：． 22．如图，在梯形中，，延长到点，使，连接，交于点．若是的中点，且，，求的长． 23．如图，在四边形中，，对角线相交于点O，过点O交于点E，交于点F，且．求证：四边形是平行四边形． 24．如图，在中，为对角线，是边上一点，连接并延长交的延长线于点，且，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)过点作于点G，若，，求四边形的面积． 25．如图，，分别为中，的中点，分别连结，交于点，连结，交于点，连结，．求证：与互相平分． 26．按要求解答问题： 【问题情境】 (1)如图，平行四边形中，点E和点F分别是边，的中点，连接，，，，，那么图中与面积相等的平行四边形是________________．（写出图中所有符合要求的平行四边形） 【问题探究】 (2)在由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，已知在的网格图形中，的顶点A、B、C都在格点上，画出平行四边形，使，且点G，H均在格点上（要求：只需画出一个符合要求的图形）． 阅读：《无刻度直尺作图》“无刻度直尺作图是一种特殊的几何作图方式，仅依靠无刻度的直尺这一工具来完成特定的几何图形绘制”，我们规定无刻度的直尺只能用来连接两点作线段． 【问题拓展】 (3)如图，已知平行四边形，E是边的中点，求作一点Q，使．（仅利用无刻度直尺作图，保留作图痕迹）． 27．如图，在中，点E为的中点．仅用无刻度直尺在给定图形中画图． (1)在图1中，画的中点M； (2)在图2中，点P为边上一点，在上找点N，使得． 28．如图，在四边形中，，对角线、交于点，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，过点作交的延长线于点． （ⅰ）求证：为的中点． （ⅱ）连接交于点，过点作于点，若，，求的长． 29．如图，和都是等边三角形，．求证：四边形是平行四边形． 30．如图1，平行四边形纸片，的长度不确定，点P是上的一个动点，连接，把平行四边形沿着线段对折，点A的对应点为． (1)【探究1】如图2，当P与B重合时，连接，探究与的位置关系，请完成下面的证明过程： 证明：∵沿翻折至， ∴，， ∵在平行四边形中，， ∴_______， ∴____________， ∴， ∵在平行四边形中，， ∴， ∴， ∴_____________， ∴， ∵， ∴____________， ∴； (2)【探究2】如图3，若刚好能落在的中点时，且，求的长； (3)【探究3】如图4，若，，当P刚好落在点的中点上时，Q是的中点，连接，若是直角三角形，且，直接写出的长． 31．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、D两点坐标分别为，，且． (1)求A、D两点坐标； (2)点B、C是x轴上两动点（B在C左侧），且四边形是平行四边形． ①如图1，当点B在原点左侧时，过点O的直线，分别交于M，N，请直接写出三条线段之间的数量关系； 当点C在原点左侧时，________；当点C在原点右侧时，________； ②如图2，当点B、C分别在原点两侧时，连接，过点O作交于点G，连接，取中点H，在上截取，使，若，求的长． 32．如图，在直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形是平行四边形，点，点．动点P从点O出发向点A匀速运动，同时动点Q从点A向点B匀速运动，速度均为每秒1个单位．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为t秒（）． (1)求点B的坐标； (2)当t为何值时，的面积是平行四边形OABC面积的一半； (3)求的最小值． 33．定义：如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把这个四边形称为“忧乐四边形”．如图1，凸四边形沿对角线对折后完全重合，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”． (1)下列四边形一定是“忧乐四边形”的有_________． A．平行四边形  B．菱形  C．矩形  D．正方形 (2)如图2，在平行四边形中，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点．①求证：四边形是“忧乐四边形”．②若；当是直角三角形时，请求出线段的长． (3)如图1，在四边形中，，线段、之间存在怎样的数量关系？ 1．下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中第①个图形中一共有10个平行四边形，第②个图形中一共有14个平行四边形，第③个图形中一共有19个平行四边形，……按此规律排列下去，则第⑦个图形中平行四边形的个数为（    ）． A．40 B．44 C．47 D．49 2．如图，已知平行四边形的顶点为，若将平行四边形先沿着轴进行第一次轴对称变换，所得图形再沿着轴进行第二次轴对称变换，轴对称变换的对称轴遵循轴、轴、轴、轴的规律进行，则经过第次变换后，平行四边形的顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，点O，，A，，B，，C，…都是平行四边形的顶点，点A，B，C，……在x轴正半轴上，，，，，，，，…．按照此规律依次排列，则第8个平行四边形的对称中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作分别交于点．喜欢探究的小东通过独立思考，得到以下结论：①当是的中点时；②当的形状变化时，点有可能为的中点．下列判断正确的是（    ） A．①，②都正确 B．①，②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 5．某同学对“对角线垂直的四边形”进行了探究：如图，在四边形中，，，，，由上述条件，得到了两个结论：①，②．对于结论①、②下列说法正确的是（    ） A．①正确、②错误 B．①错误、②正确 C．①、②正确 D．①、②都错误 6．数学课上，大家一起探究三角形中位线定理的证明方法． 已知：D，E分别是的边，的中点，求证：，且． 嘉嘉和淇淇各自尝试作了一种辅助线，如图1，2．其中辅助线作法能够用来证明三角形中位线定理的是（    ） 嘉嘉的辅助线作法：延长到点F，使，连接，，． 淇淇的辅助线作法：过点E作，过点A作，与交于点F． A．嘉嘉的辅助线作法不可以，淇淇的可以 B．嘉嘉的辅助线作法可以，淇淇的不可以 C．嘉嘉和淇淇的辅助线作法都不可以 D．嘉嘉和淇淇的辅助线作法都可以 7．如图，是边长为1的等边三角形，取边中点E，作，得到四边形，它的周长记作；取中点，作，得到四边形，它的周长记作．照此规律作下去，则___． 8．如图所示，在中，，点，分别是，边的中点，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点按这样的规律下去，的长为__________为正整数． 9．如图，在图中，、、分别是的边、、的中点，在图中，、、分别是的边、、的中点，，按此规律，则第个图形中平行四边形的个数共有______个． 10．简单探究：如图1，中，，，，求的长．可在上截取点，使，连接，将转化为一个等腰三角形和一个等腰直角三角形，从而求得的长为______．如图2，在菱形中，与交于点，，，定长线段在对角线上运动，点在点上方，且，连接和．当的值最小时，的长是______． 11．【综合探究】探究小组用两个完全相同的等腰直角三角形纸片通过平移做实验． 【操作探究】 （1）如图，把重合中的向左平移成，顶点恰好是边的中点，连接，，求三角形的面积； 【深入探究】 （2）如图，把继续向左平移，当点与点重合时，连接交于点，求证：； 【拓展提升】 （3）如图，在（2）的条件下，过点作于点，连，，直接写出的长度． 12．数学综合实践课上，同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动： 【操作探究】 （1）如图1，为等边三角形，将绕点A旋转得到，连接，F是的中点，连接，图1中与的数量关系是 ；图1中的角有 个． 【迁移探究】 （2）如图2，将等边绕点A逆时针旋转，得到，连接，F是的中点，连接，探究与的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，F是的中点，连接．在旋转过程中，当时，求线段的长． 13．综合与探究 问题情境： 如图，在中，，，．分别以和为边，在三角形外部作等边三角形和，连接，，与交于点G． 问题初探： （1）的度数为__________，的长为__________． 深入探究： （2）张华同学通过计算得到结论，你认为这个结论正确吗？请说明理由． 拓展延伸： （3）在对图形探究的过程中，勤奋小组的同学们发现，并想通过构造以为对角线的平行四边形予以证明．请根据勤奋小组的思路，作出恰当的辅助线，完成证明过程． 14．小红根据学习平行四边形的经验，对平行四边形进行了拓展探究． 【问题探究】 如图1，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)在网格中找一点D，画线段且使，连接； (2)在括号内填写根据： ∵且CD＝BA， ∴四边形是平行四边形（____________） 【拓展延伸】 (3)如图2，在四边形中，，厘米，厘米，点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度由点A向点D运动，点Q以1厘米/秒的速度由点C向点B运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．请问：经过几秒，直线将四边形截出一个平行四边形？ 15．小星在学习了轴对称的性质后，对三角形中角之间的关系进行了拓展探究．如图，在中，将沿折叠，点的对应点是点． (1)问题解决：如图①，，当点的对应点落在的边上时，______度； (2)问题探究：如图②，，当点的对应点落在的外部时，若，求的度数； (3)拓展延伸：如图③，当点与点重合时，将沿折叠．点的对应点是点，与相交于点，若点是的中点，，，求的度数． 16．综合与实践 问题提出 某兴趣小组在一次综合与实践中提出这样一个问题：分别以的边、为腰，向外作等腰和等腰，使，，，点，，分别是边、，的中点，连接，，探究，的数量关系． 特例感知 （1）如图，当，，，的数量关系为：______； 类比探究 （2）如图，当为任意三角形时，猜想并证明，的数量关系； 拓展应用 （3）如图，若，直接写出的度数；（用含的式子表示） （4）如图，点，分别在外，，，点是的边的中点，连接，，证明：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $