19.3 二次根式的加法与减法 暑期巩固 2025—2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 聚焦二次根式加减运算，分层设计从概念辨析到综合应用，通过基础巩固、技能提升、实际应用三阶路径，培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|同类二次根式识别、简单加减运算|以选择填空为主，强化概念辨析与基本运算| |技能应用|混合运算、化简求值|解答题形式，提升符号运算与推理能力| |综合拓展|程序游戏、新定义、实际应用问题|情境化题型，发展应用意识与创新思维|

人教版（2024）八年级下册 19.3 二次根式的加法与减法 暑期巩固 同类二次根式 1、最简二次根式与2可以合并，则m的值是（　　） A.3    B.1    C.﹣1    D.4 2、下列二次根式化简后可以合并的一组是（　　） A.和    B.和      C.和    D.和 3、与最简二次根式是同类二次根式，则的平方根为          ． 4、如果与最简二次根式是同类二次根式，那么      ． 5、若最简二次根式与是同类二次根式，求a2016+b2016的值． 二次根式的加减 1、化简|﹣3|+|2﹣|的结果为（　　） A.2﹣1    B.1    C.5﹣2    D.5 2、计算：＝（　　） A.    B.    C.1    D.0 3、下列计算正确的是（　　） A.    B.    C.    D. 4、计算＝　　． 5、计算：． 二次根式的混合运算 1、学习小组设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算.规则是每人只能看到前一人传过来的式子.接力中，自己负责的式子出现错误的是 A.小明和小丽    B.小红和小亮 C.小明和小亮    D.小丽和小红 2、下列计算正确的是（　　） A.    B. C.    D. 3、下列各式计算正确的是（　　） A.    B.＝2    C.＝1    D.＝10 4、计算的结果为 　    　． 5、已知x=+1，则x2-2x+2=　　　　. 6、计算： (1)； (2)． 二次根式的混合运算与程序、游戏问题 1、按如图所示的运算程序计算，若输入数字，则输出的结果是（ ） A.7    B.      C.      D. 2、按图所示的程序计算，若输入，则输出的结果是（ ） A.9    B.7    C.5    D.3 3、如图是一个数值转换机，若输入a的值为，则输出的结果应为（ ） A.10    B.      C.    D.2 4、根据如图所示的程序，计算y的值，若输入x的值是时，则输出的y值等于        ． 5、（24-25八年级下·陕西渭南·期末）“接力游戏”由几位同学合作完成二次根式的运算．如图，老师把题目交给第一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是哪些同学，请你写出正确的运算过程． 二次根式的混合运算与运算符号问题 1、若式子的运算结果是有理数，那么“”中的运算符号可以是（ ） A.      B.      C.      D. 2、若要在的“”中填上一个运算符号，使其计算结果最小，则这个运算符号是（ ） A.      B.      C.      D. 3、从“，，，”中选择一种运算符号，填入算式“□”的“□”中，使其运算结果为有理数，则实数的值可能是      ．（填一个即可） 4、从－，，中任意选择两个数，分别填在算式 （□＋〇）2里面的“□”与“〇”中，计算该算式的结果是　            　．（只需写出一种结果） 二次根式的混合运算与新定义型问题 1、定义两种新运算“△”和“*”，a△b＝a2﹣ab，a*b＝3a﹣b2，则（△1）△（*）的值为（　　） A.8+12    B.8﹣12    C.12+8    D.12﹣8 2、对于任意的正数m，n，定义运算※：，计算的结果为（ ） A.      B.    C.4    D.32 3、对于任意不相等的两个数，定义一种运算“*”如下，如，计算：（ ） A.2    B.3    C.4    D.6 4、对于任意两个不相等的正实数a，b，定义一种新运算“”，即，如：，则      ． 5、阅读与思考 请你阅读下列材料，并完成相应的任务． 裂项法，是数学中求和的一种方法，是分解与组合思想在求和中的具体应用．具体方法是将求和中的每一项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．我们以往的学习中已经接触过分数裂项求和．例如：． 在学习完二次根式后我们又掌握了一种根式裂项．例如： ，． （1）模仿材料中的计算方法，化简：＝　     　． （2）观察上面的计算过程，直接写出式子＝　     　． （3）利用根式裂项求解： ． 6、对于三个数，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最大的数，如． (1)求的值； (2)求的值． 二次根式的混合运算与规律型问题 1、 =（ ） A.9    B.      C.      D. 2、观察下列等式： ①； ②； ③； … 化简：（ ）（n为正整数）． A.      B.      C.      D. 3、问题：判断下面各式是否成立． （1）；（2）；（3） 探究1：你判断完上面各题后，猜想＝　　． 探究2：归纳上面各式，得出一个猜想，用含n的式子表达：　　     （其中n≥1）． 4、阅读材料： 黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：（2+）（2﹣）＝1，（）（）＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样理解：如，．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． 解决问题： （1）4+的有理化因式可以是　    　，分母有理化得　     　． （2）计算： ①． ②已知：x＝，y＝，求x2+y2的值． 5、（教材改编）判断下列各式是否成立： =2；=3；=4. 类比上述式子，再写出向个同类型的式子.你能看出其中的规律吗？用字母表示这一规律，并给出证明. 已知字母的值，化简求值 1、当x=时，代数式x2+2x+2的值是（　　） A.19    B.20    C.21    D.22 2、当a＝，b＝时，代数式ab+的值是（　　） A.    B.    C.1    D.2 3、已知，则      ． 4、设 ， ，则        ；       ． 5、（1）计算： （2）已知，求的值． 6、先化简，再求值：a+，其中a=2 026. 下面是小亮和小悦的解答过程： (1)上述解答过程中，　　　　的解法是错误的； (2)先化简，再求值：b+2，其中b=-3. 已知条件式，化简求值 1、已知，则2x2+2x﹣5的值为（　　） A.0    B.﹣1    C.﹣2    D.﹣3 2、已知a2﹣12a+1＝0，当0＜a＜1时，则的值为（　　） A.    B.    C.    D. 3、如果(2-)2=a+b，其中a.b为有理数，那么a+b等于 　     　． 4、已知，，那么a2﹣b2＝　    　． 5、下面是一道例题及其解答过程的一部分． (1)若M是一个单项式，则这个单项式是________． (2)将该例题的解答过程补充完整，在下面的“=”后面继续写．并求当时，代数式的值． 6、阅读下面的文字后，回答问题： 甲.乙两人同时解答题目：“化简并求值：a+，其中a＝5．”甲.乙两人的解答不同； 甲的解答是： ； 乙的解答是： （1）　    　的解答是错误的． （2）错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质：＝   |a| ，当a＜0时，＝　 ． （3）模仿上题解答：化简并求值：|1-a|+，其中a＝2． 已知二次根式的整数部分与小数部分求值 1、设a为﹣的小数部分，b为﹣的小数部分．则﹣的值为（　　） A.+﹣1    B.﹣+1    C.﹣﹣1    D.++1 2、实数的整数部分是（ ） A.4    B.5    C.6    D.7 3、（1）的整数部分是 　 　，小数部分是 　   　． （2）如果的小数部分为的整数部分为b，求的值． （3）已知x是的小数部分，y是小数部分，求出x﹣y的值． 4、已知a，b分别是的整数部分和小数部分，则的值为 　　． 复合二次根式的化简求值 1、＝　     　． 2、化简：       ． 3、我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，例如，，那么，我们可以利用完全平方公式来解决下面的问题： 例1 求的算术平方根． 解：，所以的算术平方根是． 例2 求的算术平方根． 解：，所以的算术平方根是． 请根据上面的方法化简： (1)___________； (2)___________；（直接写出化简结果） (3)化简：． 4、数学老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题，以下是数学老师选出的两道题和她自己编写的一道题．先阅读，再回答问题． （1）小青编的题．观察下列等式： ；； 直接写出以下算式的结果：＝　　； （2）小明编的题，由二次根式的乘法可知： ，， 再根据平方根的定义可得，，， 直接写出以下算式的结果：＝　      　； （3）数学老师编的题，根据你的发现，完成以下计算： ． 分母有理化 1、下列各式中，是a+2的有理化因式的是（　　） A.2a+      B.2a-      C.a+2      D.a-2 2、下列各式，与的乘积为有理数的是（　　） A.    B.    C.    D. 3、二次根式的一个有理化因式是（ ） A.      B.      C.      D. 4、化简：＝　     　． 5、在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ， ， ， 还可以用以下方法化简： ， 以上这种化简的方法叫做分母有理化． （1）请化简＝　    　； （2）若a是的小数部分，求的值． 6、[材料阅读] 把分母中的根号化去，将分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化． 例如：化简． 解：． 上述化简的过程，就是进行分母有理化． [问题解决] （1）化简的结果为：　      　； （2）猜想：若n是正整数，则进行分母有理化的结果为：　   　； （3）若有理数a，b满足，求a，b的值． 比较二次根式的大小 1、已知，，，则，，的大小关系是（ ） A.      B.      C.      D. 2、数学老师给出了以下四个代数式：①，②，③，④，且告知．小兴发现：若重新排列顺序后，4个代数式就变成一列从小到大顺序变化的代数式，则下列排序正确的是（ ） A.①②③④    B.④②③①    C.①④③②    D.③②①④ 3、已知，，则x与y的大小关系为（　　） A.      B.      C.    D.无法比较 4、比较大小： （1）         8； （2）         ． 5、比较下列各组中两个数的大小： (1)和； (2)和； (3)和． 二次根式的应用 1、如图，从一个大正方形中裁去面积为27和48的两个小正方形，则剩下阴影部分的面积为（　　） A.36    B.    C.72    D. 2、如图，用四张一样大小的矩形纸片拼成一个正方形ABCD，正方形ABCD面积为32，AE=3，则图中空白部分的面积为（　　） A.5    B.6    C.7    D.8 3、一块长为7dm、宽为5dm的木板，采用如图的方式，要在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板，甲同学说：想要截出来的两个小正方形的边长均小于木板的长和宽，所以可以截出；乙同学说：想要截出来的两个小正方形的边长之和大于木板的长，所以不能截出．下面对于甲、乙两名同学说法判断正确的是（　　） A.甲同学说的对      B.乙同学说的对      C.甲、乙两名同学说的都对      D.无法判断 4、边长为a，b的长方形如图所示，若它的周长为，面积为，则a2b+ab2的值为 　 　． 5、(教材改编)已知正方形的面积为S，边长为a. （1）已知S＝50，求边长a； （2）已知S＝242，求边长a. 6、(教材改编)△ABC的面积为12，AB边上的高是AB边长的4倍.求AB的长. 人教版（2024）八年级下册 19.3 二次根式的加法与减法 暑期巩固（参考答案） 同类二次根式 1、最简二次根式与2可以合并，则m的值是（　　） A.3    B.1    C.﹣1    D.4 【答案】B 【解析】 解：由题意得：3m﹣1＝2， 解得：m＝1， 故选：B． 2、下列二次根式化简后可以合并的一组是（　　） A.和    B.和      C.和    D.和 【答案】D 【解析】 解：A．＝2，与不可以合并； B．和是最简根式，不可以合并； C．，，不可以合并； D．，与可以合并． 故选：D． 3、与最简二次根式是同类二次根式，则的平方根为          ． 【答案】 【解析】 解：， ∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得， ∴， ∴的平方根为． 故答案为： 4、如果与最简二次根式是同类二次根式，那么      ． 【答案】 【解析】 解：，与最简二次根式是同类二次根式， ∴，解得：． 故答案为：． 5、若最简二次根式与是同类二次根式，求a2016+b2016的值． 【答案】 解：∵与是同类二次根式 ∴， 解得：， 则a2016+b2016＝2． 二次根式的加减 1、化简|﹣3|+|2﹣|的结果为（　　） A.2﹣1    B.1    C.5﹣2    D.5 【答案】C 【解析】 解：原式＝3﹣+2﹣＝5﹣2， 故选：C． 2、计算：＝（　　） A.    B.    C.1    D.0 【答案】B 【解析】 解：﹣2＝﹣． 故选：B． 3、下列计算正确的是（　　） A.    B.    C.    D. 【答案】C 【解析】 解：+不能合并同类项，∴A计算不正确； ＝3，∴B不计算不正确； ﹣＝＝，∴C计算正确； ＝＝3，∴D计算不正确； 故选：C． 4、计算＝　　． 【答案】 【解析】 解： ＝2﹣ ＝． 故答案为：． 5、计算：． 【答案】 解：原式＝4﹣3+2+ ＝+2． 二次根式的混合运算 1、学习小组设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算.规则是每人只能看到前一人传过来的式子.接力中，自己负责的式子出现错误的是 A.小明和小丽    B.小红和小亮 C.小明和小亮    D.小丽和小红 【答案】D 【解析】根据二次根式的运算法则逐步进行判断如下： 由+=+可得，小丽出现错误； 由+=2+可得小红出现错误， 所以出现错误的是小丽和小红. 2、下列计算正确的是（　　） A.    B. C.    D. 【答案】B 【解析】 解：A.3与2不能合并，故A不符合题意； B.÷＝，故B符合题意； C.5×2＝30，故C不符合题意； D.4﹣3＝，故D不符合题意； 故选：B． 3、下列各式计算正确的是（　　） A.    B.＝2    C.＝1    D.＝10 【答案】D 【解析】 解：A． 与不能合并，所以A选项不符合题意； B．原式＝，所以B选项不符合题意； C．原式＝，所以C选项不符合题意； D．原式＝2×5＝10，所以D项符合题意． 故选：D． 4、计算的结果为 　    　． 【答案】 7 【解析】 解： ＝ ＝ ＝7， 故答案为：7． 5、已知x=+1，则x2-2x+2=　　　　. 【答案】14 【解析】∵x=+1， ∴x-1=， ∴x2-2x+2 =(x-1)2+1 =()2+1 =13+1 =14. 6、计算： (1)； (2)． 【答案】 （1）解： ； （2）解： ． 二次根式的混合运算与程序、游戏问题 1、按如图所示的运算程序计算，若输入数字，则输出的结果是（ ） A.7    B.      C.      D. 【答案】C 【解析】 解：由题意得： 若输入数字，则， ∵， ∴， 故选：C． 2、按图所示的程序计算，若输入，则输出的结果是（ ） A.9    B.7    C.5    D.3 【答案】B 【解析】 解：，， ， 把代入，得， 故选：B． 3、如图是一个数值转换机，若输入a的值为，则输出的结果应为（ ） A.10    B.      C.    D.2 【答案】A 【解析】 解：当时， ． 故选：A． 4、根据如图所示的程序，计算y的值，若输入x的值是时，则输出的y值等于        ． 【答案】 【解析】 解：当时，， ． 故答案为：． 5、（24-25八年级下·陕西渭南·期末）“接力游戏”由几位同学合作完成二次根式的运算．如图，老师把题目交给第一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是哪些同学，请你写出正确的运算过程． 【答案】 解：乙，丁 出现了错误，理由如下： ． 故乙，丁 出现了错误． 二次根式的混合运算与运算符号问题 1、若式子的运算结果是有理数，那么“”中的运算符号可以是（ ） A.      B.      C.      D. 【答案】B 【解析】 解：A、，是无理数，不符合题意； B、，1是有理数，符合题意； C、，是无理数，不符合题意； D、，是无理数，不符合题意； 故选：B． 2、若要在的“”中填上一个运算符号，使其计算结果最小，则这个运算符号是（ ） A.      B.      C.      D. 【答案】B 【解析】 解：， ， 应该填：， 故选：． 3、从“，，，”中选择一种运算符号，填入算式“□”的“□”中，使其运算结果为有理数，则实数的值可能是      ．（填一个即可） 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 解：∵是无理数， ∴要使运算结果为有理数，则“口”中的运算符号可以为“” 当时， , 故答案为：． 4、从－，，中任意选择两个数，分别填在算式 （□＋〇）2里面的“□”与“〇”中，计算该算式的结果是　            　．（只需写出一种结果） 【答案】 －2（答案不唯一） 【解析】 解：若“□”是﹣，“〇”是，则＝（5－2）＝－2； 若“□”是﹣，“〇”是，则 ）2＝（8－2）＝4－2； 若“□”是，“〇”是，则 （）2＝（9＋2）＝＋6． 故答案为：－2（答案不唯一）． 二次根式的混合运算与新定义型问题 1、定义两种新运算“△”和“*”，a△b＝a2﹣ab，a*b＝3a﹣b2，则（△1）△（*）的值为（　　） A.8+12    B.8﹣12    C.12+8    D.12﹣8 【答案】D 【解析】 解：∵a△b＝a2﹣ab，a*b＝3a﹣b2， ∴（△1）△（*） ＝（2﹣）△（﹣2） ＝（2﹣）2﹣（2﹣）（﹣2） ＝6﹣4﹣（﹣6+4） ＝12﹣8． 故选：D． 2、对于任意的正数m，n，定义运算※：，计算的结果为（ ） A.      B.    C.4    D.32 【答案】C 【解析】 解：由题意得： ， 故选：C． 3、对于任意不相等的两个数，定义一种运算“*”如下，如，计算：（ ） A.2    B.3    C.4    D.6 【答案】A 【解析】 解：由题意得：， 故选：A． 4、对于任意两个不相等的正实数a，b，定义一种新运算“”，即，如：，则      ． 【答案】 【解析】 解：∵， ∴， 故答案为：． 5、阅读与思考 请你阅读下列材料，并完成相应的任务． 裂项法，是数学中求和的一种方法，是分解与组合思想在求和中的具体应用．具体方法是将求和中的每一项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．我们以往的学习中已经接触过分数裂项求和．例如：． 在学习完二次根式后我们又掌握了一种根式裂项．例如： ，． （1）模仿材料中的计算方法，化简：＝　     　． （2）观察上面的计算过程，直接写出式子＝　     　． （3）利用根式裂项求解： ． 【答案】 解：（1）； 故答案为：． （2）原式＝ ＝； 故答案为：． （3）原式＝ ＝ ＝2022． 故答案为：2022． 6、对于三个数，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最大的数，如． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】 解：（1）， 又， ， ； （2）， ． 二次根式的混合运算与规律型问题 1、 =（ ） A.9    B.      C.      D. 【答案】C 【解析】 解：原式 故选：C． 2、观察下列等式： ①； ②； ③； … 化简：（ ）（n为正整数）． A.      B.      C.      D. 【答案】D 【解析】 解：． 故选：D． 3、问题：判断下面各式是否成立． （1）；（2）；（3） 探究1：你判断完上面各题后，猜想＝　　． 探究2：归纳上面各式，得出一个猜想，用含n的式子表达：　　     （其中n≥1）． 【答案】 解：三个式子都成立， （1）； （2）； （3）； 探究1：猜想； 探究2： 证明：＝ 4、阅读材料： 黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：（2+）（2﹣）＝1，（）（）＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样理解：如，．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． 解决问题： （1）4+的有理化因式可以是　    　，分母有理化得　     　． （2）计算： ①． ②已知：x＝，y＝，求x2+y2的值． 【答案】 解：（1）4+的有理化因式可以是4﹣，分母有理化得：； 故答案为：4﹣； （2）①原式＝﹣1+﹣+…+﹣＝﹣1＝20﹣1； ②∵x＝＝2﹣，y＝＝2+， ∴x2+y2＝7﹣4+7+4＝14． 5、（教材改编）判断下列各式是否成立： =2；=3；=4. 类比上述式子，再写出向个同类型的式子.你能看出其中的规律吗？用字母表示这一规律，并给出证明. 【答案】 解： =5，=6，=7. =n. 证明：左边= = = = =n 右边=n. ∴左边=右边 所以=n成立． 已知字母的值，化简求值 1、当x=时，代数式x2+2x+2的值是（　　） A.19    B.20    C.21    D.22 【答案】B 【解析】 解：当x=时， x2+2x+2 ＝（x+1）2+1 ＝ ＝ ＝20． 故选：B． 2、当a＝，b＝时，代数式ab+的值是（　　） A.    B.    C.1    D.2 【答案】D 【解析】 解：∵a＝，b＝， ∴ab+＝×+ ＝+ ＝2． 故选：D. 3、已知，则      ． 【答案】 2029 【解析】 解：∵， ∴． ∴， ∴． ∴． ∴． 故答案为：2029． 4、设 ， ，则        ；       ． 【答案】 15 【解析】 解：， ， ； ， ， ， ． 故答案为： ；15． 5、（1）计算： （2）已知，求的值． 【答案】 解：（1）原式 ； （2）， ∵， ∴， ∴ ， 则原式． 6、先化简，再求值：a+，其中a=2 026. 下面是小亮和小悦的解答过程： (1)上述解答过程中，　　　　的解法是错误的； (2)先化简，再求值：b+2，其中b=-3. 【答案】解　(1)a+=a+， 化简时要分情况， 当2<a时，=a-2； 当2≥a时，=2-a， ∴当a=2 026>2时， 原式=a+=a+a-2=2a-2， ∴小亮的解答错误. (2)b+2 =b+2 =b+2|b-5|， ∵b=-3， ∴b-5<0， ∴原式=b+2(5-b)=10-b=10-(-3)=13. 已知条件式，化简求值 1、已知，则2x2+2x﹣5的值为（　　） A.0    B.﹣1    C.﹣2    D.﹣3 【答案】D 【解析】 解：∵2x+1＝， ∴（2x+1）2＝5， 即4x2+4x+1＝5， ∴x2+x＝1， ∴2x2+2x﹣5＝2（x2+x）﹣5＝2×1﹣5＝﹣3． 故选：D． 2、已知a2﹣12a+1＝0，当0＜a＜1时，则的值为（　　） A.    B.    C.    D. 【答案】B 【解析】 解：∵a2﹣12a+1＝0， ∴a﹣12+＝0， ∴a+＝12， （）2 ＝a﹣2+ ＝12﹣2 ＝10， ∴＝±， ∵0＜a＜1， ∴＝﹣． 故选：B． 3、如果(2-)2=a+b，其中a.b为有理数，那么a+b等于 　     　． 【答案】 3 【解析】 解：∵，(2-)2=a+b， ∴a＝7，b＝﹣4， ∴a+b＝7+（﹣4）＝3， 故答案为：3． 4、已知，，那么a2﹣b2＝　    　． 【答案】 ． 【解析】 解：∵，， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝×＝． 故答案为：． 5、下面是一道例题及其解答过程的一部分． (1)若M是一个单项式，则这个单项式是________． (2)将该例题的解答过程补充完整，在下面的“=”后面继续写．并求当时，代数式的值． 【答案】 （1）解：， ∵，M是一个单项式， ∴， 故答案为：． （2）解：原式 当时， ， 原式． 6、阅读下面的文字后，回答问题： 甲.乙两人同时解答题目：“化简并求值：a+，其中a＝5．”甲.乙两人的解答不同； 甲的解答是： ； 乙的解答是： （1）　    　的解答是错误的． （2）错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质：＝   |a| ，当a＜0时，＝　 ． （3）模仿上题解答：化简并求值：|1-a|+，其中a＝2． 【答案】 解：（1）当a＝5时，甲没有判断1﹣3a的符号，错误的是：甲； （2）＝|a|，当a＜0时，＝﹣a． （3）|1﹣a|+＝|1﹣a|+． ∵a＝2， ∴1﹣a＜0，1﹣4a＜0， ∴原式＝a﹣1+4a﹣1＝5a﹣2＝8． 已知二次根式的整数部分与小数部分求值 1、设a为﹣的小数部分，b为﹣的小数部分．则﹣的值为（　　） A.+﹣1    B.﹣+1    C.﹣﹣1    D.++1 【答案】B 【解析】 解：∵﹣ ＝﹣ ＝﹣ ＝ ＝＝， ∴a的小数部分＝﹣1； ∵﹣ ＝ ＝﹣ ＝ ＝， ∴b的小数部分＝﹣2， ∴﹣＝ ＝ ＝ ＝． 故选：B． 2、实数的整数部分是（ ） A.4    B.5    C.6    D.7 【答案】B 【解析】 解： ∵ ∴ 则 ∴实数的整数部分是5， 故选：B． 3、（1）的整数部分是 　 　，小数部分是 　   　． （2）如果的小数部分为的整数部分为b，求的值． （3）已知x是的小数部分，y是小数部分，求出x﹣y的值． 【答案】 解：（1） ∵25<29<36 ∴， ∴， ∴的整数部分为5，小数部分为， 故答案为：5；； （2）∵，， ∴， ∴，b＝6， ∴； （3）∵， ∴，， ∵x是的小数部分，y是小数部分， ∴，， ∴ ＝ ＝． 4、已知a，b分别是的整数部分和小数部分，则的值为 　　． 【答案】 ． 【解析】 解： ∵1<2<4 ∴， ∴， ， ， ∴的整数部分a＝1，小数部分， ∴ ＝ ＝ ＝ ＝， 故答案为：． 复合二次根式的化简求值 1、＝　     　． 【答案】 －3 【解析】 解：∵3－＜0， ∴＝|3－|＝－3. 故答案为：－3． 2、化简：       ． 【答案】 【解析】 解： ， 故答案为：． 3、我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，例如，，那么，我们可以利用完全平方公式来解决下面的问题： 例1 求的算术平方根． 解：，所以的算术平方根是． 例2 求的算术平方根． 解：，所以的算术平方根是． 请根据上面的方法化简： (1)___________； (2)___________；（直接写出化简结果） (3)化简：． 【答案】 （1）解：依题意，， 即； （2）解：依题意，， ∴； （3）解：依题意，， ∴； 依题意，， 则 ． 4、数学老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题，以下是数学老师选出的两道题和她自己编写的一道题．先阅读，再回答问题． （1）小青编的题．观察下列等式： ；； 直接写出以下算式的结果：＝　　； （2）小明编的题，由二次根式的乘法可知： ，， 再根据平方根的定义可得，，， 直接写出以下算式的结果：＝　      　； （3）数学老师编的题，根据你的发现，完成以下计算： ． 【答案】 解：（1）， 故答案为：． （2）， 故答案为：． （3） ＝ ＝（﹣1）（﹣1） ＝10． 分母有理化 1、下列各式中，是a+2的有理化因式的是（　　） A.2a+      B.2a-      C.a+2      D.a-2 【答案】D 【解析】 解：a+2的有理化因式是a﹣2． 故选：D． 2、下列各式，与的乘积为有理数的是（　　） A.    B.    C.    D. 【答案】C 【解析】 解：A．×＝2，故此选项不合题意； B．×＝3，故此选项不合题意； C．×＝4，故此选项符合题意； D．×＝8，故此选项不合题意． 故选：C． 3、二次根式的一个有理化因式是（ ） A.      B.      C.      D. 【答案】C 【解析】 解：有理化因式的定义是：两个含有根式的代数式相乘，若积不含根式，则这两个代数式互为有理化因式． A、，仍含根式，此选项不符合题意； B、，积仍含根式，此选项不符合题意； C、，积为有理式，此选项符合题意； D、，积仍含根式，此选项不符合题意． 故选：C． 4、化简：＝　     　． 【答案】 ﹣1 【解析】 解：原式＝＝＝﹣1． 故答案为：﹣1． 5、在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ， ， ， 还可以用以下方法化简： ， 以上这种化简的方法叫做分母有理化． （1）请化简＝　    　； （2）若a是的小数部分，求的值． 【答案】 解：（1）＝． （2）∵，a是的小数部分， ∴a＝－1， ∴＝＝3＋3． 6、[材料阅读] 把分母中的根号化去，将分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化． 例如：化简． 解：． 上述化简的过程，就是进行分母有理化． [问题解决] （1）化简的结果为：　      　； （2）猜想：若n是正整数，则进行分母有理化的结果为：　   　； （3）若有理数a，b满足，求a，b的值． 【答案】 解：（1）＝＝＝2+， 故答案为：2+； （2）＝＝＝﹣， 故答案为：﹣； （3）化简得，＝（a+b）﹣（b﹣a）， ∵＝2﹣1， ∴， 得． 比较二次根式的大小 1、已知，，，则，，的大小关系是（ ） A.      B.      C.      D. 【答案】A 【解析】 解： ，，， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 2、数学老师给出了以下四个代数式：①，②，③，④，且告知．小兴发现：若重新排列顺序后，4个代数式就变成一列从小到大顺序变化的代数式，则下列排序正确的是（ ） A.①②③④    B.④②③①    C.①④③②    D.③②①④ 【答案】B 【解析】 解：，，， ∵ ， ∴， 即， ∴， ∴代数式从小到大顺序为④②③①， 故选：． 3、已知，，则x与y的大小关系为（　　） A.      B.      C.    D.无法比较 【答案】C 【解析】 解：∵，， ∴、， ∵， ∴． 故选C 4、比较大小： （1）         8； （2）         ． 【答案】 ； 【解析】 解：（1）， ， ∴，∴，故答案为：； （2）， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5、比较下列各组中两个数的大小： (1)和； (2)和； (3)和． 【答案】 （1）解：∵，且， ∴， 即； （2）解：∵和分母相同，分子， ∴； （3）解：∵，，， ∴， ∴． 二次根式的应用 1、如图，从一个大正方形中裁去面积为27和48的两个小正方形，则剩下阴影部分的面积为（　　） A.36    B.    C.72    D. 【答案】C 【解析】 解：∵两个小正方形面积分别为27和48， ∴两个小正方形的边长分别为＝3和＝4， ∴大正方形的边长为：3+4＝7， ∴S阴影＝（7）2﹣27﹣48＝72． 故选：C． 2、如图，用四张一样大小的矩形纸片拼成一个正方形ABCD，正方形ABCD面积为32，AE=3，则图中空白部分的面积为（　　） A.5    B.6    C.7    D.8 【答案】D 【解析】 解：∵正方形ABCD面积为32， ∴AB＝＝， ∴BE＝AB﹣AE＝＝， 观察可知，空白部分小正方形的边长为＝， ∴空白部分的面积为＝8． 故选：D． 3、一块长为7dm、宽为5dm的木板，采用如图的方式，要在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板，甲同学说：想要截出来的两个小正方形的边长均小于木板的长和宽，所以可以截出；乙同学说：想要截出来的两个小正方形的边长之和大于木板的长，所以不能截出．下面对于甲、乙两名同学说法判断正确的是（　　） A.甲同学说的对      B.乙同学说的对      C.甲、乙两名同学说的都对      D.无法判断 【答案】B 【解析】 解：+＝5（dm），∵5＝＞7， ∴乙同学说法想要截出来的两个小正方形的边长之和大于木板的长，所以不能截出正确． 故选：B． 4、边长为a，b的长方形如图所示，若它的周长为，面积为，则a2b+ab2的值为 　 　． 【答案】 5 【解析】 解：∵边长为a，b的长方形周长为，面积为， ∴ab＝，a+b＝， ∴a2b+ab2 ＝ab（a+b） ＝× ＝5， 故答案为：5． 5、(教材改编)已知正方形的面积为S，边长为a. （1）已知S＝50，求边长a； （2）已知S＝242，求边长a. 【答案】 解： （1）因为S＝a2，所以a(取正值)＝＝＝＝5. （2）因为S＝a2，所以a(取正值)＝＝＝＝11. 6、(教材改编)△ABC的面积为12，AB边上的高是AB边长的4倍.求AB的长. 【答案】 解：设AB＝x,则AB边上的高是4x, 根据题意得 ×x×4x＝12， 解得x＝或﹣（不符合题意，舍去）， 即AB的长为． 学科网（北京）股份有限公司 $