17.2 勾股定理的逆定理 暑假巩固 2024—2025学年人教版数学八年级下册

人教版八年级下册 17.2 勾股定理的逆定理 暑假巩固 一、勾股定理的的逆定理 1.已知△ABC的三边分别是a，b，c，且满足++（c﹣4）2＝0，则以a，b，c为边可构成（　　） A.以c为斜边的直角三角形 B.以a为斜边的直角三角形 C.以b为斜边的直角三角形 D.有一个内角为30°的直角三角形 2.如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于（　　） A.180°﹣α B.180°﹣2α C.90°+α D.90°+2α 3.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，下列条件中，能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A.∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B.a＝32，b＝42，c＝52 C.b＝c，∠A＝45° D.a2＝b2﹣c2 4.已知两条线段的长为6cm和8cm，当第三条线段的长为　    　cm时，这三条线段能组成一个直角三角形． 5.如图，在正方形网格中有两条直线AC与BC，则∠BAC的度数为 　     　． 6.一种机器零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图所示，这个零件符合要求吗？请说明理由． 7.如果三条线段a，b，c满足a2=c2-b2，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？ 二、勾股数 1.下列数组中，不是勾股数的是（　　） A.3，4，5 B.9，12，15 C.7，24，25 D.1.2，2，2.5 2.下列各组数中，是勾股数的是（　　） A.，， B.1，， C.7，24，25 D.2，3，4 3.下列各组数中，不是勾股数的是（　　） A.3，4，5 B.6，8，10 C.7，24，25 D.4，5，6 4.观察下列式子： 当n＝2时，a＝2×2＝4，b＝22﹣1＝3，c＝22+1＝5； n＝3时，a＝2×3＝6，b＝32﹣1＝8，c＝32+1＝10； n＝4时，a＝2×4＝8，b＝42﹣1＝15，c＝42+1＝17… 根据上述发现的规律，用含n（n≥2的整数）的代数式表示上述特点的勾股数a＝　　，b＝　    　，c＝　     　． 5.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，请你写出一组“勾股数”　             　． 6.材料阅读：给定三个数a.b.c，若它们满足a2+b2＝c2，则称a.b.c这三个数为“勾股数”．例如： ①32＝9，42＝16，52＝25；∵9+16＝25，即32+42＝52，∴3.4.5这三个数为勾股数． ②52＝25，122＝144，132＝196；∵25+144+169，即52+122＝132，∴5.12.13这三个数为勾股数． 若三角形的三条边a.b.c满足勾股数，即a2+b2＝c2，则这个三角形为直角三角形，且a.b分别为直角的两条邻边．如图所示： 根据以上信息，解答下列问题： （1）试判断8.15.17是否为勾股数； （2）若某三角形的三边长分别为7.24.25，求其面积； （3）已知某直角三角形的两边长为6和8，求其周长． 7.已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0． 尝试 化简整式A． 发现 A＝B2，求整式B． 联想 由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，当n＞1时，n2﹣1，2n，B为直角三角形的三边长，如图．填写下表中B的值： 三、勾股定理的应用 1.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米．则小巷的宽度为（　　） A.0.7米 B.1.5米 C.2.2米 D.2.4米 2.如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长16cm的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（　　） A.4≤a≤5 B.3≤a≤4 C.2≤a≤3 D.1≤a≤2 3.如图，学校计划在该三角形空地上铺上绿色植被美化校园，已知绿色植被每平方米造价40元，则铺满这块空地需要（　　） A.60a2元 B.120a2元 C.20()a2元 D.40()a2元 4.“接天莲叶无穷碧，映日荷花别样红”，包公园的荷花绽放了．在平静的水平面上，如图，一朵荷花（AC）才露尖尖角，已知露出水面的部分AB为6 cm，突然一阵清风扶过，它随风倾斜（从CA倾斜至CD，BD为水平面），荷花尖恰好浸入水面，已知该朵荷花偏离原地12 cm，即BD＝12 cm，则水深BC的长为　 　cm． 5.如图所示的衣架可近似看作一个等腰三角形（即△ABC），其中AB＝AC＝17cm，底边BC＝30cm，则高AD＝　    　cm． 6.木工师傅为了让直尺经久耐用，常常在直尺的直角顶点与斜边之间加一根小木条，如图所示，右图为其示意图．若∠BAC＝90°，线段AB的长为15 cm，线段AC的长为20 cm，试求出小木条AD的最短长度． 7.如图，A村和B村相距1 500米，经过A村和B村（将A，B村看成直线l上的点）的笔直公路l旁有一块山地正在开发，现需要在C处进行爆破．C处与B村的距离为1 200米，与A村相距900米． （1）判断爆破点C与A，B两村围成的三角形形状，并求爆破点C到公路l的距离； （2）已知爆破点C周围750米之外为安全范围．在进行爆破时，公路AB段是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由． 四、逆命题与真假命题 1.下列选项可以用来说明命题“两个锐角的和是钝角”是假命题的是（　　） A.∠A＝30°，∠B＝40° B.∠A＝30°，∠B＝80° C.∠A＝30°，∠B＝90° D.∠A＝30°，∠B＝100° 2.下列语句中，是真命题的是（　　） A.如果|a|＝|b|，那么a＝b B.任何一个正数的平方都大于这个正数 C.内错角相等，两直线平行 D.在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相垂直 3.下列命题中： ①a与b互为相反数，则＝﹣1； ②相等的角是对顶角； ③两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，其中真命题的个数是（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 4.写出命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题：　   　；这个逆命题是       命题.（填写“真”或“假”） 5.命题“如果x≥1，那么x2≥1”的逆命题是 　 　命题．（选填“真”或“假”） 6.写出命题“如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角的角平分线所夹的锐角是45°”的逆命题，并证明这个命题是真命题． 7.写出下列命题的逆命题，并判断该逆命题是真命题还是假命题，是假命题的举出反例： （1）若a＞b，则ac2＞bc2； （2）正数的绝对值是它本身； （3）如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数能被5整除． 人教版八年级下册 17.2 勾股定理的逆定理 暑假巩固（参考答案） 一、勾股定理的的逆定理 1.已知△ABC的三边分别是a，b，c，且满足++（c﹣4）2＝0，则以a，b，c为边可构成（　　） A.以c为斜边的直角三角形 B.以a为斜边的直角三角形 C.以b为斜边的直角三角形 D.有一个内角为30°的直角三角形 【答案】B 【解析】由题意可得a＝，b＝2，c＝4， ∵22+42＝20，（）2＝20， 即b2+c2＝a2， 所以△ABC是直角三角形． 故选：B． 2.如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于（　　） A.180°﹣α B.180°﹣2α C.90°+α D.90°+2α 【答案】C 【解析】如图，过B点作BG∥CD，连接EG， ∵BG∥CD， ∴∠ABG＝∠CFB＝α． ∵BG2＝12+42＝17，BE2＝12+42＝17，EG2＝32+52＝34， ∴BG2+BE2＝EG2， ∴△BEG是直角三角形， ∴∠GBE＝90°， ∴∠ABE＝∠GBE+∠ABG＝90°+α． 故选：C． 3.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，下列条件中，能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A.∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B.a＝32，b＝42，c＝52 C.b＝c，∠A＝45° D.a2＝b2﹣c2 【答案】D 【解析】A．∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A：∠B：∠C＝3：4：5， ∴最大角∠C＝×180°＝75°， ∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意； B．∵（32）2+（42）2≠（52）2， ∴以32，42，52为边不能组成直角三角形， ∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意； C．∵b＝c，∠A＝45°， ∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）＝67.5°， ∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意； D．∵a2＝b2﹣c2， ∴a2+c2＝b2， ∴∠B＝90°， ∴△ABC是直角三角形，故本选项符合题意； 故选：D． 4.已知两条线段的长为6cm和8cm，当第三条线段的长为　    　cm时，这三条线段能组成一个直角三角形． 【答案】10或2 【解析】当6cm和8cm都是直角边时，第三边长为＝10（cm）， 当8cm为斜边时，第三边长为＝＝2（cm）， 故答案为：10或2． 5.如图，在正方形网格中有两条直线AC与BC，则∠BAC的度数为 　     　． 【答案】45° 【解析】由勾股定理得AC2＝12+32＝10，BC2＝12+32＝10，AB2＝22+42＝20， ∴AB2＝AC2+BC2，AC＝BC， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°， ∴∠BAC＝45°． 6.一种机器零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图所示，这个零件符合要求吗？请说明理由． 【答案】解 ∵AD＝12，AB＝9，DC＝17，BC＝8，BD＝15， ∴AB2+AD2＝BD2， BD2+BC2＝DC2． ∴△ABD、△BDC是直角三角形． ∴∠A＝90°，∠DBC＝90°． 故这个零件符合要求． 7.如果三条线段a，b，c满足a2=c2-b2，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？ 【答案】解：∵a2=c2-b2， ∴a2+b2=c2， 由勾股定理的逆定理得，三条线段长a，b，c组成的三角形是直角三角形． 二、勾股数 1.下列数组中，不是勾股数的是（　　） A.3，4，5 B.9，12，15 C.7，24，25 D.1.2，2，2.5 【答案】D 【解析】52＝32+42，152＝92+122，252＝72+242， ∴A，B，C均为勾股数，不符合题意； D选项中各数不全是整数，故不是勾股数，符合题意． 故选：D． 2.下列各组数中，是勾股数的是（　　） A.，， B.1，， C.7，24，25 D.2，3，4 【答案】C 【解析】A，因为，不是整数，所以不是勾股数，此项不符合题意； B，因为，不是整数，所以不是勾股数，此项不符合题意； C，因为72+242＝252，所以是勾股数，此项符合题意； D，因为22+32≠42，所以不是勾股数，此项不符合题意． 故选：C． 3.下列各组数中，不是勾股数的是（　　） A.3，4，5 B.6，8，10 C.7，24，25 D.4，5，6 【答案】D 【解析】A，32+42＝52，能构成直角三角形，是整数，故是勾股数，此选项不符合题意； B，62+82＝102，三边是整数，同时能构成直角三角形，故是勾股数，此选项不符合题意； C，72+242＝252，是正整数，故是勾股数，此选项不符合题意； D，42+52≠62，不是勾股数，此选项符合题意． 故选：D． 4.观察下列式子： 当n＝2时，a＝2×2＝4，b＝22﹣1＝3，c＝22+1＝5； n＝3时，a＝2×3＝6，b＝32﹣1＝8，c＝32+1＝10； n＝4时，a＝2×4＝8，b＝42﹣1＝15，c＝42+1＝17… 根据上述发现的规律，用含n（n≥2的整数）的代数式表示上述特点的勾股数a＝　　，b＝　    　，c＝　     　． 【答案】2n n2﹣1 n2+1 【解析】∵当n＝2时，a＝2×2＝4，b＝22﹣1＝3，c＝22+1＝5； n＝3时，a＝2×3＝6，b＝32﹣1＝8，c＝32+1＝10； n＝4时，a＝2×4＝8，b＝42﹣1＝15，c＝42+1＝17… ∴勾股数a＝2n，b＝n2﹣1，c＝n2+1． 5.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，请你写出一组“勾股数”　             　． 【答案】3，4，5（答案不唯一） 【解析】一组“勾股数”3，4，5（答案不唯一）． 故答案为：3，4，5（答案不唯一）． 6.材料阅读：给定三个数a.b.c，若它们满足a2+b2＝c2，则称a.b.c这三个数为“勾股数”．例如： ①32＝9，42＝16，52＝25；∵9+16＝25，即32+42＝52，∴3.4.5这三个数为勾股数． ②52＝25，122＝144，132＝196；∵25+144+169，即52+122＝132，∴5.12.13这三个数为勾股数． 若三角形的三条边a.b.c满足勾股数，即a2+b2＝c2，则这个三角形为直角三角形，且a.b分别为直角的两条邻边．如图所示： 根据以上信息，解答下列问题： （1）试判断8.15.17是否为勾股数； （2）若某三角形的三边长分别为7.24.25，求其面积； （3）已知某直角三角形的两边长为6和8，求其周长． 【答案】解 （1）因为82+152＝172，且8，15，17都是正整数，故8.15.17是为勾股数． （2）∵72+242＝252 ∴该三角形是直角三角形 ∴其面积＝×7×24＝84． （3）当8是直角边时，则另一条边＝＝10，周长为6+8+10＝24； 当8是斜边时，则另一条边＝＝2，周长为6+8+2＝14+2． 故其周长为24或14+2． 7.已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0． 尝试 化简整式A． 发现 A＝B2，求整式B． 联想 由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，当n＞1时，n2﹣1，2n，B为直角三角形的三边长，如图．填写下表中B的值： 【答案】解：尝试：A＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1． 发现：∵n4+2n2+1＝（n2+1）2，A＝B2，B＞0， ∴B＝n2+1， 当2n＝8时，n＝4，∴n2+1＝42+1＝17； 当n2﹣1＝35时，n2+1＝37． 三、勾股定理的应用 1.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米．则小巷的宽度为（　　） A.0.7米 B.1.5米 C.2.2米 D.2.4米 【答案】C 【解析】如图， ∠ACB＝∠ACB＝90°，CB＝0.7m，AC＝2.5m，DE＝2m． 在Rt△ABC中，AB＝＝＝2.5（m）． ∵AB＝BE， ∴BE＝2.5（m）， ∴BD＝＝＝1.5（m）， ∴CD＝CB+BD＝0.7+1.5＝2.2（m），即小巷的宽度为2.2米． 故选：C． 2.如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长16cm的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（　　） A.4≤a≤5 B.3≤a≤4 C.2≤a≤3 D.1≤a≤2 【答案】B 【解析】设b是圆柱形的高， 当吸管底部在地面圆心时吸管在罐内部分b最短， 此时b就是圆柱形的高， 即b＝12； ∴a＝16﹣12＝4， 当吸管底部在饮料罐的壁底时吸管在罐内部分b最长， b＝＝13， ∴此时a＝3， 所以3≤a≤4． 故选：B． 3.如图，学校计划在该三角形空地上铺上绿色植被美化校园，已知绿色植被每平方米造价40元，则铺满这块空地需要（　　） A.60a2元 B.120a2元 C.20()a2元 D.40()a2元 【答案】C 【解析】∵∠DAC＝∠C＝45°， ∴∠ADC＝90°，AD＝CD＝a米， ∴∠ADB＝90°， ∵∠B＝30°， ∴AB＝2AD＝2a（米）， ∴BD＝＝a（米）， ∴BC＝BD+CD＝（+1）a米， ∴S△ABC＝＝（+1）a2（平方米）， ∵绿色植被每平方米造价40元， ∴铺满这块空地需要20（+1）a2元． 故选：C． 4.“接天莲叶无穷碧，映日荷花别样红”，包公园的荷花绽放了．在平静的水平面上，如图，一朵荷花（AC）才露尖尖角，已知露出水面的部分AB为6 cm，突然一阵清风扶过，它随风倾斜（从CA倾斜至CD，BD为水平面），荷花尖恰好浸入水面，已知该朵荷花偏离原地12 cm，即BD＝12 cm，则水深BC的长为　 　cm． 【答案】9 【解析】由题意，设水深为h cm，则荷花的高为（h+6）cm，且水平距离为12 cm， 由勾股定理，CD2＝BD2+BC2， ∴（h+6）2＝122+h2． ∴h＝9． ∴水深9 cm． 5.如图所示的衣架可近似看作一个等腰三角形（即△ABC），其中AB＝AC＝17cm，底边BC＝30cm，则高AD＝　    　cm． 【答案】8 【解析】∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝17cm，底边BC＝30cm， ∴BD＝CD＝BC＝15cm． 在直角△ABD中，由勾股定理知：AD＝＝＝8（cm）． 故答案为：8． 6.木工师傅为了让直尺经久耐用，常常在直尺的直角顶点与斜边之间加一根小木条，如图所示，右图为其示意图．若∠BAC＝90°，线段AB的长为15 cm，线段AC的长为20 cm，试求出小木条AD的最短长度． 【答案】解：∵∠BAC＝90°， ∴△ABC是直角三角形， ∴BC2＝AC2+AB2， ∵AB＝15 cm，AC＝20 cm， ∴BC＝＝25（cm）， ∵要使得小木条AD最短，则此时AD⊥BC， ∴＝ADBC， 又∵＝ABAC， ∴ADBC＝ABAC， 即AD×25＝×15×20， ∴AD＝12． 7.如图，A村和B村相距1 500米，经过A村和B村（将A，B村看成直线l上的点）的笔直公路l旁有一块山地正在开发，现需要在C处进行爆破．C处与B村的距离为1 200米，与A村相距900米． （1）判断爆破点C与A，B两村围成的三角形形状，并求爆破点C到公路l的距离； （2）已知爆破点C周围750米之外为安全范围．在进行爆破时，公路AB段是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由． 【答案】解：（1）爆破点C与A，B两村围成的三角形是直角三角形； 在△ABC中，AB＝1 500米，AC＝900米，BC＝1 200米， ∴AB2＝2 250 000，AC2+BC2＝9002+1 2002＝2 250 000， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， 如图1，过C作CD⊥AB于D． ∵S△ABC＝AB•CD＝BC•AC， ∴CD＝＝＝＝720（米）． ∴爆破点C处到公路l的距离为720米． （2）公路AB有危险而需要封锁．理由如下： 如图2，以点C为圆心，750米为半径画弧，交AB于点E，F，连接CE，CF， 由于720米＜750米，故有危险， 因此AB段公路需要封锁． ∴EC＝FC＝750米， ∴ED＝＝210（米）， 故EF＝420米， 则需要封锁的路段长度为420米． 四、逆命题与真假命题 1.下列选项可以用来说明命题“两个锐角的和是钝角”是假命题的是（　　） A.∠A＝30°，∠B＝40° B.∠A＝30°，∠B＝80° C.∠A＝30°，∠B＝90° D.∠A＝30°，∠B＝100° 【答案】A 【解析】若∠A＝30°，∠B＝40°，则∠A+∠B＜90°． 故选：A． 2.下列语句中，是真命题的是（　　） A.如果|a|＝|b|，那么a＝b B.任何一个正数的平方都大于这个正数 C.内错角相等，两直线平行 D.在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相垂直 【答案】C 【解析】A，如果|a|＝|b|，那么a＝±b，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B，一个正数的平方可以小于这个正数，如：＝，＜，故原命题错误，是假命题，不符合题意； C，内错角相等，两直线平行，正确，是真命题，符合题意； D，同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意． 故选：C． 3.下列命题中： ①a与b互为相反数，则＝﹣1； ②相等的角是对顶角； ③两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，其中真命题的个数是（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】B 【解析】a与b互为相反数，且不为0，则＝﹣1，故①是假命题； 相等的角不一定是对顶角，故②是假命题； 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故③是真命题． 故选：B． 4.写出命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题：　   　；这个逆命题是       命题.（填写“真”或“假”） 【答案】两直线平行，内错角相等 真 【解析】命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题为两直线平行，内错角相等. 5.命题“如果x≥1，那么x2≥1”的逆命题是 　 　命题．（选填“真”或“假”） 【答案】假 【解析】命题“如果x≥1，那么x2≥1”的逆命题是“如果x2≥1，那么x≥1”是假命题，例如：当x＝﹣2时，（﹣2）2＞1，而﹣2＜1． 6.写出命题“如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角的角平分线所夹的锐角是45°”的逆命题，并证明这个命题是真命题． 【答案】解：逆命题是：如果一个三角形的两个角的角平分线所夹的锐角是45°，那么这个三角是直角三角形． 已知，如图，△ABC中，BE是∠ABC的角平分线，交AC于点E，AD是∠CAB的角平分线，交BC于点D，BE和AD相交于O点，且∠EOA＝45°． 求证：△ABC是直角三角形 证明：∵BE是∠ABC的角平分线，AD是∠CAB的角平分线， ∴∠OAB＝∠CAB，∠OBA＝∠CBA， ∴∠OAB+∠OBA＝（∠CAB+∠CBA）， ∴180°﹣∠AOB＝（180°﹣∠C）， ∴∠AOB＝90°+∠C， 又∵∠EOA＝45°， ∴∠AOB＝135°＝90°+∠C， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形． 7.写出下列命题的逆命题，并判断该逆命题是真命题还是假命题，是假命题的举出反例： （1）若a＞b，则ac2＞bc2； （2）正数的绝对值是它本身； （3）如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数能被5整除． 【答案】解：（1）“若a＞b，则ac2＞bc2”的逆命题是“若ac2＞bc2，则a＞b”，逆命题为真命题． （2）“正数的绝对值是它本身”的逆命题是“绝对值是它本身的数是正数”，逆命题是假命题，如0的绝对值也是它本身，而0既不是正数也不是负数. （3）如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数能被5整除，逆命题是如果一个整数能被5整除，那么这个整数的个位数字是5，是假命题，反例：30能被5整除，但个位数字不是5． 学科网（北京）股份有限公司 $$