26.2.2 第1课时 二次函数y=ax²+k的图象和性质（导学案）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦二次函数y=ax²+k的图象和性质，引导学生掌握画图方法，理解a、k对图象的影响及平移规律。课堂导入通过复习y=ax²，联系配方法解一元二次方程的经验，搭建从旧知到新知的学习支架。 资料特色在于通过描点作图、合作探究比较函数异同，培养几何直观，归纳a和k的影响发展推理意识，典例精析与当堂反馈提升应用意识。探究活动结合数与形分析，中考链接和分层练习助力学生自主构建知识，便于教师评估教学效果。

第26章 二次函数 26.2.2 二次函数 y = a(x - h)2 + k 的图象和性质 第1课时 二次函数 y = ax2 + k 的图象和性质 【学习目标】 1.会画二次函数y = ax²+ k的图象. 2.理解a，k对二次函数图象的影响，能正确说出两个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。 3. 理解y = ax² 与y = ax²+ k 之间的联系. 学习重点：画二次函数y = ax²和y = ax²+ k 的图象，比较它们之间的异同，了解它们的性质. 学习难点：对二次函数y = ax²+ k 的图象与性质的理解，掌握抛物线上下平移的规律. 【复习导入】 在研究了y = ax² 的图象和性质之后，我们进一步探讨当 b，c 不全为 0 时，二次函数 y = ax²+ bx + c 的图象和性质. 如何研究呢？能否将 y = ax² + bx + c 转化为类似 y = ax² 的简单形式? 思考：回想一下，上一章是如何通过配方法解一元二程ax²+ bx + c = 0 的？由此，你得到了什么启发？ 【合作探究】 探究点1：二次函数y = ax²+ k (a≠0)的图象和性质 探究 (1) 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点. (2) 抛物线 与抛物线有什么关系？ 用“描点法”法作图： x … -4 -3 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … … … 描点、连线，画出这两个函数的图象. 根据图象回答下列问题: (1) 图象的形状都是 ； (2) 图形的开口方向 ； (3) 对称轴都是 ； (4) 从上而下顶点坐标分别是 _________________； (5) 顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最小值分别为_______、________； (6) 函数的增减性的共性： 想一想：通过上述例子，函数 y = ax2 + k (a＞0) 的性质是什么？ 探究 (1) 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点. (2) 抛物线 与抛物线 有什么关系？ 根据图象回答下列问题: (1)图象的形状都是____________________； (2)三条抛物线的开口方向____________________； (3)对称轴都是____________________ ； (4) 从上而下顶点坐标分别是 _____________________； (5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为_____、______； (6)函数的增减性共性：_______________________________________________________. 想一想：通过上述例子，函数 y = ax²+ k (a＜0) 的性质是什么？ 归纳总结 y = ax2 a＞0 a＜0 开口方向 对称性 顶点 最值 增减性 典例精析 例1 关于二次函数y=2x2+4，下列说法错误的是（　　） A．其图象的开口方向向上 B．当x=0时，y有最大值4 C．其图象的对称轴是y轴 D．其图象的顶点坐标为（0，4） 例2 关于抛物线y=-x2+1与y=x2-1，下列说法正确的是 （　　） A．开口方向相同 B．顶点相同 C．对称轴相同 D．当x＞0时，y随x的增大而增大 探究点2：二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象及平移 探究：观察上述图象，说说它们之间的区别与联系. 从数的角度探究： 解析式： 点的坐标： 函数对应值表： 从形的角度探究 可以发现，把抛物线y =x2 向 平移 2 个单位长度，就得到抛物线 ；把抛物线 y =x2 向 平移 2 个单位长度，就得到抛物线 . 知识要点：二次函数y=ax2+k(a≠0)与y=ax2的图象的关系 二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象可以由y=ax2的图象平移得到： 当k > 0 时，向上平移k个单位长度得到. 当k < 0 时，向下平移－k个单位长度得到. 上下平移规律：平方项不变，常数项上加下减. 链接中考 1. 将二次函数 y = -2x2﹣2 的图象向上平移 3 个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式是 . 想一想 2.抛物线y=ax2+k (a≠0)中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？ 当堂反馈 1.抛物线y＝2x2＋1的顶点坐标是(　　) A.(2，1) B.(0，1) C.(1，0) D.(1，2) 2.将二次函数y＝x2的图象向下平移1个单位长度，则平移后的二次函数解析式为(　　) A.y＝x2－1 B.y＝x2＋1 C.y＝(x－1)2 D.y＝(x＋1)2 3.关于二次函数y＝2x2＋3，下列说法正确的是( 　) A.它的图象的开口方向是向下 B.当x＜－1时，y随x的增大而减小 C.它的图象的顶点坐标是(2，3) D.当x＝0时，y有最大值是3 4.已知y＝(m－1)＋6是二次函数. (1)求m的值； (2)当m为何值时，该函数图象的开口向上？ 5.[作图通关]已知函数y＝－ax＋b的图象如图所示，请在同一坐标系中画出函数y＝ax2－b的一种可能的图象. 参考答案 【合作探究】 探究点1：二次函数 y = ax2 + k (a≠0) 的图象和性质 典例精析 例1 B 探究： 探究：(1) 抛物线 (2) 向上 (3) y 轴 (4) (0，2)，(0，−2) (5) 低 小 2 −2 (6) 对称轴左侧 y 随 x 增大而减小， 对称轴右侧 y 随 x 增大而增大 探究：（1）抛物线 （2）向下 （3）y轴（或直线x=0） (4)(0,2),（0，-2） (5)高 大 y=2 y=-2 (6)对称轴左侧，y随x的增大而增大；对称轴右侧，y随x的增大而减小 要点归纳：二次函数y=ax2+k(a≠0)的性质： ①当a＞0时，抛物线开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，k)，当x=0时，y有最小值为k.当x＜0时，y随x的增大而减小；x＞0时，y随x的增大而增大； ②当a＜0时，抛物线开口方向向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，k)，当x=0时，y有最大值为k.当x＜0时，y随x的增大而增大；x＞0时，y随x的增大而减小. 例1 B 例2 C 探究点2：二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象及平移 链接中考 1. y = -2x2 + 1 想一想2. a 决定开口方向和大小，k 决定顶点的纵坐标； 对称轴为 y 轴；顶点坐标为 (0，k). 当堂反馈 1.　B　 2.　A　 3. B 4.解：(1)由题意可知m－1≠0且m2－m＝2， 解得m1＝2，m2＝－1.即m的值为2或－1. (2)∵函数图象的开口向上，∴m－1＞0.∴m＞1. ∴当m＝2时，该函数图象的开口向上. 5.解：如图所示. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $