26.2.2二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质（第3课时 y=a（x-h）²+k的图象）（教学设计）数学新教材人教版九年级上册

26.2.2二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质

（第三课时——函数y=a(x-h)²+k的图象)

（教学设计）

1.教学内容

本节课是人教版2024版九年级上册第26章《二次函数》，26.2二次函数图像与性质，26.2.2二次函数

y=a（x-h)²+k的图象与性质,第三课时二次函数y=a（x-h)²+k的图象.在学生掌握y=ax²、y=ax²+k图象与上下平移规律的基础上，学习顶点式y=a(x-h)²+k的完整图象特征、函数性质，探究二次函数图象左右、上下综合平移规律，掌握顶点、对称轴、增减性、最值的通用判定方法，并运用性质解决图象平移、参数求解、函数值比较等基础问题.

2. 内容解析

本节课是第一课时纵向平移（上加下减）知识，补充横向平移规律，整合得出二次函数完整平移法则，构建顶点式完整知识体系.此前学生已掌握最简二次函数、纵向平移型二次函数的探究方法，本节课将单一纵向平移拓展为横纵综合平移，是学生从特殊二次函数模型走向通用顶点式模型的关键一步.本课总结的“左加右减、上加下减”平移规律，是后续二次函数一般式配方、图象变换、最值应用、实际问题建模的核心基础.同时本节课持续沿用数形结合、类比归纳的探究模式，深度培养学生几何直观、数学抽象与逻辑推理的新课标核心素养，在整章教学中起到承前启后、整合体系的核心作用.

基于以上分析，本节课的教学重点为:二次函数y=a(x-h)²+k的图象性质（开口、对称轴、顶点、增减性、最值）；抛物线左加右减、上加下减的完整平移规律.

教学目标

（1）掌握二次函数y=a(x-h)²+k的图象形状、开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性与最值；熟练掌握抛物线横纵综合平移规律，能实现y=ax²与y=a(x-h)²+k的图象互推；能利用函数性质解决参数求解、图象平移、函数值比较等基础题型.

（2）延续“作图—观察—对比—归纳—应用”的探究流程，通过类比旧知探究新知，掌握二次函数图象变换的通用探究方法，提升数形转化、规律归纳、知识迁移的能力.

（3）在图象动态变换探究中感受函数图象的规律性、对称性与统一性，培养严谨的数学思维和自主探究、合作交流的学习习惯，建立二次函数知识体系的整体认知.

2.目标解析

目标1基于学生已掌握的纵向平移知识，突破横向平移难点，整合完整平移规律，让学生全面掌握顶点式二次函数的所有图象性质，完善二次函数基础模型体系，为复杂二次函数学习扫清障碍.

目标2通过类比旧知探究新知，强化学生类比迁移的数学思维；通过作图观察、规律总结、例题实操，提升学生数形结合解题能力和归纳概括能力，形成固定的函数探究思维模型.

目标3借助图象横纵平移的动态变化，深化几何直观素养；通过特殊函数实例归纳通用性质与平移规律，培养数学抽象、归纳推理素养；通过性质的实际应用，提升数学运算与模型应用素养，贴合新课标育人要求.

学生已熟练掌握y=ax²、y=ax²+k的图象画法与性质，理解纵向平移“上加下减”的规律，具备描点作图、图象观察、类比归纳的基本数学能力，熟悉二次函数的探究流程，为本节课学习奠定了扎实基础.九年级学生具象思维较强，但抽象思维仍有待提升，对纵向平移容易掌握，对横向平移的“左加右减”难以理解，极易记反平移方向；同时容易混淆h、k的作用，无法区分横、纵向平移对应的参数，在综合平移问题中容易出错.此外，学生初步具备合作探究能力，适合通过动手作图、对比辨析、例题纠错的方式突破重难点.

基于以上分析，本节课的教学难点确定为：准确理解参数h的几何意义，区分横向平移方向（极易混淆）；灵活结合a、h、k三个参数综合分析函数图象特征；利用对称轴和增减性比较函数值大小.

创设情景，引入新课

复习回顾：（1）二次函数y=2x²-3的顶点坐标、对称轴、最值分别是什么？

（2）抛物线y=2x²-3由y=2x²经过怎样的平移得到？

学生作答，教师总结纵向平移规律：上加下减，k控制图象上下平移.

设问导入：若将函数变形为y=2(x-1)²-3，图象除上下平移外，还会发生什么变化？参数h会对抛物线产生什么影响？引出本节课课题.

（设计意图：精准复习上一课时核心知识，唤醒学生已有知识储备，巩固纵向平移规律，搭建新旧知识桥梁；通过递进式设问制造认知冲突，聚焦本节课新参数h，激发学生探究兴趣，自然衔接新课内容.）

探究点1   画二次函数图象，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点.

活动1.在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点.

列表：

	…	-4	-3	-2	-1	0	1	2	…
	…	-5.5	-3	-1.5	-1	-1.5	-3	-5.5	…

 

描点画图，就得到的图象，如上左图.

观察图象：可以看出，抛物线的开口向下，对称轴经过（-1，0）且垂直于x轴的直线（记作x=-1），顶点是(-1，-1).

活动2.观察抛物线与抛物线有什么关系?

在同一直角坐标系中，画出抛物线与、，如上右图.

观察三个抛物线与、的相同点和不同点是什么？

可以发现，把抛物线向下平移1个单位得抛物线，再向左平移1个单位长度，就得到抛物线.

(设计意图：让学生亲手操作画图，直观感知图象变化，落实学生主体地位；通过小组合作观察对比，培养学生观察分析、合作交流的能力，从具象图象中提炼抽象规律.)

探究点2  函数 y=a(x-h)²+k(a≠0)与函数 y=ax²的关系

活动3.利用信息技术工具画函数y=a(x-h)²+k(a≠0)与函数 y=ax²的图象(改变h、k的值)，观察两图象变化.

操作观察：抛物线y=a(x-h)²+k与y=ax²形状相同，位置不同.把抛物线y=ax²向上(或向下)、向左(或向右)平移，可以得到抛物线y=a(x-h)²+k.平移的方向、距离要根据h，k的值来决定.

抛物线y=a(x-h)²+k有如下特点:

(1）当a>0时，开口向上;当a<0时，开口向下.

(2）对称轴是x=h.

(3）顶点是(h, k).

活动4.梳理总结y=a(x-h)²+k(a≠0)的完整性质和平移规律

图象共性：图象为抛物线，形状、开口大小、开口方向与y=ax²完全一致.

核心要素：对称轴：直线x=h,顶点坐标：(h, 0)，平移规律：抛物线y=ax²左右平移得到y=a(x-h)²，左加右减h>0：向右平移h个单位，h<0，向左平移|h|个单位.

函数增减性与最值:当a>0时，开口向上，顶点为最低点；x<h时，y随x的增大而减小；x>h时，y随x的增大而增大；当x=h时，.当a<0时，开口向下，顶点为最高点；x<h时，y随x的增大而增大；x>h时，y随x的增大而减小；当x=h时，.

(设计意图：通过学生自主探究+教师精准总结，突破本节课重点知识，系统化梳理函数性质和平移规律，帮助学生构建完整的知识框架，突破“左右平移”认知难点.)

典型例题

例1：已知二次函数y=-2(x+1)²-4

（1）直接写出该抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标和函数最值；

（2）说明该抛物线是由y=-2x²经过怎样的平移得到的；

（3）若有三点A(-2,)、B(-1,)、C(0,)，比较、、的大小.