19.3二次根式的加法与减法暑假巩固作业2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 暑假巩固作业聚焦二次根式加减，分层设计基础巩固、中档应用、提升拓展三阶训练，梯度衔接合理，强化概念→运算→应用路径，培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|同类二次根式、化简、基本运算|以选择填空为主，如选择1-6直接考查概念辨析，夯实基础| |中档层|新定义运算、几何问题|融入幻方（填空15）、海伦公式（选择7），培养推理意识| |提升层|实际情境应用|结合刹车距离（19题）、下落动能（20题）等问题，强化模型意识与应用能力|

19.3二次根式的加法与减法暑假巩固作业 一、选择题 1.下列各组二次根式是同类二次根式的是（      ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 2.二次根式  的化简结果是（          ） A. B. C. D. 3.下列各式中，与  是同类二次根式的是（      ） A. B. C. D. 4.把  根号外的因式移入根号内得（      ） A. B. C. D. 5.下列计算正确的是（          ） A. B. C. D. 6.下列运算中，错误的是（      ） A. B. C．2 5 D. 3 7.八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦－秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记 ，那么三角形的面积为 ．已知如图，在△ABC中，a＝5，b＝6，c＝7，则BC边上的高为（      ） A． B． C． D． 8.正整数  满足  ，且  和  是可以合并的二次根式，若  ，  ，则  的值为（      ） A. B. C. D．1 9.“海阔千江辏，风翻大浪随”．海浪的大小与风速和风压有很大的关系，用风速估计风压的通用公式为  ，其中wp为风压（单位：kN/m2），v为风速（单位：m/s）．当风压为0.16 kN/m2时，估计风速为（          ） A．8m/s B．12m/s C．16m/s D．24m/s 10.如图是一个树墩的截面图，年轮部分分为深色和浅色，其中深色部分以及整个截面可以看作两个同心圆，已知深色部分的半径为5cm，浅色圆环部分的面积为23cm2，若  取3，则可以估计此树墩截面的半径为（          ） A. cm B. cm C. cm D. cm 二、填空题 11.化简： ___________． 12.若  ，且b是一个单项式，则a可以是_______．（写出一个即可） 13.若最简二次根式  与  是同类二次根式，则m的值是____________． 14.对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：a※ ，例：2※ 4 ．按照这种运算方法，则5※16＝______． 15.幻方是一种传统游戏，类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向，纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等(幻方中给出的数分别是 ，5， ， ，10)，则(A＋B)×D＋C的值______． 三、解答题 16.计算： （1）  ； （2）  ． 17.先化简，再求值：  ，其中  ，  ． 18.已知x  ，y  ，求x2－xy+y2的值． 19.交警通常根据刹车后，车轮划过的距离估计车辆行驶的速度，所依据的经验公式是  ，其中v表示车速(单位：km/h)，d表示车轮划过的距离(单位：m)，f表示摩擦系数．在某次交通事故调查中测得d＝10m，f＝1.2，已知此路段限速60km/h，请通过计算判断肇事汽车是否超速．(参考数据：  ) 20.据研究，物体自空中下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式 （不考虑风速的影响）． （1）某物体自45m高空下落，所需时间为______s； （2）已知高空落物动能W（单位J）＝10×物体质量（单位：kg）×高度（单位：m），某质量为0.1kg的玩具自空中某处掉落地面，用时4s，这个玩具产生的动能会对楼下的行人造成伤害吗？请说明理由．（注：伤害无防护人体只需要65J的动能） 21.对于实数a，b定义一种新运算“◆”，规定  ，如  . (1)求  的值； (2)若  ，求x的值. 22.教师节要到了，为了表示对老师的敬意，小明做了两张大小不同的正方形壁画准备送给老师，其中一张面积为800cm2，另一张面积为450cm2，他想如果再用金彩带把壁画的边镶上会更漂亮，他现在有1.2m长的金彩带，请你帮助算一算，他的金彩带够用吗？如果不够，还需买多长的金彩带？  1.414，结果保留整数） 23.人教版初中数学教科书八年级下册第16页阅读与思考给我们介绍了“海伦——秦九韶公式”，它是利用三角形的三条边长直接求三角形面积的公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝ ，那么，这个三角形的面积S＝ ．如图，在△ABC中，a＝3，b＝6，c＝7． （1）求△ABC的面积； （2）设AB边上的高为h1，BC边上的高为h2．求h1＋h2的值． 数学试卷 第页（共页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 19.3二次根式的加法与减法暑假巩固作业 一、选择题 1.下列各组二次根式是同类二次根式的是（      ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 1.B 【解析】A.  2  ，则  与  不是同类二次根式，不符合题意；B.  ，则  与  是同类二次根式，符合题意；C.  2，  2  ，则  与  不是同类二次根式，不符合题意；D.  与  不是同类二次根式，不符合题意；故选：B． 2.二次根式  的化简结果是（          ） A. B. C. D. 2.D 【解析】 ． 3.下列各式中，与  是同类二次根式的是（      ） A. B. C. D. 3.A 【解析】A.  与  是同类二次根式，故选项A符合题意；B.  与  不是同类二次根式，故选项B不符合题意；C.  与  不是同类二次根式，故选项C不符合题意；D.  与  不是同类二次根式，故选项D不符合题意．故选：A． 4.把  根号外的因式移入根号内得（      ） A. B. C. D. 4.D 【解析】∵  成立，∴  0，即m＜0，∴原式  ． 5.下列计算正确的是（          ） A. B. C. D. 5.C 6.下列运算中，错误的是（      ） A. B. C．2 5 D. 3 6.D 【解析】A．原式  ，所以A选项的计算正确；B．原式  ，所以B选项的计算正确；C．原式＝5  ，所以C选项的计算正确；D．原式＝3，所以D选项的计算错误．故选：D． 7.八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦－秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记 ，那么三角形的面积为 ．已知如图，在△ABC中，a＝5，b＝6，c＝7，则BC边上的高为（      ） A． B． C． D． 7.C 【解析】∵a＝5，b＝6，c＝7，∴p 9，∴ 6  ，设BC边上的高的长为h，∴s 6 ，∴h ． 8.正整数  满足  ，且  和  是可以合并的二次根式，若  ，  ，则  的值为（      ） A. B. C. D．1 8.A 【解析】 ，  ，∴  解得  ，  ， . 9.“海阔千江辏，风翻大浪随”．海浪的大小与风速和风压有很大的关系，用风速估计风压的通用公式为  ，其中wp为风压（单位：kN/m2），v为风速（单位：m/s）．当风压为0.16 kN/m2时，估计风速为（          ） A．8m/s B．12m/s C．16m/s D．24m/s 9.C 【解析】当风压为0.16 kN/m2时，v  16(m/s)． 10.如图是一个树墩的截面图，年轮部分分为深色和浅色，其中深色部分以及整个截面可以看作两个同心圆，已知深色部分的半径为5cm，浅色圆环部分的面积为23cm2，若  取3，则可以估计此树墩截面的半径为（          ） A. cm B. cm C. cm D. cm 10.D 【解析】深色圆的面积为  (cm2)，树墩截面面积为  (cm2)，所以树墩截面的半径r满足  ，  ，  (cm2). 二、填空题 11.化简： ___________． 11. 【解析】原式＝2 ．故答案为： ． 12.若  ，且b是一个单项式，则a可以是_______．（写出一个即可） 12. （答案不唯一） 【解析】 ，∵b是一个单项式，∴a可以是  ，即b  ，故答案为：  （答案不唯一）． 13.若最简二次根式  与  是同类二次根式，则m的值是____________． 13. 【解析】∵最简二次根式  与  是同类二次根式，∴4﹣2m＝6，∴m＝﹣1． 14.对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：a※ ，例：2※ 4 ．按照这种运算方法，则5※16＝______． 14. 【解析】由题意得，5※16 ． 15.幻方是一种传统游戏，类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向，纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等(幻方中给出的数分别是 ，5， ， ，10)，则(A＋B)×D＋C的值______． 15. 【解析】由题意可得A 5 5 2 ，B 5  (10 )＝1，C 5  (5  )＝2，D 5 10 ，则(A＋B)×D＋C＝(2 1) 2＝10 2＝12 ． 三、解答题 16.计算： （1）  ； （2）  ． 16.解：（1）      ； （2）      ． 17.先化简，再求值：  ，其中  ，  ． 17.解：原式  ， 当  ，  时，原式  ． 18.已知x  ，y  ，求x2－xy+y2的值． 18.解：∵x  ，y  ， ∴x  y  2  ， xy＝（  ）（  ）＝2  3＝−1， 则原式＝x2  2xy+y2+xy       ＝（x  y）2+xy       ＝（2  ）2−1       ＝12−1       ＝11． 19.交警通常根据刹车后，车轮划过的距离估计车辆行驶的速度，所依据的经验公式是  ，其中v表示车速(单位：km/h)，d表示车轮划过的距离(单位：m)，f表示摩擦系数．在某次交通事故调查中测得d＝10m，f＝1.2，已知此路段限速60km/h，请通过计算判断肇事汽车是否超速．(参考数据：  ) 19.解：由题意可知该肇事汽车的速度  km/h， 因为55.36km/h＜60km/h， 所以该肇事汽车没有超速． 20.据研究，物体自空中下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式 （不考虑风速的影响）． （1）某物体自45m高空下落，所需时间为______s； （2）已知高空落物动能W（单位J）＝10×物体质量（单位：kg）×高度（单位：m），某质量为0.1kg的玩具自空中某处掉落地面，用时4s，这个玩具产生的动能会对楼下的行人造成伤害吗？请说明理由．（注：伤害无防护人体只需要65J的动能） 20.解：（1）3； 【解法提示】由题意知h＝45m，所以t 3（s），故从45m高空抛物到落地时间为3s. （2）这个玩具产生的动能会对楼下的行人造成伤害，理由： 当t＝4s时，4 ， 所以16  0.2h， 所以h＝80（m）， 所以这个玩具产生的动能为10×0.1×80＝80（J）＞65J， 所以这个玩具产生的动能会对楼下的行人造成伤害． 21.对于实数a，b定义一种新运算“◆”，规定  ，如  . (1)求  的值； (2)若  ，求x的值. 21.解：(1)因为  ， 所以  ， 所以  的值为4； (2)因为  ，  ， 所以  ， ， ， 所以  ， 所以x的值为  . 22.教师节要到了，为了表示对老师的敬意，小明做了两张大小不同的正方形壁画准备送给老师，其中一张面积为800cm2，另一张面积为450cm2，他想如果再用金彩带把壁画的边镶上会更漂亮，他现在有1.2m长的金彩带，请你帮助算一算，他的金彩带够用吗？如果不够，还需买多长的金彩带？  1.414，结果保留整数） 22.解：因为大正方形的面积为800cm2， 所以大正方形的边长为  20  （cm）， 所以大正方形的周长为80  （cm）， 因为小正方形的面积为450cm2， 所以小正方形的边长为  15  （cm）， 所以小正方形的周长为60  （cm）， 所以大小两个正方形的周长之和为80  60  140  197.96cm， 因为现在有1.2m长的金彩带， 1.2m＝120cm， 所以197.96﹣120＝77.96≈78（cm）， 答：原有的彩带不够用，还需购买78cm的彩带． 23.人教版初中数学教科书八年级下册第16页阅读与思考给我们介绍了“海伦——秦九韶公式”，它是利用三角形的三条边长直接求三角形面积的公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝ ，那么，这个三角形的面积S＝ ．如图，在△ABC中，a＝3，b＝6，c＝7． （1）求△ABC的面积； （2）设AB边上的高为h1，BC边上的高为h2．求h1＋h2的值． 23.解：（1）∵a＝3，b＝6，c＝7， ∴p＝ ＝ ＝8， ∴S＝ ＝ ＝4 ， ∴△ABC的面积为4 ； （2）由（1）知，△ABC的面积为4 ； ∴S＝ ×7×h1＝4 ，S＝ ×3×h2＝4 ， ∴h1＝ ，h2＝ ， ∴h1＋h2＝ ＝ ． 数学试卷 第页（共页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 19.3二次根式的加法与减法暑假巩固作业 详解详析 一、选择题 1.B 【解析】A.  2  ，则  与  不是同类二次根式，不符合题意；B.  ，则  与  是同类二次根式，符合题意；C.  2，  2  ，则  与  不是同类二次根式，不符合题意；D.  与  不是同类二次根式，不符合题意；故选：B． 2.D 【解析】 ． 3.A 【解析】A.  与  是同类二次根式，故选项A符合题意；B.  与  不是同类二次根式，故选项B不符合题意；C.  与  不是同类二次根式，故选项C不符合题意；D.  与  不是同类二次根式，故选项D不符合题意．故选：A． 4.D 【解析】∵  成立，∴  0，即m＜0，∴原式  ． 5.C 6.D 【解析】A．原式  ，所以A选项的计算正确；B．原式  ，所以B选项的计算正确；C．原式＝5  ，所以C选项的计算正确；D．原式＝3，所以D选项的计算错误．故选：D． 7.C 【解析】∵a＝5，b＝6，c＝7，∴p 9，∴ 6  ，设BC边上的高的长为h，∴s 6 ，∴h ． 8.A 【解析】 ，  ，∴  解得  ，  ， . 9.C 【解析】当风压为0.16 kN/m2时，v  16(m/s)． 10.D 【解析】深色圆的面积为  (cm2)，树墩截面面积为  (cm2)，所以树墩截面的半径r满足  ，  ，  (cm2). 二、填空题 11. 【解析】原式＝2 ．故答案为： ． 12. （答案不唯一） 【解析】 ，∵b是一个单项式，∴a可以是  ，即b  ，故答案为：  （答案不唯一）． 13. 【解析】∵最简二次根式  与  是同类二次根式，∴4﹣2m＝6，∴m＝﹣1． 14. 【解析】由题意得，5※16 ． 15. 【解析】由题意可得A 5 5 2 ，B 5  (10 )＝1，C 5  (5  )＝2，D 5 10 ，则(A＋B)×D＋C＝(2 1) 2＝10 2＝12 ． 三、解答题 16.解：（1）      ； （2）      ． 17.解：原式  ， 当  ，  时，原式  ． 18.解：∵x  ，y  ， ∴x  y  2  ， xy＝（  ）（  ）＝2  3＝−1， 则原式＝x2  2xy+y2+xy       ＝（x  y）2+xy       ＝（2  ）2−1       ＝12−1       ＝11． 19.解：由题意可知该肇事汽车的速度  km/h， 因为55.36km/h＜60km/h， 所以该肇事汽车没有超速． 20.解：（1）3； 【解法提示】由题意知h＝45m，所以t 3（s），故从45m高空抛物到落地时间为3s. （2）这个玩具产生的动能会对楼下的行人造成伤害，理由： 当t＝4s时，4 ， 所以16  0.2h， 所以h＝80（m）， 所以这个玩具产生的动能为10×0.1×80＝80（J）＞65J， 所以这个玩具产生的动能会对楼下的行人造成伤害． 21.解：(1)因为  ， 所以  ， 所以  的值为4； (2)因为  ，  ， 所以  ， ， ， 所以  ， 所以x的值为  . 22.解：因为大正方形的面积为800cm2， 所以大正方形的边长为  20  （cm）， 所以大正方形的周长为80  （cm）， 因为小正方形的面积为450cm2， 所以小正方形的边长为  15  （cm）， 所以小正方形的周长为60  （cm）， 所以大小两个正方形的周长之和为80  60  140  197.96cm， 因为现在有1.2m长的金彩带， 1.2m＝120cm， 所以197.96﹣120＝77.96≈78（cm）， 答：原有的彩带不够用，还需购买78cm的彩带． 23.解：（1）∵a＝3，b＝6，c＝7， ∴p＝ ＝ ＝8， ∴S＝ ＝ ＝4 ， ∴△ABC的面积为4 ； （2）由（1）知，△ABC的面积为4 ； ∴S＝ ×7×h1＝4 ，S＝ ×3×h2＝4 ， ∴h1＝ ，h2＝ ， ∴h1＋h2＝ ＝ ． 数学试卷 第页（共页） 学科网（北京）股份有限公司 $