精品解析：重庆市第八中学校2025—2026学年度下学期期末考试初二年级数学试题

重庆八中2025—2026学年度（下）期末考试初二年级 数学试题 A卷（共100分） 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中1—9题只有一个选项符合题目要求，10题有多个选项符合题目要求，请将答题卡上对应选项的代号涂黑． 1. 下列图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 分式，的最简公分母为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，以点为位似中心，作的位似图形，若点B的横坐标是，点B的对应点的横坐标是3，则与的周长之比为（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法中，①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形：②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；③对角线互相平分的四边形是平行四边形；④两组对角分别相等的四边形是平行四边形．正确的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 7. 若点P是线段的黄金分割点，且，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 3 8. 若关于x的分式方程有增根，则a的值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 9. 如图，在中，平分，于点D，的延长线交于点E，F是中点，连接，若，则四边形与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 10. （多选）已知反比例函数，下列说法中正确的有（ ） A. 若该函数图象分布在第二、四象限，则k的取值范围为 B. 若该函数图象经过点，则此时 C. 当时，若点，都在该函数图象上，则 D. 在该函数图象上任取一点P，过点P分别作x轴和y轴的垂线，若与坐标轴围成的矩形面积为5，则 二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 正九边形的一个外角为_________度． 12. 若分式的值为零，则________． 13. 某工厂今年一月份的产值为50万元，技术改革后产值逐月增加，三月份的产值达到72万元．设这两个月产值的月平均增长率为x，则x的值为________． 14. 如图，在矩形中，点在边上，连接，过点作，垂足为点F．若，，，则________． 三、解答题：（本大题共5小题，15题8分，16题6分，17，18，19题每小题10分，共44分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 15. 解方程： （1） （2） 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 重庆大力发展低空经济，多地中小学开展无人机航空科普进校园活动，某校组织七、八年级学生参加无人机航空科普知识竞赛，现从七、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行统计（百分制，成绩用x表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的成绩是：80，82，82，83，84，86，88，89，90，90，92，96，96，96，96，96，97，98，99，100． 八年级20名学生的成绩在C组中的数据是：90，91，92，93，94，94，94，94． 七、八两个年级抽取的学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 91 91 a 八年级 91 b 94 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）根据以上数据，你认为哪个年级学生科普知识掌握更好？请说明理由．（写出一条理由即可） （3）若该校七年级有学生1500人，八年级有学生1600人，请估计该校七、八年级学生的成绩达到优秀（）的人数共是多少？ 18. 小明在学习了菱形和尺规作图后，发现了一种在平行四边形基础上构造菱形的方法，作为他的同伴，请根据他的思路，完成以下作图和证明： （1）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O．用尺规完成以下基本作图：过点D在下方作，交于点E，连接并延长交于点F，连接．（只保留作图痕迹） （2）在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形． 19. 重庆市江津区有“中国花椒之乡”美誉，江津九叶青花椒为当地特色农产品． （1）某农户计划采摘120斤鲜花椒，实际每小时采摘量是原计划的1.2倍，并提前1小时完成采摘，求该农户原计划每小时采摘花椒多少斤？ （2）某加工厂加工销售精品干花椒，每斤成本为25元，当售价为每斤50元时，日均售出200斤；市场调研发现，售价每上涨1元，日均少卖5斤，若要每日获利5250元，且让销量更高，则花椒售价应每斤涨价多少元？ B卷（共50分） 四、选择题：（本大题共2小题，每小题4分，共8分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个选项符合题目要求，请将答题卡上对应选项的代号涂黑． 20. 如图，为菱形的对角线，，，分别为，边上的点，连接，交于点，，将沿着翻折，点落在点的位置，设，则可表示为（） A. B. C. D. 21. 定义：若，是关于的一元二次方程的两个实数根，且满足，则称这个方程为“奇根方程”．下列说法中正确的个数是（ ） ①是“奇根方程”； ②若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则该方程一定是“奇根方程”； ③若关于的一元二次方程是“奇根方程”，则满足条件的所有整数k的值之和为； ④若关于的一元二次方程是“奇根方程”，则存在有理数使得该方程的根为有理数． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 五、填空题：（本大题共3小题，每小题4分，共12分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 22. 若关于x的不等式组至少有4个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的值之和为________． 23. 一个四位自然数，各数位上的数字均不为0，若满足，则称数M为“六合数”．按照这个规定，最小的“六合数”是________；将“六合数”M的千位数字与十位数字调换位置，百位数字与个位数字调换位置得到一个新的四位数，记．若为完全平方数，且为整数，则满足条件的M的值之和是________． 24. 如图，在正方形中，E，F分别为，边上的点，，连接，交于点H，作交于点G，设，则________（用含的式子表示）；若，则________． 六、解答题：（本大题共3小题，每小题10分，共30分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 25. 如图，在等腰中，，，过点B作底边的垂线，垂足记为点H．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿着折线方向运动；动点Q与动点P同时出发，以每秒个单位长度的速度从点B运动到点H．连接，设运动时间为x秒（），的面积为，的面积与的面积之比为． （1）请直接写出，关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 26. 如图，在平面直角坐标系中，点，是反比例函数图象上的两点，直线与x轴交于点C． （1）求k的值及直线的解析式； （2）点D为x轴正半轴上一点，连接，当的面积为6时，与反比例函数图象交于点E．点P，Q均为x轴上的动点，点P在点Q的左侧，且，取的中点F，连接，求点E的坐标及的最大值； （3）在（2）的条件下，点M为反比例函数图象上的一点，射线与直线交于点N，连接，若，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 27. 在等边中，点D是射线上一点，点E是射线上一点，连接，直线与直线交于点F． （1）如图1，点D在边上，点E在延长线上，，，连接，求的长度； （2）如图2，点D在边上，点E在延长线上，，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，，求证：； （3）如图3，点D在延长线上，，连接，将绕点E顺时针旋转得到线段，连接，取的中点Q，连接，当为等腰三角形时，请直接写出此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆八中2025—2026学年度（下）期末考试初二年级 数学试题 A卷（共100分） 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中1—9题只有一个选项符合题目要求，10题有多个选项符合题目要求，请将答题卡上对应选项的代号涂黑． 1. 下列图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此逐项判断即可． 【详解】A．该图形绕任意点旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，故A不符合题意； B．该图形是轴对称图形，绕中心旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，故B不符合题意； C．该图形绕中心旋转后能与原图形重合，是中心对称图形，故C符合题意； D．该图形绕中心旋转后能与原图形重合，但旋转后不能重合，不是中心对称图形，故D不符合题意． 故选：C． 2. 分式，的最简公分母为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简公分母的确定，按照最简公分母的求解规则：系数取各分母系数的最小公倍数，相同字母取最高次幂，所有出现的不同字母都写入乘积，即可得到结果． 【详解】解：先确定系数部分，两个分母的系数为1和2，最小公倍数为2， 再确定字母部分，分母中出现的字母为和， ∵的最高次为，的最高次为， ∴最简公分母为． 3. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据菱形的性质得到，，再证明是等边三角形得到，进而可得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 4. 若，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据比例的基本性质，可通过设参数法结合比例性质化简，逐一判断选项即可． 【详解】解：由可设，（）， 对选项A，，仅当时结果为，不是对任意成立，故选项A错误； 对选项B，由交叉相乘得，与不符，故选项B错误； 对选项C，，仅当时结果为，不是对任意成立，故选项C错误； 对选项D，，等式一定成立，故选项D正确，符合题意． 5. 如图，以点为位似中心，作的位似图形，若点B的横坐标是，点B的对应点的横坐标是3，则与的周长之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对应点到位似中心的距离之比等于位似比，位似图形的周长比等于位似比，即可得出结果． 【详解】解：∵点为位似中心，点的横坐标是，点的对应点的横坐标是3， ∴点到位似中心点的水平距离为，点到位似中心点的水平距离为， ∴与的位似比为， ∴与的周长之比为． 6. 下列说法中，①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形：②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；③对角线互相平分的四边形是平行四边形；④两组对角分别相等的四边形是平行四边形．正确的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理，对每个说法逐一判断，统计正确的个数即可． 【详解】解：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴①正确， ∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不是平行四边形，∴②错误， ∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴③正确， ∵四边形内角和为，两组对角分别相等，则邻角和为，可推出两组对边分别平行，∴两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④正确， 综上，正确的有①③④，共3个， 故选：B． 7. 若点P是线段的黄金分割点，且，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查黄金分割的定义，解题思路是根据黄金分割的定义得到与的关系，再代入的长度计算即可． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，且 ∴ 又∵ ∴． 8. 若关于x的分式方程有增根，则a的值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】分式方程的增根是使分式分母为0的根，先确定增根的可能取值，再将分式方程化为整式方程，代入增根即可求出a的值． 【详解】解：原分式方程的分母为和，分式方程有增根， ∴增根满足，即或， 方程两边同乘，得： 展开整理得： 将代入，得，等式不成立，舍去， 将代入，得，解得， ∴的值为． 9. 如图，在中，平分，于点D，的延长线交于点E，F是中点，连接，若，则四边形与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】证明，根据全等三角形的性质得到，，进而得出，根据三角形的中线性质得到，根据三角形中位线定理得到，，证明得到，进而可得答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵F是中点， ∴，又， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即四边形与的面积之比为． 10. （多选）已知反比例函数，下列说法中正确的有（ ） A. 若该函数图象分布在第二、四象限，则k的取值范围为 B. 若该函数图象经过点，则此时 C. 当时，若点，都在该函数图象上，则 D. 在该函数图象上任取一点P，过点P分别作x轴和y轴的垂线，若与坐标轴围成的矩形面积为5，则 【答案】AC 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，利用反比例函数比例系数的符号判断象限，代入点坐标求参数，计算函数值比较大小，利用比例系数求矩形面积，逐个验证选项即可． 【详解】解：设该反比例函数的比例系数， 选项A：若函数图象分布在第二，四象限，则，即，解得，A正确，符合题意； 选项B：将点代入函数解析式，得，解得，不符合的结论，B错误，不符合题意； 选项C：当时，函数解析式为，将，代入得，，可得，C正确，符合题意； 选项D：反比例函数图象上一点向坐标轴作垂线，围成矩形的面积为，由题意得，解得或，结论不唯一，D错误，不符合题意． 二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 正九边形的一个外角为_________度． 【答案】40 【解析】 【分析】正多边形的外角都相等，用外角和360°除以边数9，即得一个外角度数． 【详解】∵正多边形每个内角都相等 ∴正多边形每个外角都相等． 又∵多边形外角和为360° ∴正九边形的一个外角为：360°÷9=40°． 故答案为：40． 【点睛】此题考查正多边形角的计算．其关键点是要抓住外角和为360°与边数无关，和每个内角都相等． 12. 若分式的值为零，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式值为零的条件：分子为零，且分母不为零，据此结合绝对值的解法求解即可． 【详解】解：分式的值为零 ，且 由得 或 解得或 又，即 ． 13. 某工厂今年一月份的产值为50万元，技术改革后产值逐月增加，三月份的产值达到72万元．设这两个月产值的月平均增长率为x，则x的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设这两个月产值的月平均增长率为x，根据题意得到二月份的产值为万元，三月份的产值为，进而列出方程求解即可． 【详解】解：设这两个月产值的月平均增长率为x， 根据题意，得 解得，（不符合题意，舍去） 答：x值为． 14. 如图，在矩形中，点在边上，连接，过点作，垂足为点F．若，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用矩形性质得到平行线与直角，推出一组等角，结合垂直得到另一组直角相等，证出与相似；再在直角三角形中用勾股定理算出斜边，最后根据相似三角形对应边成比例列等式，代入已知边长求出的长度． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∵，，， ∴， ∴． 三、解答题：（本大题共5小题，15题8分，16题6分，17，18，19题每小题10分，共44分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 15. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）原方程无解 （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： 解得， 经检验，是增根， ∴原方程无解； 【小问2详解】 解： 或 解得，． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 化简结果为，值为 【解析】 【分析】先对括号内通分，再将除法转化为乘法，因式分解后约分，然后将代入求解即可． 【详解】解： ， ∵ ∴原式． 17. 重庆大力发展低空经济，多地中小学开展无人机航空科普进校园活动，某校组织七、八年级学生参加无人机航空科普知识竞赛，现从七、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行统计（百分制，成绩用x表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的成绩是：80，82，82，83，84，86，88，89，90，90，92，96，96，96，96，96，97，98，99，100． 八年级20名学生的成绩在C组中的数据是：90，91，92，93，94，94，94，94． 七、八两个年级抽取的学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 91 91 a 八年级 91 b 94 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）根据以上数据，你认为哪个年级学生科普知识掌握更好？请说明理由．（写出一条理由即可） （3）若该校七年级有学生1500人，八年级有学生1600人，请估计该校七、八年级学生的成绩达到优秀（）的人数共是多少？ 【答案】（1）96；91.5；40 （2）八年级学生科普知识掌握更好，理由如下： 两个年级的平均数相同，但八年级的中位数高于七年级 ，说明八年级中等水平学生的成绩更优（答案不唯一） （3）995 【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数的定义分别求解，用C组的个数除以总数即可求解； （2）七年级或者八年级均可以，可以从中位数优秀率等方面分析； （3）用样本估计总体的方法求解即可． 【小问1详解】 解：七年级数据中96出现的次数最多，故众数； 八年级A组有个数据，B组有个数据，C组有8个数据， 而20个数据的中位数是第10、11个数据的平均数， 则第10、11个数据是91，92，故中位数； ，故； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： 答：该校七、八年级学生的成绩达到优秀（）的人数共有人． 18. 小明在学习了菱形和尺规作图后，发现了一种在平行四边形基础上构造菱形的方法，作为他的同伴，请根据他的思路，完成以下作图和证明： （1）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O．用尺规完成以下基本作图：过点D在下方作，交于点E，连接并延长交于点F，连接．（只保留作图痕迹） （2）在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形． 【答案】（1）如图，、点E、点F、即为所求： （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴，又， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为菱形． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的尺规作图步骤画得到点E，再根据题干要求画图即可； （2）根据平行四边形的性质和菱形的判定证明结论即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 重庆市江津区有“中国花椒之乡”美誉，江津九叶青花椒为当地特色农产品． （1）某农户计划采摘120斤鲜花椒，实际每小时采摘量是原计划的1.2倍，并提前1小时完成采摘，求该农户原计划每小时采摘花椒多少斤？ （2）某加工厂加工销售精品干花椒，每斤成本为25元，当售价为每斤50元时，日均售出200斤；市场调研发现，售价每上涨1元，日均少卖5斤，若要每日获利5250元，且让销量更高，则花椒售价应每斤涨价多少元？ 【答案】（1）该农户原计划每小时采摘花椒斤 （2）花椒售价应每斤涨价元 【解析】 【分析】（1）设该农户原计划每小时采摘花椒x斤，则实际每小时采摘花椒斤，根据题意列分式方程求解即可； （2）设花椒售价应每斤涨价y元，根据题意列一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设该农户原计划每小时采摘花椒x斤，则实际每小时采摘花椒斤， 根据题意，得 解得 经检验，是所列方程的解且符合题意， 答：该农户原计划每小时采摘花椒20斤； 【小问2详解】 解：设花椒售价应每斤涨价y元， 根据题意，得 解得，， ∵要让销量更高， ∴， 答：花椒售价应每斤涨价5元． B卷（共50分） 四、选择题：（本大题共2小题，每小题4分，共8分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个选项符合题目要求，请将答题卡上对应选项的代号涂黑． 20. 如图，为菱形的对角线，，，分别为，边上的点，连接，交于点，，将沿着翻折，点落在点的位置，设，则可表示为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形性质和判定为等边三角形，利用三角形内角和及平角定义求出，结合翻折性质求出，最后利用角的关系求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由翻折性质可知：， ∴， ∴． 21. 定义：若，是关于的一元二次方程的两个实数根，且满足，则称这个方程为“奇根方程”．下列说法中正确的个数是（ ） ①是“奇根方程”； ②若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则该方程一定是“奇根方程”； ③若关于的一元二次方程是“奇根方程”，则满足条件的所有整数k的值之和为； ④若关于的一元二次方程是“奇根方程”，则存在有理数使得该方程的根为有理数． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】根据“奇根方程”的定义，利用一元二次方程的判别式和根与系数的关系，逐个判断四个说法的正误，统计正确个数得到答案。 【详解】解：对于一元二次方程 ，两根之和为 ，方程有实数根需满足判别式 ， 据此逐个判断： ①对于方程，，得 ，满足，且，有两个实数根， 因此该方程是“奇根方程”，①正确； ②对于方程 ，由题意得，，方程有两个不等实根得，即，两根和，取，得，不满足定义，因此该方程不一定是“奇根方程”，②错误； ③对于方程，由定义得，解得，方程有两个实根得，即， 因此符合条件的整数为，和为，③错误； ④对于方程，由定义得，解得，计算判别式，取 ，是有理数，满足，此时是完全平方数，方程根为有理数， 因此存在满足条件的有理数，④正确． 综上，正确的说法共 个． 五、填空题：（本大题共3小题，每小题4分，共12分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 22. 若关于x的不等式组至少有4个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的值之和为________． 【答案】 【解析】 【分析】先解一元一次不等式组，根据至少有4个整数解确定a的取值范围，再解分式方程，根据分式方程有非负整数解筛选出符合条件的整数a，即可求解． 【详解】解： ， 解不等式，得 ， 解不等式，得 ， 因此不等式组的解集为 ， ∵不等式组至少有4个整数解， ∴，解得 ，  ， 方程两边同乘（），得 ， 整理得， 解得 ， ∵分式方程有非负整数解，且 ， ∴，，且为整数， 解得，，且为奇数， 结合，为整数， 可得符合条件的整数为 ， 因此所有满足条件的整数的值之和为． 23. 一个四位自然数，各数位上的数字均不为0，若满足，则称数M为“六合数”．按照这个规定，最小的“六合数”是________；将“六合数”M的千位数字与十位数字调换位置，百位数字与个位数字调换位置得到一个新的四位数，记．若为完全平方数，且为整数，则满足条件的M的值之和是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】求最小“六合数”时，根据四位数大小比较规则，高位数字越小则数越小，结合各数位非零得到最小数；再用a，表示，根据完全平方数性质得到的可能取值，结合分式为整数的条件筛选出符合要求的，最后计算得到所有的和． 【详解】解：四位数最小，， ，， ，， 最小的“六合数”是1515； 由题意得，， ， ， ， ， 代入得：， ， 是完全平方数，9是完全平方数， 是完全平方数， 又，， ，该范围内的完全平方数为4，9， ①当时，，得， 此时，分式无意义，舍去， ②当时，，所有可能的正整数解为，，，， 又为整数， ， 当时，，不是整数，舍去， 当时，，是整数，符合条件， ， 当时，，是整数，符合条件， ， 当时，，不是整数，舍去， 符合条件的和为． 24. 如图，在正方形中，E，F分别为，边上的点，，连接，交于点H，作交于点G，设，则________（用含的式子表示）；若，则________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①证明得到，结合正方形的性质和三角形的外角性质进行角度运算可得结论； ②设，，则，，延长到P，使得，连接,，证明和得到，然后利用勾股定理求得，进而得到；然后证明，由得，则，进而可求解． 【详解】解：①∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②设，， 由得，则， ∴， 延长到P，使得，连接,， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，又， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∵， 由得， 解得， 在中，， ∴； ∵， ∴， ∴，即， 由得， ∴， ∴． 六、解答题：（本大题共3小题，每小题10分，共30分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 25. 如图，在等腰中，，，过点B作底边的垂线，垂足记为点H．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿着折线方向运动；动点Q与动点P同时出发，以每秒个单位长度的速度从点B运动到点H．连接，设运动时间为x秒（），的面积为，的面积与的面积之比为． （1）请直接写出，关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1）， （2）函数图象如图： 性质：当时，随着的增大而减小； （3） 【解析】 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质求出，则，那么，，当时，，即可求解，当时，，则，由，可得，则，即可求解；而，则； （2）通过描点，连线即可作图函数图象，再从增减性写出一条性质即可； （3）出时x的取值范围即为函数的图象在函数的图象上方时，对应交点的横坐标的取值范围． 【小问1详解】 解：∵，，过点B作底边的垂线， ∴， ∴， ∴，， 当时， ∵ ∴； 当时，如图，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， 综上：； ∵ ∴， ∴ 【小问2详解】 解：函数图象见答案；性质见答案； 【小问3详解】 解：由函数图象可得，时，． 26. 如图，在平面直角坐标系中，点，是反比例函数图象上的两点，直线与x轴交于点C． （1）求k的值及直线的解析式； （2）点D为x轴正半轴上一点，连接，当的面积为6时，与反比例函数图象交于点E．点P，Q均为x轴上的动点，点P在点Q的左侧，且，取的中点F，连接，求点E的坐标及的最大值； （3）在（2）的条件下，点M为反比例函数图象上的一点，射线与直线交于点N，连接，若，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【答案】（1）， （2），的最大值为 （3）或 【解析】 【分析】（1）先将点，代入求出，再由待定系数法求解直线的表达式； （2）先由求解点的坐标，然后根据中点坐标公式求解点，再联立直线与反比例函数表达式求解点坐标，再根据平移以及对称的性质求解最大值即可； （3）连接，过点作轴于点，当点在点上方时，记为，此时点记为，证明出，然后通过联立直线与求解点；当点在点下方时，记为，此时点记为，此时，则，可得，通过中点坐标公式求解点，再通过联立直线与求解点即可． 【小问1详解】 解：∵点，是反比例函数图象上的两点， ∴， ∴， ∴，反比例函数表达式为， 设直线， 则代入点、可得， 解得， ∴直线； 【小问2详解】 解：在中，当时，则， 解得， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∵的中点是， ∴，即， 设直线， 则代入、同理可求直线， 联立得，， 解得， ∴； 将点向右平移1个单位得到，再过点作轴的对称点，连接，，则， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由对称可得， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，取得最大值为， ∵, ∴的最大值为； 【小问3详解】 解：连接，过点作轴于点， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， 当点在点上方时，记为，此时点记为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴同理可求直线， ∴设直线， 代入点可得，，解得， ∴直线， 联立可得，， 解得，（舍去）， ∴； 当点在点下方时，记为，此时点记为， 此时， ∴， ∵， ∴， 联立直线与直线得，， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴同理可求直线， 再联立可得，， 解得，（舍去）， ∴； 综上：符合条件的点M的坐标为或． 27. 在等边中，点D是射线上一点，点E是射线上一点，连接，直线与直线交于点F． （1）如图1，点D在边上，点E在延长线上，，，连接，求的长度； （2）如图2，点D在边上，点E在延长线上，，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，，求证：； （3）如图3，点D在延长线上，，连接，将绕点E顺时针旋转得到线段，连接，取的中点Q，连接，当为等腰三角形时，请直接写出此时的值． 【答案】（1） （2）证明：如图2，延长，使，连接， ∵，， ∴， 由旋转性质得， ∴， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴，即， ∴， 又∵， ∴，即点C为的中点； 过D作交于P， 则，，， ∴是等边三角形， ∴， 又， ∴， ∴，即点F为的中点， ∴是的中位线， ∴，则， ∵， ∴； （3）或 【解析】 【分析】（1）如图1，根据等边三角形的性质和等腰三角形的性质，结合三角形的外角性质求得，则，然后根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可； （2）如图2，延长，使，连接，证明得到，进而可证是等边三角形，则可证，，C为的中点；过D作交于P，证明是等边三角形得到，进而证明得到点F为的中点，则是的中位线，利用三角形的中位线性质得到，即，进而可证明得结论； （3）分点E在线段上和点E在的延长线上，画出图形，结合等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等推导求解即可． 【小问1详解】 解：如图1，∵是等边三角形，， ∴，，， ∵， ∴， 则， ∴， ∴， 在中，， ， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当点E在线段上时，如图， ∵为等腰三角形， ∴， 取，连接，， ∵点Q为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， 由旋转性质得，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，，又， ∴，又， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 当点E在的延长线上时，如图，延长，使，连接，， ∵点Q为的中点， ∴是的中位线， ∴，， 由旋转性质得，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，又， ∴， ∴，， ∴， ∴，又为等腰三角形， ∴为等边三角形， 设，则，， ∴， 同（1）可得，， ∴，则，， ∴， ∴， ∴， 综上，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $