精品解析：四川省泸县第五中学2025-2026学年高一下学期第三次学月考试数学试题

泸县五中高2025级高一下期第三次学月考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】集合，即， 又， 所以. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】解：命题“，”的否定是“，”． 3. 不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】不等式，即，解得或. 因此不等式的解集是或. 4. “一元二次方程有实数根”是“”的（   ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若一元二次方程有实数根，则且， 所以充分性成立； 由推不出，即推不出方程一定为一元二次方程，故必要性不成立； 所以“一元二次方程有实数根”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5. 已知平面向量，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出，由平面向量夹角公式计算的值，结合向量夹角的范围即可求解. 【详解】由可得， 所以， 因为，所以， 故选：C. 6. 已知，，，函数 的部分图象如图所示，则该函数的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象最高点确定，利用周期求出，最后代入最低点坐标求出. 【详解】由 ，，，的图象可知， . 因函数图象过最高点，且随后经过点， 所以函数的最小正周期满足，解得，因为，所以 . 即函数表达式为 . 将点 代入上式，得，化简得. 所以，因为，可得. 所以该函数的表达式是 . 7. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由已知条件求出，再结合求出，最后代入 化简求值. 【详解】由，可得. 利用三角恒等式，将代入： 得，，. 则. 所以，的值是. 故选：D. 8. 已知在正四面体中，D，E，F分别在棱，，上，若，，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取的中点，过点作的垂线交的延长线于点，根据勾股定理，结合列式求解. 【详解】如图，由题意可得，，所以为等边三角形， 即，在中，根据余弦定理可得：， ，所以， 同理在中，，即， 取的中点，过点作的垂线交的延长线于点， 可知点到平面的距离为的长，因为， 所以在中，， 在中，， 又因为，所以为等腰三角形， 为中点，所以在中，， 在中，为中点，所以为等边的高， 在中，， 所以， 即，整理可得：， 两边平方可得：， 整理可得：，即， 两边平方可得：， 化简可得：，所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设复数z满足为复数z的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的虚部为 C. 是个纯虚数 D. 复数z对应的点位于复平面的第一象限 【答案】ACD 【解析】 【详解】因为，所以，. 选项A，，正确. 选项B，虚部为，错误. 选项C，，属于纯虚数，正确. 选项D，对应点为，属于第一象限，正确. 10. 对于，有如下判断，其中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是等腰三角形 C. 若，则符合条件的有两个 D. 若，则是锐角三角形 【答案】BD 【解析】 【分析】利用三角形大边对大角和正弦定理判断A，利用正弦定理边化角得出角的关系判断B，利用正弦定理求出的值判断C，利用正弦定理可得，再利用余弦定理判断D. 【详解】选项A，在中由大边对大角可知若，则， 又由正弦定理可得，故A说法正确； 选项B，若，则由正弦定理边化角可得， 即，所以或，整理得或， 所以是等腰三角形或直角三角形，B说法错误； 选项C，因为，所以由正弦定理可得， 所以角有两个值，此时符合条件的有两个，C说法正确； 选项D，若，则由正弦定理角化边可得， 所以，即角是钝角，所以是钝角三角形，D说法错误； 故选：BD 11. 在棱长为1的正方体中，，分别为棱，的中点，为线段上的动点，则（ ） A. 平面 B. 的最小值为 C. 直线与平面所成角余弦值的取值范围为 D. 若为的中点，则三棱锥外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据线线平行证明线面平行即可判断；对于B，先将平面和平面沿着展开至同一平面，再根据两点之间的距离最短求解即可判断；对于C，根据点从点向移动时，直线与平面所成角逐渐减小，进而根据线面角的余弦值即可求解；对于D，先根据直角三角形的性质确定的外接圆的圆心为，再求，从而确定外接球的球心及半径，进而利用球的表面积求解即可判断． 【详解】对于A，连接， 由，分别为棱，的中点，则， 又在正方体中，有，且， 则四边形是平行四边形，则，所以， 又平面，而平面，所以平面，故A正确； 对于B，将平面和平面沿着展开至同一平面， 则当，，三点共线时，取得最小值， 由，，且，则，则， 又，则， 所以的最小值为，故B正确； 对于C，连接，， 由在平面内的投影为，在平面内的投影为， 又，，则，， 又，平面，则平面， 则当点与点重合时，平面，此时直线与平面所成角的余弦值为0； 点从点向移动时，直线与平面所成角逐渐减小， 当点与点重合时，直线与平面所成角最小，为的余角， 又 ，所以是直角三角形， 所以当点与点重合时，直线与平面所成角与相等， 又，， 此时直线与平面所成角的余弦值为， 所以直线与平面所成角的余弦值的范围为，故C错误； 对于D，连接，交于，则是线段的中点， 又是直角三角形，且， 则的外接圆的圆心为， 所以， 又为的中点，则， 即到三棱锥各顶点的距离相等， 所以三棱锥外接球的球心为，半径为， 所以三棱锥外接球的表面积为，故D正确． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 12. 已知为共线向量，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据共线向量，求出 【详解】根据为共线向量，且, 则，解得. 故答案为：. 13. 已知，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】将已知条件进行切化弦，再运用积化和差公式可得答案. 【详解】由切化弦得， ∴， 由积化和差，得， ∴. 故答案为：1. 14. 在平面四边形中，，，则的取值范围为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标表示相应向量，根据三角换元、辅助角公式及三角函数的有界性计算即可. 【详解】根据条件可知该四边形为直角梯形，如下图所示，建立平面直角坐标系， 则， 因为， 所以，且， 易知， 利用三角换元，可设， 则， 其中， 显然，则， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知在平面直角坐标系中，点，，. （1）若，求的值； （2）记在方向上的投影向量为，求的坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的坐标运算可得，结合垂直关系的向量表示建立方程，解之即可求解； （2）由（1），根据平面向量数量积的坐标表示可得，结合投影向量的概念计算即可求解. 【小问1详解】 由题意知，， 因为， 所以， 即，解得； 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 则. 16. 已知，，且． （1）求函数的最小正周期； （2）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，当时，求函数的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 ，， . 函数的最小正周期. 【小问2详解】 由（1）得. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象， . ，. ； ，即. 函数的值域为. 17. 从①；②；③．这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答该题． 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知________． （1）求角C的大小； （2）若点D在AB上，CD平分，，，求CD的长； 注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分． 【答案】（1）条件①，；条件②，；条件③， （2） 【解析】 【分析】（1）若选条件①，利用正弦定理以及两角差的正弦公式化简求解.若选②，利用正弦定理以及两角和的正弦公式化简求解即可.若选③，根据诱导公式以及两角和的正弦公式化简求解即可. （2）根据余弦定理以及三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 若选条件①， 依题意，得，根据正弦定理得· 因为，所以，则，即· 即，所以 又，则，所以· 若选条件②， 由正弦定理得· 所以· · 即， 即，整理得，即．· 因为，所以，所以．· 若选条件③， 在中，因为，· 所以· 即· 化简得．· 又，则，故． 因为，所以．· 【小问2详解】 在中，根据余弦定理， 有· 即，解得或（舍去）. 依题意，， · 即，则 所以· 18. 如图，在平面四边形中，，，，，将沿着翻折得到（保留原平面四边形）形成四棱锥． （1）若二面角为直二面角． ①求直线与平面所成角的正弦值； ②过点且平行于平面的平面交于点，求三棱锥的体积； （2）点在同一个球面上，设该球面的球心为，半径为，二面角和的平面角大小分别为，求（结果用表示）． 【答案】（1）①；②； （2）． 【解析】 【分析】（1）①根据翻折变换可得全等三角形，并且根据直二面角可作出在底面的投影，作出直线与平面所成角，根据直角三角形求解夹角的正弦值； ②根据面面平行的性质，两平面平行，则平面内直线与另一平面平行，根据线面平行确定点的位置，进而通过换底计算三棱锥的体积； （2）利用球心与切面圆心连线垂直于截面的性质，构造二面角的平面角，根据角所在的直角三角形得到正切值，代入计算结果即可． 【小问1详解】 过点作，连接； 因为二面角为直二面角，所以平面平面， 且平面平面， 因为，平面，所以平面， 故为直线与平面所成角； 因为，，，， 所以，； 因为沿着翻折得到，所以； 故，； 在中，，解得； 则； 故在直角三角形中，， 在直角三角形中，； 故； 故直线与平面所成角的正弦值为． ②连接，取靠近点的四等分点，连接，； 由①可知，，根据翻折可知； 又因为，故， 因为平面，平面，所以平面； 因为，故， 因为平面，平面，所以平面； 又，且平面，故平面平面； 故为靠近点的四等分点；则， 而， 到平面的距离为； 故； 【小问2详解】 取的中点，连接； 的外接圆圆心为，则平面，则 的外接圆圆心为，则平面，则； 因为为的中点，故，因为，故， 又因为，且平面，则平面， 故，故为二面角的平面角； 则； 因为为的中点，则，且， 故四边形为平行四边形，则，则； 又因为，且平面，则平面， 故，故为二面角的平面角； 可得； 则． 19. 若函数与区间同时满足：①区间为的定义域的子集；②对任意，存在常数，使得成立，则称是区间上的有界函数，其中称为的一个上界． （1）试判断是否为上的有界函数？并说明理由； （2）已知函数是区间上的上界为3的函数，求实数的取值范围； （3）若函数，问：在区间上是否存在上界？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）不是上的有界函数，是上的有界函数，理由见详解； （2） （3）答案见详解 【解析】 【分析】（1）根据有界函数的定义，分别求出及的值域即可判断； （2）依题意知在上恒成立，即在上恒成立，等价于，构造函数，求出的值域即可求解； （3）先求解函数及的值域，再根据有界函数的定义，讨论取不同数值时，函数是否存在上界，并求解出对应的上界范围． 【小问1详解】 ，， 的值域为，不是上的有界函数； 因为，当时，， 而，当且仅当时，等号成立， 则， 所以，，即有在上恒成立， 是上的有界函数； 【小问2详解】 依题意知在上恒成立，即在上恒成立， 在上恒成立， 即在上恒成立， 等价于， 令， 在上单调递减， 又在上单调递增， 由复合函数的单调性可知在上单调递减， 又在上单调递增，所以在上单调递增， ， ，即. 即的取值范围为. 【小问3详解】 ， 当时，，此时的取值范围是， 当时，在上是单调递减函数， 其值域为，故， 此时的取值范围是， 当时，由，可得， 若在上是有界函数，则区间为定义域的子集， 所以不包含0， 所以或，解得：或， 时，在上是单调递增函数，此时的值域为， ①，即或时，， 此时的取值范围是， ②，即时， ，此时的取值范围是， 综上：当时，存在上界，； 当或时，存在上界，； 当时，存在上界，， 当时，此时不存在上界． 【点睛】关键点点睛，本题关键点在于求出所给函数在对应定义域范围内的值域，从而可结合定义，得到该函数是否为有界函数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泸县五中高2025级高一下期第三次学月考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. D. 4. “一元二次方程有实数根”是“”的（   ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知平面向量，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，函数 的部分图象如图所示，则该函数的表达式是（ ） A. B. C. D. 7. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知在正四面体中，D，E，F分别在棱，，上，若，，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设复数z满足为复数z的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的虚部为 C. 是个纯虚数 D. 复数z对应的点位于复平面的第一象限 10. 对于，有如下判断，其中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是等腰三角形 C. 若，则符合条件的有两个 D. 若，则是锐角三角形 11. 在棱长为1的正方体中，，分别为棱，的中点，为线段上的动点，则（ ） A. 平面 B. 的最小值为 C. 直线与平面所成角余弦值的取值范围为 D. 若为的中点，则三棱锥外接球的表面积为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 12. 已知为共线向量，且，则__________. 13. 已知，则________． 14. 在平面四边形中，，，则的取值范围为_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知在平面直角坐标系中，点，，. （1）若，求的值； （2）记在方向上的投影向量为，求的坐标. 16. 已知，，且． （1）求函数的最小正周期； （2）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，当时，求函数的值域． 17. 从①；②；③．这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答该题． 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知________． （1）求角C的大小； （2）若点D在AB上，CD平分，，，求CD的长； 注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分． 18. 如图，在平面四边形中，，，，，将沿着翻折得到（保留原平面四边形）形成四棱锥． （1）若二面角为直二面角． ①求直线与平面所成角的正弦值； ②过点且平行于平面的平面交于点，求三棱锥的体积； （2）点在同一个球面上，设该球面的球心为，半径为，二面角和的平面角大小分别为，求（结果用表示）． 19. 若函数与区间同时满足：①区间为的定义域的子集；②对任意，存在常数，使得成立，则称是区间上的有界函数，其中称为的一个上界． （1）试判断是否为上的有界函数？并说明理由； （2）已知函数是区间上的上界为3的函数，求实数的取值范围； （3）若函数，问：在区间上是否存在上界？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $