第20章《勾股定理》暑假复习与巩固练习 2025--2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 人教版八年级上册勾股定理预习单元卷，整合知识点系统梳理与分层练习，强化数形结合、方程思想等核心素养，适配暑假预习巩固。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|10|勾股数判定、逆定理应用、折叠问题|结合赵爽弦图考证明方法，体现文化传承| |填空题|6|《九章算术》竹折问题、不规则绿地面积计算|融入古代数学问题，培养数学眼光| |解答题|6|勾股数规律探究、沙尘暴影响范围计算|分层设计，如21题实际问题建模，发展应用意识|

人教版八年级上册预习 第20章 勾股定理 本章复习目标 掌握勾股定理及其逆定理的内容，能熟练完成定理的验证与推导，体会古代数学的文化价值。 能运用勾股定理求解直角三角形的边长，运用逆定理判定直角三角形，解决几何计算与实际生活中的相关问题。 体会数形结合、方程思想、转化思想、分类讨论思想等数学方法，提升逻辑推理与数学建模的核心素养。 本章知识框架 知识点复习 20.1 勾股定理 知识点 1：勾股定理的内容 定理： 直角三角形两直角边的___平方和___，等于斜边的___平方___。 若直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，则核心公式为：________。 文化拓展：勾股定理在我国古代有 “勾三股四弦五” 的记载，西方称为____毕达哥拉斯____定理，是数学中联系代数与几何的核心定理之一。 知识点 2：勾股定理的验证（核心方法：面积法） 勾股定理有数百种验证方法，核心思路是：用不同方式表示同一个图形的___面积___，根据面积相等建立等式，推导出三边关系。 经典证法：赵爽弦图（我国汉代数学家赵爽创制） 用 4 个全等的直角三角形拼成大正方形，中间围成一个小正方形。设直角三角形直角边为，斜边为，则： 大正方形面积 = 4 个直角三角形面积 + 小正方形面积 即：，化简后可得________。 赵爽弦图完美体现了___数形结合_____的数学思想，是我国古代数学的标志性成就。 知识点 3：勾股定理的适用范围与变形公式 适用范围：仅适用于___直角___三角形，非直角三角形的三边不满足此数量关系。 变形公式（已知两边求第三边）： 已知两直角边，求斜边：______ 已知斜边和一条直角边，求另一条直角边：______ 知识点 4：勾股定理的基础应用 几何计算：求解直角三角形的边长、周长、面积，以及关联图形的线段长度。 生活建模：将梯子、测距、高度测量等实际问题，转化为直角三角形模型求解。 20.2 勾股定理的逆定理 知识点 1：勾股定理的逆定理 定理： 如果三角形的三边长满足________，那么这个三角形是__直角____三角形，且最长边所对的角为___直___角。 逻辑辨析：勾股定理是 “由形推数”（直角三角形→三边关系），逆定理是 “由数判形”（三边关系→直角三角形），二者互为逆定理。 知识点 2：勾股数 满足的三个__正整数____，称为一组勾股数。 常见基础勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；8,15,17；9,40,41。 规律：一组勾股数的___相同___正整数倍，仍然是一组勾股数。 知识点 3：互逆命题与互逆定理 互逆命题：如果一个命题的题设和结论，分别是另一个命题的___结论___和___题设___，那么这两个命题叫做互逆命题。其中一个叫原命题，另一个叫它的___逆命题___。 互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理互为___逆定理___。 注意：原命题成立，逆命题___不一定___成立（填 “一定” 或 “不一定”）。 20.3 勾股定理的综合应用 知识点 1：折叠问题（方程思想） 矩形、三角形折叠问题中，折叠前后的对应边__相等____、对应角___相等___。 解题通用步骤： 标记折叠前后相等的线段和角； 设未知数，将相关线段用含未知数的式子表示； 在直角三角形中，利用___勾股定理_____列方程求解未知量。 知识点 2：立体图形的最短路径问题（转化思想） 求圆柱、长方体等立体图形表面的最短路径时，需将立体图形的侧面___展开___，转化为___平面___图形，再根据 “两点之间，线段最短”，利用____勾股定理____求解。 知识点 3：实际应用中的数学建模 解决航海、台风影响、场地测量等实际问题时，先将实际场景抽象为几何图形，构造___直角___三角形，再用勾股定理或逆定理解答，体现了___数学建模___的核心素养。 本章核心数学思想 数形结合思想：将直角三角形的图形特征与三边数量关系结合，实现形与数的相互转化。 方程思想：在几何计算中设未知数，利用勾股定理建立方程求解未知量。 转化思想：将立体图形展开为平面图形，将实际问题转化为数学问题。 分类讨论思想：已知直角三角形两边，未明确直角边、斜边时，分情况讨论计算。 本章易错点提醒 误用适用范围：勾股定理仅适用于直角三角形，钝角、锐角三角形的三边不满足。 漏分类讨论：已知直角三角形两边长，未说明是直角边还是斜边时，需分情况计算。 逆定理验证错误：判定直角三角形时，必须验证其中一边的平方等于另外两边的平方和，不能随意代入边长。 最短路径误区：立体图形最短路径必须展开为平面后计算，不能直接用立体棱长直接求和。 知识点练习 一、 选择题   1.下列各组数据为勾股数的是（       ） A.，， B.1，， C.5，12，13 D.2，3，4 【答案】 C 【解析】 此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知 的三边满足 ，则 是直角三角形.欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方. 【解答】 解：A、 都不是正整数，则不可能是勾股数，故选项不合题意 B、1， 不都是正整数，则不可能是勾股数，故选项不合题意； C、 能构成直角三角形，且都是正整数，故选项符合题意； D、 不能构成直角三角形，故选项不合题意. 故选：C.  2.以下列长度的线段为边，不能组成直角三角形的是（   ） A.，， B.，， C.，， D.，， 【答案】 B 【解析】 分别验证四组选项中的数据是否满足“两小边的平方的和等于最长边的平方”，即可判断直角三角形. 【解答】 A. ，故能组成直角三角形； B. ，故不能组成直角三角形； C. ，故能组成直角三角形； C. ，故能组成直角三角形. 故选：B.  3.如图，网格中小正方形的边长为，点都在格点（网格线的交点）上，以点为圆心，长为半径画弧，交网格线于点，则的长为（     ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 连接 AD，由勾股定理可得 ，再利用勾股定理解答即可求解. 【解答】 解：如图，连接 AD, C 由勾股定理得， 4.下列叙述中，正确的是(       ) A.直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方 B.如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 C.中，，，的对边分别为，，，若，则º D.中，，，的对边分别为，，，若º，则 【答案】 B 【解析】 根据勾股定理及三角形对边与对角的知识求解． 【解答】 解：由勾股定理知，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，而直角边应该都小于斜边，所以直角三角形中，应该是较小两条边的平方和等于第三边的平方，错误； 由勾股定理的逆定理可得：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，正确； ，为斜边，的对角º，错误； 中，，，的对边分别为，，，º，为斜边，，错误； 故选． 5.已知的三边分别为a、b、c，且，则的面积为（       ） A.30 B.60 C.65 D.无法计算 【答案】 A 【解析】 根据算术平方根、绝对值、偶次方的非负性求出a、b、c的值，根据勾股定理的逆定理得出 是直角三角形，再根据三角形的面积公式求出答案即可. 【解答】 的三边分别为a、b、c，且 是直角三角形，且边c的对角 ， 故选：A. 6.如图，在矩形中，，．将矩形沿折叠，点落在点处，则的长度为（     ） A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】 C 【解析】 利用矩形的性质和平行线的性质得到 ，结合折叠性质得到 ，从而证得 ，推出 ，设 ，在Rt 中利用勾股定理列方程求解即可. 【解答】 解： 四边形 是矩形， ，， ， 由折叠的性质可得： ， ，即 ， ， 设 ，则 ， ， 在Rt 中，由勾股定理得： ， ， 解得 ， . 故选：C.  7.如图，圆柱体饮料罐的高是12厘米，上、下两底面的直径均是6厘米，上底面有一个小孔A供插吸管用，小孔A与上底面圆心O之间的距离厘米，那么在饮料罐中的部分吸管长度的最大值是（        ） A.13厘米 B.14厘米 C.15厘米 D.16厘米 【答案】 A 【解析】 过点A作AC垂直于底面，垂足为点C过点O作OQ垂直于底面，垂足为点Q，连接CQ并延长交底面圆于点B，要使吸管在饮料罐中的部分长度最大，吸管下端应位于下底面圆周上距离点A水平投影最远的位置，此时吸管长度、圆柱高及水平最大距离构成直角三角形，利用勾股定理求解即可. 【解答】 解：如图，过点A作AC垂直于底面，垂足为点C，过点O作OQ垂直于底面，垂足为点Q，连接CQ并延长交底面圆于点B，则 AC OQ， 由题意得， ， 四边形ACQO为矩形， 厘米， 圆柱底面直径为6厘米， 底面半径r=3厘米，即QB=3厘米， 点A到下底面圆周上最远点的水平距离为 （厘米）， 设吸管在罐内的最大长度为L， 圆柱高为12厘米， 根据勾股定理， （厘米）， 那么在饮料罐中的部分吸管长度的最大值是13厘米.  故选：A. 8.如图，数轴上点表示的数是1，点表示的数是，与数轴垂直，且，以点为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴的负半轴交于点，则点表示的实数是（        ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 由勾股定理求得 ，由点A表示的数即可得到点D表示的数. 【解答】 解：由题意知 ， 设点D表示的数为d，则 即点D表示的数为 故选：D.  9.“勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一．以下四幅图中，无法证明勾股定理的是（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 本题考查了勾股定理的证明方法，以弦图为背景的计算题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解利用整个图形的面积减去各部分面积，以此证明勾股定理，以此对四个图形逐一推导，再作出判断. 【解答】 解：因为 所以 所以 所以 所以 即 故A不符合； 所以 即 故B不符合； 所以 即 故C不符合； 图D不能推导出勾股定理， 故D符合， 故选：D.  10.如图，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（        ） A.4 B. C.10 D. 【答案】 D 【解析】 在BC边上取点G使BG=BF，连接EG，过点A作AH BC于点H，证明 ，可得EF=EG，从而得到 AE+EF=AE+EG，当点A，E，G三点共线时，AE+EF取得最小值，最小值为AH的长，再根据勾股定理的逆定理可得 为直角三角形，且BD AD，然后证明 ，AB=BC=5，再根据 ，即可求解. 【解答】 解：如图，在BC边上取点G使BG=BF，连接EG，过点A作AH BC于点H， 的平分线交AC于点D， ，BE=BE， 当点A，E，G三点共线时，AE+EF取得最小值，最小值为AH的长，在 中，AB=5，BD=4，AD=3， 为直角三角形，且BD AD， 则 的最小值为 故选：D. 二、 填空题   11.写出常见的三组勾股数：_____，，，，（任选其三，或三个符合题意的答案即可）_________． 【答案】 ，，，，（任选其三，或三个符合题意的答案即可） 【解析】 本题考查的知识点是勾股数的含义，解题关键是熟练掌握勾股数的定义． 勾股数：构成直角三角形三边的一组正整数，称为勾股数，根据勾股数的定义可得答案． 【解答】 解：勾股数是构成一个直角三角形三边的一组正整数， ，，， ，， ，，，，都是勾股数． 故答案为：，，，，（任选其三，或三个符合题意的答案即可）． 12.《九章算术》中记载：“今有竹高一丈，未折抵地，去根三尺，问折者高几何？”译文：有一根竹子原高一丈（1丈尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？我们用线段和线段来表示竹子，其中线段表示竹子折断部分，用线段表示竹梢触地处离竹根的距离，设竹子折断处离地面的高度长为x尺，方程为________． 【答案】 【解析】 设折断处离地面的高度OA是x尺，则AB=(10-x)尺，在Rt∆AOB利用勾股定理列方程即可. 【解答】 解：设折断处离地面的高度OA是x尺，则AB=(10-x)尺， 在Rt∆AOB中，利用勾股定理可得： 故答案为： 13.如图所示的是一块不规则的绿地，已知，则这块绿地的面积为___24_____． 【答案】 24 【解析】 本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，连接AC，由勾股定理得 ，即得 ，进而得到 是直角三角形，且 ，再根据绿地的面积 解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键. 【解答】 解：如图，连接AC， 是直角三角形，且 这块绿地的面积 故答案为：24. 14.如图，在中，，垂足为D，M为上任意一点，则____60____． 【答案】 60 【解析】 本题主要查了勾股定理，理解并灵活运用勾股定理是解题的关键. 根据勾股定理可得 ，从而得到 ，再代入相关数据即可解答. 【解答】 解： AD BC， ， 故答案为：60. 15.如图，在中，，，，将三角形沿直线折叠，使点B与点A重合，则的长为________． 【答案】 【解析】 由折叠可知，DE是AB的垂直平分线，设 ，则 ，在Rt 中， ，由勾股定理列方程求解即可. 【解答】 设 将三角形沿直线DE折叠，点B与点A重合， ， 在Rt 中， ，即 ，解得 故答案为：  16.某版本教材提供了一种勾股定理无字证明的方法：如图所示，，古人把正方形沿，两线段剪成四块四边形①、②、③、④，使得，之后再和正方形⑤一起，正好拼成了正方形．他们通过这种简单的剪切、拼接，就以实验的方式验证了勾股定理．现在，探究小组，经过分析初步得出了下面一些结论： ①．；②．若测得，，设，，则；③．．④．，，，分别为正方形四边的中点． 上面结论正确的是_____①②④________． 【答案】 ①②④ 【解析】 连接，根据勾股定理，正方形的判定和性质，方程组的应用，判定解答即可． 本题考查勾股定理，正方形的判定和性质，二元一次方程组的实际应用，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 【解答】 解：连接， 正方形， ， ， ， ， ， ，， 四边形是菱形， ， ， ， 四边形是正方形， 对角线交于点， ， 故①正确； 根据题意，得， 解得， 故②正确； 根据题意，得， ，，，分别为正方形四边的中点． 故④正确； 不一定是， 故不一定成立． 故③错误； 故答案为：①②④． 三、 解答题   17.观察下列勾股数： ， ， ； ， ，； ， ，； ， ，； … ， ， ， 根据你发现的规律，请写出 （1）当时，则___60____ ，__61_____； （2）当时，求的值；（ 用字母 表示） （3）用的结论判断 ， ， 是否为一组勾股数，并说明理由． 【答案】 ， 不是一组勾股数，理由见详解 【解析】 （1）观察题干的数据，发现，结合勾股数的定义进行列式化简，即可作答． （2）同理得，再结合以及勾股数的定义得， 得，，即可作答． （3）由得，，，令，则， ，，即可作答． 【解答】 （1）解：观察题干的数据，发现， ， ，是勾股数， 即， ，， ， ， 解得， ， 故答案为：, （2）解：观察题干的数据，发现， ， ，是勾股数， 即， ，， ， ， 故， （3）解：不是一组勾股数，理由如下： 由得，，， 依题意，令，则， ， ， ，，不是一组勾股数．  18.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1． （1）填空：      ，       ，       ； （2）判断以，，三条线段为边能否构成直角三角形？请说明理由． 【答案】 能；理由见解析 【解析】 （1）直接利用勾股定理得出 AB、BC、AC的长即可； （2）直接利用勾股定理逆定理分析得出答案即可. 【解答】 （1）解：线段 AB的长是： 线段 BC的长是： 线段 AC的长是： （2）解：以 AB，BC，AC三条线段为边能构成直角三角形；理由如下： ∴ AB、BC、AC三条线段的长能构成一个直角三角形.  19.如图，，，分别是，的中点． （1）猜想与的位置关系？并证明你的猜想． （2）直接写出、、三者之间的数量关系：_______ 【答案】 且平分，证明过程见详解； ． 【解析】 （1）连接、，根据直角三角形斜边上中线性质推出，，推出，在中，根据三线合一定理求出即可； （2）根据勾股定理及直角三角形斜边上中线等于斜边的一半即可得． 【解答】 （1）解：与的位置关系是垂直且平分， 证明∶连接， ，，为中点， ，， ， 为中点， ，， 即与的位置关系是垂直且平分； （2）解：， ， ，， ， 即． 20.阅读下列题目的解题过程： 已知a、b、c为的三边长，且满足，试判断的形状． 解：∵ ， （A） ∴. （B） ∴ （C） ∴ 是直角三角形． 问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：__（B）____； （2）判断的形状，并说明理由． 【答案】 （B） 的形状为等腰三角形或直角三角形． 【解析】 （1）逐一分析等式每一步变形的依据，发现步骤C直接在等式两边除以 ，未考虑该式可能为0的情况，违背等式的性质，由此确定出错的步骤； （2）先对原等式两边分别因式分解，再移项并提取公因式，将等式转化为两个因式乘积为0的形式，分两种情况讨论，分别得出三角形为等腰三角形或直角三角形，二者同时成立时为等腰直角三角形． 【解答】 （1）解：从（B）开始出现错误，步骤（B）直接在等式两边除以 ，未考虑该式可能为0的情况，违背等式的性质； （2）的形状为等腰三角形或直角三角形，理由如下： 移项，得 因式分解，得 或 ， 当 时， ， 为等腰三角形； 当 时， ， 为直角三角形； 综上， 的形状为等腰三角形或直角三角形．  21.沙尘暴是指强风将地面尘沙吹起使空气很混浊，水平能见度很低的一种天气现象．人类在发展经济过程中大肆破坏植被，导致沙尘暴爆发频数增加．如图，某气象局监测到一个沙尘暴中心沿东西方向由向移动，已知点为一城镇，且点与直线上的两点，的距离分别为：，，，以沙尘暴中心为圆心周围以内为受影响区域．     （1）请通过计算说明城镇是否会受到沙尘暴影响的原因？ （2）若沙尘暴中心的移动速度为，则沙尘暴影响该城镇持续的时间有多长？ 【答案】 城镇C会受到沙尘暴影响； 0.7h 【解析】 （1）过点C作CD AB，根据勾股定理逆定理可得 为直角三角形，利用等面积法得出 ，根据题意以沙尘暴中心为圆心周围25 km以内为受影响区域，即可得到城镇C会受到沙尘暴的影响； （2）在AB边上找E、F两点，连接CE、CF，使 ，根据勾股定理可得ED=7km，根据等腰三角形的性质求出 ，再由速度与时间、路程的关系即可得出影响的时间. 【解答】 （1）解：如图所示：过点C作 km, BC=40 km, AB=50 km, 为直角三角形， 即 以沙尘暴中心为圆心周围25km以内为受影响区域， 24<25 ∴城镇C会受到沙尘暴影响； （2）解：在 边上找 、 两点，连接 、 ，使 CD AB, 沙尘暴中心的移动速度为 答：城镇C会受到沙尘暴的影响，持续的时间为0.7h.  22.【探索新知】著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，图②梯形的面积可表示为：______，也可以表示为：___ ___，由此可以推出； （2）【应用新知】如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ （3）【迁移应用】小明思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求详细完整的过程． 【答案】 ; 新路CH比原路CA少千米 设, 则, 在Rt ACH中, , 在Rt BCH中, , , 即, 解得, . 【解析】 （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设, 则, 根据勾股定理列方程，求解即可得到结果； （3）在Rt ACH和Rt BCH中，由勾股定理得求出, 列出方程求解即可得到结果. 【解答】 （1）解：梯形ABCD的面积为, 也可以表示为, , 即; （2）解：设, , 在Rt ACH中, , 即, 解得, 即 (千米)， (千米)， 答：新路CH比原路CA少千米； （3）解：设, 则, 在Rt ACH中, , 在Rt BCH中, , , 即, 解得, . 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版八年级上册预习 第20章 勾股定理 本章复习目标 掌握勾股定理及其逆定理的内容，能熟练完成定理的验证与推导，体会古代数学的文化价值。 能运用勾股定理求解直角三角形的边长，运用逆定理判定直角三角形，解决几何计算与实际生活中的相关问题。 体会数形结合、方程思想、转化思想、分类讨论思想等数学方法，提升逻辑推理与数学建模的核心素养。 本章知识框架 知识点复习 20.1 勾股定理 知识点 1：勾股定理的内容 定理： 直角三角形两直角边的______，等于斜边的______。 若直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，则核心公式为：________。 文化拓展：勾股定理在我国古代有 “勾三股四弦五” 的记载，西方称为________定理，是数学中联系代数与几何的核心定理之一。 知识点 2：勾股定理的验证（核心方法：面积法） 勾股定理有数百种验证方法，核心思路是：用不同方式表示同一个图形的______，根据面积相等建立等式，推导出三边关系。 经典证法：赵爽弦图（我国汉代数学家赵爽创制） 用 4 个全等的直角三角形拼成大正方形，中间围成一个小正方形。设直角三角形直角边为，斜边为，则： 大正方形面积 = 4 个直角三角形面积 + 小正方形面积 即：，化简后可得________。 赵爽弦图完美体现了________的数学思想，是我国古代数学的标志性成就。 知识点 3：勾股定理的适用范围与变形公式 适用范围：仅适用于______三角形，非直角三角形的三边不满足此数量关系。 变形公式（已知两边求第三边）： 已知两直角边，求斜边：______ 已知斜边和一条直角边，求另一条直角边：______ 知识点 4：勾股定理的基础应用 几何计算：求解直角三角形的边长、周长、面积，以及关联图形的线段长度。 生活建模：将梯子、测距、高度测量等实际问题，转化为直角三角形模型求解。 20.2 勾股定理的逆定理 知识点 1：勾股定理的逆定理 定理： 如果三角形的三边长满足________，那么这个三角形是______三角形，且最长边所对的角为______角。 逻辑辨析：勾股定理是 “由形推数”（直角三角形→三边关系），逆定理是 “由数判形”（三边关系→直角三角形），二者互为逆定理。 知识点 2：勾股数 满足的三个______，称为一组勾股数。 常见基础勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；8,15,17；9,40,41。 规律：一组勾股数的______正整数倍，仍然是一组勾股数。 知识点 3：互逆命题与互逆定理 互逆命题：如果一个命题的题设和结论，分别是另一个命题的______和______，那么这两个命题叫做互逆命题。其中一个叫原命题，另一个叫它的______。 互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理互为______。 注意：原命题成立，逆命题______成立（填 “一定” 或 “不一定”）。 20.3 勾股定理的综合应用 知识点 1：折叠问题（方程思想） 矩形、三角形折叠问题中，折叠前后的对应边______、对应角______。 解题通用步骤： 标记折叠前后相等的线段和角； 设未知数，将相关线段用含未知数的式子表示； 在直角三角形中，利用________列方程求解未知量。 知识点 2：立体图形的最短路径问题（转化思想） 求圆柱、长方体等立体图形表面的最短路径时，需将立体图形的侧面______，转化为______图形，再根据 “两点之间，线段最短”，利用________求解。 知识点 3：实际应用中的数学建模 解决航海、台风影响、场地测量等实际问题时，先将实际场景抽象为几何图形，构造______三角形，再用勾股定理或逆定理解答，体现了______的核心素养。 本章核心数学思想 数形结合思想：将直角三角形的图形特征与三边数量关系结合，实现形与数的相互转化。 方程思想：在几何计算中设未知数，利用勾股定理建立方程求解未知量。 转化思想：将立体图形展开为平面图形，将实际问题转化为数学问题。 分类讨论思想：已知直角三角形两边，未明确直角边、斜边时，分情况讨论计算。 本章易错点提醒 误用适用范围：勾股定理仅适用于直角三角形，钝角、锐角三角形的三边不满足。 漏分类讨论：已知直角三角形两边长，未说明是直角边还是斜边时，需分情况计算。 逆定理验证错误：判定直角三角形时，必须验证其中一边的平方等于另外两边的平方和，不能随意代入边长。 最短路径误区：立体图形最短路径必须展开为平面后计算，不能直接用立体棱长直接求和。 知识点练习 一、 选择题   1.下列各组数据为勾股数的是（       ） A.，， B.1，， C.5，12，13 D.2，3，4 2.以下列长度的线段为边，不能组成直角三角形的是（   ） A.，， B.，， C.，， D.，， 3.如图，网格中小正方形的边长为，点都在格点（网格线的交点）上，以点为圆心，长为半径画弧，交网格线于点，则的长为（     ） A. B. C. D. 4.下列叙述中，正确的是(       ) A.直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方 B.如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 C.中，，，的对边分别为，，，若，则º D.中，，，的对边分别为，，，若º，则 5.已知的三边分别为a、b、c，且，则的面积为（       ） A.30 B.60 C.65 D.无法计算 6.如图，在矩形中，，．将矩形沿折叠，点落在点处，则的长度为（     ） A.3 B.4 C.5 D.6 7.如图，圆柱体饮料罐的高是12厘米，上、下两底面的直径均是6厘米，上底面有一个小孔A供插吸管用，小孔A与上底面圆心O之间的距离厘米，那么在饮料罐中的部分吸管长度的最大值是（        ） A.13厘米 B.14厘米 C.15厘米 D.16厘米 8.如图，数轴上点表示的数是1，点表示的数是，与数轴垂直，且，以点为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴的负半轴交于点，则点表示的实数是（        ） A. B. C. D. 9.“勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一．以下四幅图中，无法证明勾股定理的是（       ） A. B. C. D. 10.如图，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（        ） A.4 B. C.10 D. 二、 填空题   11.写出常见的三组勾股数：______________． 12.《九章算术》中记载：“今有竹高一丈，未折抵地，去根三尺，问折者高几何？”译文：有一根竹子原高一丈（1丈尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？我们用线段和线段来表示竹子，其中线段表示竹子折断部分，用线段表示竹梢触地处离竹根的距离，设竹子折断处离地面的高度长为x尺，方程为________． 13.如图所示的是一块不规则的绿地，已知，则这块绿地的面积为_____． 14.如图，在中，，垂足为D，M为上任意一点，则_______． 15.如图，在中，，，，将三角形沿直线折叠，使点B与点A重合，则的长为______． 16.某版本教材提供了一种勾股定理无字证明的方法：如图所示，，古人把正方形沿，两线段剪成四块四边形①、②、③、④，使得，之后再和正方形⑤一起，正好拼成了正方形．他们通过这种简单的剪切、拼接，就以实验的方式验证了勾股定理．现在，探究小组，经过分析初步得出了下面一些结论： ①．；②．若测得，，设，，则；③．．④．，，，分别为正方形四边的中点． 上面结论正确的是_____________． 三、 解答题   17.观察下列勾股数： ， ， ； ， ，； ， ，； ， ，； … ， ， ， 根据你发现的规律，请写出 （1）当时，则______ ，______； （2）当时，求的值；（ 用字母 表示） （3）用的结论判断 ， ， 是否为一组勾股数，并说明理由． 18.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1． （1）填空：    ，       ，      ； （2）判断以，，三条线段为边能否构成直角三角形？请说明理由． 19.如图，，，分别是，的中点． （1）猜想与的位置关系？并证明你的猜想． （2）直接写出、、三者之间的数量关系：_______ 20.阅读下列题目的解题过程： 已知a、b、c为的三边长，且满足，试判断的形状． 解：∵ ， （A） ∴. （B） ∴ （C） ∴ 是直角三角形． 问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：______； （2）判断的形状，并说明理由． 21.沙尘暴是指强风将地面尘沙吹起使空气很混浊，水平能见度很低的一种天气现象．人类在发展经济过程中大肆破坏植被，导致沙尘暴爆发频数增加．如图，某气象局监测到一个沙尘暴中心沿东西方向由向移动，已知点为一城镇，且点与直线上的两点，的距离分别为：，，，以沙尘暴中心为圆心周围以内为受影响区域．     （1）请通过计算说明城镇是否会受到沙尘暴影响的原因？ （2）若沙尘暴中心的移动速度为，则沙尘暴影响该城镇持续的时间有多长？ 22.【探索新知】著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，图②梯形的面积可表示为：____，也可以表示为：_____，由此可以推出； （2）【应用新知】如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ （3）【迁移应用】小明思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求详细完整的过程． 学科网（北京）股份有限公司 $