精品解析：四川省泸县第五中学2025-2026学年高一下学期第三次学月考试数学试题

泸县五中高2025级高一下期第三次学月考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. D. 4. “一元二次方程有实数根”是“”的（   ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知平面向量，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，函数 的部分图象如图所示，则该函数的表达式是（ ） A. B. C. D. 7. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知在正四面体中，D，E，F分别在棱，，上，若，，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设复数z满足为复数z的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的虚部为 C. 是个纯虚数 D. 复数z对应的点位于复平面的第一象限 10. 对于，有如下判断，其中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是等腰三角形 C. 若，则符合条件的有两个 D. 若，则是锐角三角形 11. 在棱长为1的正方体中，，分别为棱，的中点，为线段上的动点，则（ ） A. 平面 B. 的最小值为 C. 直线与平面所成角余弦值的取值范围为 D. 若为的中点，则三棱锥外接球的表面积为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 12. 已知为共线向量，且，则__________. 13. 已知，则________． 14. 在平面四边形中，，，则的取值范围为_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知在平面直角坐标系中，点，，. （1）若，求的值； （2）记在方向上的投影向量为，求的坐标. 16. 已知，，且． （1）求函数的最小正周期； （2）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，当时，求函数的值域． 17. 从①；②；③．这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答该题． 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知________． （1）求角C的大小； （2）若点D在AB上，CD平分，，，求CD的长； 注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分． 18. 如图，在平面四边形中，，，，，将沿着翻折得到（保留原平面四边形）形成四棱锥． （1）若二面角为直二面角． ①求直线与平面所成角的正弦值； ②过点且平行于平面的平面交于点，求三棱锥的体积； （2）点在同一个球面上，设该球面的球心为，半径为，二面角和的平面角大小分别为，求（结果用表示）． 19. 若函数与区间同时满足：①区间为的定义域的子集；②对任意，存在常数，使得成立，则称是区间上的有界函数，其中称为的一个上界． （1）试判断是否为上的有界函数？并说明理由； （2）已知函数是区间上的上界为3的函数，求实数的取值范围； （3）若函数，问：在区间上是否存在上界？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $6学科网6组卷网 泸县五中高2025级高一下期第三次学月考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的： 1.已知柴合A={x∈NH≤x<5),B={0,13,5,则4nB=（) A.{01,3} B.九3 c{0,13,5 D.{L,3,5} 【答案】A 【解析】 【详解】集合A={x∈N-1≤x<5},即A={0,123,4, 又B={0,13,5y 所以A∩B={01,3y 2命思“3reR.r-2x+120,的香定是（) A.r∈Rx2-2x+1≤0 B.VxER x2-2x+1<0 c.3x∈Rx2-2x+1>0 D.3x∈Rx2-2x+1≥0 【答案】B 【解析】 【详解1解：命题x∈R,女-2x+120,的香定是eR,-2x+1<0。 不特经店小 的解集是) 第1页/共27页 6学科网6组卷网 附 中<5度心司 e 引 【答案】B 【解析】 【1不元合后小0.(-》0，<发 因t术等行小0的我生r5度>} 4.“一元二次方程+bx+c= 有实数根"是b-4ac≥0的（) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可 【详解1若元二次方程+r+c=0有实数根，则公-4ac≥0na≠0 所以充分性成立： 由2-4ac≥ 推不出a0 ,即推不出方程+bx+C=0一定为一元二次方程，故必要性不成立： 所以元二次方程r+bx+c=0有实数根是公-4a©≥0的充分不心要张件 故选：A 5.已知平面向量a=(1-),-6,a-6=-3N2,则a与5的夹角为() 5π 3π 2π A.6 B.4 C.3 D.3 第2页/共27页 6学科网 6组卷网 【答案】C 【解析】 【分析】求出回，由平面向量夹角公式计算cosā，6的值，结合向量夹角的范国即可求解 【详解】由ā=(1，-1)可得a=V+(-1)2=V2, 所a6 a-b-321 aB2x6 2 因为0≤a列s,所a-经 故选：C 知A>0,0>0,O<2,函数y=Asin (@x-+p)的部分图象如图所示，则该函数的表达式是 6 2 A.y=2sin B.y=2sin C.y=2sin 2x+ D.y=2sin 3 【答案】B 【解析】 1 【分析】根据图象最高点确定4，利用4周期求出0，最后代入最低点坐标求出p: 【详解)由y=Asin(x+p)A>0,o之0，四<2的图象可知，) 第3页/共27页 6学科网命组卷网 7 因函数图象过最高点1 ,2 T5π7π_π 2-2 所以面数的最小正周期清足4624，解得T=元，因为0>0，所以0= 即函数表达式为y=2sin(2x+p) +p-+2km.keZ 个 0= 所以6 2 所以该函数的表达式是y=2si 2x+ 7.若sina=V3cosa,则sina cos的值是() √3 3 A.2 B.2 C.4 D.4 【答案】D 【解析】 【分析】先击已知条件求出ana,再结合sim'a+cosa=l求出cosa,最后代入 sinacosa 化简求值 【详解】由sina=V3cosa,可得tana=V3 利用三角恒等式sin2a+cos'a=L,将sina=V3 cos代入：(N3cos+cosa=l 1 3cos'a+cosa=1.4cos=1 cosa 4 sinacosa=cosacosa-cosx13 44 第4页/共27页 6学科网命组卷网 3 所以，sinacosa的值是4 故选：D 8.己知在正四面体P-ABC中，D,E,F分别在棱PA,PB,PC上，若PE=6,PD=PF=2,则 点P到平面DEF的距离为() V11 4W22 23 2W6 A 2 B.11 c.3 D.3 【答案】D 【解析】 【分析】取DF的中点G,过点P作EG的垂线交EG的延长线于点H,根据勾股定理，结合 EH-GH=EG PH 列式求解 ∠DPE=∠DPF=∠EPF=60° 【详解】如图，由题意可得， 所以aPDF 为等边三角形， 即DF=2,在△DPE中，根据余弦定理可得： DE2=DP2+EP2-2·DP.EP.cos60° DE2=2+62-2x2x6 =28 2 ,所以DE=2√7， 同理在△PFE中，FE=PF2+PE-2PF,PE-cos60=28,即EF=27 取DF的中点G,过点P作EG的垂线交EG的延长线于点H, 可知点P到平面DEF的距离为PH的长，因为EH-GH=EG, 所以在RtAPHE中，EH=VPE2-PH 在RtAPHG中，GH=VPG-PH 又因为DE=BF=27,所以△DBF为等腰三角形， 第5页/共27页 6学科网命组卷网 G为DF中点，所以在RtADGE中，EG=VDE2-DG=V28-I=V27=3√5 在△PDF中，G为DF中点，所以PG为等边△PDF的高， 在RtADPG中，PG=VDP2-DG=V22-P=V3 所以VPE2-PH-VPG2-PH2=VDE2-DG2 即V36-PH-V3-P7=35,整理可得：V36-PH=35+V3-PH 两边平方可得：36-PH2=27+3-PH+6√3V3-PH2 整理可得：36=30+65V3-PH,即1=V3V3-PH, 1=9-3PH2 两边平方可得： 化简可得： 3,所以PH=2v6 PH2 3 ◇ D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. ).设复数：满足2(+)=21为复数：的共如复数，则下列说法正确的是《) A.Ial=2 第6页/共27页 6学科网列组卷网 B.z的虚部为-1 ct是个纯度数 D.复数z对应的点位于复平面的第一象限 【答案】ACD 【解析】 2i 2i _2i=1+i 【详解】因为2+i）=2i,所以2=1+0s1+wm1十i ,z=1-i 选项A,2=1+i=V2 正确 选项B,虚部为-1，错误 选项C,z2=(1+i}=2i 属于纯虚数，正确。 选项D,2对应点为，)，属于第一象限，正确 10.对于△ABC,有如下判断，其中错误的是() A.若A>B,则sinA>sinB B.若acosA=bcosB,则△ABC是等腰三角形 C若B=30,C=4b=3,则符合条件的△ABC有两个 D.sin'4+sinB<sin'C 则△MBC是锐角三角形 【答案】BD 【解析】 【分析】利用三角形大边对大角和正弦定理判断A,利用正弦定理边化角得出角的关系判断B,利用正弦 定理求出si血C的值判断C,利用正弦定理可符+< ,再利用余弦定理判断D. 【详解】选项A,在△ABC中由大边对大角可知若A>B,则a>b, 第7页/共27页 学科网命组卷网 又由正弦定理可得sinA>sinB,故A说法正确； 选项B,若acosA=bcosB,则由正弦定理边化角可得sin Acos A=sin B cos B, 即sin2A=sin2B,所以2A=2B或2A=π-2B,整理得A=B或 A+B=π 2, 所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，B说法错误： b 选项C,因为B=30°，c=4,b=3,所以由正弦定理sin B sinC可得 inC=。>sinB 3 所以角C有两个值，此时符合条件的△ABC有两个，C说法正确： 选项D,若sin2A+sin2B<sin'C a2+b2<c2 则由正弦定理角化边可得 所以c0sC=4+62-c2 <0 2ab ,即角C是钝角，所以△ABC是钝角三角形，D说法错误； 故选：BD 1.在楼长为1的正方体MBCD-AB,CD中，E,F分别为楼4D,MM的中点，G为线段B,C上的 动点，则() BC D A.EF∥平面 B.DG+BG的最小值为V2+V2 3 C、直线4G与平面BCD所成角余弦值的取值范围为 0,3 D.若G为B,C的中点，则三棱锥G-BCD外接球的表面积为2π 【答案】ABD 【解析】 第8页/共27页 6学科网 命组卷网 BCD」 【分析】对于A,根据线线平行证明线面平行即可判断：对于B,先将平面 面BB,C沿者BC 和平面 辰开至同一平面，再根据两点之间的距离最短求解即可判断；对于C,根据点G从点C向B移动时，直 线AG与平面BCD 所成角逐渐减小，进而根据线面角的余弦值即可求解：对于D,先根据直角三角形的 性质确定△BCD的外接圆的圆心为O,再求OG,从而确定外接球的球心及半径，进而利用球的表面积求 解即可判断. AD 【详解】对于A,连接 D E B A G 由E,F分别为枝4D,A的中点，则BF1D 又在正方体 BCD-4BCGD中，有ABD,G,且MB=DG 则四边形 BCD是平行四边形，则1D1/BC,所UBF1/BC 又EF平面BCD,而BGC平面BCD.所以EF∥平面BCD 故A正确： 对于B,将平面BCD和平面B,C沿者BC辰开至同-平面， D E B D 第9页/共27页 6学科网 命组卷网 则当D,G,B三点共线时，DG+BG取得最小值， ∠DCB=3π 由8B-1,BC-1.月BB⊥BC,月∠BC8=子，为 4 又DC-1则DB-DCe+CB-2 DC.CB-s3-2+万 所以DG+BG的最小值为V2+√V2,故B正确： 对于C,莲接4C,AC 由AC在平面ABCD内的投影为AC,在平面BCCB内的投影为B,C 又AC⊥BD,BC⊥BC,则AC⊥BD.AC⊥BG, 又BD,BCC平面BCD,则4CL平面BCD, 则当点G与点C重合时.4GL平面BCD,此时直线4G与平面BCD 成角的余弦值为O: 点G从点C向B移动时，直线4G与平面BCD所成角逐浙减小， 当点G与点B重合时，直线4G与平面BDC所成角最小，为∠BAC的余角， 又AB1BC,所△4BC是直角三角形， 所以当点G与点B重合时，直线4G与平面BDC所成角与∠B,CA相等， 第10页/供27页 命学科网命组卷网 BC=BB2+BC2=2 AC=BC2+4B2=3 B,C√2V6 此时直线AG与平面BCD所成角的余弦值为ACV万3， 所以直线AG与平面BCD所成角的余弦值的范围为 0 3, 故C错误； 对于D,连接AC,交BD于O,则O是线段BD的中点， B A 又△BCD是直角三角形，且∠BCD=90, 则△BCD的外接圆的圆心为O, 所以OB=0C=OD=1BD=2 2 2, 又o为ac钟点则c=《9(-⑧- 即O到三棱锥G-BCD各顶点的距离相等， 所以三棱锥G-BCD外接球的球心为0，半径为R=V2 2 所以三棱锥 。外接球的表面积为S=4πR2=-4π× =2π，故D正确. G-BCD 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目 第11页/共27页 学科网 命组卷网 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 12.已知a,6为共线向量，且i=(3,),6=(x,2)(xeR),则x= 【答案】6 【解析】 【分析】根据共线向量，求出x 【详解】根据云，b为共线向量，且=(3，少，万=(x,2) 则3×2-x=0,解得x=6 故答案为：6 则sin20 【答案】1 【解析】 【分析】将已知条件进行切化弦，再运用积化和差公式可得答案， 3sin0-π sin0+ π 12 12 【详解】由3ta (um(o 切化弦得， cos π cos 8+ π 12 2 3in(coin so) 由积化和差， 用引m0-s如引-m29+抽引 ∴.sin20=1. 故答案为：1. 第12页/供27页 6学科网列组卷网 14.在平面四边形ABCD中， DC=.AB,AB.BC=0,AB4,BC2.BM=BC0≤≤)， CN=uCD(0≤u≤)，MN=2,则AM.AN的取值范围为 【答案】[20-4V5,16] 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标表示相应向量，根据三角换元、辅助角公式及三角函数的有界性 计算即可 【详解】根据条件可知该四边形为直角梯形，如下图所示，建立平面直角坐标系， 则1(4,0)，C(0,2),D(2,2) 因为BM=BC=(0,2)(0≤元≤1)，CN=CD=(24,0)(0≤μ≤I),MN=2, 所以M(0,2),N(24,2),且(2-2a}+(2=4 易知4M·4N=(4,22)-(2μ-4,2)=16-8μ+42 2o 利用三角换元，可设2u=2sin0 则16-8u+42=16-8sin8+4-4cos0=20-4V5sin(0+p）. 第13页/供27页 可学科网丽组卷网 所以16-8+4∈[20-4V5,16] 故答案为： [20-4V5,16 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15己知在平面直角坐标系中，点A,1),B(4,5).C(0,3) 1)若(AB+AC)L(4B-MC),求的值， (2)记B在AC方向上的投影向量为“，求“的坐标。 【答案】(1)±5 2)（1,2) 【解析】 【分析】(1)根据平面向量的坐标运算可得 B=心，4)，C=(1,2),结合垂直关系的向量表示建立方程， 解之即可求解； (2)由(4)，根据平面向量数量积的坐标表示可得MB.4C=5,结合投影向量的概念计算即可求解 【小问1详解】 AB=(3,4),AC=(-1,2) 由题意知， (AB+1AC)⊥(AB-tAC) 因为 所以M5+1MC:(46-1AC=B-P4C2=0 即25-50=0，解得1=±土5 【小问2详解】 由(1)知 AB=(3,4),AC=(-1,2) 第14页/供27页 命学科网命组卷网 所以ABAC=5 则~AB.AC×AC= 34C=(1,2) 16.已知i=(2sin,cosr),b=(cosx,-2cosx),且f(x)=a-万+l （1)求函数f()的最小正周期， (2)将函数()图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数8(：的图象，当 e0引，英数8问6他发。 【答案】(1)π 2【4, 【解析】 【小问1详解】 .a=(2sinx,cosx)b=(cosx,-2cosx) (+12sinwcoss-2co+1-sin2x-cos2x-inx :函数f(x的最小正周期 【小问2详解】 得)=v2n2x-到 :将函数()图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数8()的图象。 第15页/供27页 6学科网命组卷网 g=m25inx-到 xx[引 别] sn-4e-川.即g ∴函数8()的值域为- 17从@a+acC-csn(B+C,@smB+)-白 2;③sinB-sinA=sin(C-A).这三 个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答该题， 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知 (1)求角C的大小： (2)若点D在AB上，CD平分∠ACB,a=2,c=V万，求CD的长， 注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分， C=π C=π 【答案】(1)条件①，3；条件②，3；条件③， C-π 3 (2)CD=6V5 【解析】 【分析】(1)若选条件①，利用正弦定理以及两角差的正弦公式化简求解.若选②，利用正弦定理以及两 角和的正弦公式化简求解即可.若选③，根据诱导公式以及两角和的正弦公式化简求解即可. (2)根据余弦定理以及三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 第16页供27页 6学科网6组卷网 若选条件①， 依思意，得a+sC=V5csin4,根据正弦定理得sin4+sin C=5 Ssin CsinA. 因为0<A<元，所以sin4>0,则l+cosC=√5sinC,即V5sinC-cosC=l. sinc-c 3 即2 C-π=π Csπ 又0<C<元，则66，所以3 若选条件②， sin Csin sin A+sin B B+ 由正弦定理得 6 2 1 sin 4+sin B sin(B+C)+sin B 所以sinC -sin B+cos B 2 2 2 sin Bcos C+cos Bsin C+sin B 2 3sin Csin B+sin Ccos B=sin BcosC+cos Bsin C+sin B 5s血CsnB=BawC+s如B,s理得5如C-sC-1,用(C-君). 兀兀 C C=I 因为C∈(0，)，所以C66,所以C 3. 若选条件③， 在aABC中，因为sinB-sinA=si血(C-A)）,A+B+C=元 所以sin(C+A)-sinA=sin(C-A)】 sin Ccos A+cos Csin A-sin A=sin Ccos A-cos C'sin A. 第17页/供27页 6学科网列组卷网 化简得sinA=2 cos Csin A,· 又4e(0),则s咖A≠0，数casC= 2 C-π 因为0<C<π，所以3.· 【小问2详解】 在△ABC中，根据余弦定理， c2=a+b2-2abcos"=a2+b2-ab 有 3 即7=4+6-26，解得6=3或b=-1(合去). 依思意，S4m+S.aw=S,c, aCDsinCD.sini 62 62 3 即(a+b)CD=3ab,则CD=3Y 2+b 所以CD=2566v6 2+b5 18如图，在平面四边形ABCD中，AD=2,BC=CD=2V5,MD⊥CD,AC1BC,将△DAC 沿着AC翻折得到△PAC(保留原平面四边形)形成四棱锥P-ABCD, 第18页/供27页 6学科网组卷网 (1)若二面角P-AC-D为直二面角. ①求直线PB与平面ABC所成角的正弦值： ②过点D且平行于平面PBC的平面交AP于点E,求三棱锥A-CDE的体积： P,A,B, (2)点 C在同一个球面上，设该球面的球心为0，半径为R,二面角0-4P-C0-BC-A 的平面角大小分别为a,B,求ana-tanP(结果用R表示). √2 1 【答案】(1)①4：②2： R2+5 (2)12· 【解析】 【分析】(1)①根据翻折变换可得全等三角形，并且根据直二面角可作出P在底面的投影，作出直线 PB ABC 与平面 所成角，根据直角三角形求解夹角的正弦值： ②根据面面平行的性质，两平面平行，则平面内直线与另一平面平行，根据线面平行确定点E的位置，进 而通过换底计算三棱锥的体积： (2)利用球心与切面圆心连线垂直于截面的性质，构造二面角的平面角，根据角所在的直角三角形得到 正切值，代入计算结果即可： 【小问1详解】 过点P作PS⊥AC,连接BS: 第19页/共27页 6学科网命组卷网 因为二面角P-AC-D为直二面角，所以平面PAC⊥平面ABCD, 且平面PAC∩平面ABCD=AC, 因为PS⊥AC,PSC平面PAC,所以PS⊥平面ABCD, 故∠PBS为直线PB与平面ABC所成角： 因为AD=2,BC=CD=2V5,AD⊥CD,AC1BC 所以AC=4,AB=2√7 因为aDA 沿者C 翻折得到△PAC,所△PAC兰△DAC, 故PA=2,PC=2V sin∠PCA=PA_2_Ps-PS 在△PAC中 AC4PC2√3，解得PS=V3: 则CS=PC2-PS2=2-3=3, 故在直角三角形SBC中，SB=VBC2+SC2=V2+9=√21 在直角三角形PSB中，PB=V21+3=V24=2√6 故sin∠PBs=PS-V5V2 PB2√64； 2 故直线PB与平面ABC所成角的正弦值为4· B 第20页/共27页 6学科网列组卷网 ②连接SD,取PA靠近A点的四等分点E,连接SE,DE: 由①可知，AS=4-SC=1,根据翻折可知DS⊥AC: 又因为AC⊥BC,故DS∥BC, 因为DSd平面PBC,BCC平面PBC,所以DS∥平面PBC: AS AE 1 因为ACAP4,故SE∥PC, 因为SE￠平面PBC,PCC平面PBC,所以SE∥平面PBC: 又SENDS=-S,且SE,DSC平面SDB,故平面SDE∥平面PC, ，且 故E为PA亲近4点的四等分点，则'os=4@， m-x40xD-*2x23=25 而 S=V3 1 E到平面ACD的距离h为4 4: 3 42: 【小问2详解】 AC,BC,PA,AB T,N,M,O OM,ON,MT,TO,ON,OT 取 的中点 ，连接 △PAC T ,OT⊥PAC OT⊥PA 的外接圆圆心为，则 平面 ,则 第21页/共27页 命学科网命组卷网 △AB 的外接圈图心为9，测O0L平面4BC.侧则O01BC 因为M,T为PA,4C 为 的中点，故MTPC,因为PCL,故MT1AP 为OTOMT=-T,且Or,MTC平面OMT,则4PL平面OMT, 又因 故AP⊥OM,故∠OMT为二面角O-AP-C的平面角a: tana-OT-Jop-PT_R-2 VR-4 则 MT 3 因为N,Q为BC,AB的中点，则T9/CN,且' TQ-18C-CN 2 故四边形 TONC 为平行四边形，则 C/ON,则2N1BC 又因为 0n2w=e,且Oe,Nc平面00w, 则BCL平OQW 平面 散BC1ON,故∠ON0为二面角0-BC-A的平面角P: 可两mB-岩-Or:R-疗.r互 NO 1 AC 2 2 2 ta'a-tanB-R-4_R-7R+5 3 4 12. B 19若函数f()与区间D同时满足：①区间D为(x)的定义域的子集；②对任意xD,存在常数 第22页/供27页 6学科网列组卷网 M≥0，使得f(x列≤M成立，则称f()是区间D上的有界函数，其中M称为(x)的一个上界. 2x 四)四2x+3是否为0，+∞上的有界函数？并 [117 2)己知函数8(x)=-2x+n+a是区间32上的上界为3的函数，求实数0的取值范围 1+x 动若酒数创？ 1+m3,问：f(x)在区间[0，上是否存在上界M?若存在，求出M的取值范 围；若不存在，请说明理由 【答案】山)（☒不是(Q,+o)上的有界西数，方（內是(0，+o)上的有界西数，理由如下： :f(x)=x-1x∈(0，+o) “f(四的值碳为+∞，·（女不是（0，+）上的有界函数： 2x 2 2x 3 因为x)=x-2x+3当x>0时 f)=2-2x+3x+ -2, 而*+32/ 3-25,当且仅当=3时，等号成立 内海 无-560o陵 方(x)是(0，+o)上的有界函数： 【P2+h3号n2 (3) 第23页/共27页 6学科网列组卷网 M∈ m+2 当m≥0时，存在上界M, 当ms-1-51 3m+2 3或3<m<0时，存在上界M, M L3m+ M∈ m+2 当13m<时，存在上界 m+1’ 当≤ms1 3时，此时不存在上界M,理由如下： -m =1+1 1+m.3x, 当m=0时，f(x)=2,/(x)=2,此时M的取值范围是[2，+o), 当m>0时，)=1+1+m:分在0，上是单调递减函数， 其值域为f(x)e 2+3m2+m 2+3m2+m 1+3m’1+m」， 故（✉列+3m+m 2+m,too 此时M的取值范围是1+m’ 当m<0时，由xc0,,可符+m-3∈Bm+l,m+刊， 若f(✉在D,川上是有界函数，则区间[0，]为f()定义域的子集。 所以3m+l,m+刊不包含0， 1 所以3m+1>0或m+1<0,解得：m<-1或3m<0 第24页/共27页 学科网命组卷网 m<0时，f(x)=1+, m+23m+2 1+m3在0，上是单调递增函数，此时f(x)的值域为m+1’3m+1, 3m+2≥m+2 ①3m+1m+1, m≤35支}m<0时./ 3m+2 3m+2 3一或3 3m+1 3m+1, 3m+2, 此时M的取值范围是3m+,+0, 3m+2,m+2 -3-V5 ②3m+1m+1,即3 <m<-1时， f(x≤ m+2=-m+2 「m+2 m+1 m+1,此时M的取值范围是 m+ito月 M∈m+2 综上：当m≥0时，存在上界M, Mm++o 当m≤-1-31 -3或3m<0时，存在上界M, Me 3m+2 3m+斤，+o】 当1 m+2 之<m<-l时，存在上界M, 3 MEm+l' 当1≤ms 1 3时，此时不存在上界M. 【解析】 【分析】1)根据有界函数的定义，分别求出（及方(）的值域即可判断； eee3[R,x+s,[R,s种T 「11 第25页/供27页 6学科网命组卷网 a≥2x-ln}-x-3 1+x a≤2x-nx+3） 构造函数 求出 的值域即可求解； “1+x min -2-h[ h(x) (3)先求解函数f(女及广()小的值域，再根据有界函数的定义，讨论m取不同数值时，函数是香存在 上界，并求解出对应的上界范围。 【小问1详解】 略 【小问2详解】 [117 依题意知g(x≤3在3’2上恒成立，即 2x+In -x+ds3「- 1+x在3’2上恒成立， [111 ∴.-3≤-2x+n +a≤3厂2]上恒成立， 1+x 则2-3cas2r-+n5上t 1+x a≥2x-n-x-3 “1+x max 等价于 a≤2x-l 1-x+3 1+x ◆-2-h[5 y==-1+2,y=1-x厂1,1 1+x 一1+x在3’2上单调递减， 又y=lnr(0,+o 在 上单调递增， 由复合函数的单调性可知y=山厂1,1 1+x在3’2上单调递减， 第26页/供27页 6学科网 命组卷网 y=2x兮引上.原4-2x-在引上华. 「11 4(e=4》=号n2,(e=付-1+n3， a≥ln3-2 . a≤4lh2:即n3-2sa3 4-ln21 即a的取值范围为 n3-23 -ln2 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛，本题关键点在于求出所给函数在对应定义域范围内的值域，从而可结合定义，得到 该函数是否为有界函数. 第27页/共27页