26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（教学设计）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦二次函数y=ax²＋bx＋c的图象和性质，课堂导入通过回顾已学的y=a(x-h)²＋k知识，提出利用旧知研究新知的问题，搭建从特殊到一般的学习支架，梳理前后知识脉络。 该资料以y=x²－6x＋21为例引导学生配方转化，培养推理能力（数学思维），描点作图渗透数形结合发展几何直观（数学眼光），例题与检测要求用顶点式、公式表达提升模型意识（数学语言）。帮助学生提升抽象能力，为教师提供清晰探究路径和分层练习，便于教学实施。

26.2.3　二次函数y=ax2＋bx＋c的图象和性质 1.能熟练地用描点法画二次函数y=ax2＋bx＋c的图象． 2.理解并掌握二次函数y=ax2＋bx＋c的有关性质． 3.在教学中渗透数形结合的数学思想方法，会用数学的语言表达现实世界． 1.用描点法画二次函数y=ax2＋bx＋c的图象和通过配方法确定抛物线的对称轴、顶点坐标．（重点） 2.理解二次函数y=ax2＋bx＋c的性质以及它的图象的对称轴和顶点坐标公式．（难点） 知识链接：前面我们学习了二次函数y=a（x－h）2＋k的图象和性质，回顾一下相关知识． 　探究点：二次函数y=ax2＋bx＋c的图象和性质 思考：我们已经知道二次函数y=a（x－h）2＋k的图象和性质，能否利用这些知识来研究y=ax2＋bx＋c的图象和性质？ 以二次函数y=x2－6x＋21为例，我们先画出它的图象，并讨论它的性质． 将y=x2－6x＋21通过配方，得y=x2－6x＋21=（x－6）2＋3. 探究：用“描点法”作图，研究图象性质． 解：先利用图象的对称性列表．（学生自行列表） 然后描点画图，得到图象如图． 结合函数图象，说出其增减性． 在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，y随x的增大而增大． 思考：我们如何用配方法将二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）化成y=a（x－h）2＋k？ y=ax2＋bx＋c=a（x2＋x）＋c=a［x2＋x＋（）2－（）2］＋c=a（x＋）2－＋c=a（x＋）2＋． 因此，抛物线y=ax2＋bx＋c的顶点坐标是（－，），对称轴是直线x=－． 　　　如果a＞0，那么当x＜　－　时，y随x的增大而减小；当x＞　－　时，y随x的增大而增大．　　如果a＜0，那么当x＜　－　时，y随x的增大而增大；当x＞　－　时，y随x的增大而减小． 归纳总结：当a＞0（或a＜0）时，抛物线y=ax2＋bx＋c的顶点是最低点（或最高点）．也就是说，当x=－时，二次函数y=ax2＋bx＋c有最小值（或最大值）．  已知二次函数y=x2－6x＋5. （1）将y=x2－6x＋5化成y=a（x－h）2＋k的形式； （2）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标； （3）当x在什么范围内时，y随x的增大而减小？ 解：（1）y=x2－6x＋5=（x－3）2－4. （2）二次函数的图象的对称轴是直线x=3，顶点坐标是（3，－4）． （3）当x＜3时，y随x的增大而减小． 1.（4分）二次函数y=x2＋4x＋2的图象的对称轴是直线（A） A．x=－2　　B．x=2　　C．x=－1　　D．x=1 2.（4分）抛物线y=－2x2－3x＋1大致是（B） 3.（8分）已知点A（－1，y1），B（4，y2），C（5，y3）都在二次函数y=－2x2＋12x＋1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为　y1＜y3＜y2　（用“＜”连接）． 草图通关 顶点坐标：　（3，19）　，a　＜　0，与y轴交点：　（0，1）　， 对称轴：　直线x=3　． 比较大小关键：对称轴位置，开口方向． 4.（4分）已知二次函数的图象过（－1，0），（3，0），（0，－）三点，则该二次函数的解析式为　y=x2－x－　． 5.（10分）将下列二次函数化成y=a（x－h）2＋k的形式，并求出其图象的顶点坐标． （1）y=3x2＋6x＋9； 书写通关 解：提出二次项系数，得　y=3（x2＋2x）＋9　． 括号内配成完全平方式，得　y=3（x2＋2x＋1）＋9－3　． 整理，得　y=3（x＋1）2＋6　． ∴二次函数图象的顶点坐标为　（－1，6）　．（2）y=－2x2＋12x－25. 解：y=－2（x2－6x＋9）－25＋18=－2（x－3）2－7， ∴该二次函数的顶点式为y=－2（x－3）2－7， 其图象的顶点坐标为（3，－7）． 　　 　　 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $