第二十一章四边形 培优训练 2025-2026学年 人教版数学八年级下册

第二十一章　四边形 一、多边形的内角和、外角和 1.(2025·珠海三模)如图,正六边形ABCDEF和正五边形EGHPQ的边CD,GH在同一直线上,正五边形在正六边形右侧,则∠DEG的度数为　48°　.  二、平行四边形的性质与判定 2.如图,将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠,使点B落在点B'处,若∠1＝∠2＝36°,则∠B为(　A　) A.126° B.132° C.144° D.156° 3.如图,平行四边形ABCD中以点B为圆心,适当长为半径作弧,交AB,BC于F,G,分别以点F,G为圆心,大于FG长为半径作弧,两弧交于点H,连接BH并延长,与AD交于点E,若AB＝5,CE＝4,DE＝3,则BE的长为　4　.  4.如图,在▱ABCD中,AB⊥AC,点E是AD的中点,作EF⊥BD于点F,已知AB＝4,AC＝6,则EF的长为 　.  5.如图,在▱ABCD中,BC＝3,CD＝4,点E是CD边上的中点,将△BCE沿BE翻折得△BGE,连接AE,点A,G,E在同一直线上,则点G到AB的距离为(　D　) A. 　　 6.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AE平分∠BAD交BC于点E,AB＋EC＝AD. (1)求证:四边形ABCD为平行四边形; (2)若∠B＝60°,求证:AE＝CD; (3)在(2)的条件下,连接AC,DE,若∠AED＝80°,求∠ACE的度数. (1)证明:∵AD∥BC, ∴∠DAE＝∠AEB. ∵AE平分∠BAD, ∴∠BAE＝∠DAE. ∴∠BAE＝∠AEB.∴AB＝BE. ∵AB＋EC＝AD, ∴BE＋EC＝AD.∴BC＝AD. ∴四边形ABCD为平行四边形. (2)证明:∵∠ABE＝60°,AB＝BE, ∴△AEB为等边三角形. ∴AB＝AE. ∵▱ABCD中,AB＝CD, ∴AE＝CD. (3)解:∵△AEB为等边三角形, ∴∠AEC＝180°－60°＝120°. ∵▱ABCD中,AB∥CD, ∴∠DCE＝180°－∠B＝120°. ∴∠AEC＝∠DCE. 又EC＝CE,AE＝DC, ∴△CEA≌△ECD(SAS). ∴∠ACE＝∠DEC. ∵∠AED＝80°, ∴∠DEC＝180°－60°－80°＝40°.∴∠ACE＝40°. 7.如图,在▱ABCD中,AB＝5 cm,BC＝9 cm,动点P从点A出发,以每秒2 cm的速度沿▱ABCD的边逆时针匀速运动;动点Q同时从点A出发,以每秒3 cm的速度沿▱ABCD的边顺时针匀速运动.设点P的运动时间为t s. (1)当点P在BC上运动时,BP＝　(2t－5)　cm(用含t的代数式表示).  (2)当t＝ 　时,P,Q两点相遇.  (3)是否存在t的值,使得以点A,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由. 解:存在t的值,使得以点A,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,t的值为. ①当四边形APCQ为平行四边形时,如图. 由题意,得PC＝(14－2t)cm,AQ＝3t cm. ∵四边形APCQ为平行四边形, ∴14－2t＝3t.解得t＝. ②当四边形AQCP为平行四边形时,如图. 由题意,得AQ＝(28－3t)cm,PC＝(2t－14)cm. ∵四边形APCQ为平行四边形, ∴28－3t＝2t－14.解得t＝. 综上所述,存在t的值,使得以点A,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,t的值为. 三、三角形的中位线 8.如图,在△ABC中,AC＝2,∠ACB＝120°,D是边AB的中点,E是边BC上一点,若DE平分△ABC的周长,则DE的长为 (　C　) A. C. 9.如图,Rt△ABC 中,∠C＝90°,AC＝8,BC＝12,点D为BC边上的中点,将△ACD沿AD对折,使点C落在同一平面内的点C'处,连接BC',则BC'的长为　7.2　.  10.如图,已知△ABC中,点E是边AC的中点,点F是BE的中点,连接AF并延长交边BC于点D,BD＝2.求边BC的长. 解:取AD的中点G,连接EG,如图. ∴EG是△ADC的中位线. ∴EG＝CD,EG∥CD. ∴∠GEF＝∠DBF. ∵点F是BE的中点, ∴BF＝EF. 在△BDF和△EGF中, ∴△BDF≌△EGF(ASA). ∴BD＝EG＝2. ∴CD＝2EG＝4. ∴BC＝BD＋DC＝2＋4＝6. 11.如图,在△ABC中,AE平分∠BAC,BE⊥AE于点E,点F是BC的中点. (1)如图①,BE的延长线与AC边相交于点D,求证:EF＝(AC－AB); (2)如图②,探究线段AB,AC,EF之间的数量关系,并说明理由. (1)证明:∵AE平分∠BAC, ∴∠BAE＝∠CAE. ∵BE⊥AE, ∴∠BEA＝∠DEA＝90°. ∴∠ABD＝∠ADB. ∴AB＝AD. ∴E是BD的中点. 又点F是BC的中点, ∴EF是△BCD的中位线. ∴EF＝(AC－AD)＝(AC－AB). (2)解:EF＝(AB－AC).理由如下: 如图②,延长AC交BE的延长线于点P. ∵AE⊥BP, ∴∠AEP＝∠AEB＝90°. ∴∠BAE＋∠ABE＝90°,∠PAE＋∠APE＝90°. ∵AE平分∠BAC, ∴∠BAE＝∠PAE. ∴∠ABE＝∠APE. ∴AB＝AP. ∵AE⊥BP, ∴BE＝PE. 又F是BC的中点, ∴EF是△BCP的中位线. ∴EF＝(AP－AC)＝(AB－AC). 四、矩形的性质与判定 12.如图,在矩形ABCD中,点E在AD上,EF⊥CE交AB于点F,且EF＝EC.若DE＝2,矩形ABCD的周长是16,则AE的长是(　A　) A.3 B.4 C.5 D.7 13.如图,四边形OBCD是一个在平面直角坐标系中的矩形,点O为坐标原点,OB＝6,OD＝10,在CD边上取一点E,连接BE,将△BCE沿着BE所在直线翻折,使点C落在OD边上的点F处,则点E的坐标为(　C　) A.(10,3) B.(10,2) C. D.(10,4) 14.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点O作OE⊥AC交AD于点E,若AB＝4,BC＝8,则AE的长为(　C　) A.3 B.4 C.5 D. 15.如图,在矩形ABCD中,点E在边BC上,点F是AE的中点,AB＝4,AD＝DE＝5,则BF的长为 　.  16.如图,在矩形ABCD中,AB＝5,AD＝12,对角线AC与BD相交于点O,点E为边BC上的一个动点,EF⊥AC,EG⊥BD,垂足分别为F,G,则EF＋EG＝ 　.  17.如图,点E为矩形ABCD的边BC上的一点,作DF⊥AE于点F,且满足DF＝AB.下面结论:①△DEF≌△DEC;②S△ABE＝S△ADF;③AF＝AB;④BE＝AF.其中正确的结论有(　A　) A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 18.如图,在矩形ABCD中,点E,F分别是边AB,BC的中点,连接EC,FD,点G,H分别是EC,FD的中点,连接GH,若AB＝6,BC＝10,则GH的长度为(　C　) A. D.2 19.如图,矩形ABCD中,AB＝8,AD＝6,矩形内有一个点P,连接AP,BP,CP,已知∠APB＝90°,CP＝CB,延长CP交AD于点E,则AE＝ 　.  20.如图,在平行四边形ABCD中,∠ACB＝90°,过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E,连接AE交CD于点F. (1)求证:四边形ACED是矩形; (2)连接BF,若∠ABC＝60°,CE＝3,求BF的长. (1)证明:∵∠ACB＝90°, ∴AC⊥BC. ∵DE⊥BC, ∴AC∥DE. ∵四边形ABCD是平行四边形,点E在BC的延长线上, ∴AD∥CE. ∴四边形ACED是平行四边形. 又∠ACE＝90°, ∴四边形ACED是矩形. (2)解:∵四边形ACED是矩形,四边形ABCD是平行四边形, ∴AE＝CD＝AB,AF＝EF,AD＝CE＝CB＝3. ∵∠ABC＝60°, ∴△ABE是等边三角形. ∴BF⊥AE,AB＝AE＝BE＝2CE＝2×3＝6. ∴∠AFB＝90°,AF＝×6＝3. ∴BF＝. 五、菱形的性质与判定 21.如图,∠AOB＝60°,以点O为圆心,2 cm为半径画弧交OA,OB于点C,D;分别以点C,D为圆心,大于CD长为半径画弧,两弧交于点E;以点C为顶点作∠FCH＝∠AOB,射线CH与OE交于点G,连接DG,则四边形ODGC的面积为(　B　) A. cm2 B.2 cm2 C.4 cm2 D.4 cm2 22.如图,在菱形ABCD中,∠ABC＝120°,点E是边AB的中点,P是对角线AC上的一个动点,若AB＝2,则PB＋PE的最小值是 　.  23.如图,两张等宽的纸条交叉叠放在一起,重合部分构成四边形ABCD,P为CD上一点,连接BP,若四边形ABCD的面积为20,纸条的宽为4,DP＝2,则BP的长是　2　.  24.如图,在菱形ABCD中,∠BAD＝60°,AC,BD交于点O,E为CD延长线上的一点,且CD＝DE,连接BE分别交AC,AD于点F,G,连接OG.下面结论: ①OG＝AB;②四边形ABDE是菱形;③S四边形ODGF＝S△ABF.其中正确的结论是　①②③　.  25.如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB＝AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分∠BAD,过点C作CE⊥AB,交AB的延长线于点E,连接OE. (1)求证:四边形ABCD是菱形; (2)若AB＝5,BD＝6,求OE的长. (1)证明: ∵AB∥CD, ∴∠CAB＝∠DCA. ∵AC平分∠DAB, ∴∠CAB＝∠DAC.∴∠DAC＝∠DCA. ∴CD＝AD. ∵AB＝AD, ∴AB＝CD. 又AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形. 又AD＝AB, ∴平行四边形ABCD是菱形. (2)解:∵四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD交于点O, ∴AC⊥BD,OA＝OC＝AC,OB＝OD＝BD＝3. 在Rt△AOB中,∠AOB＝90°, ∴OA＝＝4. ∵CE⊥AB, ∴∠AEC＝90°. 在Rt△AEC中,∠AEC＝90°,O为AC的中点, ∴OE＝OA＝4. 六、正方形的性质与判定 26.如图,正方形ABCD中,AC为对角线,E,F分别为AB,CD上的点,将△BCE与△DAF分别沿CE,AF折叠,使点B,D分别落在对角线AC上的B',D'处.若AB＝2,则B'D'的长是(　A　) A.4－2 C.2－1 27.(2025·惠州期末)如图,已知四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形,且G是AB的中点,连接AE,若AB＝2,则AE的长为(　C　) A.2 B.4 C. 28.如图,在正方形ABCD中,E为线段CD上一点且CE＝CD,连接AC,BE交于点F,分别取AC,BE的中点M,N,连接MN,若AB＝4,则MN为(　B　) A.1 B. C.2 D. 29.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,CE,DF交于点G,连接AG.下列结论:①CE＝DF;②CE⊥DF;③AG＝AD;④∠EAG＝30°.其中正确的结论是(　D　) A.①② B.①③ C.①②④ D.①②③ 30.如图,在矩形纸片ABCD中,CD＝3,AD＝6,将矩形沿着EF折叠,折痕分别交AD,BC于点E,F,点C的对应点为C',点D的对应点为D'. (1)观察发现:如图①,连接C'E,若C'F⊥BC,BF＝1,则C'E的长为 　.  (2)探究迁移:如图②,若点C'和点A重合,求CF的长. (3)拓展应用:若点C的对应点C'落在边AD上,求线段CF的长的取值范围. 解:(2)由折叠,得CF＝AF. 由题意知,AB＝3,BC＝AD＝6. 设BF＝x,则AF＝CF＝BC－BF＝6－x. 在Rt△ABF中,AB2＋BF2＝AF2, ∴32＋x2＝(6－x)2. 解得x＝. ∴CF＝BC－BF＝6－. (3)①如图,当点C'与点A重合时,线段CF最长. 由(2),可得CF＝. ②如图,当C'F⊥BC时,线段CF最短. 此时,四边形C'FCD是正方形. ∴CF＝CD＝3. 综上所述,CF的长的取值范围是3≤CF≤. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十一章　四边形 一、多边形的内角和、外角和 1.(2025·珠海三模)如图,正六边形ABCDEF和正五边形EGHPQ的边CD,GH在同一直线上,正五边形在正六边形右侧,则∠DEG的度数为 .  二、平行四边形的性质与判定 2.如图,将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠,使点B落在点B'处,若∠1＝∠2＝36°,则∠B为( ) A.126° B.132° C.144° D.156° 3.如图,平行四边形ABCD中以点B为圆心,适当长为半径作弧,交AB,BC于F,G,分别以点F,G为圆心,大于FG长为半径作弧,两弧交于点H,连接BH并延长,与AD交于点E,若AB＝5,CE＝4,DE＝3,则BE的长为 .  4.如图,在▱ABCD中,AB⊥AC,点E是AD的中点,作EF⊥BD于点F,已知AB＝4,AC＝6,则EF的长为 .  5.如图,在▱ABCD中,BC＝3,CD＝4,点E是CD边上的中点,将△BCE沿BE翻折得△BGE,连接AE,点A,G,E在同一直线上,则点G到AB的距离为( ) A. 　　 6.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AE平分∠BAD交BC于点E,AB＋EC＝AD. (1)求证:四边形ABCD为平行四边形; (2)若∠B＝60°,求证:AE＝CD; (3)在(2)的条件下,连接AC,DE,若∠AED＝80°,求∠ACE的度数. 7.如图,在▱ABCD中,AB＝5 cm,BC＝9 cm,动点P从点A出发,以每秒2 cm的速度沿▱ABCD的边逆时针匀速运动;动点Q同时从点A出发,以每秒3 cm的速度沿▱ABCD的边顺时针匀速运动.设点P的运动时间为t s. (1)当点P在BC上运动时,BP＝ cm(用含t的代数式表示).  (2)当t＝ 时,P,Q两点相遇.  (3)是否存在t的值,使得以点A,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由. 三、三角形的中位线 8.如图,在△ABC中,AC＝2,∠ACB＝120°,D是边AB的中点,E是边BC上一点,若DE平分△ABC的周长,则DE的长为 ( ) A. C. 9.如图,Rt△ABC 中,∠C＝90°,AC＝8,BC＝12,点D为BC边上的中点,将△ACD沿AD对折,使点C落在同一平面内的点C'处,连接BC',则BC'的长为 .  10.如图,已知△ABC中,点E是边AC的中点,点F是BE的中点,连接AF并延长交边BC于点D,BD＝2.求边BC的长. 11.如图,在△ABC中,AE平分∠BAC,BE⊥AE于点E,点F是BC的中点. (1)如图①,BE的延长线与AC边相交于点D,求证:EF＝(AC－AB); (2)如图②,探究线段AB,AC,EF之间的数量关系,并说明理由. 四、矩形的性质与判定 12.如图,在矩形ABCD中,点E在AD上,EF⊥CE交AB于点F,且EF＝EC.若DE＝2,矩形ABCD的周长是16,则AE的长是( ) A.3 B.4 C.5 D.7 13.如图,四边形OBCD是一个在平面直角坐标系中的矩形,点O为坐标原点,OB＝6,OD＝10,在CD边上取一点E,连接BE,将△BCE沿着BE所在直线翻折,使点C落在OD边上的点F处,则点E的坐标为( ) A.(10,3) B.(10,2) C. D.(10,4) 14.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点O作OE⊥AC交AD于点E,若AB＝4,BC＝8,则AE的长为( ) A.3 B.4 C.5 D. 15.如图,在矩形ABCD中,点E在边BC上,点F是AE的中点,AB＝4,AD＝DE＝5,则BF的长为 .  16.如图,在矩形ABCD中,AB＝5,AD＝12,对角线AC与BD相交于点O,点E为边BC上的一个动点,EF⊥AC,EG⊥BD,垂足分别为F,G,则EF＋EG＝ .  17.如图,点E为矩形ABCD的边BC上的一点,作DF⊥AE于点F,且满足DF＝AB.下面结论:①△DEF≌△DEC;②S△ABE＝S△ADF;③AF＝AB;④BE＝AF.其中正确的结论有( ) A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 18.如图,在矩形ABCD中,点E,F分别是边AB,BC的中点,连接EC,FD,点G,H分别是EC,FD的中点,连接GH,若AB＝6,BC＝10,则GH的长度为( ) A. D.2 19.如图,矩形ABCD中,AB＝8,AD＝6,矩形内有一个点P,连接AP,BP,CP,已知∠APB＝90°,CP＝CB,延长CP交AD于点E,则AE＝ .  20.如图,在平行四边形ABCD中,∠ACB＝90°,过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E,连接AE交CD于点F. (1)求证:四边形ACED是矩形; (2)连接BF,若∠ABC＝60°,CE＝3,求BF的长. 五、菱形的性质与判定 21.如图,∠AOB＝60°,以点O为圆心,2 cm为半径画弧交OA,OB于点C,D;分别以点C,D为圆心,大于CD长为半径画弧,两弧交于点E;以点C为顶点作∠FCH＝∠AOB,射线CH与OE交于点G,连接DG,则四边形ODGC的面积为( ) A. cm2 B.2 cm2 C.4 cm2 D.4 cm2 22.如图,在菱形ABCD中,∠ABC＝120°,点E是边AB的中点,P是对角线AC上的一个动点,若AB＝2,则PB＋PE的最小值是 .  23.如图,两张等宽的纸条交叉叠放在一起,重合部分构成四边形ABCD,P为CD上一点,连接BP,若四边形ABCD的面积为20,纸条的宽为4,DP＝2,则BP的长是 .  24.如图,在菱形ABCD中,∠BAD＝60°,AC,BD交于点O,E为CD延长线上的一点,且CD＝DE,连接BE分别交AC,AD于点F,G,连接OG.下面结论: ①OG＝AB;②四边形ABDE是菱形;③S四边形ODGF＝S△ABF.其中正确的结论是 .  25.如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB＝AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分∠BAD,过点C作CE⊥AB,交AB的延长线于点E,连接OE. (1)求证:四边形ABCD是菱形; (2)若AB＝5,BD＝6,求OE的长. 六、正方形的性质与判定 26.如图,正方形ABCD中,AC为对角线,E,F分别为AB,CD上的点,将△BCE与△DAF分别沿CE,AF折叠,使点B,D分别落在对角线AC上的B',D'处.若AB＝2,则B'D'的长是( ) A.4－2 C.2－1 27.(2025·惠州期末)如图,已知四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形,且G是AB的中点,连接AE,若AB＝2,则AE的长为( ) A.2 B.4 C. 28.如图,在正方形ABCD中,E为线段CD上一点且CE＝CD,连接AC,BE交于点F,分别取AC,BE的中点M,N,连接MN,若AB＝4,则MN为( ) A.1 B. C.2 D. 29.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,CE,DF交于点G,连接AG.下列结论:①CE＝DF;②CE⊥DF;③AG＝AD;④∠EAG＝30°.其中正确的结论是( ) A.①② B.①③ C.①②④ D.①②③ 30.如图,在矩形纸片ABCD中,CD＝3,AD＝6,将矩形沿着EF折叠,折痕分别交AD,BC于点E,F,点C的对应点为C',点D的对应点为D'. (1)观察发现:如图①,连接C'E,若C'F⊥BC,BF＝1,则C'E的长为 .  (2)探究迁移:如图②,若点C'和点A重合,求CF的长. (3)拓展应用:若点C的对应点C'落在边AD上,求线段CF的长的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $