第26章 26.2 二次函数的图象和性质-26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质-【初中必刷题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦九年级上册“二次函数”核心内容，涵盖一般式化顶点式、图象平移、性质及与系数关系等知识点。课堂导入从二次函数基本形式入手，通过例题解析搭建从配方到平移再到性质应用的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于分层设计（刷基础、刷提升）和微专题（函数值比较、范围问题），结合中考真题培养抽象能力与推理意识。如菱形中抛物线问题发展几何直观，思路分析助力学生用数学语言表达，教师可利用分层练习提升教学针对性，学生能深化理解并提升解题能力。

数 学 九年级上册 RJ 1 2 3 第二十六章 二次函数 4 26.2 二次函数的图象和性质 26.2.3 二次函数 的图象和性质 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 把二次函数的一般式化为顶点式 1.【2025安徽亳州质检】将二次函数化成 的形 式为( ) A A. B. C. D. 【解析】 .故选A. 一题多解 除了可以用配方法化一般式为顶点式外，也可用顶点的坐标公式 化一般式为顶点式. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 2.【2025江苏南通质检】把二次函数化为 的形 式，则 ___. 2 【解析】 ， ，故答案为2. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 知识点2 二次函数 的图象的平移 3.【2025江西九江期末】在平面直角坐标系中，若把对称轴为直线 的抛物线 向上平移，使得平移后的抛物线与坐标轴恰好有两 个交点，则下列平移方式正确的是( ) B A.向上平移1个单位长度 B.向上平移2个单位长度 C.向上平移3个单位长度 D.向上平移4个单位长度 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 【解析】 抛物线的对称轴为直线，， ， ， 抛物线的顶 点坐标为, 抛物线与轴交于正半轴. 平移后的抛物线与坐标轴 恰好有两个交点， 平移后的抛物线顶点在轴上， 抛物线应向上平移2个单位 长度，故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 4.【2026黑龙江牡丹江期中】将抛物线 向左平移一个单位长度后 得到的抛物线的解析式为，则 的值为___. 1 【解析】将抛物线 向左平移一个单位长度后，所得抛物线的解析 式为，即.又 平 移后所得抛物线的解析式为， ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 知识点3 二次函数 的图象和性质 5.二次函数 的图象是( ) C A. B. C. D. 【解析】， 抛物线开口向上. 二次函数的解析式为 ， 抛物线的顶点坐标为 ，对称轴为直线 .故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 6.【2026江苏南京期中】当时，函数的 的取值范围是 ，则 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 【解析】因为二次函数解析式为 ，所以抛物线的对 称轴为直线，顶点坐标为,且开口向下．由得 或4， 所以抛物线与轴的交点为,,所以当时， ．又因为 时，，所以 ．故选D． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 7.如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的部分图象如图 所示，其对称轴为直线，与轴交于点，则当时， 的取值范 围是__________. 【解析】 抛物线对称轴为直线，抛物线经过点， 由抛物线的对称 性可得抛物线经过点， 当时，，故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14 8.【2025上海闵行区期中】已知，， 都是二次函数 的图象上的点，当时，随着 的增大而增大，则 ，，按从小到大的顺序排列是_____________.（用“ ”连接） 【解析】， 图象的对称轴是直线 当时，随着的增大而增大，.点关于直线 的对称点是 ，.故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 9.【2026福建泉州期中】已知二次函数的自变量 与函数 值之间满足表格中的数量关系,那么 的值为____. 3 4 2 2 5 10 【解析】由所给表格可知，当时，，所以．当 和 时，函数值相等，所以抛物线的对称轴为直线，则当 和 时函数值相等，所以 ，所以 ．故答案为10． 关键点拨 由题意得出,分别是当, 时的函数值是解题的关键． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 知识点4 二次函数 的图象与系数的关系 10.二次函数 的图象如图所示，对称轴是直线 .下列结论：； ； ；（ 为实数）.其 中结论正确的个数为( ) B A.1 B.2 C.3 D.4 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17 【解析】 抛物线开口向下， 抛物线的对称轴在 轴右侧， 抛物线与轴交于正半轴，，，正确.②当 时，， 对称轴为直线， .把 代入，得，错误.③当时， ， ，当时，， ， ,正确 抛物线的对称轴为 直线，开口向下,时，函数有最大值,为 ， ，即， 错误.故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 提升 1. 【2026福建厦门期中，中】已知点， ， ， ，二次函数的图象经过这四个点中的三个点，得到 对应的函数解析式，当 的值最大时，所对应的二次函数图象所 经过的点为( ) D A.点、点和点 B.点、点和点 C.点、点和点 D.点、点和点 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 19 【解析】 点、点和点的纵坐标相同, 抛物线不可能同时经过这三点.当抛 物线过点、点和点 时，对称轴为直线 ,， 抛物线的开口向下, .当抛物线过点、点和点 时，对称轴为直线 ,， 抛物线的开口向 上，，此时.当抛物线过点、点和点 时， 对称轴为直线,， 抛物线的开 口向上，，此时， 当抛物线过点 、 点和点时， 的值最大.故选D． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 20 思路分析 根据二次函数图象的对称性,得到二次函数的图象经过点、点和点或点、点 和点或点、点和点,分别根据二次函数的性质和各点的坐标判断 的情况即可. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 21 2.【2025浙江杭州期中，中】已知二次函数的自变量 与 函数值 之间满足如表所示的数量关系： 2 4 7 20.17 20.17 1 那么 的值为( ) B A.4 B.6 C.10 D.14 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 22 【解析】根据表格数据可知，二次函数图象过点，， 对称轴 是直线， 令方程的两根分别为, ,则 ,，且,满足， 抛物线对称轴是直线， 当时的函数值与当 时的函数值相等. 又 当时，， 当时， ， .故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 （第3题图） 3.【2026山东烟台期中，中】如图，抛物线 经过边长 为2的菱形的三个顶点,,， ，则 的值为 ( ) B A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 【解析】如图，作轴于点, 菱形 的边长为2， ， ， ， ， ，.将和 代入 ，得解得的值为 ．故选B． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 25 （第4题图） 4.［难］如图，在矩形中，点，点 ，当二次 函数的图象与矩形 有交点时， 则 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 26 【解析】将配成顶点式为 ， 二次函数图象的顶点坐标是， 二次函数的图象开口向 上，开口大小一定. 顶点坐标为, 此二次函数图象的顶点在直线 上.将抛物线沿直线 从左至右移动，如图（1），当二次函数的 图象与矩形第一次相交时，二次函数的图象经过点，此时 取最小值.将 代入得 ，解得 ，（舍去），则的最小值是 .如图（2），当二次函 数的图象与矩形最后一次相交时，二次函数的图象的顶点在边与 轴的交点 处，此时取最大值.将代入 得 ，解得，（舍去）， ，故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 图（2） 图（1） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 思路分析 二次函数图象与几何图形的交点问题 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 29 5.［较难］如图，函数 的图象由抛物线 的一部分和一条射线组成，且与直线（ 为常数）相交于 ，，.设 ， 则 的取值范围是_ _________. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 30 【解析】由二次函数 可知,图象开口向上，对称轴为直线 ， 当时,函数有最小值2， .由一次函数 可知当时，函数有最大值3，当时， . ，，， ， ，，，.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 思路分析 根据,关于抛物线对称轴对称，可知 .由函数的性质，数形结合的思 想先求出的取值范围，进而求出 的取值范围. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 32 刷素养 走向重高 6.思想方法 数形结合 ［难］如图，直线与轴交于点，与 轴交于 点.已知二次函数的图象经过点,和点 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 33 （1）求, 两点的坐标. 【解】对于直线，当时，；当时， ， ， . 分别令的，，求出对应的和的值，即可得到点， 的 坐标. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 34 （2）若抛物线的对称轴与轴交于点，则在抛物线的对称轴上是否存在一点 ， 使为等腰三角形？若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由. 【解】存在. 二次函数图象经过，， 对称轴为直线， . ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 35 ①当时，.如图（1），， . 图（1） 图（2） ②如图（2），当时，过点作于点 ， ，，，， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 36 图（3） ③如图（3），当时，过点作 交其延长线 于点,则.设，则 . 由勾股定理可知，，解得， . 综上所述,存在一点，使是等腰三角形，其坐标为 或或或 . 关键点拨 注意分类讨论，并结合勾股定理和等腰三角形的性质求点 的坐标. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 37 微专题3 二次函数中函数值大小比较的方法 1.代数法【2025浙江杭州期中，中】已知三点，， 在抛物线 上，则，， 的大小关系是( ) A A. B. C. D.无法比较 【解析】 点，，都在抛物线 上， ，，， . 故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 38 2.对称法【2025吉林长春校级期中，中】已知点，， 均在二次函数的图象上，则，， 的大小关系为( ) D A. B. C. D. 【解析】二次函数图象的对称轴为直线，则点 关 于直线的对称点为， 抛物线 开口向下， 当时，随的增大而增大.， .故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 39 3.距离法【2025福建漳州期末，较难】已知点，， 都在二次 函数的图象上，若，， ， 则下列关于，， 三者的大小关系判断一定正确的是( ) B A.可能最大，不可能最小 B. 可能最大，也可能最小 C.可能最大，不可能最小 D. 不可能最大，可能最小 【解析】在 中，抛物线的对称轴为直线 ，， ， , 点离对称轴最远，点 离对称轴最 近.当时，抛物线开口向上，；当 时，抛物线开口向 下，.综上，和可能最大，也可能最小, 不可能最大，也不可 能最小.故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 40 思路分析 分和 两种情况讨论，根据已知三点与对称轴的距离，结合抛物线开口 方向分析即可. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 41 4.中点法【2025北京东城区调研，中】在平面直角坐标系中， ， 是抛物线 上任意两点，设抛物线的对称轴为直线 . （1）若对于,，有，求 的值； 【解】 对于,,有， 抛物线的对称轴为直线 . 抛物线的对称轴为直线， . （2）若对于,，都有，求 的取值范围. 【解】,，，.又， ， 点离对称轴更近，则点与 连线的中点在对称轴的右侧， ，即 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 42 微专题4 二次函数范围问题 1.定轴定范围【2025陕西西安质检，中】在下列区间内求二次函数 的最值. 【解】，抛物线对称轴为直线.当 时，随的增大而增大，当时，随 的增大而减小. （1）全体实数. 【解】在全体实数范围内，当时，函数有最小值 ,没有最大值.; 依据题 意，可得抛物线对称轴为直线，进而结合二次函数的性质分 ， 和 三种情形进行讨论即可得解. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 43 （2） . 【解】在的范围内，当时，函数有最小值;当 时， 函数有最大值5. （3） . 【解】在的范围内，当时，函数有最小值;当 时，函 数有最大值0. （4） . 【解】在的范围内，当时，函数有最小值0;当 时，函数有最 大值12. 关键点拨 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 44 2.定轴动范围 （1）【2025浙江台州期末，中】当 时，二次函数 的最小值是，则 _ ________. 1或 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 45 【解析】抛物线的对称轴为直线 ，抛物线开口向上， 当时,随的增大而增大；当时，随的增大而减小.①当 ，即 时，则当时，，， ，不符 合题意，舍去.②当，即时，则当时， ， ，解得.③当，即时，则当 时，，, ，解得 ,（舍去）.综上所述，或.故答案为1或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 46 （2）【2025河南郑州期中，中】已知二次函数 ，当 时，有最小值和最大值1，则 的取值范围是______________. 【解析】二次函数, 该函数图象 开口向上，对称轴是直线，当时，该函数取得最小值 当 时，有最小值和最大值1，且当时， ，根据抛物线的 对称性，当时，，，故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 47 3.动轴定范围【2025江苏苏州期末，中】当时，二次函数 的最大值是，最小值是，若，则 的值是_________. 或 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 48 【解析】， 抛物线对称轴为直线 ，抛物线 开口向上.①若，即，则当时，，当 时， ，，解得 （舍去）.②若 ，即，则当时，，当 时， ，，解得或 （舍去）.③ 若，即，则当时，，当 时， ，，解得或 （舍去）.④若 ，即，则当时，，当 时， ，，解得（舍去）.综上可知， 的 值是或，故答案为或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 49 4.动轴动范围【2025安徽芜湖期中，中】已知抛物线 （为常数），当时，与其对应的函数值 的最小值为9，求此时 的二次函数解析式. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 50 【解】， 抛物线对称轴是直线 ， 抛物线开口向上. ①当，即时，当时，， ，解 得（负值已舍去），此时的二次函数解析式为 . ②当，即时，当时，， ， 解得 （都不符合题意，舍去）. ③当，即时，当时， ， ，解得（舍去）或 ，此时的二次 函数解析式为.综上，二次函数解析式为 或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 51 $