2027届高考数学一轮复习精选专题讲义—平面向量的模的取值范围

该高中数学高考复习讲义聚焦平面向量模的取值范围专题，整合几何意义构造、坐标法、基向量转化等核心解法，按“解法梳理-高考真题-分层训练”逻辑架构知识点，通过考点精讲、方法归纳、真题剖析、巩固练习环节，帮助学生构建完整解题体系，突破向量模范围的难点问题。 讲义突出多解法融合与分层训练特色，如例1用坐标法转化为函数求范围，例3结合正八边形几何特征分析，培养学生数学眼光与逻辑推理能力。设置A组基础巩固、B组能力提升练习，配合即时反馈，确保复习高效，助力学生提升应考技能，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

高中数学精选专题-平面向量 平面向量的模的取值范围 湖北天门 薛德斌 解法一：利用平面向量及其运算的几何意义构造图形解题． 解法二：坐标法． 解法三：向量法（基向量思想及向量转化）． 解法四：． 高考题及例 例1．【2025年北京卷T10/10/21】已知平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 例2．【2025年上海卷T12/12/21】已知函数，，，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______． 例3．设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是_______． 例4．已知，是单位向量，.若向量满足，则的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 例5．已知平面向量，（，)满足，且与的夹角为，则的取值范围是 ． 例6．在中，点是的中点，点满足．记，，用，表示_________；若，则的最大值为_________． 例7．平面向量a，b，c均为单位向量，且，，则的取值范围是_______． 例8．已知向量，满足，且，则的取值范围是________， 的取值范围是________． 例9．已知单位向量，，若对任意实数，恒成立，则，的夹角的取值范围为_________． 巩固训练题A 1．已知平面向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a与b的夹角为135°，c与b的夹角为120°，，则 ． 2．已知平面向量，，满足，则的取值范围是 ． 3．已知平面向量，，满足，则的取值范围是 ． 4．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，(a－c)·(b－c)＝0，，则|c|的最大值是 ． 5．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，(a－c)·(b－2c)＝0，则|c|的最大值是 ． 6．设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，向量a－c与b－c的夹角是，则|c|的最大值是 ． 7．已知平面向量，，满足，，则的取值范围是 ． 8．已知平面向量，，满足，且，则 的最大值为 ． 9.已知向量，，对任意实数，恒有，则 （ ） A． B． C． D． 10．（多项选择题）已知平面向量，，满足，，且，下列结论可能正确的是（ ） A．，的夹角为 B．，共线 C． D． 巩固训练题B 1．已知平面向量，，满足，，且与的夹角为45°，若，则的最大值为 ． 2．已知平面向量，，满足，，，则的最大值为 ． 3．已知平面向量，，满足，，，，，则的最小值为 ． 4．已知平面向量，，满足，，，，，则的最小值为 ． 5．已知向量，的夹角为，，若存在实数，有解，则的取值范围是______． 6.已知平面向量，，满足，且，，则的最小值为 ． 7．已知平面向量，，满足，，则的最小值为 ． 8．已知平面向量，，满足，，则的最小值为 ． 9．在中，点M，N是线段上的两点，，，则_______，的取值范围是___________． 10．已知中，，，点是线段（含端点）上的一点，且，则的取值范围是________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学精选专题-平面向量 平面向量的模的取值范围 湖北天门 薛德斌 解法一：利用平面向量及其运算的几何意义构造图形解题． 解法二：坐标法． 解法三：向量法（基向量思想及向量转化）． 解法四：． 高考题及例 例1．【2025年北京卷T10/10/21】已知平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 解法一：（向量转化＋向量三角不等式）设的中点为，则， ， ∵，∴，． 解法二：（基向量思想＋放缩）因为，， 由平方可得，，所以． ，， 所以， ， 又，即， 所以，即．故选：D. 例2．【2025年上海卷T12/12/21】已知函数，，，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______． 【答案】 【详解】若，则， 又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立； 故. 不妨设，则， 解法一：（几何意义） ． 解法二：（几何意义） ，． 解法三：（坐标法）不妨设，， 则，则， 则 ， 由，，则， 故.故答案为：. 例3．设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是_______． 【答案】 解法一：（对偶关系＋几何意义） ，∴， 因为，所以， 故的取值范围是．故答案为：． 解法二：以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示： 则，,， 设,于是， 因为，所以， 故的取值范围是．故答案为：． 例4．已知，是单位向量，.若向量满足，则的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 解法一：数形结合 解法二：向量形式的三角不等式 ，∴|，． 解法三：坐标法 例5．已知平面向量，（，)满足，且与的夹角为，则的取值范围是 ． 【答案】 ( A 1 B O )解：如图，设，，则， 依题意，△OAB中，， ， ∴， ∵，∴， ∴的取值范围是． 评析：本题根据平面向量加减法的三角形法则构造三角形，运用正弦定理求三角形边长的取值范围，考察了对问题的转化能力和数形结合的能力． 例6．在中，点是的中点，点满足．记，，用，表示_________；若，则的最大值为_________． 【答案】； 解法一：（基本不等式） ，， ， 当且仅当时取等号，而，所以． 故答案为：；． 方法二：（坐标法＋几何意义）如图所示，建立坐标系： ，， ， 所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 当且仅当与圆相切时，最大，此时． 故答案：；． 例7．平面向量a，b，c均为单位向量，且，，则的取值范围是_______． 【答案】 解：（向量法，把看成一个整体） ， ， ∵， ∴，， ∵， ∴，即． 另解：． 例8．已知向量，满足，且，则的取值范围是________， 的取值范围是________． 【答案】， 例9．已知单位向量，，若对任意实数，恒成立，则，的夹角的取值范围为_________． A． B． C． D． 【答案】B． 解法一：依题意，， ∴，∴向量，的夹角的取值范围为． 解法二：由得， 依题意，不等式对任意实数恒成立，则， ∴， ，， ∴向量，的夹角的取值范围为． 巩固训练题A 1．已知平面向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a与b的夹角为135°，c与b的夹角为120°，，则 ． 【答案】 解：中，设，，，则，，， ∴． 2．已知平面向量，，满足，则的取值范围是 ． 【答案】 解：， 当，，首尾相连成等边三角形时，；当时，． 3．已知平面向量，，满足，则的取值范围是 ． 【答案】 解：， ， ∴． 4．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，(a－c)·(b－c)＝0，，则|c|的最大值是 ． A．2 B． C． D．1 【答案】B． 解法一：（数形结合） 解法二：(a－c)·(b－c)＝－(a＋b)·c＋|c|＝0，c＝0或|c|＝|a＋b|． 解法三：（坐标法），，，，． 5．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，(a－c)·(b－2c)＝0，则|c|的最大值是 ． 【答案】 解：(a－c)·(b－c)＝0． 6．设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，向量a－c与b－c的夹角是，则|c|的最大值是 ． A．2 B． C． D．1 【答案】A．2 7．已知平面向量，，满足，，则的取值范围是 ． 【答案】 解法一：（几何法＋极化恒等式） 设，，，，点在圆心为，半径为1的圆上， 设中点为， ， ，∴． 解法二：坐标法 解法三：（向量法＋向量形式的三角不等式） ， ，∴|，． ，， ∴． 8．已知平面向量，，满足，且，则 的最大值为 ． A． B． C． D． 【答案】D． 解法一：（数形结合） 设，，，，点在以为直径的圆上，． 解法二：（坐标法） 由可知，，故， 如图建立坐标系，，， 设，由可得 ， 所以的终点在以为圆心,1为半径的圆上， 所以，几何意义为到距离的2倍， 由儿何意义可知，故选D. 9.已知向量，，对任意实数，恒有，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 解法一：数形结合 解法二：平方，二次函数 10．（多项选择题）已知平面向量，，满足，，且，下列结论可能正确的是（ ） A．，的夹角为 B．，共线 C． D． 【答案】ABD 解：由题意，， ∵，，∴． 设，，，如图， 动点在以为圆心，1为半径的一段弧上，动点在以为圆心，1为半径的一段弧上，且． 对于A，当时，此时，即向量，的夹角为，故A正确； 对于B，当为的中点时，向量，共线，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，由平方得，∴，故D正确． 故选ABD． 巩固训练题B 1．已知平面向量，，满足，，且与的夹角为45°，若，则的最大值为 ． A． B． C． D． 【答案】C． 解法一：（数形结合）． 解法二：（坐标法）建立直角坐标系， 设，，则， 因为，所以， 所以，整理得：， 由此可知，的终点在以为圆心，半径为1的圆上， 因为， 其几何意义是点到点的距离， 又因为点到点的距离为， 所以的最大值为.故选C. 2．已知平面向量，，满足，，，则的最大值为 ． A． B． C． D． 【答案】B． 解法一：（坐标法），，，，． 解法二：，由，得，，，． 3．已知平面向量，，满足，，，，，则的最小值为 ． 【答案】 解：设，，，，点在线段上，的最小值为 ，的最小值为． 4．已知平面向量，，满足，，，，，则的最小值为 ． 【答案】 解：设，，，，点在线段上，的最小值为 ，的最小值为． 5．已知向量，的夹角为，，若存在实数，有解，则的取值范围是______． A． B． C． D． 【答案】C． 解法一：，平方得， 解得，又因为，所以，故选C. 解法二：对不等式两边同时平方， 得，即， 因为，所以， 整理得有解， 所以得，解得， 又因为，所以，故选C. 6.已知平面向量，，满足，且，，则的最小值为 ． A. B. C. D. 【答案】C. 解法一：（数形结合＋阿波罗尼斯圆） 原题等价于：已知平面向量，，，满足，且，，则的最小值为________. 设，，，， 则四边形是正方形，， 坐标法可证可得，（阿波罗尼斯圆，先特例求得，再证明） . 解法二：（坐标法＋阿波罗尼斯圆）建立如图所示的直角坐标系： 依题意设，，，，， 则，故点C在以为圆心，半径为1的圆上， 如图，取点，则，，且，因此，，故， 又， 由于，当E，M，C三点共线且点C在线段上时，等号取到，因此.故选C. 7．已知平面向量，，满足，，则的最小值为 ． 【答案】 解：∵， ∴ ∴， ∴， 当与反向，即由几何意义可得，即时，等号成立， ∴的最小值为． 【注】，但其中等号不能成立． 8．已知平面向量，，满足，，则的最小值为 ． 【答案】 解：将换成，即为第15题． 9．在中，点M，N是线段上的两点，，，则_______，的取值范围是___________． 【答案】， 解：设，，，，，，， 则，，， ，又，∴的取值范围是． 10．已知中，，，点是线段（含端点）上的一点，且，则的取值范围是________． 【答案】 学科网（北京）股份有限公司 $