第四单元 圆（17种类型85道）专项练习 数学人教版六年级上册（新教材）

第四单元 圆 （17种类型85道） 目录 题型一：圆的概念及特点 1 题型二：画圆 4 题型三：与圆相关的轴对称图形 7 题型四：圆的周长 11 题型五：半圆的周长 13 题型六：圆的周长的应用 15 题型七：含圆的组合图形的周长 18 题型八：圆的面积 21 题型九：圆的面积的应用 24 题型十：圆环的面积 27 题型十一：求最大面积 32 题型十二：含圆的组合图形的面积 35 题型十三：方中圆和圆中方的面积问题 39 题型十四：用转化法求圆的组合图形的周长与面积 43 题型十五：弧、圆心角、扇形的认识 47 题型十六：画扇形 51 题型十七：扇形的周长和面积 54 题型一：圆的概念及特点 1．平行四边形有( )条对称轴，圆有( )条对称轴。 【答案】 0 无数 【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴。据此分析平行四边形和圆的特征即可。 【详解】一般的平行四边形沿着任何一条直线对折，两侧的图形都不能完全重合，因此它不是轴对称图形，对称轴的数量是0条。 圆沿着任意一条直径所在的直线对折，两侧的图形都能完全重合，因此圆是轴对称图形。因为圆有无数条直径，所以圆有无数条对称轴。 2．小军在整理玩具时，找到了一个直角三角形塑料板和一个中间有圆孔的长方形塑料板（如图）。若他想把直角三角形塑料板从长方形塑料板的圆孔中穿过去，则圆孔的直径至少为( )厘米。 【答案】2.4/ 【分析】只要直角三角形最短的高比空心圆孔的直径小，那么直角三角形塑料片就能从空心圆孔中穿过去。最短的高是斜边上的高，可以通过两条直角边的长算出三角形的面积，再求出斜边上的高，即可得到答案。 【详解】直角三角形的面积为4×3÷2＝6（平方厘米） 由三角形的面积求斜边上的高，高＝三角形的面积×2÷底 6×2÷5＝12÷5＝2.4（厘米） 圆孔直径至少等于三角形最短的高2.4厘米。 3．如果一个等腰三角形中，有一个角是，那么这个三角形是______角三角形（填“锐”或“钝”）。一张长方形纸长20cm、宽12cm，用它剪半径2cm的圆，最多可以剪______个。 【答案】 锐 15 【分析】当55°角是顶角时，根据三角形内角和是180°及等腰三角形特征，求出另外两个底角，再根据最大角来判断三角形的形状；当55°角是底角时，根据等腰三角形特征，另一个底角也是55°，根据三角形内角和是180°，求出三角形顶角度数，再根据最大角来判断三角形的形状。 求一个长方形里可以剪几个圆，需先利用半径用乘法求出圆的直径；再用长方形的长和宽，分别除以圆的直径，求出长里面有几个这样的直径，宽里面有几个这样的直径，再将长和宽里面的直径数量相乘。 【详解】当顶角是55°时，等腰三角形的底角为 （180－55°）÷2 ＝125°÷2 ＝62.5° 最大角62.5°＜90° 当底角是55°时，等腰三角形的顶角为 180°－55°－55°＝70° 最大角70°＜90° 综上可知：这个三角形是锐角三角形。 直径：2×2＝4（cm） 20÷4＝5（个） 12÷4＝3（个） 5×3＝15（个） 4．观察正多边形的滚动实验发现：正多边形的边数越多，它的形状就越接近______，滚动起来就越______。 【答案】 圆 平稳 【分析】正多边形的边数越多，它的边就越短、内角就越接近180°，整体轮廓会越来越平滑，形状也就越接近圆；而圆是没有棱角的光滑图形，滚动时不会出现明显的颠簸，所以边数越多的正多边形，滚动起来就越平稳。 【详解】观察正多边形的滚动实验发现：正多边形的边数越多，它的形状就越接近圆，滚动起来就越平稳。 5．如图，圆的直径是( )厘米，正方形的周长是( )厘米。 【答案】 4 16 【分析】由图可知，圆的半径是2厘米，在同圆或等圆中，半径的长度是直径的一半，直径的长度是半径的2倍，则圆的直径是2×2＝4厘米；正方形的边长等于圆的直径，根据“”求出正方形的周长，据此解答。 【详解】2×2＝4（厘米） 4×4＝16（厘米） 所以，圆的直径是4厘米，正方形的周长是16厘米。 题型二：画圆 6．画一个直径为4厘米的圆，并标出圆心、半径和直径。 【答案】 （以实际测量为准） 【分析】画圆的步骤：把圆规的两脚分开，定好两脚的距离，即半径；把有针尖的一只脚固定在一点上，即圆心；把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。 【详解】直径4厘米的圆，半径为厘米，先以任意一点为圆心，用圆规有针尖的一脚固定在圆心，然后以圆规两脚之间的距离为厘米进行旋转一周，得到的图形就是我们要画的圆，最后标注圆心，画出半径和直径。 7．画一个长5厘米、宽3厘米的长方形，并在长方形里面画一个最大的圆。 【答案】见详解 【分析】长方形里画一个最大的圆，圆的直径＝长方形的宽，先用直尺和三角板画出一个长5厘米、宽3厘米的长方形，再从一条宽的两个端点上的角分别画两个45°的角，两条边的交点即圆心位置。画圆的步骤：把圆规的两脚分开，定好两脚的距离，即半径；把有针尖的一只脚固定在一点上，即圆心；把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。 【详解】 8．画一个半径为1.5cm的圆，并用字母标出它的圆心、半径和直径。 【答案】图见详解 【分析】画圆时，圆规两脚的距离是1.5厘米。圆心用大写字母O表示，半径用小写字母r表示，直径用小写字母d表示。 【详解】 9．按要求画一画。 （1）画一个长4厘米，宽3厘米的长方形。 （2）在这个长方形内画一个最大的圆，并用O表示出圆心。 （3）在这个圆中画一条半径和一条直径，并标出r和d。 【答案】见详解 【分析】（1）根据长方形的特征：两组对边平行且相等的四边形。利用直尺、三角尺画一个长为4厘米、宽为3厘米的长方形。 （2）在这个长方形内画一个最大的圆，那么这个圆的直径等于长方形的宽3厘米；连接长方形的两条对角线，对角线的交点就是圆的圆心O；以O点为圆心，以宽的一半为半径，用圆规画出这个圆。 （3）从圆心O向圆上任意一点画一条线段，这条线段就是圆的半径，用字母r标注； 经过圆心O，连接圆上两点的线段就是直径，用字母d标注。 【详解】如图： 10．如图，两条互相垂直的直线相交于点。 （1）以点为圆心画一个直径为3厘米的圆。 （2）在这个圆内画一个最大的正方形。 【答案】（1）（2）见详解 【分析】（1）再同一个圆中，直径是半径的2倍，用圆规画圆的时候，圆规两脚之间的距离是半径，针尖对准圆心，转一圈即可画半径1.5厘米的圆； （2）在圆内画的最大正方形的对角线就等于圆的直径的长度，互相垂直的两条直径就是最大正方形的对角线，依此画图。 【详解】（1）以O为圆心，半径：（厘米）画出符合要求的圆如下图； （2）以两条互相垂直的直径为对角线，即可作出符合要求的正方形如下图； 题型三：与圆相关的轴对称图形 11．根据对称轴分别画出轴对称图形的另外一半。 【答案】见详解 【分析】补全轴对称图形的方法：找出图形的关键点，依据对称轴画出关键点的对称点，再依据图形的形状顺次连接各点，画出最终的轴对称图形。 【详解】 【点睛】一个图形沿一条直线对折，直线两旁的图形完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，折痕所在的直线就是对称轴。 12．画出下面各图形的对称轴，能画几条就画几条。 【答案】见详解 【分析】画对称轴的步骤： （1）找出轴对称图形的任意一组对称点。 （2）连结对称点。 （3）画出对称点所连线段的垂直平分线，就可以得到该图形的对称轴。 【详解】作图如下： 【点睛】轴对称图形定义为平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，直线叫做对称轴。 13．画出下列图形的对称轴。 【答案】见详解 【分析】一个图形沿一条直线对折后，折痕两旁的部分能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴。 【详解】如图： 14．画出下面图形的所有对称轴。 【答案】见详解 【分析】在同一个平面内，一个图形沿某条直线对折，对折后的两部分能完全重合，则这个图形就是轴对称图形，这条直线就是其对称轴，据此画出图形的对称轴。 【详解】如下图。 15．画出下面轴对称图形的对称轴，并在（    ）里注明它们各有几条对称轴。 （    ）条     （    ）条      （    ）条       （    ）条     （    ）条    （    ）条 【答案】见详解 【分析】一个图形沿一条直线对折，直线两旁的图形完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，折痕所在的直线就是对称轴。 画对称轴的步骤：（1）找出轴对称图形的任意一组对称点。（2）连结对称点。（3）画出对称点所连线段的中点的垂线，就可以得到该图形的对称轴。 【详解】 （1）条          （1）条             （4）条 （1）条              （4）条            （1）条 题型四：圆的周长 16．两个同心圆，外圆半径比内圆半径多3分米，那么外圆周长比内圆周长多( )分米。（结果保留π） 【答案】6π 【分析】设内圆半径为x分米，因为外圆半径比内圆半径多3分米，所以外圆半径为（x＋3）分米；根据圆的周长公式C＝2πr，分别写出内圆周长和外圆周长的表达式；最后用外圆周长减去内圆周长，化简后得到差值。 【详解】设内圆半径为x分米，则外圆半径为（x＋3）分米。 2π（x＋3）－2πx ＝2πx＋2π×3－2πx ＝2πx＋6π－2πx ＝6π（分米） 17．根据教材中的推导过程：2π×（r＋1）－2π×r＝2πr＋2π－2πr＝( )。这说明结果中不包含字母r，意味着结果与原半径( )（填“有关”或“无关”）。 【答案】 2π 无关 【分析】根据乘法分配律计算得到2πr＋2π－2πr中，连同数字前面的运算符号一起交换数字位置，2πr和2πr相互抵消，得到最终结果为2π；结果中不含有字母r，说明结果不会随原半径r的变化而变化，因此结果和原半径无关。 【详解】2π×（r＋1）－2π×r ＝2πr＋2π－2πr ＝2π 这说明结果中不包含字母r，意味着结果与原半径无关。 18．在探究规律时，如果没有具体的半径数据，我们可以采用( )法，即假设几个具体的半径数值进行计算；也可以采用( )法，即用字母表示数进行推导。 【答案】 假设 代数 【详解】“假设几个具体的半径数值进行计算”，对应假设法（或赋值法），就是给未知的量假设一个具体方便计算的数值，再计算找规律；“用字母表示数进行推导”，对应代数法（或字母表示数法），就是用字母代表未知量，通过公式推导得出普遍规律。 19．如图长方形的长是圆O半径的( )倍，如果长方形的长是10cm。圆O的周长是( )cm。（图中所有圆和半圆的半径相等） 【答案】 5 12.56 【分析】观察图形可知，长方形的宽等于圆的直径，长方形的长由三部分组成：左边半圆的半径、中间圆的直径、右边圆的直径。据此设半径为r，则直径为2r，进而求得长方形长的字母表达式，再根据“求一个数是另一个数的几倍用除法”，求出长是半径的几倍；再根据字母表达式的结果等于10cm，求出半径的值，最后代入圆的周长公式C＝2πr中，求出圆O的周长。 【详解】设半径为r，则直径为2r。根据题意可得长为2r＋2r＋r＝5r。 5r÷r＝5，因此长方形的长是圆O半径的5倍。 当5r＝10时，根据一个因数＝积÷另一个因数，得： r＝10÷5 ＝2（cm） 圆的周长：2×3.14×2＝12.56（cm） 20．如图所示，下图半圆的周长是( )厘米。 【答案】20.56 【分析】由图可知：半圆的直径为8厘米，半圆周长＝圆周长的一半＋直径。根据圆的周长公式：C＝πd（π取3.14），先求出圆的周长，再除以2，求出圆周长的一半，即半圆弧的长度。将半圆弧的长度与直径相加，求出半圆周长。据此解答。 【详解】3.14×8÷2＋8 ＝25.12÷2＋8 ＝12.56＋8 ＝20.56（厘米） 所以半圆的周长是20.56厘米。 题型五：半圆的周长 21．剪一个周长是25.7cm的半圆，得选择一张面积至少是( )cm2的长方形纸片。 【答案】50 【分析】已知要剪的半圆的周长是25.7cm，根据半圆的周长公式C＝πr＋2r，可知r＝C÷（π＋2），据此求出半圆的半径； 要使长方形纸片的面积最小，那么长方形的长等于半圆的直径，长方形的宽等于半圆的半径；根据长方形的面积公式S＝ab求出纸片的面积。 【详解】半圆的半径： 25.7÷（3.14＋2） ＝25.7÷5.14 ＝5（cm） 长：5×2＝10（cm） 长方形面积：10×5＝50（cm2） 得选择一张面积至少是50cm2的长方形纸片。 22．一个半圆的周长为15.42厘米，它的直径是( )厘米。 【答案】6 【分析】半圆的周长＝圆周长的一半＋直径，圆的周长＝×直径，设半圆的直径是D厘米，根据等量关系：“×直径÷2＋直径＝半圆的周长”列方程解答即可。 【详解】解：设半圆的直径是D厘米。 3.14×D÷2＋D＝15.42 1.57D＋D＝15.42 2.57D＝15.42 D＝15.42÷2.57 D＝6 所以，半圆的直径是6厘米。 23．一个长方形的长是8cm，宽是5cm，在这个长方形中画一个最大的半圆，这个半圆的周长是( )cm。 【答案】20.56 【分析】如下图，在长8cm、宽5cm的长方形中画一个最大的半圆，那么这个半圆的直径等于长方形的长8cm；根据半圆的周长＝圆周长的一半＋直径，其中圆的周长公式C＝πd，代入数据计算求解。 【详解】3.14×8÷2＋8 ＝12.56＋8 ＝20.56（cm） 这个半圆的周长是20.56cm。 24．在一张长12分米，宽5分米的长方形中剪最大的半圆，半圆的周长是( )分米。 【答案】25.7 【分析】如下图所示，在这个长方形内剪下的最大半圆的半径等于长方形的宽，即是5分米。半圆的周长＝圆周长的一半＋直径＝πr＋2r，据此计算。 【详解】3.14×5＋5×2 ＝15.7＋10 ＝25.7（分米） 则半圆的周长是25.7分米。 25．把一个直径10cm的圆剪成两个半圆，则两个半圆周长之和是( )cm。 【答案】51.4 【分析】把一个直径10cm的圆剪成两个半圆后，根据半圆的周长＝圆周长的一半＋直径，所以两个半圆的周长之和＝圆的周长＋两条直径，代入数据解答即可。 【详解】3.14×10＋2×10 ＝31.4＋20 ＝51.4（cm） 即两个半圆周长之和是51.4cm。 【点睛】此题主要考查半圆的周长的计算，关键是理解两个半圆周长之和实际上是比原来的周长多了两条直径。 题型六：圆的周长的应用 26．一个圆形喷水池的半径是5米。现在要在喷水池周围修一条宽1米的环形石子路。 (1)修好后，石子路外边缘的圆半径是多少米？ (2)石子路外边缘的周长比喷水池的周长增加了多少米？（结果用含π的式子表示） 【答案】(1)6米 (2)2π米 【分析】（1）石子路修在喷水池周围，外边缘圆的半径等于喷水池的半径加上石子路的宽度。 （2）根据圆的周长公式，分别求出外边缘圆的周长和喷水池的周长，再相减求出增加的长度。 【详解】（1）5＋1＝6（米） 答：石子路外边缘的圆半径是6米。 （2）2×π×6＝12π（米） 2×π×5＝10π（米） 12π－10π＝2π（米） 答：石子路外边缘的周长比喷水池的周长增加了2π米。 27．杂技演员表演独轮车走钢丝，车轮的直径是40厘米，要骑过75.36米长的钢丝，车轮要转动多少圈？（π取3.14） 【答案】60圈 【分析】根据圆的周长＝π×直径，据此求出车轮的周长，再用钢丝的长度÷车轮的周长，即可解答，注意单位换算。 【详解】40厘米＝0.4米 75.36÷（3.14×0.4） ＝75.36÷1.256 ＝60（圈） 答：车轮要转动60圈。 28．神舟十九号载人飞船在距离地球约400千米高度的圆形轨道上运转，地球的半径大约是6300千米。神舟十九号的轨道大约长多少千米？ 【答案】42076千米 【分析】已知：飞船在距离地球约400千米高度的圆形轨道上运转，所以神舟十九号的轨道是一个圆形，且圆的半径＝地球的半径＋400千米，再根据圆的周长：，代入数据计算即可。 【详解】       ＝42076（千米） 答：神舟十九号的轨道大约长42076千米。 29．科技社团举办了一场赛车模型比赛，两辆赛车的比赛轨道如图所示：A车跑内圈两个小半圆，B车跑外圈一个大半圆。在科创社团举办的这场比赛中，如果这两辆赛车的速度相同，哪辆赛车会赢？（提示：用算式、文字或其他方法解决问题） 【答案】不分输赢 【分析】两辆车的速度相同，因此谁跑的距离短谁就会赢。我们需要分别计算A车和B车所跑的路程，并比较它们的大小。由图可知，A车跑的是两个小半圆，每个小半圆的直径为4米，因此需要计算两个小半圆的总长度B车跑的是一个大半圆，大半圆的直径为两个小半圆直径之和（即8米），因此需要计算大半圆的长度。最后比较两车的路程，判断谁更短。 【详解】A车走的路程： B车走的路程： 4π＝4π 答：两辆赛车的速度和路程相同，所以到达终点的时间相同，不分输赢。 30．暑假期间，张华一家三口到草原度假村旅游，晚上入住底面是圆形的蒙古包，如图所示，张华量得蒙古包的底面直径是10米，张华绕这个蒙古包走一圈，一共走了多少米？ 【答案】31.4米 【分析】由题意可知，求张华绕这个蒙古包走一圈的路程就是求蒙古包的底面周长，这个蒙古包的底面直径是10米，根据“”求出蒙古包的底面周长，据此解答。 【详解】3.14×10＝31.4（米） 答：一共走了31.4米。 题型七：含圆的组合图形的周长 31．按要求完成下列各题。 求图中阴影部分的周长。 【答案】117.4cm 【分析】阴影部分的周长＝长方形的2条长边＋1条宽边＋半圆的周长，圆的周长＝。 【详解】33×2＝66（cm）   3.14×20÷2 ＝62.8÷2 ＝31.4（cm） 66＋20＋31.4 ＝86＋31.4 ＝117.4（cm） 32．巧求下面阴影的周长。 (1) (2) 【答案】(1)20.56dm (2)31.4cm 【分析】（1）阴影部分的周长等于正方形的两条边长，加上直径是4dm的圆的周长，根据圆的周长公式：C＝πd计算。 （2）阴影部分的周长等于直径为（8＋2）cm的圆的周长的一半，再加上直径为8cm和2cm的两个小圆的周长的一半，也就是阴影部分的周长相当于一个直径是（8＋2）cm的圆的周长，根据圆的周长公式：C＝πd计算。 【详解】（1）4×2＋3.14×4 ＝8＋12.56 ＝20.56（dm） （2）8＋2＝10（cm） 3.14×10＝31.4（cm） 33．计算下面图形阴影部分的周长。 【答案】35.4cm 【分析】阴影部分的周长＝直径是12cm圆的周长的一半＋直径是8cm圆的周长一半＋大圆直径12cm与小圆直径8cm的差；根据圆的周长公式：周长＝π×直径，代入数据，即可解答； 【详解】3.14×12÷2＋3.14×8÷2＋（12－8） ＝37.68÷2＋25.12÷2＋4 ＝18.84＋12.56＋4 ＝31.4＋4 ＝35.4（cm） 阴影部分周长是35.4cm。 34．求阴影部分的周长。（单位：cm） 【答案】33.12cm 【分析】观察图形可知，阴影部分的周长＝半径为4cm的圆周长的一半＋一条半圆直径＋直径为4cm的圆周长，其中圆的周长公式C＝2πr或C＝πd，代入数据计算求解。 【详解】2×3.14×4÷2＋4×2＋3.14×4 ＝12.56＋8＋12.56 ＝33.12（cm） 阴影部分的周长是33.12cm。 35．计算下面图形的周长。 【答案】 【分析】图形的周长是由两个半圆和两个长组成的，因此周长相当于一个圆的周长加上两个长，圆的周长＝，圆的直径是60m，以此计算圆的周长即可，再加上两个120m就是这个图形的周长。 【详解】 ＝ ＝m 所以这个图形的周长是m。 题型八：圆的面积 36．如图，大圆和其中一个小圆的直径比为( )，周长比为( )，面积比为( )。 【答案】 2∶1 2∶1 4∶1 【分析】观察可知，大圆的直径等于两个小圆的直径之和。设小圆直径为1份，则大圆直径为2份。 直径比：大圆直径比小圆直径等于2比1； 周长比：圆的周长＝π×直径，周长比等于直径比； 面积比：圆的面积＝π×半径2，半径比等于直径比也是2比1。面积比等于半径比的平方，即（2×2）比（1×1）。 【详解】设小圆直径为1份，大圆直径为2份。 直径比：2∶1 周长比：（π×2）∶（π×1）＝2∶1； 面积比：（π×1×1）∶（π×0.5×0.5） ＝π∶0.25π ＝1∶0.25 ＝4∶1 37．在边长为8厘米的正方形卡纸上，要剪一个最大的圆形做圆盘画，这个圆形的直径是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 【分析】（1）在正方形卡纸上剪最大的圆形，圆的直径等于正方形的边长。 （2）圆的面积＝π×半径2，半径等于直径的一半。先算出半径，再代入公式计算面积，π取3.14。 【详解】根据分析，圆的直径为8厘米。 半径：8÷2＝4（厘米） 面积：3.14×4×4 ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） 38．从一个边长是12分米的正方形纸里剪一个最大的圆，这个圆的周长是( )分米，面积是( )平方分米。 【答案】 37.68 113.04 【分析】根据题意，最大圆的直径等于正方形的边长，圆的周长＝πd，圆的面积＝πr2，由此代入数据即可解答。 【详解】3.14×12＝37.68（分米） 12÷2＝6（分米） 3.14×62 ＝3.14×36 ＝113.04（平方分米） 39．如图，正方形的面积是8，圆形的面积是( )。 【答案】25.12 【分析】观察图形可知，正方形的边长等于圆的半径，正方形的面积＝8＝边长×边长＝半径×半径＝半径的平方，根据圆的面积＝×半径的平方，可知圆的面积等于乘8。据此解答。 【详解】3.14×8＝25.12（） 40．如图，三角形ABC是直角三角形，AB是圆的直径，AB长8厘米，已知阴影部分乙比阴影部分甲的面积少5.12平方厘米。那么BC的长是_____厘米。（π取3.14） 【答案】5 【分析】已知阴影部分乙比阴影部分甲的面积少5.12平方厘米，即直角三角形的面积比半圆的面积少5.12平方厘米，根据圆的面积＝πr2求出半圆的面积，再求出直角三角形的面积，最后根据三角形的面积＝底×高÷2求出BC的长即可。 【详解】3.14×（8÷2）2÷2 ＝3.14×8 ＝25.12（平方厘米） 25.12－5.12＝20（平方厘米） 20×2÷8＝5（厘米） BC的长是5厘米。 题型九：圆的面积的应用 41．如图是一把半圆形真丝折扇。做这样的一把折扇扇面至少需要真丝面料（涂色部分）多少平方分米？ 【答案】12.56平方分米 【分析】求半圆环的面积，涂色部分是半径为3分米的大半圆减去半径为3－2＝1分米的小半圆的部分，利用半圆面积公式S＝πr2，π取3.14，用大半圆面积减去小半圆面积，即可求出需要的真丝面料面积。 【详解】3－2＝1（分米） ×3.14×32－×3.14×12 ＝×3.14×9－×3.14×1 ＝×3.14×（9－1） ＝×3.14×8 ＝12.56（平方分米） 答：做这样的一把折扇扇面至少需要真丝面料（涂色部分）12.56平方分米。 42．公园绿地里浇水用的喷头，最远能喷水8米。喷头旋转一周，最大的喷水面积是多少平方米？ 【答案】200.96平方米 【分析】喷头旋转一周喷水形成一个圆形，最远喷水距离是圆的半径。求喷水面积就是求圆的面积，圆的面积＝圆周率×半径2。 【详解】3.14×82 ＝3.14×64 ＝200.96（平方米） 答：最大的喷水面积是200.96平方米。 43．杨万里的《荷亭倚栏》中，“水面圆纹乱相入，玻璃盆旋玉连环”描述了水面上的圆形波纹交错纷乱，玻璃盆中玉环般的荷叶连环相映。在一个长是14米，宽是12米的长方形小池中，形成一个最大的圆形波纹，这个圆形波纹的面积是多少平方米？ 【答案】113.04平方米 【分析】根据题意，圆形波纹的最大直径为12米，用直径除以2，求出半径的长度，再根据圆的面积公式＝πr2，代入计算求出这个圆形波纹的面积。 【详解】12÷2＝6（米） 3.14×62 ＝3.14×36 ＝113.04（平方米） 答：这个圆形波纹的面积是113.04平方米。 44．杨万里的《荷亭倚栏》中，“水面圆纹乱相人，玻璃盆旋玉连环”描述了水面上的圆形波纹交错纷乱，如同玻璃盆中旋转的玉连环。在长9米，宽60分米的长方形水池中，形成一个最大的圆形波纹，这个圆形波纹的面积是多少平方米？ 【答案】28.26平方米 【分析】先根据“1米＝10分米”把60分米转化为6米，以长方形的宽为直径的圆是长方形里面最大的圆，则圆的直径是6米，利用“”求出这个圆形波纹的面积，据此解答。 【详解】60分米＝6米 3.14×（6÷2）2 ＝3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方米） 答：这个圆形波纹的面积是28.26平方米。 45．为提升人民生活幸福感，洛阳市政府建设了323个“口袋公园”遍布市民家门口。其中一个“口袋公园”的绿化面积如图中阴影部分，你能运用所学求出该“口袋公园”的绿化面积吗？（单位：m）。 【答案】 343平方米 【分析】根据题意可知：“口袋公园”的绿化面积＝长方形的面积－半圆的面积，长方形的面积＝长×宽；半圆的面积＝圆的面积÷2，代入数据计算即可，据此解答。 【详解】（平方米） （平方米） （平方米） 答：该“口袋公园”的绿化面积是343平方米。 题型十：圆环的面积 46．街心花园有一个直径8米的圆形花圃。 (1)如果将花圃的周围围上篱笆，至少需要篱笆多少米？ (2)在花圃周围铺一条1米宽的鹅卵石小路，假如每平方米鹅卵石的单价是50元，铺完这条小路大约需要多少元？ 【答案】(1)25.12米 (2)1413元 【分析】（1）求篱笆的长，即为求圆的周长。根据C＝πd计算。 （2）根据圆环的面积＝外圆的面积－内圆的面积，圆的面积＝πr2，内圆的半径为8÷2，外圆的半径比内圆的半径多1米，计算鹅卵石小路的面积，小路的面积×50即为铺路花的钱。 【详解】（1）3.14×8＝25.12（米） 答：至少需要篱笆25.12米。 （2）8÷2＝4（米） 4＋1＝5（米） 3.14×52－3.14×42 ＝3.14×25－3.14×16 ＝3.14×（25－16） ＝3.14×9 ＝28.26（平方米） 28.26×50＝1413（元） 答：铺完这条小路大约需要1413元。 47．如图，爸爸买了一个周长为6.908米的圆桌，圆桌正中间还摆放着一个直径1.8米的圆形玻璃转盘。 (1)圆桌边缘与玻璃转盘边缘的最近距离是多少米？ (2)圆桌上没有被玻璃转盘覆盖的面积是多少平方米？ 【答案】(1)0.2米 (2)1.256平方米 【分析】（1）根据圆的周长公式：C＝2πr，那么r＝C÷π÷2，据此求出圆桌的半径，根据r＝d÷2，求出玻璃转盘的半径，然后求出圆桌半径与玻璃转盘半径的差即可解答； （2）根据圆环的面积公式：S＝π（R2－r2），把数据代入公式解答。 【详解】（1）6.908÷3.14÷2＝1.1（米） 1.8÷2＝0.9（米） 1.1－0.9＝0.2（米） 答：圆桌边缘与玻璃转盘边缘的最近距离是0.2米。 （2）3.14×（1.12－0.92） ＝3.14×（1.21－0.81） ＝3.14×0.4 ＝1.256（平方米） 答：圆桌上没有被玻璃转盘覆盖的面积是1.256平方米。 48．郑州市潮河上的桥，是国内首座跨径最大的圆环形独塔双索面斜拉桥，因中间为一个大大的圆环，而被人们称为“戒指桥”。圆环的外圆半径是28米，内圆半径是24米。 (1)沿这座桥的内圆铺设一圈彩灯，至少需要多少米的灯带？（接头处忽略不计） (2)如果只看这个完整的圆环，圆环正面的面积是多少平方米？ 【答案】(1)150.72米 (2)653.12平方米 【分析】（1）根据圆的周长＝2πr，代入数据求出内圈圆的周长，即所需灯带的长度； （2）根据环形面积＝，R是外圈圆半径，r是内圈圆半径，代入数据即可求出圆环正面的面积。 【详解】（1）2×24×3.14＝150.72（米） 答：至少需要150.72米的灯带。 （2） ＝3.14×（784－576） ＝3.14×208 ＝653.12（平方米） 答：圆环正面的面积是653.12平方米。 49．甜甜圈是小朋友喜欢的甜食，它的正面形状近似于一个圆环。已知中间镂空部分圆的直径是2厘米，甜甜圈的环宽是3厘米。如果给甜甜圈的正面撒上一层巧克力，这层巧克力的面积大约是多少平方厘米？ 【答案】47.1平方厘米 【分析】圆环面积，先利用求出镂空部分圆也就是内圆的半径，再利用外圆半径＝内圆半径＋环宽求出外圆的半径，最后利用圆环面积公式解答。 【详解】（厘米） （厘米） （平方厘米） 答：这层巧克力的面积大约是47.1平方厘米。 50．中国5G基站覆盖广泛。某城市计划在一个圆形公园中央部署5G信号塔，公园的直径是40米。（π取3.14） (1)要在公园外围修一条宽2米的环形步道，步道的面积是多少平方米？ (2)该公园计划种植草坪的面积占公园总面积（含步道的面积）的，草坪的面积约是多少平方米？ 【答案】(1)263.76平方米 (2)1139.82平方米 【分析】（1）根据圆环的面积＝大圆的面积－小圆的面积，解答此题即可。圆的面积S＝πr2。 （2）利用圆的面积公式算出公园的总面积，再乘即可。圆的面积S＝πr2。 【详解】（1）40÷2＝20（米） 20＋2＝22（米） 3.14×222－3.14×202 ＝3.14×484－3.14×400 ＝1519.76－1256 ＝263.76（平方米） 答：步道的面积是263.76平方米。 （2） ＝3.14×484 ＝1519.76 ＝1139.82（平方米） 答：草坪的面积约是1139.82平方米。 题型十一：求最大面积 51．当下列图形的周长都相等时，其中（    ）的面积比较大。 A．长方形 B．正方形 C．圆 【答案】C 【分析】要比较周长相等的正方形、长方形和圆形，谁的面积最大，谁面积最小，可以先假设这三种图形的周长是多少，再利用这三种图形的面积公式，分别计算出它们的面积，最后比较这三种图形面积的大小。 【详解】为了便于理解，假设正方形、长方形和圆形的周长都是16， 则圆的半径为：＝，面积为：π×（）2＝＝20.38； 正方形的边长为：16÷4＝4，面积为：4×4＝16； 长方形取长为5宽为3，面积为：5×3＝15， 当长方形的长和宽最接近时面积也小于16； 所以周长相等的正方形、长方形和圆形，圆面积最大，长方形面积最小。 故答案为：C 【点睛】此题主要考查长方形、正方形、圆形的面积公式及灵活运用，解答此题可以先假设这三种图形的周长是多少，再利用这三种图形的面积公式，分别计算出它们的面积，最后比较这三种图形面积的大小。 52．用两根长25.12厘米的铁丝分别围成一个正方形和一个圆，它们围出的面积（    ）。 A．圆大 B．正方形大 C．一样大 【答案】A 【分析】用周长除以4求出正方形的边长，再用边长乘以边长求出正方形的面积﹔用周长÷π÷2，求出圆的半径，再根据圆的面积公式S＝πr2求得面积，然后进行比较即可。 【详解】正方形的边长是：25.12÷4＝6.28（厘米） 正方形的面积是：6.28×6.28＝39.4384（平方厘米） 圆的半径是：25.12÷3.14÷2 ＝8÷2 ＝4（厘米） 圆的面积是：3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） 因为39.4384＜50.24 所以正方形的面积＜圆的面积 故答案为：A 【点睛】解答此题的关键是明白，周长相等的情况下，围成的圆的面积最大。 53．如图所示是一个半圆（直径为4厘米），在这个半圆中画一个面积最大的三角形，这个三角形的面积是( )平方厘米。 【答案】4 【分析】面积最大的三角形的底是圆的直径，高是圆的半径，根据三角形的面积＝底×高÷2求出三角形的面积即可。 【详解】4×（4÷2）÷2 ＝4×2÷2 ＝8÷2 ＝4（平方厘米） 所以这个三角形的面积是4平方厘米。 54．把一个边长是10分米的正方形剪成一个最大的圆，这个圆的面积是　 　平方厘米，剩下的边料是　 　平方厘米． 【答案】7850、2150 【详解】试题分析：由图意可知：这个最大圆的直径就等于正方形的边长，再依据圆的面积公式即可求其面积；正方形的面积减圆的面积即为剩下的边料的面积． 解：圆的面积：3.14×（10÷2）2， =3.14×25， =78.5（平方分米）， =7850（平方厘米）； 10分米=100厘米 剩下的边料的面积：100×100﹣7850， =10000﹣7850， =2150（平方厘米）． 答：这个圆的面积是7850平方厘米，剩下的边料的面积是2150平方厘米． 故答案为7850、2150． 点评：此题主要考查正方形及圆的面积公式，关键是明白圆的直径即为正方形的边长，解答时要注意单位的换算． 55．在一个正方形纸片内剪一个最大的圆形纸片，圆形纸片的半径是5厘米，正方形的面积是　 　平方厘米，圆的周长是　 　厘米，圆的面积是　 　平方厘米． 【答案】100，31.4，78.5 【详解】试题分析：由题意可知：这个最大圆的直径应该等于正方形的边长，圆的半径已知，从而可以求出正方形的边长，进而利用正方形的面积公式即可求解；圆的周长C=2πr，面积S=πr2，将半径代入公式，即可分别求出这个圆的周长和面积． 解：正方形的边长：5×2=10（厘米）； 正方形的面积：10×10=100（平方厘米）； 圆的周长：2×3.14×5=31.4（厘米）； 圆的面积：3.14×52=78.5（平方厘米）； 答：正方形的面积是100平方厘米；圆的周长是31.4厘米；圆的面积是78.5平方厘米． 故答案为100，31.4，78.5． 点评：此题主要考查圆的周长和面积以及正方形的面积的计算方法，关键是明白：这个最大圆的直径应该等于正方形的边长． 题型十二：含圆的组合图形的面积 56．求阴影部分面积。 【答案】1.86 【分析】梯形的面积S＝（a＋b）×h÷2，圆的面积S＝π，三角形的面积S＝a×h÷2；由图形可知：阴影部分面积＝梯形的面积－圆的面积的－三角形的面积；梯形的上底a＝3cm，下底b＝4cm，高h＝2cm；圆的半径r＝2cm，π取3.14；三角形的底a＝（4－2）cm，高h＝2cm，代入以上数据即可求出阴影部分面积。 【详解】阴影部分面积： （3＋4）×2÷2－×3.14×－（4－2）×2÷2 ＝7×2÷2－×3.14×4－2×2÷2 ＝7－3.14－2 ＝1.86（） 57．求下图中阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】4.935平方厘米；19.25平方厘米 【分析】（1）先根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，求出梯形面积；再根据圆的面积公式S＝πr2（π取3.14），求出整体圆面积后再除以4，求出圆面积，最后用梯形面积减去圆面积求出阴影部分的面积。 （2）先根据圆的面积公式S＝πr2，求出整体圆面积后再除以2，求出半圆面积；再根据三角形面积＝底×高÷2，求出三角形面积；最后用半圆面积减去空白三角形面积，求出阴影部分的面积。 【详解】（1）（3＋5）×3÷2 ＝8×3÷2 ＝24÷2 ＝12（平方厘米） 3.14×32÷4 ＝3.14×9÷4 ＝28.26÷4 ＝7.065（平方厘米） 12－7.065＝4.935（平方厘米） （2）3.14×（10÷2）2÷2 ＝3.14×52÷2 ＝3.14×25÷2 ＝78.5÷2 ＝39.25（平方厘米） 10×4÷2 ＝40÷2 ＝20（平方厘米） 39.25－20＝19.25（平方厘米） 58．计算下图中涂色部分的面积。 【答案】7.74cm2 【分析】观察图形可知，涂色部分的面积是一个边长为6cm的正方形的面积减去一个直径为6cm的圆的面积。根据正方形的面积公式＝边长×边长，圆的面积公式＝πr2，代入数据计算即可。 【详解】6×6－3.14×（6÷2）2 ＝36－3.14×32 ＝36－3.14×9 ＝36－28.26 ＝7.74（cm2） 59．如图，线段AB＝8厘米，且AO＝BO，求涂色部分的面积。 【答案】25.12平方厘米 【分析】 → 根据题意，结合图示，AO＝BO，则大半圆的半径等于小半圆的直径。如上图，可以用“割补法”将图中右下方小半圆切割下来补充在大半圆中的空白小半圆处，这样就拼成了一个完整的大半圆。且已知AB＝8厘米，即大半圆的直径是8厘米，根据求出大半圆的半径，再利用求出大半圆的面积。 【详解】（厘米） （平方厘米） 涂色部分的面积是25.12平方厘米。 60．求出下面图形中阴影部分的面积。 【答案】3.87cm2 【分析】图中阴影部分的面积＝长方形的面积－2个圆的面积；已知长方形的长是6cm，宽是3cm，根据长方形的面积＝长×宽，先求出长方形的面积；2个圆可以组成一个半圆，半径是3cm，根据半圆的面积等于所在圆的面积的一半，即，可求出半圆的面积；最后用长方形的面积减去半圆的面积，即可求出阴影部分的面积。 【详解】6×3－3.14×32÷2 ＝18－3.14×9÷2 ＝18－28.26÷2 ＝18－14.13 ＝3.87（cm2） 阴影部分的面积是3.87cm2。 题型十三：方中圆和圆中方的面积问题 61．“福”字指福气、福运，春节贴“福”字，是中国民间由来已久的风俗，寄托了人们对幸福生活的向往，也是对美好未来的祝愿。下面这幅圆形“福”字窗花中，圆的直径是20厘米，“福”字所在的正方形与圆之间的部分面积是多少平方厘米？ 【答案】114平方厘米 【分析】圆的直径20厘米，半径就是10厘米，先根据圆的面积公式计算圆的面积。 正方形的对角线等于圆的直径20厘米，把正方形看成2个完全相同的三角形，每个三角形的底是20厘米，高是10厘米，用“×2”算出正方形面积。 最后用“用圆的面积－正方形的面积”据此可解答。 【详解】r＝20÷2＝10（厘米） （平方厘米） 20×10÷2×2 ＝200÷2×2 ＝100×2 ＝200（平方厘米） 314－200＝114（平方厘米） 答：“福”字所在的正方形与圆之间的部分面积是114平方厘米。 【点睛】 62．如图，圆中的三个正方形（阴影部分）甲、乙、丙的边长分别是3厘米、2厘米、1厘米。圆的面积是多少平方厘米？ 【答案】56.52平方厘米 【分析】由图可知，大正方形的边长等于三个小正方形的边长之和，求出大正方形的边长，根据“”求出大正方形的面积，连接大正方形的对角线，大正方形被分成两个完全相同的等腰直角三角形，斜边长度等于圆的直径，斜边上的高等于圆的半径，根据“”求出半径的平方，最后根据“”求出圆的面积。 【详解】 3＋2＋1＝6（厘米） 6×6＝36（平方厘米） 36÷2＝18（平方厘米） 解：设圆的半径为r厘米。 2r×r÷2＝18 2r2÷2＝18 r2＝18 3.14×18＝56.52（平方厘米） 答：圆的面积是56.52平方厘米。 63．画一个直径为4厘米的圆代表“中国梦”，并在圆内画一个最大的正方形象征“四方同心”，求出正方形的面积。 【答案】画图见详解；8平方厘米 【分析】画图时，先以2厘米为半径画直径4厘米的圆，再画两条互相垂直的直径，连接直径的四个端点，即可画出圆内最大的正方形。 圆内最大正方形的对角线长度等于圆的直径，把这个正方形沿对角线分成两个完全相同的等腰直角三角形，每个三角形的底就是正方形的对角线（4厘米），高是对角线长度的一半（2厘米），根据三角形面积＝底×高÷2，求出三角形的面积，再乘2，求出正方形的面积。 【详解】画图如下： 4×（4÷2）÷2×2 ＝4×2÷2×2 ＝8÷2×2 ＝4×2 ＝8（平方厘米） 答：正方形的面积是8平方厘米。 64．有一个可以折叠的圆形餐桌，它的直径是2米，折叠后正好是一个正方形（如图），折叠后的面积减少了多少？ 【答案】1.14平方米 【分析】圆面积＝πr2，由此求出圆形餐桌的面积。将正方形分成两个一模一样的直角三角形，每个直角三角形的底是圆的直径，高是圆的半径，再根据“三角形面积＝底×高÷2”求出一个三角形的面积，再乘2，求出两个三角形的面积，即正方形的面积。将圆的面积减去正方形的面积，即可求出折叠后的面积减少了多少。 【详解】2÷2＝1（米） 3.14×12－2×1÷2×2 ＝3.14×1－1×2 ＝3.14－2 ＝1.14（平方米） 答：折叠后的面积减少了1.14平方米。 65．李叔叔计划在边长8米的正方形天台上用油漆涂出一个最大的圆用于布置，若每平方米需要用油漆0.5千克，需要多少千克油漆？ 【答案】25.12千克 【分析】根据题意可知，圆的直径等于正方形的边长；根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，求出圆的面积，再乘0.5，即求出需要油漆的重量。 【详解】3.14×（8÷2）2×0.5 ＝3.14×42×0.5 ＝3.14×16×0.5 ＝50.24×0.5 ＝25.12（千克） 答：需要25.12千克油漆。 题型十四：用转化法求圆的组合图形的周长与面积 66．计算下面图形阴影部分的面积。 【答案】18dm2 【分析】如下图，把右边的阴影部分移补到如箭头所示的位置，与左边的阴影部分合在一起，这样阴影部分是一个等腰直角三角形，两条直角边等于圆的半径6dm；根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算，求出阴影部分的面积。 【详解】如图： 6×6÷2 ＝36÷2 ＝18（dm2） 67．求图中阴影部分A的面积比B的面积多多少平方分米。 【答案】10.75平方分米 【分析】观察图形可知，直角三角形的一个底角为45°，那么这个直角三角形也是等腰三角形，则两条直角边都等于10分米。 给阴影部分A和阴影部分B分别加上空白部分，那么阴影部分A与阴影部分B的面积差就转化成等腰直角三角形与半圆的面积差，根据三角形的面积公式S＝ah÷2，半圆的面积公式S＝πr2÷2，代入数据计算求解。 【详解】三角形的面积： 10×10÷2＝50（平方分米） 半圆的面积： 3.14×（10÷2）2÷2 ＝3.14×52÷2 ＝3.14×25÷2 ＝39.25（平方分米） 阴影部分A的面积比B的面积多： 50－39.25＝10.75（平方分米） 68．求面积。 【答案】16dm2 【分析】左右两块阴影部分合起来是1个完整的圆，直径为4dm，中间长方形里的空白部分，上下两个半圆合起来也是1个和它大小完全相同的圆；将左右两侧的半圆分别补到两个空白半圆中，则阴影面积为中间边长为4dm的正方形面积，正方形面积＝边长×边长。 【详解】4×4＝16（dm2） 69．求阴影部分的面积。如图中，底边和高都是6厘米的等腰三角形，分别以高的长度为直径画圆（π取3.14）。 【答案】17.325平方厘米 【分析】由图可得：阴影部分的面积＝大圆的面积＋小半圆的面积×2（小圆的面积）－三角形的面积，大圆的直径是6厘米，两个小半圆的直径之和等于三角形的底，也是6厘米，即小半圆的直径为3厘米，三角形的底和高都是6厘米，由此根据公式求出即可。 【详解】大圆的面积： 3.14×（6÷2）2 ＝3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 小半圆面积之和（小圆的面积）： 3.14×（6÷2÷2）2 ＝3.14×（3÷2）2 ＝3.14×1.52 ＝3.14×2.25 ＝7.065（平方厘米） 三角形的面积： 6×6÷2 ＝36÷2 ＝18（平方厘米） 阴影部分的面积： 28.26＋7.065－18 ＝35.325－18 ＝17.325（平方厘米） 70．下图是由一个半圆和一个等腰直角三角形重叠组合成的图形。求阴影部分的面积。（单位：cm） 【答案】64cm2 【分析】利用割补、旋转等方法，将三角形外的阴影部分，填补拼接在三角形内阴影部分下方的空白处，则阴影部分面积等于大等腰直角三角形面积的一半。根据三角形面积S＝底×高÷2，求出大三角形面积，再除以2求出阴影部分面积。 【详解】16×16÷2÷2 ＝256÷2÷2 ＝128÷2 ＝64（cm2） 题型十五：弧、圆心角、扇形的认识 71．把一张圆形纸片对折三次后，量得扇形曲线的长度是3.14厘米（如图），这张圆形纸片的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 25.12 50.24 【分析】把一张圆形纸片对折三次，就把这张圆形纸片平均分成了2×2×2＝8份，即扇形曲线的长度（3.14厘米）是这张圆形纸片周长的，用3.14÷可求出这张圆形纸片的周长是25.12厘米。 根据圆的周长公式逆推，用25.12÷3.14÷2可求出圆的半径是4厘米；再根据圆的面积，用3.14×42可求出这张圆形纸片的面积。 【详解】3.14÷ ＝3.14÷ ＝3.14×8 ＝25.12（厘米） 25.12÷3.14÷2 ＝8÷2 ＝4（厘米） 3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） 所以，这张圆形纸片的周长是25.12厘米，面积是50.24平方厘米。 【点睛】此题主要考查了圆的周长、面积计算公式。解决此题关键是明确对折三次，就把这张圆形纸片平均分成8份。 72．一张圆形纸，最少对折( )次，就能找到圆心；圆心角是270°的扇形面积是整个圆面积( )（填分数）。 【答案】 2 【分析】（1）先将一张圆形纸进行一次对折，使两个半圆完全重叠，这时圆中会出现一条折痕；然后再对折一次，得到另一条折痕；展开圆，两条折痕的交点（实际上是两条直径的交点）就是圆的圆心。 （2）整个圆的圆心角是360°，求圆心角是270°的扇形面积是整个圆面积几分之几，就是求270°是360°的几分之几，用除法计算，结果用最简分数表示。 【详解】（1）如图： 一张圆形纸，最少对折2次，就能找到圆心； （2）270°÷360°＝ 圆心角是270°的扇形面积是整个圆面积。 【点睛】本题考查找圆心的方法以及分数与除法的关系，明确求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算。 73．以半圆为弧的扇形的圆心角的( )度；这个扇形面积是这个整圆面积的( )（填分数）。 【答案】 180 【分析】因为圆周角是360度，所以以圆为弧的扇形的圆心角是360°×＝180°；半圆的面积就是圆的面积的一半，据此即可解决。 【详解】由分析可得：以半圆为弧的扇形的圆心角的180度；这个扇形面积是这个整圆面积的。 【点睛】本题考查了扇形的圆心角和面积计算，属于基础题。 74．下图中，阴影部分的面积是整个圆面积的，阴影部分的圆心角是( )度。    【答案】60 【分析】周角360度，阴影部分是个扇形，将周角度数看作单位“1”，周角度数×扇形对应百分率＝圆心角度数，据此列式计算。 【详解】360×＝60（度），阴影部分的圆心角是60度。 【点睛】关键是理解分数乘法的意义，熟悉扇形的特征。 75．已知圆形纸片的直径是10cm，将这个圆形纸片沿直径连续对折三次，得到的扇形的圆心角是( )°，面积是( )cm2。 【答案】 45 9.8125 【分析】对折三次之后是将360°平均分成8份，用360°÷8，求出扇形圆心角；再根据扇形的面积公式：面积＝πr2×代入数据，即可解答。 【详解】360°÷8＝45° 3.14×（10÷2）2× ＝3.14×52× ＝3.14×25× ＝78.5× ＝9.8125（cm2） 已知圆形纸片的直径是10cm，将这个圆形纸片沿直径连续对折三次，得到的扇形的圆心角是45°，面积是9.8125cm2。 【点睛】解答本题的关键是明确折叠三次就是把这个圆平均分成的份数，以及扇形面积公式的应用。 题型十六：画扇形 76．请你画一个半径是2cm的圆，再在圆中画一个圆心角是24°的扇形。并想一想，多少个这样的扇形可以拼成一个圆。 【答案】作图见详解；15个 【分析】画圆的步骤：把圆规的两脚分开，定好两脚的距离，即半径；把有针尖的一只脚固定在一点上，即圆心；把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。 由圆的两条半径与这两条半径所夹的圆心角所对的弧围成的图形就是扇形，据此以圆心为顶点，画出24°的圆心角，即可画出这个扇形。 周角度数÷扇形圆形角的度数＝扇形的个数。 【详解】 360°÷24°＝15（个） 答：15个这样的扇形可以拼成一个圆 77．画一个面积是12.56平方厘米的圆，再在圆中画一个圆心角是90°的扇形。（标出圆心、半径、直径） 【答案】图见详解 【分析】根据圆的面积＝πr2，代入数据求出圆的半径，再根据画圆的方法直接画圆即可；画扇形：以圆的半径为一条边，用量角器画出90°，再画出另一条半径即可；据此解答。 【详解】12.56÷3.14＝4（厘米） 4＝2×2 所以这个圆的半径为2厘米， 作图如下： 78．画一个直径是4cm的圆，标出圆心O和半径r，再在圆中画一个圆心角是100°的扇形。 【答案】见详解 【分析】画圆的步骤：把圆规的两脚分开，定好两脚的距离，即半径；把有针尖的一只脚固定在一点上，即圆心；把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。 由圆的两条半径与这两条半径所夹的圆心角所对的弧围成的图形就是扇形。扇形是圆的一部分。 直径÷2＝半径，据此先画出直径4cm的圆，再以一条半径为边，画一个100°的圆心角，即可画出这个扇形。 【详解】4÷2＝2（cm） 79．画一个周长是18.84厘米的圆，再在圆内画一个圆心角是100°的扇形，并把扇形涂上你喜欢的颜色。 【答案】 【分析】画圆时“圆心定位置，半径定大小”，根据圆周长计算公式“C＝2πr”求出半径，再确定一点O为圆心，即可画圆；然后再在圆内画一个圆心角为100°的扇形，并涂色。 【详解】18.84÷3.14÷2 ＝6÷2 ＝3（厘米） 即所画圆的半径是3厘米；画图略； 80．画一个半径是的圆，再在圆中画一个圆心角是的扇形。 【答案】见详解 【分析】圆规的两脚间的距离是半径，一脚确定圆心，固定圆的位置，再画出圆；在圆上任取一点，与圆心连接，用量角器量出60度的圆心角，交圆上一点，再与圆心连接即可。 【详解】作图如下： 【点睛】本题考查圆、扇形，解答本题的关键是掌握圆、扇形的画法。 题型十七：扇形的周长和面积 81．求阴影部分的面积。 【答案】12.56cm2；6.28cm2 【分析】（1）两个扇形圆心角的和＝180°－90°＝90°，且两个扇形的半径都是4cm，所以阴影部分的面积等于半径是4cm的圆面积的，再根据圆的面积计算公式进行计算即可； （2）阴影部分面积等于直径是4cm的圆的面积的一半，圆的面积＝πr，据此计算即可。 【详解】（1）3.14×4× ＝3.14×16× ＝12.56（cm2） （2）3.14×（4÷2）÷2 ＝3.14×2÷2 ＝3.14×4÷2 ＝12.56÷2 ＝6.28（cm2） 82．看图计算。 正方形中有一个以正方形边长为半径的扇形，请仔细观察，求出涂色部分的面积。（单位：厘米） 【答案】28.26平方厘米 【分析】观察图形，将右下角涂色部分向左上平移至正方形右上角空白部分，如下图，涂色部分的面积正好是一个半径为6的圆面积的；根据圆的面积＝πr2，求出半径为6厘米的圆的面，再乘，即可求出涂色部分的面积。 【详解】3.14×62× ＝3.14×36× ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 涂色部分的面积为28.26平方厘米。 83．如图，以三角形的三个顶点为圆心，作出了半径均为2厘米的扇形。请你求出三角形中阴影部分的面积。 【答案】平方厘米 【分析】三角形的内角和等于，以三角形的三个顶点为圆心，作出了半径均为2厘米的扇形，这三个扇形的圆心角的和就等于；圆的内角和为360°，三个扇形的面积占圆的一半，圆的面积＝πr2。 【详解】 （平方厘米） 84．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，它可以用大小不同的圆心角是90°的扇形的弧线画出来（如下图）。第1步中扇形的半径是1厘米，按下图的方法依次画，第4步画的新扇形的面积是多少平方厘米？ 【答案】7.065平方厘米 【分析】由题意可知，第1步中扇形的半径是1厘米，第2步中扇形的半径是1厘米，第3步中扇形的半径是（1＋1）厘米，第4步中扇形的半径是（1＋1＋1）厘米，扇形的面积是所在圆面积的，最后利用“”求出第4步画的新扇形的面积，据此解答。 【详解】3.14×（1＋1＋1）2× ＝3.14×9× ＝3.14×9× ＝28.26× ＝7.065（平方厘米） 答：第4步画的新扇形的面积是7.065平方厘米。 【点睛】根据图形求出扇形的半径并掌握圆的面积计算公式是解答题目的关键。 85．图中平行四边形的面积是18平方厘米，高是3厘米，求图中阴影部分的面积是多少？ 【答案】37.68平方厘米 【分析】观察图形可知，阴影部分是一个扇形，扇形的半径等于平行四边形高3厘米对应的底边长；根据平行四边形的底＝面积÷高，即可求出高3厘米对应的底边长，即扇形的半径。 从图中可知，扇形的圆心角是180°－60°＝120°，那么这个扇形占整个圆的，根据圆的面积公式S＝πr2，求出整个圆的面积，再乘，即是阴影部分的面积。 【详解】平行四边形的底（圆的半径）： 18÷3＝6（厘米） 扇形的圆心角：180°－60°＝120° 扇形的面积： 3.14×62× ＝3.14×36× ＝3.14×12 ＝37.68（平方厘米） 答：阴影部分的面积是37.68平方厘米。 【点睛】本题考查平行四边形面积公式的灵活运用，以及扇形面积的计算；求出扇形的半径以及扇形面积占整个圆面积的几分之几是解题的关键。 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 圆 （17种类型85道） 目录 题型一：圆的概念及特点 1 题型二：画圆 2 题型三：与圆相关的轴对称图形 3 题型四：圆的周长 5 题型五：半圆的周长 6 题型六：圆的周长的应用 6 题型七：含圆的组合图形的周长 8 题型八：圆的面积 10 题型九：圆的面积的应用 10 题型十：圆环的面积 12 题型十一：求最大面积 14 题型十二：含圆的组合图形的面积 15 题型十三：方中圆和圆中方的面积问题 17 题型十四：用转化法求圆的组合图形的周长与面积 18 题型十五：弧、圆心角、扇形的认识 20 题型十六：画扇形 21 题型十七：扇形的周长和面积 22 题型一：圆的概念及特点 1．平行四边形有( )条对称轴，圆有( )条对称轴。 2．小军在整理玩具时，找到了一个直角三角形塑料板和一个中间有圆孔的长方形塑料板（如图）。若他想把直角三角形塑料板从长方形塑料板的圆孔中穿过去，则圆孔的直径至少为( )厘米。 3．如果一个等腰三角形中，有一个角是，那么这个三角形是______角三角形（填“锐”或“钝”）。一张长方形纸长20cm、宽12cm，用它剪半径2cm的圆，最多可以剪______个。 4．观察正多边形的滚动实验发现：正多边形的边数越多，它的形状就越接近______，滚动起来就越______。 5．如图，圆的直径是( )厘米，正方形的周长是( )厘米。 题型二：画圆 6．画一个直径为4厘米的圆，并标出圆心、半径和直径。 7．画一个长5厘米、宽3厘米的长方形，并在长方形里面画一个最大的圆。 8．画一个半径为1.5cm的圆，并用字母标出它的圆心、半径和直径。 9．按要求画一画。 （1）画一个长4厘米，宽3厘米的长方形。 （2）在这个长方形内画一个最大的圆，并用O表示出圆心。 （3）在这个圆中画一条半径和一条直径，并标出r和d。 10．如图，两条互相垂直的直线相交于点。 （1）以点为圆心画一个直径为3厘米的圆。 （2）在这个圆内画一个最大的正方形。 题型三：与圆相关的轴对称图形 11．根据对称轴分别画出轴对称图形的另外一半。 12．画出下面各图形的对称轴，能画几条就画几条。 13．画出下列图形的对称轴。 14．画出下面图形的所有对称轴。 15．画出下面轴对称图形的对称轴，并在（    ）里注明它们各有几条对称轴。 （    ）条     （    ）条      （    ）条       （    ）条     （    ）条    （    ）条 （1）条          （1）条             （4）条 （1）条              （4）条            （1）条 题型四：圆的周长 16．两个同心圆，外圆半径比内圆半径多3分米，那么外圆周长比内圆周长多( )分米。（结果保留π） 17．根据教材中的推导过程：2π×（r＋1）－2π×r＝2πr＋2π－2πr＝( )。这说明结果中不包含字母r，意味着结果与原半径( )（填“有关”或“无关”）。 18．在探究规律时，如果没有具体的半径数据，我们可以采用( )法，即假设几个具体的半径数值进行计算；也可以采用( )法，即用字母表示数进行推导。 19．如图长方形的长是圆O半径的( )倍，如果长方形的长是10cm。圆O的周长是( )cm。（图中所有圆和半圆的半径相等） 20．如图所示，下图半圆的周长是( )厘米。 题型五：半圆的周长 21．剪一个周长是25.7cm的半圆，得选择一张面积至少是( )cm2的长方形纸片。 22．一个半圆的周长为15.42厘米，它的直径是( )厘米。 23．一个长方形的长是8cm，宽是5cm，在这个长方形中画一个最大的半圆，这个半圆的周长是( )cm。 24．在一张长12分米，宽5分米的长方形中剪最大的半圆，半圆的周长是( )分米。 25．把一个直径10cm的圆剪成两个半圆，则两个半圆周长之和是( )cm。 题型六：圆的周长的应用 26．一个圆形喷水池的半径是5米。现在要在喷水池周围修一条宽1米的环形石子路。 (1)修好后，石子路外边缘的圆半径是多少米？ (2)石子路外边缘的周长比喷水池的周长增加了多少米？（结果用含π的式子表示） 27．杂技演员表演独轮车走钢丝，车轮的直径是40厘米，要骑过75.36米长的钢丝，车轮要转动多少圈？（π取3.14） 28．神舟十九号载人飞船在距离地球约400千米高度的圆形轨道上运转，地球的半径大约是6300千米。神舟十九号的轨道大约长多少千米？ 29．科技社团举办了一场赛车模型比赛，两辆赛车的比赛轨道如图所示：A车跑内圈两个小半圆，B车跑外圈一个大半圆。在科创社团举办的这场比赛中，如果这两辆赛车的速度相同，哪辆赛车会赢？（提示：用算式、文字或其他方法解决问题） 30．暑假期间，张华一家三口到草原度假村旅游，晚上入住底面是圆形的蒙古包，如图所示，张华量得蒙古包的底面直径是10米，张华绕这个蒙古包走一圈，一共走了多少米？ 题型七：含圆的组合图形的周长 31．按要求完成下列各题。 求图中阴影部分的周长。 32．巧求下面阴影的周长。 (1) (2) 33．计算下面图形阴影部分的周长。 34．求阴影部分的周长。（单位：cm） 35．计算下面图形的周长。 题型八：圆的面积 36．如图，大圆和其中一个小圆的直径比为( )，周长比为( )，面积比为( )。 37．在边长为8厘米的正方形卡纸上，要剪一个最大的圆形做圆盘画，这个圆形的直径是( )厘米，面积是( )平方厘米。 38．从一个边长是12分米的正方形纸里剪一个最大的圆，这个圆的周长是( )分米，面积是( )平方分米。 39．如图，正方形的面积是8，圆形的面积是( )。 40．如图，三角形ABC是直角三角形，AB是圆的直径，AB长8厘米，已知阴影部分乙比阴影部分甲的面积少5.12平方厘米。那么BC的长是_____厘米。（π取3.14） 题型九：圆的面积的应用 41．如图是一把半圆形真丝折扇。做这样的一把折扇扇面至少需要真丝面料（涂色部分）多少平方分米？ 42．公园绿地里浇水用的喷头，最远能喷水8米。喷头旋转一周，最大的喷水面积是多少平方米？ 43．杨万里的《荷亭倚栏》中，“水面圆纹乱相入，玻璃盆旋玉连环”描述了水面上的圆形波纹交错纷乱，玻璃盆中玉环般的荷叶连环相映。在一个长是14米，宽是12米的长方形小池中，形成一个最大的圆形波纹，这个圆形波纹的面积是多少平方米？ 44．杨万里的《荷亭倚栏》中，“水面圆纹乱相人，玻璃盆旋玉连环”描述了水面上的圆形波纹交错纷乱，如同玻璃盆中旋转的玉连环。在长9米，宽60分米的长方形水池中，形成一个最大的圆形波纹，这个圆形波纹的面积是多少平方米？ 45．为提升人民生活幸福感，洛阳市政府建设了323个“口袋公园”遍布市民家门口。其中一个“口袋公园”的绿化面积如图中阴影部分，你能运用所学求出该“口袋公园”的绿化面积吗？（单位：m）。 题型十：圆环的面积 46．街心花园有一个直径8米的圆形花圃。 (1)如果将花圃的周围围上篱笆，至少需要篱笆多少米？ (2)在花圃周围铺一条1米宽的鹅卵石小路，假如每平方米鹅卵石的单价是50元，铺完这条小路大约需要多少元？ 47．如图，爸爸买了一个周长为6.908米的圆桌，圆桌正中间还摆放着一个直径1.8米的圆形玻璃转盘。 (1)圆桌边缘与玻璃转盘边缘的最近距离是多少米？ (2)圆桌上没有被玻璃转盘覆盖的面积是多少平方米？ 48．郑州市潮河上的桥，是国内首座跨径最大的圆环形独塔双索面斜拉桥，因中间为一个大大的圆环，而被人们称为“戒指桥”。圆环的外圆半径是28米，内圆半径是24米。 (1)沿这座桥的内圆铺设一圈彩灯，至少需要多少米的灯带？（接头处忽略不计） (2)如果只看这个完整的圆环，圆环正面的面积是多少平方米？ 49．甜甜圈是小朋友喜欢的甜食，它的正面形状近似于一个圆环。已知中间镂空部分圆的直径是2厘米，甜甜圈的环宽是3厘米。如果给甜甜圈的正面撒上一层巧克力，这层巧克力的面积大约是多少平方厘米？ 50．中国5G基站覆盖广泛。某城市计划在一个圆形公园中央部署5G信号塔，公园的直径是40米。（π取3.14） (1)要在公园外围修一条宽2米的环形步道，步道的面积是多少平方米？ (2)该公园计划种植草坪的面积占公园总面积（含步道的面积）的，草坪的面积约是多少平方米？ 题型十一：求最大面积 51．当下列图形的周长都相等时，其中（    ）的面积比较大。 A．长方形 B．正方形 C．圆 52．用两根长25.12厘米的铁丝分别围成一个正方形和一个圆，它们围出的面积（    ）。 A．圆大 B．正方形大 C．一样大 53．如图所示是一个半圆（直径为4厘米），在这个半圆中画一个面积最大的三角形，这个三角形的面积是( )平方厘米。 54．把一个边长是10分米的正方形剪成一个最大的圆，这个圆的面积是　 　平方厘米，剩下的边料是　 　平方厘米． 55．在一个正方形纸片内剪一个最大的圆形纸片，圆形纸片的半径是5厘米，正方形的面积是　 　平方厘米，圆的周长是　 　厘米，圆的面积是　 　平方厘米． 题型十二：含圆的组合图形的面积 56．求阴影部分面积。 57．求下图中阴影部分的面积。（单位：厘米） 58．计算下图中涂色部分的面积。 59．如图，线段AB＝8厘米，且AO＝BO，求涂色部分的面积。 → 60．求出下面图形中阴影部分的面积。 题型十三：方中圆和圆中方的面积问题 61．“福”字指福气、福运，春节贴“福”字，是中国民间由来已久的风俗，寄托了人们对幸福生活的向往，也是对美好未来的祝愿。下面这幅圆形“福”字窗花中，圆的直径是20厘米，“福”字所在的正方形与圆之间的部分面积是多少平方厘米？ 62．如图，圆中的三个正方形（阴影部分）甲、乙、丙的边长分别是3厘米、2厘米、1厘米。圆的面积是多少平方厘米？ 63．画一个直径为4厘米的圆代表“中国梦”，并在圆内画一个最大的正方形象征“四方同心”，求出正方形的面积。 64．有一个可以折叠的圆形餐桌，它的直径是2米，折叠后正好是一个正方形（如图），折叠后的面积减少了多少？ 65．李叔叔计划在边长8米的正方形天台上用油漆涂出一个最大的圆用于布置，若每平方米需要用油漆0.5千克，需要多少千克油漆？ 题型十四：用转化法求圆的组合图形的周长与面积 66．计算下面图形阴影部分的面积。 67．求图中阴影部分A的面积比B的面积多多少平方分米。 68．求面积。 69．求阴影部分的面积。如图中，底边和高都是6厘米的等腰三角形，分别以高的长度为直径画圆（π取3.14）。 70．下图是由一个半圆和一个等腰直角三角形重叠组合成的图形。求阴影部分的面积。（单位：cm） 题型十五：弧、圆心角、扇形的认识 71．把一张圆形纸片对折三次后，量得扇形曲线的长度是3.14厘米（如图），这张圆形纸片的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 72．一张圆形纸，最少对折( )次，就能找到圆心；圆心角是270°的扇形面积是整个圆面积( )（填分数）。 73．以半圆为弧的扇形的圆心角的( )度；这个扇形面积是这个整圆面积的( )（填分数）。 74．下图中，阴影部分的面积是整个圆面积的，阴影部分的圆心角是( )度。    75．已知圆形纸片的直径是10cm，将这个圆形纸片沿直径连续对折三次，得到的扇形的圆心角是( )°，面积是( )cm2。 题型十六：画扇形 76．请你画一个半径是2cm的圆，再在圆中画一个圆心角是24°的扇形。并想一想，多少个这样的扇形可以拼成一个圆。 77．画一个面积是12.56平方厘米的圆，再在圆中画一个圆心角是90°的扇形。（标出圆心、半径、直径） 78．画一个直径是4cm的圆，标出圆心O和半径r，再在圆中画一个圆心角是100°的扇形。 79．画一个周长是18.84厘米的圆，再在圆内画一个圆心角是100°的扇形，并把扇形涂上你喜欢的颜色。 80．画一个半径是的圆，再在圆中画一个圆心角是的扇形。 题型十七：扇形的周长和面积 81．求阴影部分的面积。 82．看图计算。 正方形中有一个以正方形边长为半径的扇形，请仔细观察，求出涂色部分的面积。（单位：厘米） 83．如图，以三角形的三个顶点为圆心，作出了半径均为2厘米的扇形。请你求出三角形中阴影部分的面积。 84．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，它可以用大小不同的圆心角是90°的扇形的弧线画出来（如下图）。第1步中扇形的半径是1厘米，按下图的方法依次画，第4步画的新扇形的面积是多少平方厘米？ 85．图中平行四边形的面积是18平方厘米，高是3厘米，求图中阴影部分的面积是多少？ 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $