26.2.2第二课时：y=a(x-h)2+k的图象和性质学案 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦二次函数y=a(x-h)²+k的图象与性质，通过复习y=ax²的开口方向、顶点坐标及平移规律，引导学生猜测新函数与基础函数的联系，搭建从旧知到新知的学习支架。 特色在于通过画图探究平移规律，直观理解参数a、h、k的意义，渗透数形结合思想，培养几何直观与逻辑推理能力。例题结合喷水池实际问题建立函数模型，发展模型意识，分层练习与课堂检测帮助学生巩固应用，提升数学思维与表达能力。

人教版九年级数学上册第26章二次函数 26.2.2第二课时：y＝a(x－h)2＋k的图象和性质学案 一、素养目标 1.会画函数y＝a(x－h)2＋k的图象； 2.能正确说出y＝a(x－h)2＋k的开口方向、对称轴和顶点坐标； 3.掌握抛物线y＝a(x－h)2＋k的平移规律； 4.理解函数图象特征与参数关系，掌握平移规律，培养数形结合与逻辑推理能力. 二、教学重点、难点 重点：作出二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象，并理解其与y＝ax2之间的联系. 难点：掌握二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象的性质并会应用. 三、教学过程 复习引入 1.请说出抛物线y＝－x2的开口方向、顶点坐标、对称轴及最值. 开口向下，顶点坐标是(0，0)，对称轴是y轴，y最大值＝0 2.把抛物线 3.请猜测一下，二次函数的图象是否可以由平移得到？ 探究 (1)画出二次函数的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点. (2)抛物线与抛物线有什么关系？ 解：先列表： (1)观察图形可得： 抛物线的开口 向下 、对称轴是 直线x＝1 、 顶点是 (－1，－1) . (2)关系： 通过移动抛物线y＝－x2就可以得到抛物线y＝－(x＋1)2－1 平移方法1： 平移方法2： 归纳 一般地，抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2形状相同，位置不同.把抛物线y＝ax2向上(或向下)、向左(或向右)平移，可以得到抛物线y＝a(x－h)2＋k.平移的方向、距离要根据h，k的值来决定. 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质 例2 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1.6m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3.6m，水管的长应为多少？ 解：如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系. 点(1.6，3)是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数解析式为 y＝a(x－1.6)2＋3(0≤x≤3.6) 由这段抛物线经过点(3.6，0)，可得 0＝a(x－1.6)2＋3，解得： 因此， y＝－(x－1.6)2＋3 (0≤x≤3.6) 当x＝0时，y＝1.08，也就是说，水管的长应为1.08m. 方法总结： 巧设顶点式求二次函数的解析式： 已知抛物线的顶点坐标(h，k)和抛物线上另一个点的坐标，直接设顶点式y＝a(x－h)2＋k，然后将另 一个已知点的坐标代入，便可求得二次函数的解析式. 课堂练习 1.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，以及随着x的增大，y的变化情况： (1) y＝2(x＋3)2＋5 (2) y＝－3(x－1)2－2 (3) y＝4(x－3)2＋7 (4) y＝－5(x＋2)2－6 2.说出下列二次函数的最大值或最小值： (1) y＝(x＋2)2－2 (2) y＝－(x－1)2＋2 参考答案： 1、 依次是：（1）开口向上，对称轴是x=-3和顶点（-3，5）当x>-3时，y随x的增大而增大，当x<-3时，y随x的增大而减小。（2）开口向下，对称轴是x=1和顶点（1，-2）当x>1时，y随x的增大而减小，当x<1时，y随x的增大而增大。（3）开口向上，对称轴是x=3和顶点（3，7）当x>3时，y随x的增大而增大，当x<3时，y随x的增大而减小。（4）开口向下，对称轴是x=-2和顶点（-2，-6）当x>-2时，y随x的增大而减小，当x<-2时，y随x的增大而增大。 2、 （1）当x=-2时，最小值-2（2）当x=1时，最大值2. 四、课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 五、教学反思 本节课围绕二次函数y＝a(x－h) 2＋k的图象与性质展开教学，借助图象平移引导学生理解参数a、h、k的意义，渗透数形结合思想。课堂整体目标完成较好，但部分学生容易混淆图象左右平移规律，对函数增减性判断不够熟练。今后教学中会多借助动态演示，加强对比练习，精简讲解、多留思考时间，针对性突破易错点，提升学生灵活运用知识的能力。 6、 课堂检测 1、写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： 2、要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？ 3、如图，已知抛物线y=x²-(m+3)x+9的顶点C在x轴正半轴上，一次函数y=x+3与抛物线交于A、B两点，与x、y轴交于D、E两点． （1）求m的值及A、B两点的坐标． （2）点P（a，b）（）是抛物线上一点，当△PAB的面积 是△ABC面积的2倍时，求a,b的值． 参考答案： 1、依次是：（1）开口向上，对称轴是x=-3和顶点（-3，5）开口向下，对称轴是x=1和顶点（1，-2）开口向上，对称轴是x=3和顶点（3，7）开口向下，对称轴是x=-2和顶点（-2，-6） 2、解：如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立直角坐标系. 点(1，3)是图中这段抛物线的顶点.因此可设这段抛物线对应的函数解析式是 y=a(x-1)2+3 (0≤x≤3) ∵ 这段抛物线经过点(3，0) ∴ 0=a(3-1)2+3，解得： ∴ y=-(x-1)2+3 (0≤x≤3) 当x=0时，y=2.25 答：水管长应为2.25m. 3、解：△=（-m-3)²-36=0，m=-9或3，（-9舍去） 当m=3时,抛物线解析式为y=x2﹣6x+9， 联立一次函数y=x+3，可得，解得或， A（1，4），B（6，9）； （2）如图，分别过A、B、P三点作x轴的垂线，垂足分别为R、S、T， A（1，4），B（6，9），C（3，0），P（a，b）， AR=4，BS=9，RC=3﹣1=2，CS=6﹣3=3，RS=6﹣1=5，PT=b，RT=1﹣a，ST=6﹣a， S△ABC=S梯形ABSR﹣S△ARC﹣S△BCS=×（4+9）×5﹣×2×4﹣×3×9=15， S△PAB=S梯形PBST﹣S梯形ABSR﹣S梯形ARTP =（9+b）（6﹣a）﹣（b+4）（1﹣a）﹣×（4+9）×5=（5b﹣5a﹣15）， 又S△PAB=2S△ABC，∴（5b﹣5a﹣15）=30，即b﹣a=15，∴b=15+a， ∵P点在抛物线上，∴b=a2﹣6a+9，∴15+a=a2﹣6a+9，解得a=， ∵﹣3＜a＜1，∴a=，∴b=15+=． 学科网（北京）股份有限公司 $