第19章《二次根式》暑假复习巩固综合练习 2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 人教版八年级上册二次根式暑假同步练，通过基础巩固、能力提升、综合拓展三层设计，覆盖概念理解、运算技能及实际应用，适配暑假分层复习需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|最简二次根式判断、有意义条件等概念|单选题1-3题、填空题11-13题夯实基础，体现抽象能力| |提升层|二次根式运算、化简及简单应用|解答题17-19题培养运算能力与推理意识，体现数学思维| |拓展层|规律探究、实际问题及综合应用|24题规律探究、22题实际问题发展模型意识与创新意识，体现数学语言表达现实世界|

人教版八年级上册暑假综合练习 第19章二次根式 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 1.下列式子中，属于最简二次根式的是（        ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 根据最简二次根式的定义逐一判断选项即可，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式. 【解答】 解：A选项 ，被开方数含有分母，不符合要求，不是最简二次根式，不符合题意； B选项 满足最简二次根式的两个条件，符合题意； C选项 ，被开方数9是能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；. D选项 ，被开方数20含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，不符合题意.  故选B. 2.下列计算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 本题考查二次根式的乘除运算，掌握知识点是解题的关键通过直接计算每个选项，判断其正确性即可. 【解答】 解：对于选项A： ， A错误. 对于选项B： ， B错误. 对于选项C： C正确. 对于选项D： 错误。 故选C. 3.若a满足则的值为（       ） A.0 B.1 C.2025 D.2026 【答案】 D 【解析】 由方程中的 可知a≥2026，从而 ，代入原方程化简后平方求解a，再计算 的值. 【解答】 解： 有意义 ，即a≥2026 代入原方程： 化简得： 两边平方：  故选D. 4.若二次根式与能合并，则的最大整数值是（        ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 因为两个二次根式都是最简二次根式，所以被开方数相同才能合并，由此可解。 【解答】 解：∵两个二次根式都是最简二次根式，∴被开方数相同才能合并，  ∴，解得. 故选B. 5.若，，则（        ） A. B.1 C.2 D.3 【答案】 A 【解析】 将字母的取值带入xy，利用平方差公式求解. 【解答】 解：将，代入得   故选A. 6.已知 ， ， ，则下列大小关系正确的是(       ) A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 将，，变形后，根据分母大的反而小比较大小即可． 【解答】 解:，，， 又， ． 故选： 7.已知：，，则与的关系是（       ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 先分母有理化求出、，再分别代入求出、、、、各个式子的值，即可得出选项． 【解答】 解：分母有理化，可得，， ，故选项错误，不符合题意； ，故选项错误，不符合题意； ，故选项正确，符合题意； ，， ，故选项错误，不符合题意； 故选：．  8.我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了一种求三角形面积的方法——“三斜求积术”．即可以利用三角形的三条边长来求三角形面积．若设三角形的三条边长分别为，三角形的面积为，则．已知在中，，那么的面积为（       ） A. B. C.2 D. 【答案】 B 【解析】 本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键；由题意易得 ，然后代入题中所给公式即可求解． 【解答】 解：由题意得： 。 故选：B． 9.算术平方根有如下运算：，故化简：可得或两种不同结果．给出下列说法： ①化简：，一共有种不同的形式； ②化简：，一共有种不同的结果； ③若（为正整数），则当时，． 以上说法中正确的个数为（       ） A.个 B.个 C.个 D.个 【答案】 B 【解析】 本题考查了算术平方根的性质，掌握其性质是关键； 根据算术平方根的性质化简表达式，说法①有种结果，说法②结果有种，说法③先计算出，计算当时，即可判断． 【解答】 解：① ，，， ， 由于和符号组合，有种结果：， 故①正确； ② 要求，即， 原式， 当时，原式， 当时，原式， 当时，原式， 结果有种不同结果，故②错误； ③ ， ， 当时，均为负，均为正， ， 当时，， 故③错误； 综上，①正确； 故选． 10.设 ，则 的值为（       ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 本题考查数字类规律探究，二次根式的性质，总结归纳出规律是解题的关键．通过计算总结归纳出规律，再根据规律计算求解即可． 【解答】 解：， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ）  11.要使代数式有意义，那么的取值范围是____且 ____． 【答案】 且 【解析】 代数式有意义需满足根号内被开方数非负且分母不为零，分别解不等式后结合取值范围本题考查了代数式有意义的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是解题的关键. 【解答】 解：要使代数式 有意义，需同时满足两个条件： 第一，根号下的被开方数是非负数即 ，解得 ； 第二，分母不为零即 ，解得 故答案为： 且 12.________． 【答案】 【解析】 先拆分指数，逆用积的乘方法则，再结合平方差公式化简计算，即可得到结果. 【解答】 解： . 故答案为： . 13.如图，实数，在数轴上的位置，化简___−b_____． 【答案】 【解析】 直接利用数轴得出 ， ， ，进而化简求出答案。 【解答】 解：由数轴可得： ， ，则 ， 故答案为： 14.若最简二次根式与能进行合并，则_____±1_________． 【答案】 【解析】 本题考查了最简二次根式的定义，同类二次根式的定义，根据最简二次根式以及同类二次根式的定义得，然后解方程即可． 【解答】 解：最简二次根式与能进行合并， 与是同类二次根式， ， 解得． 经检验，时，，符合题意； 故答案为：． 15.已知a是的整数部分，b是的小数部分，则ab＝________． 【答案】 【解析】 此题暂无解析 【解答】 ，a是 的整数部分，b是 的小数部分， ，b ， ， 故答案为 16.如图，在平面直角坐标系中，用12个以点为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，并按此方法无限地作下去，…，若，，则点的纵坐标为________ 【答案】 【解析】 先求得 ，然后通过含30度直角三角形的性质以及勾股定理求出 ， ，总结得到规律，再根据规律计算即可. 【解答】 解： 图案是用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案， 设 ，则 ，即 即 同理可求出 ... 依此类推： 点 的位置每12个为一个周期， 点 的位置和点 相同， 又 的纵坐标等于 的纵坐标，且位于y轴负半轴上， 的纵坐标等于 的纵坐标，为  故答案为： 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计90分 ） 17.(6分) 计算： （1） ； （2）． 【答案】 7 【解析】 此题暂无解析 【解答】 （1）解： （2）解：   18.(6分) 已知，． （1）分别求和的值； （2）求的值． 【答案】 ， 18 【解析】 此题暂无解析 【解答】 （1）解：，， ； ； （2）解：，， ．  19.(6分) 定义：若两个含二次根式的代数式，满足，且是有理数，则称与是关于的共轭（）二次根式． 问题解决： （1）若与是关于的共轭二次根式，则 ； （2）若与是关于的共轭二次根式，求的值 【答案】 【解析】 （1）根据共轭二次根式的定义列等式可得的值； （2）根据共轭二次根式的定义列等式可得的值． 【解答】 （1）解：与是关于的共轭二次根式， ， 故答案为：； （2）解：与是关于的共轭二次根式， ， ， ．  20.(6分) 下面是小美同学进行二次根式运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务． …第一步 …第二步 ．…第三步 任务： （1）原式中的二次根式：，，，，，是最简二次根式的是____，_________； （2）从第_______一______步开始出错，错误的原因是_________去括号时，括号内的第二项没有改变符号____________________； （3）请写出正确的计算过程． 【答案】 ， 一；去括号时，括号内的第二项没有改变符号 ，过程见解析 【解析】 （1）根据最简二次根式的定义逐一判断即可; （2）根据去括号法则分析即可; （3）根据去括号的依据解答即可. 【解答】 （1）解：，，， 故答案为：，; （2） 故答案为：一；去括号时，括号内的第二项没有改变符号; （3）原式 .   21.(8分) 【课本再现】 一般地，如果一个非负数的平方等于，即，那么这个非负数叫作的算术平方根，记为． 0的算术平方根是0，即，所以被开方数为非负数． （1）【探究新知】 （1）若，则的取值范围是______a≥0______． （2）【知识应用】 （2）若，求的值． （3）【拓展应用】 （3）若，求的值． 【答案】 （1）；(2)；(3)2025 【解析】 （1） 被开方数为非负数； （2） 利用绝对值和二次根式性质求解； （3） 利用绝对值性质和二次根式被开方数为非负数求解。 【解答】 （1）解： （2）解：由 ， 得 解得 （3）解：， ，即， ， 则原方程可化为， ，即， . 22.(8分) 某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛即图中阴影部分，长方形花坛的长为，宽为． （1）长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） （2）除修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为的地砖（假设地砖没有损耗），要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 【答案】 655元 【解析】 （1）根据长方形 的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算即可； （2）先计算出空白部分的面积，然后再用空白部分的面积乘以单价即可得出结论. 【解答】 （1）解：长方形 的周长 答：长方形 的周长是 . （2）铺地砖的面积 故购买地砖的花费为 (元) 答：购买地砖需要花费655元.  23.(10分) 学习完《二次根式》后，小慧在数学课外资源拓展活动中，她和启智小组的同学们遇到一道题： 已知，求的值．她是这样解答的： 解：∵ ，， 请你根据小慧的解题过程，解决如下问题： （1）        ； （2）化简：； （3）若，求的值． 【答案】 16 27 【解析】 （1）仿照例题的化简解答即可. （2）仿照例题的化简解答即可. （3）先化简，得出，再利用代入计算，即可求解. 【解答】 （1）解：; （2）解： ; （3）解：, , , , 故 . 24.(10分) 【激活经验】 小香和小橙在学习有理数运算时，通过具体运算发现：，，，在学习二次根式运算时，小香和小橙根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：， 特例2：， 特例3：． 【发现规律】 （1）________（，且为整数）． 【应用规律】 （2）_______ （3）如果（，且为整数）的小数部分是，求出它的整数部分． 【答案】 4 【解析】 （1）根据题干的例题，总结出规律即可； （2）根据（1）中的规律，化简每个式子，再求和即可； （3）先仿照（2）的过程，将式子化简可得 ，结合 可判断，小数部分为 ，从而求出 的值，最后计算出整数部分即可. 【解答】 （1）解：总结规律可得， ； （2）解：利用（1）的规律可得， ; （3）解：同理（2）可得， 原数的小数部分为 ，解得 原数的整数部分为   25.(12分) 阅读材料：用配方法求最值． 已知x，y为非负实数， ∵ ∴ ，当且仅当“”时，等号成立． 例：已知，求函数的最小值． 解：令，则有，得 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为． 根据以上信息回答下列问题． （1）已知，则函数最小值为     8     ，已知，则函数的最小值为    5      ； （2）已知，则自变量x取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ （3）如图，四边形的对角线，交于点，，，求四边形的面积的最小值． 【答案】 8; 5 当x=2取到最大值，最大值为 49 【解析】 （1）仿照例题求解即可； （2）根据题意得出y=，仿照例题求得分母的最小值，进而求得函数的最大值； （3）设S=y,S=x，则S四边形ABCD=4+25+x+y，结合题意得到S≥29+2，所以此时x=y=10，由此即可求解。 【解答】 （1）解：函数y=2x+=2(x+), 令a=x,b=, ∴ y=2(x+)≥2×2=8, ∴ 当且仅当x=，即x=2时，函数取到最小值，最小值为8; ∴ x>3, ∴ x-3>0 ∴ y=x+=x-3++3 令a=x-3,b=, ∴ y=x-3++3≥2+3=5 ∴ 当且仅当x-3=, ∴ x>3, ∴ x=4时，函数取到最小值，最小值为5; （2）解：∵ y===, 又∵ x+≥2=4, 当且仅当x=时,x+有最小值, ∴ x>0, ∴ 当x=2时,x+有最小值，最小值为4, ∴ 此时y有最大值，最大值为y===; （3）解：设S=y,S=x，则S四边形ABCD=4+25+x+y, ∴ ()^2≥0, ∴ x+y≥2, ∴ S≥29+2; 当且仅当x=y时,S最小=29+2; 此时x=y==10, 故S最小=29+2×10=49. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版八年级上册暑假综合练习 第19章二次根式 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 1.下列式子中，属于最简二次根式的是（        ） A. B. C. D. 2.下列计算正确的是（） A. B. C. D. 3.若a满足则的值为（       ） A.0 B.1 C.2025 D.2026 4.若二次根式与能合并，则的最大整数值是（        ） A. B. C. D. 5.若，，则（        ） A. B.1 C.2 D.3 6.已知 ， ， ，则下列大小关系正确的是(       ) A. B. C. D. 7.已知：，，则与的关系是（       ） A. B. C. D.  8.我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了一种求三角形面积的方法——“三斜求积术”．即可以利用三角形的三条边长来求三角形面积．若设三角形的三条边长分别为，三角形的面积为，则．已知在中，，那么的面积为（       ） A. B. C.2 D. 9.算术平方根有如下运算：，故化简：可得或两种不同结果．给出下列说法： ①化简：，一共有种不同的形式； ②化简：，一共有种不同的结果； ③若（为正整数），则当时，． 以上说法中正确的个数为（       ） A.个 B.个 C.个 D.个 10.设 ，则 的值为（       ） A. B. C. D. 二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ）  11.要使代数式有意义，那么的取值范围是________． 12.________． 13.如图，实数，在数轴上的位置，化简________． 14.若最简二次根式与能进行合并，则______________． 15.已知a是的整数部分，b是的小数部分，则ab＝________． 16.如图，在平面直角坐标系中，用12个以点为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，并按此方法无限地作下去，…，若，，则点的纵坐标为_______ 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计90分 ） 17.(6分) 计算： （1） ； （2）． 18.(6分) 已知，． （1）分别求和的值； （2）求的值．  19.(6分) 定义：若两个含二次根式的代数式，满足，且是有理数，则称与是关于的共轭（）二次根式． 问题解决： （1）若与是关于的共轭二次根式，则 ； （2）若与是关于的共轭二次根式，求的值 20.(6分) 下面是小美同学进行二次根式运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务． …第一步 …第二步 ．…第三步 任务： （1）原式中的二次根式：，，，，，是最简二次根式的是_____________； （2）从第____________步开始出错，错误的原因是____________________________； （3）请写出正确的计算过程．  21.(8分) 【课本再现】 一般地，如果一个非负数的平方等于，即，那么这个非负数叫作的算术平方根，记为． 0的算术平方根是0，即，所以被开方数为非负数． （1）【探究新知】 （1）若，则的取值范围是____________． （2）【知识应用】 （2）若，求的值． （3）【拓展应用】 （3）若，求的值． 22.(8分) 某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛即图中阴影部分，长方形花坛的长为，宽为． （1）长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） （2）除修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为的地砖（假设地砖没有损耗），要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 23.(10分) 学习完《二次根式》后，小慧在数学课外资源拓展活动中，她和启智小组的同学们遇到一道题： 已知，求的值．她是这样解答的： 解：∵ ，， 请你根据小慧的解题过程，解决如下问题： （1）        ； （2）化简：； （3）若，求的值． 24.(10分) 【激活经验】 小香和小橙在学习有理数运算时，通过具体运算发现：，，，在学习二次根式运算时，小香和小橙根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：， 特例2：， 特例3：． 【发现规律】 （1）_______（，且为整数）． 【应用规律】 （2）_______ （3）如果（，且为整数）的小数部分是，求出它的整数部分． 25.(12分) 阅读材料：用配方法求最值． 已知x，y为非负实数， ∵ ∴ ，当且仅当“”时，等号成立． 例：已知，求函数的最小值． 解：令，则有，得 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为． 根据以上信息回答下列问题． （1）已知，则函数最小值为          ，已知，则函数的最小值为          ； （2）已知，则自变量x取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ （3）如图，四边形的对角线，交于点，，，求四边形的面积的最小值． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $