20.2 勾股定理的逆定理及其应用暑期巩固2025-2026学年人教版八年级下册

**基本信息** 人教版八年级下册勾股定理逆定理暑期同步练，分层设计从基础概念到综合应用，梯度合理，强化推理与应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|逆定理判定、勾股数识别|选择填空为主，直接应用概念，巩固抽象能力| |综合应用|实际应用、网格计算|结合航行、零件等情境与网格，强化几何直观| |拓展探究|多知识综合、动点问题|融合垂直平分线、动点等，培养推理意识与模型观念|

人教版（2024）八年级下册 20.2 勾股定理的逆定理及其应用 暑期巩固 判断能否构成直角三角形 1、在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，下列条件中，能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A.∠A：∠B：∠C＝3：4：5      B.a＝32，b＝42，c＝52      C.b＝c，∠A＝45°      D.a2＝b2﹣c2 2、下列条件：①△ABC的一个外角与其相邻内角相等；②∠A=∠B=∠C；③AC∶BC∶AB=1∶∶2；④AC=n2-1，BC=2n，AB=n2+1(n>1).能判定△ABC是直角三角形的条件有 A.4个    B.3个    C.2个    D.1个 3、满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的为 A.AB=2，BC=3，AC= B.AB=BC=1，AC= C.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5 D.AB∶BC∶AC=3∶4∶5 4、如图，点D在△ABC中，∠BDC＝90°，AB＝9，AC＝BD＝6．CD＝3，则图中阴影部分的面积为 　          　． 5、如图，点A，B的坐标分别为(0，2)，(1，0)，直线y=x-3与y轴交于点C，与x轴交于点D. (1)求直线AB的表达式； (2)若直线AB与直线y=x-3相交于点E(2，-2)，求证：AB⊥CD； (3)求四边形OBEC的面积. 勾股数 1、下列说法正确的是（　　） A.的平方根是±4      B.无限小数是无理数      C.数轴上的点对应的数不是整数就是分数      D.若a，b，c为一组勾股数，则2a，2b，2c仍是一组勾股数 2、下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（　　） A.1，2，3    B.1，，2      C.0.3，0.4，0.5    D.5，12，13 3、下面各组数中，是勾股数的是(　　) A.    B.32，42，52 C.1，2，3    D.5，12，13 4、观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律，a＝　 　．（提示：5＝，13＝，…） 5、清代扬州数学家罗士琳痴迷研究勾股定理，提出推算勾股数的“罗士琳法则”，其中有一个法则是“如果k是大于2的偶数，那么k和k的一半的平方减1，k的一半的平方加1是一组勾股数”． （1）按照这个法则，写出1组不同的勾股数：　        　（最大数不超过18）； （2）用含有k的等式表示这三个勾股数的数量关系并证明． 勾股定理逆定理的实际应用 1、如图，某次演习中，两艘战舰从同一港口O同时出发，一号舰沿南偏西30°方向以12海里/时的速度航行，二号舰以16海里/时的速度航行，离开港口0.5小时后它们分别到达A，B两点，相距10海里，则二号舰航行的方向是 A.南偏东30°    B.北偏东30° C.南偏东60°    D.南偏西60° 2、一个外轮廓为长方形的机器零件剖面示意图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：mm)，可得出两圆孔中心A，B之间的距离为 A.110 mm      B.170 mm C.200 mm      D.240 mm 3、古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距.4个结间距.5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是（　　） A.直角三角形两个锐角互补      B.三角形内角和等于180°      C.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边      D.如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形 4、木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为2.4 m，宽为1.8 m，对角线长为3 m，则这个桌面　　　.(填“合格”或“不合格”) 5、如图，在四边形ABCD中，已知AB=5，BC=3，CD=6，AD=2.若AC⊥BC，求证：AD∥BC. 两定理在网格中的综合 1、如图，每个小正方形的边长都是1，A，B，C分别在格点上，则∠ABC的度数为（　　） A.30°    B.45°    C.50°    D.60° 2、如图，△ABC的顶点A，B，C在边长均为1的小正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为 A.      B. C.      D. 3、如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E是网格线交点，则∠BAC﹣∠DAE的度数为 　    　． 4、正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫作格点，以格点为顶点按下列要求画三角形. (1)使三角形的三边长分别为3，2； (2)所画三角形的面积为　　　　　(只需写出结果). 5、请你在方格纸上按照如下要求设计图形，每个单元格的边长为1. (1)请在图①中设计一个直角三角形，使它三边中有两边边长是无理数； (2)请在图②中设计一个直角三角形，使它的三边边长都是无理数. 两定理与其他知识综合求解 1、如图，在△ABC中，BC＝3，AC＝4，AB＝5，点D是AC的中点，连接BD，则BD的长为（　　） A.    B.    C.3    D.4 2、如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，其中AC=12，AE=5，BE=13，则CD的长为 A.10    B.18 C.6      D.4 3、如图，在△ABC中，E点为AC的中点，其中BD＝1，DC＝3，，则DE＝　     　． 4、如图，已知△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，AB的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E．连接BD，则CD的长为 　     　． 5、如图，在△ABC中，AB=30 cm，BC=35 cm，∠B=60°，有一动点E自点A向点B以2 cm/s的速度运动，动点F自点B向点C以4 cm/s的速度运动，若点E，F同时分别从点A，B出发. (1)试问出发多长时间后，△BEF为等边三角形？ (2)试问出发多长时间后，△BEF为直角三角形？ 6、如图，在△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E． （1）试说明△ABC为直角三角形． （2）求CE的长． 人教版（2024）八年级下册 20.2 勾股定理的逆定理及其应用 暑期巩固（参考答案） 判断能否构成直角三角形 1、在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，下列条件中，能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A.∠A：∠B：∠C＝3：4：5      B.a＝32，b＝42，c＝52      C.b＝c，∠A＝45°      D.a2＝b2﹣c2 【答案】D 【解析】 解：A．∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A：∠B：∠C＝3：4：5， ∴最大角∠C＝×180°＝75°， ∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意； B．∵（32）2+（42）2≠（52）2， ∴以32，42，52为边不能组成直角三角形， ∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意； C．∵b＝c，∠A＝45°， ∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）＝67.5°， ∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意； D．∵a2＝b2﹣c2， ∴a2+c2＝b2， ∴∠B＝90°， ∴△ABC是直角三角形，故本选项符合题意； 故选：D． 2、下列条件：①△ABC的一个外角与其相邻内角相等；②∠A=∠B=∠C；③AC∶BC∶AB=1∶∶2；④AC=n2-1，BC=2n，AB=n2+1(n>1).能判定△ABC是直角三角形的条件有 A.4个    B.3个    C.2个    D.1个 【答案】A 【解析】 ①三角形的一个外角与相邻内角相等可以推出这两个角都是直角，所以它是直角三角形； ②∠A=∠B=∠C，又∠A+∠B+∠C=180°，可以解出∠C=90°，所以它是直角三角形； ③AC∶BC∶AB=1∶∶2，可推出AC2+BC2=AB2，所以它是直角三角形； ④AC=n2-1，BC=2n，AB=n2+1，可推出AC2+BC2=AB2，所以它是直角三角形. 3、满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的为 A.AB=2，BC=3，AC= B.AB=BC=1，AC= C.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5 D.AB∶BC∶AC=3∶4∶5 【答案】C 【解析】∵22+32=()2， ∴AB2+BC2=AC2，故A选项是直角三角形； ∵12+12=()2， ∴AB2+BC2=AC2，故B选项是直角三角形； ∵∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5， 设∠A=3m，∠B=4m，∠C=5m， ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴3m+4m+5m=180°，解得m=15°， ∴3m=45°，4m=60°，5m=75°， ∴各角分别为45°，60°，75°，故C选项不是直角三角形； ∵AB∶BC∶AC=3∶4∶5， ∴设AB=3x，BC=4x，AC=5x， ∴AB2+BC2=(3x)2+(4x)2=(5x)2=AC2，故D选项是直角三角形. 4、如图，点D在△ABC中，∠BDC＝90°，AB＝9，AC＝BD＝6．CD＝3，则图中阴影部分的面积为 　          　． 【答案】 9﹣9 【解析】 解：∵∠BDC＝90°，BD＝6，CD＝3， ∴BC＝＝＝3， ∵AB＝9，AC＝6， ∴AC2+BC2＝62+（3）2＝36+45＝81＝92＝AB2， ∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°， ∴S阴影＝S△ACB﹣S△BDC＝×6×3﹣×6×3＝9﹣9． 故答案为：9﹣9． 5、如图，点A，B的坐标分别为(0，2)，(1，0)，直线y=x-3与y轴交于点C，与x轴交于点D. (1)求直线AB的表达式； (2)若直线AB与直线y=x-3相交于点E(2，-2)，求证：AB⊥CD； (3)求四边形OBEC的面积. 【答案】(1)解　设直线AB的表达式为y=kx+b(k≠0)， ∵点A，B的坐标分别为(0，2)，(1，0)， ∴ 解得 ∴直线AB的表达式为y=-2x+2. (2)证明　作EF⊥y轴于点F，如图所示， 直线y=x-3，当x=0时，y=-3， ∴C(0，-3)， ∵A(0，2)，E(2，-2)，C(0，-3)， ∴AF=4，CF=1，EF=2，AC=5， ∴AE2=AF2+EF2=42+22=20，CE2=CF2+EF2=12+22=5， AC2=52=25， ∴AE2+CE2=AC2， ∴△ACE是直角三角形，且∠AEC=90°， ∴AB⊥CD. (3)解　直线CD的表达式为y=x-3， 当x=0时，y=-3， 当y=0时，x=6， 则点C的坐标是(0，-3)，点D的坐标是(6，0). S四边形OBEC=S△DOC-S△DBE=×6×3-×5×2=4. 勾股数 1、下列说法正确的是（　　） A.的平方根是±4      B.无限小数是无理数      C.数轴上的点对应的数不是整数就是分数      D.若a，b，c为一组勾股数，则2a，2b，2c仍是一组勾股数 【答案】D 【解析】 解：A．的平方根是±2，故选项错误，不符合题意； B．无限不循环小数是无理数，故选项错误，不符合题意； C．数轴上的点与实数一一对应，故选项错误，不符合题意； D．若a，b，c为一组勾股数，则2a，2b，2c仍是一组勾股数，故选项正确，符合题意． 故选：D． 2、下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（　　） A.1，2，3    B.1，，2      C.0.3，0.4，0.5    D.5，12，13 【答案】D 【解析】 解：A.22+12≠32，不能构成勾股数，不符合题意； B.不是整数，所以不能构成勾股数，不符合题意； C.0.3，0.4，0.5不是整数，所以不能构成勾股数，不符合题意； D.52+122＝132，能构成勾股数，符合题意． 故选：D． 3、下面各组数中，是勾股数的是(　　) A.    B.32，42，52 C.1，2，3    D.5，12，13 【答案】D 【解析】 A项，不是整数，不构成勾股数，故本选项不符合题意； B项，(32)2+(42)2≠(52)2，不构成勾股数，故本选项不符合题意； C项，12+22≠32，不构成勾股数，故本选项不符合题意； D项，52+122=132，构成勾股数，故本选项符合题意. 4、观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律，a＝　 　．（提示：5＝，13＝，…） 【答案】 17 【解析】 解：由题意得：a2+1442＝1452， a2＝1452﹣1442， a＝17． 故答案为：17． 5、清代扬州数学家罗士琳痴迷研究勾股定理，提出推算勾股数的“罗士琳法则”，其中有一个法则是“如果k是大于2的偶数，那么k和k的一半的平方减1，k的一半的平方加1是一组勾股数”． （1）按照这个法则，写出1组不同的勾股数：　        　（最大数不超过18）； （2）用含有k的等式表示这三个勾股数的数量关系并证明． 【答案】 解：（1）当k＝4时，这一组勾股数是3，4，5． 故答案为：3，4，5； （2）当k大于2时，k2+[（k）2﹣1]2＝[（k）2+1]2． 证明：∵左边＝k2+[（k）2﹣1]2＝k2+[k2﹣1]2 ＝k2+k4+1﹣k2 ＝k4+k2+1； 右边＝[（k）2+1]2＝[k2+1]2＝k4+k2+1． ∴左边＝右边， ∴等式成立． 勾股定理逆定理的实际应用 1、如图，某次演习中，两艘战舰从同一港口O同时出发，一号舰沿南偏西30°方向以12海里/时的速度航行，二号舰以16海里/时的速度航行，离开港口0.5小时后它们分别到达A，B两点，相距10海里，则二号舰航行的方向是 A.南偏东30°    B.北偏东30° C.南偏东60°    D.南偏西60° 【答案】C 【解析】 如图，由题意得OA=12×0.5=6(海里)，OB=16×0.5=8(海里)， ∵AB=10海里， ∴OA2+OB2=62+82=100=102=AB2， ∴∠AOB=90°， ∵∠AOC=30°， ∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=90°-30°=60°， ∴二号舰航行的方向是南偏东60°. 2、一个外轮廓为长方形的机器零件剖面示意图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：mm)，可得出两圆孔中心A，B之间的距离为 A.110 mm      B.170 mm C.200 mm      D.240 mm 【答案】B 【解析】 观察题图中的数据，得出AC=120-40=80(mm)，BC=200-50=150(mm)， 在Rt△ABC中，AB===170(mm). 3、古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距.4个结间距.5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是（　　） A.直角三角形两个锐角互补      B.三角形内角和等于180°      C.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边      D.如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形 【答案】D 【解析】 解：设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为3m，4m，5m， ∵（3m）2+（4m）2＝（5m）2， ∴以3m.4m.5m为边长的三角形是直角三角形．（如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形） 故选：D． 4、木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为2.4 m，宽为1.8 m，对角线长为3 m，则这个桌面　　　.(填“合格”或“不合格”) 【答案】 合格 【解析】 ∵长方形桌面的长为2.4 m，宽为1.8 m，对角线长为3 m， ∴32=9，1.82=3.24，2.42=5.76，  1.82+2.42=3.24+5.76=9， ∴1.82+2.42=32， ∴桌面的角是直角， ∴这个桌面是合格的. 5、如图，在四边形ABCD中，已知AB=5，BC=3，CD=6，AD=2.若AC⊥BC，求证：AD∥BC. 【答案】 证明　在Rt△ABC中， AC2=AB2-BC2=16， 在△ACD中， AD2+AC2=36，CD2=36， ∴AD2+AC2=CD2， ∴△ACD是直角三角形， ∴AC⊥AD. ∴AD∥BC. 两定理在网格中的综合 1、如图，每个小正方形的边长都是1，A，B，C分别在格点上，则∠ABC的度数为（　　） A.30°    B.45°    C.50°    D.60° 【答案】B 【解析】 解：如图，连AC， 则BC＝AC＝＝，AB＝＝， ∵（）2+（）2＝（）2， 即BC2+AC2＝AB2， ∴△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝45°． 故选：B． 2、如图，△ABC的顶点A，B，C在边长均为1的小正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为 A.      B. C.      D. 【答案】C 【解析】 过点A作AE⊥BC于点E，如图， =·BC·AE=·BD·AC， ∵AE=4，AC==5，BC=4， 即×4×4=×5·BD， 解得BD=. 3、如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E是网格线交点，则∠BAC﹣∠DAE的度数为 　    　． 【答案】 45° 【解析】 解：如图，连接CG.AG， 由勾股定理得：AC2＝AG2＝12+22＝5，CG2＝12+32＝10， ∴AC2+AG2＝CG2， ∴∠CAG＝90°， ∴△CAG是等腰直角三角形， ∴∠ACG＝45°， ∵CF∥AB， ∴∠ACF＝∠BAC， 在△CFG和△ADE中， ， ∴△CFG≌△ADE（SAS）， ∴∠FCG＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAE＝∠ACF﹣∠FCG＝∠ACG＝45°， 故答案为：45°． 4、正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫作格点，以格点为顶点按下列要求画三角形. (1)使三角形的三边长分别为3，2； (2)所画三角形的面积为　　　　　(只需写出结果). 【答案】 解　(1)如图所示，△ABC即为所求. (2)S△ABC=×3×2=3. 5、请你在方格纸上按照如下要求设计图形，每个单元格的边长为1. (1)请在图①中设计一个直角三角形，使它三边中有两边边长是无理数； (2)请在图②中设计一个直角三角形，使它的三边边长都是无理数. 【答案】 解　(1)如图①，△ABC即为所求. 理由：AC=BC==2，AB=4， ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ABC为直角三角形， ∴△ABC满足条件.(答案不唯一) (2)如图②，△DEF即为所求. 理由：DE=DF==，EF==， ∴DE2+DF2=EF2， ∴△DEF为直角三角形， ∴△DEF即为所求.(答案不唯一) 两定理与其他知识综合求解 1、如图，在△ABC中，BC＝3，AC＝4，AB＝5，点D是AC的中点，连接BD，则BD的长为（　　） A.    B.    C.3    D.4 【答案】A 【解析】 解：∵BC＝3，AC＝4，AB＝5， ∴AC2+BC2＝32+42＝25＝AB2， ∴∠C＝90°， ∵点D是AC的中点， ∴AD＝CD＝2， ∴， 故选：A． 2、如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，其中AC=12，AE=5，BE=13，则CD的长为 A.10    B.18 C.6      D.4 【答案】C 【解析】 ∵DE是BC的垂直平分线，∴BE=CE=13，∵AC=12，AE=5，∴CE2=AC2+AE2， ∴△AEC是直角三角形，∴BC==6. 3、如图，在△ABC中，E点为AC的中点，其中BD＝1，DC＝3，，则DE＝　     　． 【答案】 2 【解析】 解：∵BD＝1，DC＝3，BC＝， 又∵12+32＝（）2， ∴BD2+CD2＝BC2， ∴△BCD是直角三角形且∠BDC＝90°， ∴∠ADC＝90°， ∴AC＝＝＝4， 又∵E点为AC的中点， ∴DE＝AC＝2． 故答案为：2． 4、如图，已知△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，AB的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E．连接BD，则CD的长为 　     　． 【答案】 【解析】 解：在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6， ∴AB2＝AC2+BC2， ∴△ABC是直角三角形， ∵AB的垂直平分线分别交AC，AB于D，E， ∴AD＝DB， 设CD为x，AD＝DB＝8﹣x， 在Rt△CDB中，CD2+BC2＝DB2， 即x2+62＝（8﹣x）2， 解得：x＝． 即CD＝． 故答案为：． 5、如图，在△ABC中，AB=30 cm，BC=35 cm，∠B=60°，有一动点E自点A向点B以2 cm/s的速度运动，动点F自点B向点C以4 cm/s的速度运动，若点E，F同时分别从点A，B出发. (1)试问出发多长时间后，△BEF为等边三角形？ (2)试问出发多长时间后，△BEF为直角三角形？ 【答案】 解　(1)设出发x s后，△BEF为等边三角形， 则AE=2x cm，BF=4x cm， ∴BE=(30-2x)cm， ∵∠B=60°， ∴当BE=BF时，△BEF为等边三角形， ∴30-2x=4x， 解得x=5， 即出发5 s后，△BEF为等边三角形. (2)设经过t s，△BEF是直角三角形， 则AE=2t cm，BF=4t cm， ∴BE=(30-2t)cm， ①当∠BEF=90°时， ∵∠B=60°， ∴∠BFE=30°， ∴BE=BF， 即30-2t=×4t， 解得t=7.5； ②当∠BFE=90°时， ∵∠B=60°， ∴∠BEF=30°， ∴BF=BE， 即4t=×(30-2t)， 解得t=3， 综上所述，出发3 s或7.5 s后，△BEF是直角三角形. 6、如图，在△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E． （1）试说明△ABC为直角三角形． （2）求CE的长． 【答案】 （1）证明：∵AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝102＝100， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC为直角三角形． （2）解：设CE长为xcm，则BE＝（8﹣x）cm． ∵DE垂直平分AB， ∴AE＝BE＝8﹣x． 在Rt△ACE中，由勾股定理得x2+62＝（8﹣x）2， 解得x=，所以CE的长为． 学科网（北京）股份有限公司 $