精品解析：重庆市云阳县盛堡初级中学2026年春季期末考试 八年级数学试题

2026年春季期末考试 八年级数学试题 考试时间120分钟，满分150分． 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 要使代数式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 一次函数的图象可能是下面的（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组数据中，能构成直角三角形边长的是（ ） A. 2，3，4 B. ，， C. ，， D. 13，14，15 5. 某农业小组为研究不同营养液对草莓生长的影响，选取四组（甲、乙、丙、丁）生长状况一致的草莓苗，每组15株，分别用清水、营养液A，B，C培养，一段时间后得到如下统计结果： 组别 甲 乙 丙 丁 营养液类型 清水 营养液A 营养液B 营养液C 平均每株结果数/颗 5 8 8 6 方差 如果要选择能使草莓结果数量多、长势稳定的营养液作为推荐方案，应选（ ） A. 清水 B. 营养液A C. 营养液B D. 营养液C 6. 估计的值应在（ ） A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间 7. 如图，在中，于点，若，则为（ ） A. B. C. D. 8. 如图1，小亮家、报亭、羽毛球馆在一条直线上，小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家．小亮离家距离y与时间x之间的关系如图2所示，给出以下结论：其中正确的个数是（ ） ①小亮从家到羽毛球馆用了7分钟；②小亮打羽毛球的时间是30分钟； ③羽毛球馆与报亭的距离是400米；④小亮从报亭返家的速度是4千米/时． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图，正方形中，点是边上的一点，点在边的延长线上，且，连接，交边于点．点为的中点，连接并延长交于点．若时，则的长度为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式M：，其中，，，…，为自然数，n，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的单项式M的乘积为； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的整式M共有14个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 计算____________． 12. 已知点在一次函数（k为常数且）的图象上，则：______．（填“”“”或“”） 13. 已知，，则式子的值为_________． 14. 如图，直线与相交于点，已知点的横坐标为，则关于的不等式的解集为_____． 15. 将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式对折，使点C落在上的点处，折痕为，点D落在点处，交于点E．若，，，则________． 16. 对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”，如：四位数7311，∵，，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为_____；一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，，若能被11整除，则满足条件的M的最大值为_____． 三、解答题（本大题9个小题，17、18题每个小题8分，其余每个小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1） （2） 18. 如图，四边形是平行四边形． （1）尺规作图：作线段，且点E在边上，作的平分线交延长线于点F，连接（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程）证明： 四边形是平行四边形 ∴___________ 平分 ∴___________ ∴___________ 又， ∴四边形是平行四边形 又， ∴四边形是菱形（___________） 19. 有关人员开展了，两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取份，并对数据(百分制)进行整理、描述和分析(成绩均不低于分，用表示，共分三组：．，．，．)，下面给出了部分信息： 抽取的对款评分数据是：，，，，，，，，，． 抽取的对款评分数据在组中的数据是：，，，． 抽取的对和的评分统计表 类型 平均数 中位数 众数 抽取的的评分扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据，你认为和哪款聊天机器人更受欢迎？请说明理由(写出一条理由即可)； （3）该区选取人参与款聊天机器人进行评分，选取人参与款聊天机器人进行打分，请通过计算，估计此次测验中对聊天机器人“非常喜欢”的共有多少人？ 20. 如图，在中，，为边上一点，连接，为中点，过点作交的延长线于，连接交于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求四边形的面积． 21. 随着人工智能的快速发展，同学们上网自主学习及交流已成为一种趋势．现有某教学网站策划了、两种自主上网学习的月收费方式： 收费方式 月使用费 包时上网时间 超时费/（元） 7 25 0.5 0.6 设每月上网学习时间为小时，方案、的收费金额分别为，． （1）如图是与之间函数关系的图象，请根据图象填空：__________；__________； （2）求出与之间的函数关系式． （3）已知某同学每月平均上网时间为60小时，选择哪种方式上网学习合算？请说明理由． 22. 综合与实践：某小区临街的拐角处有一块绿化地，形状如图阴影部分所示．小区管理人员测量绿化地的尺寸得出：．经过一段时间后发现当时建设绿化地时没有考虑灌溉问题，从水源点处提水灌溉绿化地太辛苦，于是想在两处设计浇灌点．小区管理人员请的管道设计师提供了如下两个设计方案：方案一：从水源点处直接铺设管道分别到浇灌点处；方案二：过点作的垂线，垂足为，先从水源点处铺设管道到点处，再从H处分别向浇灌点铺设管道． （1）小区管理人员利用卷尺测量了的长为，便判断出绿化地拐角处为直角（），为什么？ （2）在（）的条件下，若绿化地建造每平方米的费用为元，求当时建造绿化地的费用； （3）经测量．已知管道铺设费用为每米元，请你计算两种方案的费用，帮助社区管理人员选择比较省钱的管道铺设方案． 23. 如图1，菱形中，，，对角线与交于点，点是对角线上一点（不与、重合），过点作，交于点．用表示线段的长度，点与点之间的距离为． （1）直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在图2的平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出函数的一条性质； （3）若直线与（2）中的函数图象有两个交点，直接写出的取值范围． 24. 如图1，已知直线l：交x，y轴于点 ， 两点，正比例函数的图象与直线 交于点． （1）求直线的解析式和点C的坐标； （2）y轴负半轴上有一动点E，连接．点F是x轴上有一动点，当时，求的最小值； （3）如图2，将直线l向下平移7个单位长度，平移后的直线与y轴交于点G，与直线交于点M，点P在x轴上．当时，请直接写出点P的坐标． 25. 已知，在中，，，为射线上一点，连接交于点． （1）如图，若点与点重合，且，求的长； （2）如图，当点在边上时，过点作于，延长交于，连接．试探究的关系； （3）如图，当点在射线上运动时，过点作于，为的中点，点在边上且，已知，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季期末考试 八年级数学试题 考试时间120分钟，满分150分． 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义：①被开方数不含能开方的因数或因式；②被开方数的因数是整数，因式是整式，且分母不含根号，逐一验证选项即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 2. 要使代数式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得， 故选：A． 3. 一次函数的图象可能是下面的（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据一次函数图象的性质解题即可． 【详解】解：一次函数，， ∴随着的增大而减小， 当时，，图象经过， ∴选项A符合题意．   故选：A． 4. 下列各组数据中，能构成直角三角形边长的是（ ） A. 2，3，4 B. ，， C. ，， D. 13，14，15 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理逐项分析即可得解，熟练掌握勾股定理逆定理是解此题的关键． 【详解】解：A、，故2，3，4不能构成直角三角形，不符合题意； B、，故，，不能构成直角三角形，不符合题意； C、，故，，能构成直角三角形，符合题意； D、，故13，14，15不能构成直角三角形，不符合题意； 故选：C． 5. 某农业小组为研究不同营养液对草莓生长的影响，选取四组（甲、乙、丙、丁）生长状况一致的草莓苗，每组15株，分别用清水、营养液A，B，C培养，一段时间后得到如下统计结果： 组别 甲 乙 丙 丁 营养液类型 清水 营养液A 营养液B 营养液C 平均每株结果数/颗 5 8 8 6 方差 如果要选择能使草莓结果数量多、长势稳定的营养液作为推荐方案，应选（ ） A. 清水 B. 营养液A C. 营养液B D. 营养液C 【答案】B 【解析】 【分析】本题需要选出满足两个条件的营养液，平均结果数多代表草莓结果数量多，方差越小代表数据波动越小，长势越稳定，据此比较各组数据即可得到结果． 【详解】解：根据题意，平均每株结果数中，营养液A和营养液B的平均结果数都是，大于清水的和营养液C的， 则排除A、D选项， 由于营养液A的方差小于营养液B的方差，方差越小长势越稳定， 则营养液A同时满足结果数量多、长势稳定的要求． 6. 估计的值应在（ ） A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间 【答案】B 【解析】 【分析】先将化简为，然后估算即可． 【详解】解： ， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴在6和7之间． 7. 如图，在中，于点，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，进而求出，再由垂直的定义得到，则． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 8. 如图1，小亮家、报亭、羽毛球馆在一条直线上，小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家．小亮离家距离y与时间x之间的关系如图2所示，给出以下结论：其中正确的个数是（ ） ①小亮从家到羽毛球馆用了7分钟；②小亮打羽毛球的时间是30分钟； ③羽毛球馆与报亭的距离是400米；④小亮从报亭返家的速度是4千米/时． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：从函数图象可得出，小亮从家到羽毛球馆用了7分钟，故①正确， 羽毛球馆与报亭的距离（千米）， 千米米， 即羽毛球馆与报亭的距离是600米，故③错误， 小亮打羽毛球的时间是（分钟），故②正确； 小亮从报亭返家的速度是（千米/时），故④正确； 综上，①②④正确，共3个． 9. 如图，正方形中，点是边上的一点，点在边的延长线上，且，连接，交边于点．点为的中点，连接并延长交于点．若时，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 连接，，，先证明，得到直线是线段的垂直平分线，设，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：连接，，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 设， ∵，， ∴，，， 在中，根据勾股定理，得， 解得， ∴，，，，， ∴， 故选：A． 10. 已知整式M：，其中，，，…，为自然数，n，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的单项式M的乘积为； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的整式M共有14个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意逐项分析，进行分类讨论，即可求解． 【详解】解：①若是单项式，则所有非最高次项系数为，条件简化为， 所有满足条件的单项式为：， 乘积为，故①正确； ②当时，，， 所有满足条件的为：， 求和得：，故②正确； ③按分类计算整式总数：时，，，共4个不同整式； 时，，，共6个不同整式； 时，，，共4个不同整式； 时，，，共1个不同整式； 总数为，故③错误； 综上，正确的说法有2个． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 计算____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质解题即可． 【详解】解：． 12. 已知点在一次函数（k为常数且）的图象上，则：______．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数图象的增减性，结合两点横坐标的大小关系，即可比较纵坐标的大小. 【详解】解：一次函数解析式为，， ， 随的增大而增大， 点在该函数图象上，且， ． 13. 已知，，则式子的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先将所求代数式利用完全平方公式变形为 ，再分别计算与的值，代入变形后的式子计算即可得到结果． 【详解】解： 已知，， ∴ ， ∴． 14. 如图，直线与相交于点，已知点的横坐标为，则关于的不等式的解集为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用交点的横坐标，数形结合思想求解即可； 【详解】解：因为直线与相交于点， 且点的横坐标为， 故关于的不等式的解集为； 15. 将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式对折，使点C落在上的点处，折痕为，点D落在点处，交于点E．若，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，先根据勾股定理求出，然后证明，得到，，即可得到，，然后在中，利用解题即可． 【详解】解：在中，， 由折叠可得，， 又∵是矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得：， 故答案为． 16. 对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”，如：四位数7311，∵，，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为_____；一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，，若能被11整除，则满足条件的M的最大值为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了整式加减的应用，理解“天真数”的定义是解题关键．只需千位数字和百位数字尽可能的小即可得最小的“天真数”；先求出，再根据当最大时，则，然后根据能被11整除可得的值，由此即可得出答案． 【详解】解：由题意，只需千位数字和百位数字尽可能的小， ∵，， ∴最小的“天真数”为． 由题意可知，，，且都为整数， ， ， ， ， ， 若最大，则， ， 又能被11整除，， ， ，， 则满足条件的的最大值为， 故答案为：6200，． 三、解答题（本大题9个小题，17、18题每个小题8分，其余每个小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，四边形是平行四边形． （1）尺规作图：作线段，且点E在边上，作的平分线交延长线于点F，连接（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程）证明： 四边形是平行四边形 ∴___________ 平分 ∴___________ ∴___________ 又， ∴四边形是平行四边形 又， ∴四边形是菱形（___________） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据截取线段和作角平分线的作图步骤画图即可； （2）根据题干中的证明思路，结合平行四边形的性质和判定、菱形的判定解答即可． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 证明：四边形是平行四边形 ∴ 平分 ∴ ∴ 又， ∴四边形是平行四边形 又， ∴四边形是菱形（一组邻补相等的平行四边形是菱形）． 19. 有关人员开展了，两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取份，并对数据(百分制)进行整理、描述和分析(成绩均不低于分，用表示，共分三组：．，．，．)，下面给出了部分信息： 抽取的对款评分数据是：，，，，，，，，，． 抽取的对款评分数据在组中的数据是：，，，． 抽取的对和的评分统计表 类型 平均数 中位数 众数 抽取的的评分扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据，你认为和哪款聊天机器人更受欢迎？请说明理由(写出一条理由即可)； （3）该区选取人参与款聊天机器人进行评分，选取人参与款聊天机器人进行打分，请通过计算，估计此次测验中对聊天机器人“非常喜欢”的共有多少人？ 【答案】（1），， （2）更受欢迎，理由见解析 （3）人 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数、众数，样本估计总体，从统计图上获得所需信息是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）根据平均数、中位数的意义求解即可； （3）分别用两款及其人数的总人数乘样本中非常喜欢人数所占比例，再求和即可． 【小问1详解】 解：中组数据个数为%个，而组数据的个数为， 所以这组数据的中位数为 组数据的个数为个， 则，即， 评分的众数分， 故答案为：，，； 【小问2详解】 机器人更受欢迎， 由表知，两款机器人评分的平均数相等，而评分的中位数大于， 所以评分的高分人数多于， 所以更受欢迎； 【小问3详解】 (人)， 答：估计此次测验中对聊天机器人“非常喜欢”的共有人． 20. 如图，在中，，为边上一点，连接，为中点，过点作交的延长线于，连接交于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据“”证明，得出，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证明结论； （2）过点作于点，根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，求出，根据勾股定理求出，同理求出，根据平行四边形的面积公式，即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：过点作于点， ∵，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 21. 随着人工智能的快速发展，同学们上网自主学习及交流已成为一种趋势．现有某教学网站策划了、两种自主上网学习的月收费方式： 收费方式 月使用费 包时上网时间 超时费/（元） 7 25 0.5 0.6 设每月上网学习时间为小时，方案、的收费金额分别为，． （1）如图是与之间函数关系的图象，请根据图象填空：__________；__________； （2）求出与之间的函数关系式． （3）已知某同学每月平均上网时间为60小时，选择哪种方式上网学习合算？请说明理由． 【答案】（1）10，50 （2） （3） 如果每月上网时间为60小时，选择B方式上网学习合算，理由如下： 由图象可得， 依题意，当时，（元）， （元）， ∵， ∴如果每月上网时间60小时，选择B方式上网学习合算． 【解析】 【分析】（1）观察函数图象，即可作答； （2）根据表格的信息分情况列式，即可作答； （3）分别算出当每月上网时间60小时的时候，方案A，B的收费金额，再进行比较，即可作答． 【小问1详解】 解：由函数图象可知，，； 【小问2详解】 解：由表格可得，当时，；当时，； ∴与之间的函数关系式为； 【小问3详解】 略 22. 综合与实践：某小区临街的拐角处有一块绿化地，形状如图阴影部分所示．小区管理人员测量绿化地的尺寸得出：．经过一段时间后发现当时建设绿化地时没有考虑灌溉问题，从水源点处提水灌溉绿化地太辛苦，于是想在两处设计浇灌点．小区管理人员请的管道设计师提供了如下两个设计方案：方案一：从水源点处直接铺设管道分别到浇灌点处；方案二：过点作的垂线，垂足为，先从水源点处铺设管道到点处，再从H处分别向浇灌点铺设管道． （1）小区管理人员利用卷尺测量了的长为，便判断出绿化地拐角处为直角（），为什么？ （2）在（）的条件下，若绿化地建造每平方米的费用为元，求当时建造绿化地的费用； （3）经测量．已知管道铺设费用为每米元，请你计算两种方案的费用，帮助社区管理人员选择比较省钱的管道铺设方案． 【答案】（1） 解：∵， 又∵， ∴， ∴． （2）元 （3） 解：方案一：， （元）， 方案二：设，则， ∴， 解得， ∴， ∴费用为（元）， ， ∴选择方案二． 【解析】 【分析】（）先算并与比较，依据勾股定理逆定理证为直角三角形，得； （）先用勾股定理逆定理证为直角三角形，再把阴影面积拆为与的面积和计算，最后乘单位造价得总费用； （）方案一直接算边长和求费用；方案二设未知数，借勾股定理求线段长，算得费用后对比，选择费用更低的方案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴费用为（元）． 【小问3详解】 略 23. 如图1，菱形中，，，对角线与交于点，点是对角线上一点（不与、重合），过点作，交于点．用表示线段的长度，点与点之间的距离为． （1）直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在图2的平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出函数的一条性质； （3）若直线与（2）中的函数图象有两个交点，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得到、、，进而求出的度数，根据含角的直角三角形的性质得到，设、，则，在中，得到，进而得到，利用勾股定理求出长，再次利用勾股定理得到关于的表达式，利用，结合二次根式的非负性求出变量的取值范围； （2）根据（1）所得函数关系式，利用描点法画出函数的图象，再写出该函数的性质即可； （3）结合函数图象，找出临界点，当直线的图象在直线和之间时，与函数有两个交点，据此求解即可． 【小问1详解】 解：四边形是菱形， 、、、， ， 在中，， ， ， ， ， ， 设、，则， 在中，， ， ， ， 由勾股定理得：， ， ， ， ， 当时，， 当时，， ； 【小问2详解】 解：由（1）知， 函数图象如下： 由图象可得：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大； 【小问3详解】 解：如图，由图象可知，直线的图象在直线和之间时，与（2）中的函数图象有两个交点， 将代入得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， 的取值范围为． 【点睛】本题考查菱形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、解直角三角形、一次函数的图象和性质，两直线交点问题等，熟练掌握相关性质定理，利用数形结合的思想解决问题是解题的关键． 24. 如图1，已知直线l：交x，y轴于点 ， 两点，正比例函数的图象与直线 交于点． （1）求直线的解析式和点C的坐标； （2）y轴负半轴上有一动点E，连接．点F是x轴上有一动点，当时，求的最小值； （3）如图2，将直线l向下平移7个单位长度，平移后的直线与y轴交于点G，与直线交于点M，点P在x轴上．当时，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据 ， ，带入可得解析式；点是正比例函数 和直线的交点，联立方程组可得点C的坐标； （2）设，可得，由面积可得或，然后再求解论即可； （3）由平移得直线的解析式为：，可得，接着分类讨论即可，①然后可知与关于直线对称，②点关于直线的对称点 【小问1详解】 解：将点 ， 带入中得 ，则 ∴直线AB的解析式为： ∵点是正比例函数 和直线的交点， ∴ ，解得： ∴ 【小问2详解】 ∵，，，设 ∴ 过点作垂直y轴交于点D ∴ 解得：或（舍去）， 当时，则，作点E关于x轴的对称点， ∴ 连接则与x轴交点G是使得的值最小； 在中，根据勾股定理可得 ∴的值最小是 综上所述：的最小值是：； 【小问3详解】 ∵直线l：向下平移7个单位长度后，则直线的解析式为： ∴ 当时， ①如图；在x轴上取点，连接 ∴与关于直线对称， ∴ ∴ ∴ ∴ ②如图，过点的垂直于x轴的直线，点关于直线的对称点，连接 ∵直线与交于点 ∴ ，解得 ∴ ∵点是关于直线为对称轴的点的对称点 ∴ 综上所述：的坐标为或. 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数平移，全等三角形的性质，等腰三角形对称的性质，构造辅助线利用勾股定理求最值的问题，掌握知识点的应用是解题的关键． 25. 已知，在中，，，为射线上一点，连接交于点． （1）如图，若点与点重合，且，求的长； （2）如图，当点在边上时，过点作于，延长交于，连接．试探究的关系； （3）如图，当点在射线上运动时，过点作于，为的中点，点在边上且，已知，请直接写出的最小值． 【答案】（1） （2）， 证明：如图中，在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴， ∵，且， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）先设（），根据题意可得是对角线的交点，可推出，再根据，运用勾股定理列方程求解即可； （2）先在AF上截取，根据三角形内角和的定理结合对顶角证明，即可结合题意证明，推出，再结合平行四边形的性质和等腰直角三角形的性质推出，证明，得到，最后根据等量代换即可证明； （3）连接并延长到点，使，连接，则是的中位线；取的中点，连接，则是斜边上的中线，且的长为定值，，可见，当点落在上时，的值最小，此时的值最小，通过作辅助线求出的长即可． 【小问1详解】 由题意设（）， ∵中，点与点重合， ∴是对角线的交点， ∴， ∵在中，，， ∴根据勾股定理，，即，解得，（舍）， ∴； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 如图3，连接并延长到点，使，连接；取的中点，连接、， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴根据勾股定理得，， ∵， ∴当点落在上，即三点在同一条直线上时，，此时的值最小， ∵，为的中点， ∴，是定值， ∴此时的值最小， ∵为的中点， ∴， ∴此时的值最小； 如图，三点在同一条直线上，作，交直线于点；作于点，交直线于点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴根据勾股定理，，解得：， ∴，， ∵， ∴； ∵，，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $