26.2.2 第2课时 二次函数y=a(x-h)²的图象和性质 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦二次函数y=a(x－h)²的图象和性质，通过复习y=ax²与y=ax²+k的图象、性质及平移规律，以问题引导搭建学习支架，衔接新旧知识，为新课探究奠定基础。 此资料以数形结合为核心，通过观察图象填表归纳性质，探究平移规律，培养几何直观与空间观念（数学眼光），典例精析中平移问题及函数值比较，锻炼推理意识与运算能力（数学思维），帮助学生提升知识迁移能力，为教师提供清晰教学思路与可操作活动设计。

26.2.2　二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质 第2课时　二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质 教学设计 课题 26.2.2 第2课时　二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质 授课人 教学目标 1.（2022新课标）能画二次函数 y=a(x−h)2 的图象，体会数形结合的思想与方法，并掌握它的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值及函数的增减性等． 2.（2022新课标）通过图象了解二次函数 y=a(x−h)2 的性质. 3.知道二次函数 y=ax2 与 y=a(x−h)2 的联系.理解抛物线y＝a(x－h)2与y＝ax2之间的位置关系，掌握二次函数y＝a(x－h)2的图象的平移规律. 4.会应用二次函数 y=a(x−h)2 的性质解题. 5.在探索二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质的过程中，会用数形结合的思想与方法解决问题． 教学重点 掌握二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质. 教学难点 掌握抛物线y＝a(x－h)2与抛物线y＝ax2之间的平移规律. 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 情境导入 （1）二次函数y＝ax2的图象是　过原点的抛物线　；顶点坐标为　（0，0）　；对称轴是　y轴　；当a＞0时，抛物线的开口　向上　，顶点是抛物线上的最　低　点，图象在x轴的　上方　（除顶点外）；当a＜0时，抛物线的开口　向下　，顶点是抛物线上的最　高　点，图象在x轴的　下方　（除顶点外）. （2）将二次函数y＝ax2的图象向　上（或下）　平移　|k|　个单位长度后，可得二次函数y＝ax2＋k的图象. 问题：二次函数y＝a（x－h）2（a≠0）的图象是怎样的呢？它与二次函数y＝ax2的图象有什么关系？ 学生自主解答问题，教师根据学生的回答做好总结，从而引入新课. 通过创设情境，以问题形式引导学生复习二次函数y＝ax2与y＝ax2+k的图象和性质，为后面学习新课做好铺垫 探究新知 二次函数y=a（x-h）2的图象 1.观察图象，然后进行填表： 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 y＝－ y＝－ 学生自主填表后，教师指明学生回答，共同得到正确答案. 2.归纳：二次函数y＝a（x－h）2的图象的对称轴是直线x＝h，顶点坐标是（h，0）. 当a>0时，图象开口向上，当x<h时，y随x的增大而减小，当x>h时，y随x的增大而增大，当x＝h时，y有最小值是 0； 当a<0时，图象开口向下，当x<h时，y随x的增大而增大，当x>h时，y随x的增大而减小，当x＝h时，y有最大值是 0. 3.探究规律：在观察所画二次函数的图象后，思考并解答下列问题： （1）抛物线y＝－，y＝－x2，y＝－的形状和大小之间有什么关系？ （2）把抛物线y＝－x2向　左　平移　1　个单位长度后，就得到抛物线y＝－； （3）把抛物线y＝－x2向　右　平移　1　个单位长度后，就得到抛物线y＝－. 教师展示图象的变化情况，学生观察、作答，并思考平移的规律. 4.思考分析 （1）分析抛物线y＝a（x－h）2和y＝ax2之间的区别和联系； （2）讨论二次函数y＝a（x－h）2中a和h的作用. 师生活动：学生小组内讨论得到结论，教师给予补充和总结： 抛物线y＝a（x－h）2和y＝ax2开口方向和大小都相同，对称轴和顶点不同，抛物线y＝a（x－h）2可由抛物线y＝ax2通过平移得到. a的值决定抛物线的开口方向和大小，h的值决定抛物线的对称轴. 通过具体例子，让学生观察函数图象，启发学生思考，归纳出二次函数的图象和性质，让学生在实践中感悟，提高学生利用数形结合思想解决问题的能力. 典例精析 【例1】抛物线y＝ax2向右平移3个单位长度后经过点(－1，4)，求a的值和平移后的函数关系式． 【解】二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位长度后，二次函数关系式可表示为y＝a(x－3)2， 把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2，解得a=， ∴平移后二次函数关系式为y＝(x－3)2． 【方法总结】 解决此类问题先根据平移规律写出函数解析式，再把点的坐标代入求出参数即可. 【例2】已知抛物线y＝－(x＋1)2上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，如果x1＜x2＜－1，那么下列结论成立的是（　　） A．y1＜y2＜0　　　　　　B．0＜y1＜y2 C．0＜y2＜y1　　　　　　D．y2＜y1＜0 答案：A. 【方法总结】 比较函数值大小问题的解题方法 （1）定性质：确定抛物线开口、对称轴、单调性； （2）判位置：判断两点在对称轴的同侧或异侧； （3）比大小：同侧用单调性，异侧用对称性或距离法； （4）验符号：结合函数最值或范围，确定y的符号. 师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答． 本环节为学生提供了多次观察、比较、归纳的活动过程，教学时应让学生进行充分的探索和交流，注重类比是帮助学生正确理解概念的有效方法。 随堂检测 1．将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函数y＝－2(x＋1)2的图象，平移的方法是（　　） A．向上平移1个单位长度　　　　　　 B．向下平移1个单位长度 C．向左平移1个单位长度　　　　　　 D．向右平移1个单位长度 答案：C. 2．对于二次函数y＝3(x＋2)2，下列说法正确的是（　　） A．图象的开口向下　　　　　　　　　　 B．图象的对称轴是直线x＝2 C．当x＞－2时，y随x的增大而减小　　　 D．函数有最小值0 答案：D. 3．对于函数y＝－2(x－m)2的图象，下列说法不正确的是（　　） A．开口向下　　　　　　　B．对称轴是直线x＝m C．最大值为0　　　　　　D．与y轴不相交 答案：D. 4．在同一坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2(x－2)2的图象，并指出两个图象之间的平移关系． 解：画出的函数图象如图． 函数y＝2(x－2)2的图象可由函数y＝2x2的图象向右平移2个单位长度得到． 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况. 课堂小结 【课堂小结】 引导学生从下面三方面进行小结：从方法上学到了什么方法？从知识内容上学到了什么内容？分清楚概念的区别和联系？ 1. 方法层面 学习了二次函数y=a(x-h)2的图象和性质，牢牢把握数形结合的核心思想，借助平移法推导图象，对比y=ax2的图象探究新函数的特征，体会类比迁移、由简到繁的函数研究方法，理清图象左右平移与解析式的对应关系，掌握顶点式的研究思路. 2. 知识内容层面 掌握二次函数y=a(x-h)2的图象特征、平移规律、核心性质以及参数a、h的作用. 3. 概念联系与区别 联系：y=a(x-h)2是y=ax2的延伸，二者图象形状、开口规律完全相同，均属于二次函数顶点式，h=0 时，该函数就变为y=ax2. 区别：y=ax2对称轴为 y 轴、顶点在原点；y=a(x-h)2对称轴为直线x=h ，顶点在(h,0)，图象左右平移，增减性分界点随对称轴改变，h只改变图象水平位置，不影响形状和开口. 核心易错点：记错“左加右减”规律，混淆平移方向；误把对称轴记成x=-h；写错顶点横坐标；搞错对称轴两侧的增减性. 【知识网络】 教学说明：教师提问并引导学生总结归纳二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质． 巩固所学知识，加深对二次函数y=ax2+k的图象和性质 相关概念的理解. 作业布置 板书设计 二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质 1.图象 2.性质. 3.与y=ax2的关系 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $