专题02 等和线与极化恒等式（压轴题2大类型专项训练）高一数学人教A版必修第二册

专题02 等和线与极化恒等式 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、等和线解决系数最值问题 1 类型二、极化恒等式解决数量积最值问题 4 压轴专练 6 类型一、等和线解决系数最值问题 1、定义：平面内一组基底及任一向量，，若点P在直线AB上或者在平行于AB的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线. （1）当等和线恰为直线AB时，k=1； （2）当等和线在O点和直线AB之间时，； （3）当直线AB在点O与等和线之间时，； （4）当等和线过O点时，k=0； （5）若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数. 2、证明步骤 如图1，为所在平面上一点，过作直线，由平面向量基本定理知： 存在，使得 下面根据点的位置分几种情况来考虑系数和的值 ①若时，则射线与无交点，由知，存在实数，使得 而，所以，于是 ②若时， （i）如图1，当在右侧时，过作，交射线于两点，则 ，不妨设与的相似比为 由三点共线可知：存在使得： 所以 （ii）当在左侧时，射线的反向延长线与有交点，如图1作关于的对称点，由（i）的分析知：存在存在使得： 所以，于是 综合上面的讨论可知：图1中用线性表示时，其系数和只与两三角形的相似比有关。 我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图1中，过作边的垂线，设点在上的射影为，直线交直线于点，则 (的符号由点的位置确定)，因此只需求出的范围便知的范围 一般解题步骤：（1）确定单位线（当时的等和线）；（2）平移等和线，分析何处取得最值； （3）从长度比计算最值. 1．在中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若（，），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·山东济南·月考）如图，与的面积之比为2，点是内任意一点(含边界)，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·重庆渝中·月考）键线式可以直观地描述有机物的结构，在有机化学中广泛使用．有机物“萘”可以用下左图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为下右图所示的图形．已知与为全等的正六边形．若点为右边正六边形的边界（包括顶点）上的动点，且向量，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．如图，正与正组成“六芒星”，为“六芒星”的中心，为“六芒星”上一点（边界上），且，则的取值范围是 ． 5．在中，，，点为内（包括边界）任意一点，若，其中，，则的取值范围是 ． 6．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，，点在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，求实数的取值范围． 类型二、极化恒等式解决数量积最值问题 设a，b是平面内的两个向量，则有 证明：，①，② 将两式相减可得，这个等式在数学上我们称为极化恒等式． ①几何解释1（平行四边形模型）以，为一组邻边构造平行四边形，，则，由，得． 即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的”． ②几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M为对角线的交点，则由变形为，得， 该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型． 注：具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量成为另一种可能；我们从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合． 1．（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·内蒙古·期中）已知是正六边形边上任意一点，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）边长为1的正六边形内有一内切圆，是内切圆的直径，点为正六边形六条边上的动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．在直角三角形中，，点在斜边的中线上，则的取值范围为 . 5．（2025高一下·宁夏内蒙古·专题练习）如图，已知正方形的边长为2，过中心的直线与两边，分别交于点，，若是的中点，则的取值范围是 ． 6．（2025高一·全国·专题练习）已知正内接于半径为2的圆，为线段上一动点，延长，交圆于点，则的取值范围为 ． 1．已知点为所在平面内一点，且，若点落在的内部，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．如图，与的面积之比为2，点P是区域内任意一点（含边界），且，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 3．在直角三角形中，，点P在斜边的中线上，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 4．已知正方形ABCD的边长为2，MN是它的内切圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·江西南昌·期中）如图1，“六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点A，B是“六芒星”（如图2）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（包含内部以及边界），若，则x＋y的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 6．如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，点P为AC边上的一个动点，长度为6的线段EF的中点为点B，则的取值范围是 . 7．如图，在中，，，，为线段上的两个动点，且满足，则的取值范围是 ．    8．设长方形的边长分别是，点是内（含边界）的动点，设，则的取值范围是 9．在直角梯形ABCD中，，，，，动点在内运动（含边界），设，则的取值范围是 ． 10．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每逢新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望. 图①是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图②中正六边形的边长为2，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1，若，则 ；若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是 . 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 等和线与极化恒等式 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、等和线解决系数最值问题 1 类型二、极化恒等式解决数量积最值问题 9 压轴专练 13 类型一、等和线解决系数最值问题 1、定义：平面内一组基底及任一向量，，若点P在直线AB上或者在平行于AB的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线. （1）当等和线恰为直线AB时，k=1； （2）当等和线在O点和直线AB之间时，； （3）当直线AB在点O与等和线之间时，； （4）当等和线过O点时，k=0； （5）若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数. 2、证明步骤 如图1，为所在平面上一点，过作直线，由平面向量基本定理知： 存在，使得 下面根据点的位置分几种情况来考虑系数和的值 ①若时，则射线与无交点，由知，存在实数，使得 而，所以，于是 ②若时， （i）如图1，当在右侧时，过作，交射线于两点，则 ，不妨设与的相似比为 由三点共线可知：存在使得： 所以 （ii）当在左侧时，射线的反向延长线与有交点，如图1作关于的对称点，由（i）的分析知：存在存在使得： 所以，于是 综合上面的讨论可知：图1中用线性表示时，其系数和只与两三角形的相似比有关。 我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图1中，过作边的垂线，设点在上的射影为，直线交直线于点，则 (的符号由点的位置确定)，因此只需求出的范围便知的范围 一般解题步骤：（1）确定单位线（当时的等和线）；（2）平移等和线，分析何处取得最值； （3）从长度比计算最值. 1．在中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若（，），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，当时， 可得，从而有；当时，有，根据、、三点共线，可得，进而可得，从而即可求解. 【详解】解：由题意，设，， 当时，，所以， 所以，从而有； 当时，因为（，）， 所以，即， 因为、、三点共线，所以，即. 综上，的取值范围是. 故选：C. 2．（24-25高一下·山东济南·月考）如图，与的面积之比为2，点是内任意一点(含边界)，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可得当P在线段BC上运动时，B、P、C三点共线，此时有最小值，分别延迟AB、AC至，使，连接，根据三角形相似，分析可得当P位于D点时，有最大值，即可得答案. 【详解】当点P在线段BC上运动时，此时B、P、C三点共线， 因为，所以，此时为的最小值； 分别延迟AB、AC至，使，连接，如图所示， 因为， 所以与相似，且相比为， 因为与的面积之比为2，且， 所以与的高之比为， 即与高之比为， 所以三点共线， 当P位于D点时，， 此时，即，此时为的最大值， 所以当点在内（含边界）运动时，的取值范围为 故选：A 3．（23-24高一下·重庆渝中·月考）键线式可以直观地描述有机物的结构，在有机化学中广泛使用．有机物“萘”可以用下左图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为下右图所示的图形．已知与为全等的正六边形．若点为右边正六边形的边界（包括顶点）上的动点，且向量，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由“等和线定理”结合图形分析得解. 【详解】 由平面向量共线定理可得，，，则三点共线的充要条件是. 下面先证明“等和线定理”， 如图，设，， 因为三点共线，所以存在，使得. ， ，，则. 由“等和线定理”结合图形可知：当点在上时，易得， 当点在上时，易得， 当点在上时，易得， 当点在上时，易得， 当点在上时，易得， 当点在上时，易得， 综上，可得. 故选：C． 4．如图，正与正组成“六芒星”，为“六芒星”的中心，为“六芒星”上一点（边界上），且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作出辅助线，得到，结合图形确定取最值的点的位置，根据平行关系求出，从而求出结果. 【详解】连结，并记它们的交点为，记的中点为，如图． 由等和线知当点在直线上时，有． 作一系列与平行的直线与“六芒星”相交，记任意与平行的直线与线段相交于点，则的绝对值为与长度的比值，从而当点与点重合时，分别取到最大值与最小值．下面计算的值． 一方面，，所以； 另一方面，，所以． 从而得到． 故答案为：. 5．在中，，，点为内（包括边界）任意一点，若，其中，，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】构造“等和线”解题，作，连接，则，对应的，作与平行的直线，点在同一直线上时，相等，求出过和的直线对应的“和”，即可得所求范围． 【详解】构造“等和线”解题，作， 连接，则， 所以， 显然对应的， 作出的一系列平行线，对应的 对应的， 过点对应的等和线，过点对应的“等和线：， 所以的取值范围是. 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量基本定理的应用．利用结论：若是不共线向量，，则共线，由此可得，当点在与平行的直线上时，对应的相等，这就是“等和线”．由此可解决平面向量中一类范围问题． 6．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，，点在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】由平面向量基本定理，可设，结合和，推得，，即得的取值范围. 【详解】因点在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动， 故存在，使 ， 依题意，，则，因，则. 故实数的取值范围为. 类型二、极化恒等式解决数量积最值问题 设a，b是平面内的两个向量，则有 证明：，①，② 将两式相减可得，这个等式在数学上我们称为极化恒等式． ①几何解释1（平行四边形模型）以，为一组邻边构造平行四边形，，则，由，得． 即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的”． ②几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M为对角线的交点，则由变形为，得， 该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型． 注：具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量成为另一种可能；我们从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合． 1．（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，连接，利用即可求解. 【详解】取的中点，连接，如图所示， 所以的取值范围是，即， 又由，所以. 故选：B. 2．（23-24高一下·内蒙古·期中）已知是正六边形边上任意一点，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的线性运算，将向量转化为进行数量积运算. 【详解】设正六边形的中心为， ． 根据正六边形的对称性，以点在边上为例， 当点在与顶点重合时，最大为2， 当时，最小为， 则，所以. 故选：B 3．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）边长为1的正六边形内有一内切圆，是内切圆的直径，点为正六边形六条边上的动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设正六边形内切圆圆心为，则，然后利用数量积的运算律及定义求解即可. 【详解】设正六边形内切圆圆心为， 由题意可知内切圆半径为，， 又因为，所以的取值范围为． 故选：C． 4．在直角三角形中，，点在斜边的中线上，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律计算即得. 【详解】在中，由，得， 由点在斜边的中线上，得， 得. 故答案为： 5．（2025高一下·宁夏内蒙古·专题练习）如图，已知正方形的边长为2，过中心的直线与两边，分别交于点，，若是的中点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据向量数量积的运算律及正方形的性质得解. 【详解】由直线l过正方形的中心O且与两边AB、CD分别交于点M、N，得O为MN的中点， 则，， 由Q是BC的中点，得，又，则， 所以取值范围为； 故答案为： 6．（2025高一·全国·专题练习）已知正内接于半径为2的圆，为线段上一动点，延长，交圆于点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据数量积的定义，虽夹角不变，但长度时刻变化，导致数量积不易求，观察发现为定线段，可用极化恒等式转化． 【详解】如图，取中点为，连结． 由条件可知， ． 因为点在劣弧上，当点在点处时取最小值，当点在点处时取最大值， 所以，所以． 故答案为： 1．已知点为所在平面内一点，且，若点落在的内部，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为点 落在 的内部，所以 ， 两点在直线 的同一侧，所以由推广知， ，所以 .故选D. 2．如图，与的面积之比为2，点P是区域内任意一点（含边界），且，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，将图形特殊化，设垂直平分于点，的，当点与点重合和点与点重合时，分别求得的最值，即可求解. 【详解】根据题意，将图形特殊化，设垂直平分于点， 因为与的面积之比为2，则， 当点与点重合时，可得，此时，即的最小值为； 当点与点重合时，可得， 此时，即，此时为最大值为， 所以的取值范围为. 故选：C.    3．在直角三角形中，，点P在斜边的中线上，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中线以及数量积的运算律可得，进而可得结果. 【详解】由题意可知：， 因为， 可得， 又因为点P在斜边的中线上，则， 所以. 故选：A. 4．已知正方形ABCD的边长为2，MN是它的内切圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出图象，结合平面向量的线性运算和数量积化简，求的范围可得的范围. 【详解】设正方形的内切圆圆心为O，如图所示： 考虑是线段上的任意一点，，， 圆的半径长为1，由于是线段上的任意一点，则， 所以. 故选：A 5．（24-25高一下·江西南昌·期中）如图1，“六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点A，B是“六芒星”（如图2）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（包含内部以及边界），若，则x＋y的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】讨论几种特殊情况时的值，再利用图形的对称性即可得解. 【详解】要求x＋y的范围，只需考虑图中6个向量的情况即可，讨论如下：    (1)若P在A点，因为，所以； (2)若P在B点，因为，所以； (3)若P在C点，因为，所以； (4)若P在D点，因为，所以； (5)若P在E点，因为，所以； (6)若P在F点，因为，所以. 所以的最大值为， 根据对称性，可知的最小值为， 故的取值范围是. 故选：C. 6．如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，点P为AC边上的一个动点，长度为6的线段EF的中点为点B，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由向量的数量积公式得出，求出的最大值和最小值即可得出结果. 【详解】由线段EF的中点为点B，得出. .当点P位于点A或点C时，取最大值8. 当点P位于的中点时，取最小值，即， ∴的取值范围为，∴的取值范围为. 故答案为：. 7．如图，在中，，，，为线段上的两个动点，且满足，则的取值范围是 ．    【答案】 【分析】根据题意解，设中点为，利用极化恒等式可得，接着用余弦定理求的范围即可. 【详解】设中点为，，，， ， 则， 设， ， 所以. 故答案为：. 8．设长方形的边长分别是，点是内（含边界）的动点，设，则的取值范围是 【答案】 【分析】根据题意作图，利用平面向量基本定理，结合相似三角形线段长成比例，计算求解. 【详解】 如图，取中点，连接交于，过作，交的延长线于， 过作，交的延长线于， 则， 易知，则，所以， 设，因为三点共线，所以， 设，则，即， 当点在内（含边界）时，在线段上（含端点）， 所以， 由，，可得. 则的取值范围是. 故答案为：. 9．在直角梯形ABCD中，，，，，动点在内运动（含边界），设，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据平面向量的基本定理求解. 【详解】过点作BD的平行线，并分别延长AB，AD交直线于，， 如图所示，根据等和线可得， 以，为基向量，设，则， 于是就有， 而，因此得到． 过点作BD的平行线，分别交AB，AD的延长线于E，F， 由题意知，则四边形BECD为平行四边形，所以． 从而，因此，得到． 由于在线段DF上运动，因此，于是， 最终的取值范围是．    故答案为: . 10．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每逢新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望. 图①是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图②中正六边形的边长为2，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1，若，则 ；若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用向量的线性运算，结合正六边形的性质用表示，进出求出；利用数量积的运算律可得，再求出的最大最小值即可. 【详解】连接，由正六边形性质知，，且是线段的中点， ，又，且不共线， 因此，所以； 如图，取的中点，连接， 则， 由为圆的直径，长度为2，得， 由正六边形的性质知，当点与正六边形的顶点重合时，， 当点为正六边形的边的中点时(如图点)，，， 故答案为：； 【点睛】思路点睛：本题解题思路在于结合图形的特点，分别将其中的向量进行分解、计算、化简，将问题转化为求距离的最大最小值问题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $