精品解析：天津市和平区2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

天津市和平区2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷 第Ⅰ卷（选择题共27分） 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上无效． 3．本卷共9小题，每小题3分，共27分． 参考公式： ·球表面积公式（表示球的半径）． 一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知一组样本数据8，3，5，7，10，4，3，则这组样本数据的第80百分位数为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】利用百分位数的计算即可. 【详解】将样本数据从小到大排列为3，3，4，5，7，8，10，共7个数. ，所以第80百分位数是第6个数，为8. 2. 已知四边形为平行四边形，与相交于，设，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的运算法则可得结果. 【详解】, 故选：B. 3. 已知、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，且，，则下列说法中，错误的个数为（ ） ①若，则 ②若，则 ③若，则 A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】B 【解析】 【详解】对①，因为，，由面面垂直的判定定理可得成立，故①正确； 对②，由，，且，并不能推出，故②错误； 对③，由，且，，则直线的位置关系不能确定，故③错误. 所以错误命题的个数为2. 4. 用斜二测画法画一个边长为4的正三角形的直观图，则直观图的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】正三角形的面积为，令直观图面积为， 由，得． 5. 现有一批产品共9件，其中4件正品和5件次品，现从中选4件产品进行检测，则下列事件中互为对立事件的是（ ） A. 恰好两件正品与恰好四件正品 B. 至少三件正品与全部正品 C. 至少一件正品与至少一件次品 D. 至少一件正品与全部次品 【答案】D 【解析】 【详解】选项 A： 两件事不能同时发生，但还存在恰好 1 件、恰好3 件正品的情况，并非必有一件发生，只是互斥事件，不是对立，A错误； 选项 B： “全部正品” 是 “至少三件正品” 的子集，两件事可以同时发生，不互斥，不是对立，B错误； 选项 C： 存在同时满足的情况（如 2 正 2 次），两件事可以同时发生，不互斥，不是对立，C错误； 选项 D：不可能同时出现 “有正品” 和 “全次品”，满足互斥条件； 抽取 4 件产品的所有可能结果只有两类：有正品、全次品，不存在第三种情况，两件事件合起来覆盖全部样本空间，所以二者互为对立事件，D正确. 6. 已知，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据投影向量公式求解即可. 【详解】由题意，得， 所以向量在向量方向上的投影向量为. 7. 已知的内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为（ ） A. 等边三角形 B. 底边和腰不相等的等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【详解】已知正弦定理：（其中为外接圆半径）， 则，，， ，， 即， 显然，，， 由正切函数的单调性可知， ， 则为等边三角形. 8. 已知四棱锥中，平面，底面为正方形，，则四棱锥的外接球（四棱锥各顶点都在球的表面上）的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由平面，底面为正方形，且， 可将四棱锥补成一个棱长均为 2 的正方体，四棱锥的外接球与该正方体的外接球完全相同， 正方体的体对角线即为外接球直径，所以 得外接球半径， 所以四棱锥的外接球的表面积为 . 9. 某城市在创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城市”的满意程度，组织居民给活动打分（分数为整数，满分100分），从中随机抽取一个容量为100的样本，发现数据均在内．现将这些分数分成6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损，使部分图形缺失，如图，在该频率分布直方图中，下列说法正确的是（ ） A. 第三组的频数为16人 B. 估计样本的众数为85分 C. 估计样本的平均数为73.5分 D. 估计样本的中位数为75.5分 【答案】C 【解析】 【详解】选项 A：分数在内的频率为， 所以第三组的频数为，A 错误； 选项 B：众数为最高矩形中点，最高组是，中点是，B 错误； 选项 C：样本的平均数估计值为 C 正确； 选项 D：因为 所以中位数位于，所以中位数的估计值为，D 错误. 第Ⅱ卷（非选择题 共73分） 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共73分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分） 10. 某单位共有A，B，C，D四个部门的职工，其职工人数之比依次为．为了调查职工的健康情况，现用比例分配的分层随机抽样方法，从该单位全体职工中抽出一个容量为300的样本进行调查，则应从A部门抽取职工_____人． 【答案】60 【解析】 【详解】. 11. 若向量为单位向量，且，，则向量的坐标是_____． 【答案】或 【解析】 【详解】设，由为单位向量且， 则有，解得或， 所以或. 12. 已知的内角，，所对的边分别为，，，且，，，则________，的外接圆半径________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】因为，，， 由余弦定理得，解得， 且，则， 由正弦定理得，解得. 13. 已知，，若向量与向量的夹角为锐角，则实数的取值范围为____________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件及向量的线性运算的坐标表示，再利用向量的数量积的坐标运算及向量平行的坐标表示即可求解. 【详解】由题意可知：，, 则，， 因为向量与向量的夹角为锐角, 所以,解得， 当时，，解得. 综上，. 14. 甲、乙、丙3人各自独立地破译同一份密码．若甲能独立破译的概率为，乙能独立破译而丙不能独立破译的概率为，甲、丙都能独立破译的概率为．乙独立破译该密码的概率为________；甲、乙、丙3人中至少有1人独立破译该密码的概率为________． 【答案】 ①. ##0.5 ②. 【解析】 【分析】根据事件独立性的概率公式进行求解；根据对立事件的概率公式进行求解. 【详解】分别记事件甲、乙、丙独立地破译密码为A,B,C . 由题意可知，，， 解得，，. 所以乙独立破译该密码的概率为； 甲、乙、丙3人中至少有1人独立破译该密码的概率. 15. 已知边长为2的正方形，N为边上的中点，M为上一点．若以为底边作等腰三角形，则当点在边上运动时，的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据，即可求解. 【详解】如图，作出符合题意的图形，设的中点为， ∵是以为底边的等腰三角形，， 又为线段上一点，， ． 三、解答题（本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知，，且向量与向量的夹角为． （1）求与的值； （2）求向量与向量的夹角的余弦值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由向量数量积定义以及向量的运算法则求解即可； （2）利用两向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 因为，，且向量与向量的夹角为，所以． ． 【小问2详解】 ， 所以， ，所以． 向量与向量的夹角的余弦值 17. 已知是虚数单位，复数满足． （1）求的虚部与； （2）为复数的共轭复数，若为纯虚数，求与； （3）复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 【答案】（1）虚部为，； （2）， （3）且 【解析】 【分析】（1）化简复数，即可求出复数的虚部和模； （2）由（1）可求出，再根据纯虚数的定义即可求出； （3）先求出复数，再根据其在复平面内对应的点在第二象限，求出的取值范围即可. 【小问1详解】 由，所以的虚部为，； 【小问2详解】 由（1）可得，则，又为纯虚数，所以； 【小问3详解】 因为，且在复平面内对应的点在第二象限， 所以，故且． 18. 已知的内角，，所对的边分别为，，，． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据正弦定理角化边，再利用余弦定理求出角； （2）根据已知条件，结合余弦定理，化简即可求出，最后根据面积公式求出面积即可. 【小问1详解】 （1）因为，所以由正弦定理可得， 又由余弦定理可得，所以，又，所以． 【小问2详解】 由余弦定理可得，由（1）知， 所以，又，， 所以，，所以． 19. 如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，与的中点分别为点，，且，． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面． 【答案】（1）连接，由与的中点分别为点，可得，在中，，平面，平面，故平面. （2）连接，因为菱形，所以，又，，所以，．因为，为中点，所以． 又，所以，所以中，，故． 又因为，平面，平面，所以平面．因为平面，所以平面平面. 【解析】 【分析】（1）使用线面平行判定定理证明； （2）使用线面垂直判定定理与面面垂直判定定理证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 在三棱锥中，． （1）若（如图1），求二面角的余弦值． （2）若（如图2）． （ⅰ）求直线与平面所成角的正弦值； （ⅱ）求直线与直线所成角的大小． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【小问1详解】 取棱的中点，连接，， 因为，所以，，所以为平面与平面所成二面角的平面角． 中，，，， 所以二面角的余弦值为． 【小问2详解】 （ⅰ）取中点，连接，. 因为，所以，， 平面，且，所以平面. 所以即为直线与平面所成的角. 在中，，， 所以，所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为． （ⅱ）因为平面.平面， 所以. 所以直线与直线所成角的大小为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市和平区2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷 第Ⅰ卷（选择题共27分） 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上无效． 3．本卷共9小题，每小题3分，共27分． 参考公式： ·球表面积公式（表示球的半径）． 一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知一组样本数据8，3，5，7，10，4，3，则这组样本数据的第80百分位数为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 2. 已知四边形为平行四边形，与相交于，设，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，且，，则下列说法中，错误的个数为（ ） ①若，则 ②若，则 ③若，则 A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 4. 用斜二测画法画一个边长为4的正三角形的直观图，则直观图的面积是（ ） A. B. C. D. 5. 现有一批产品共9件，其中4件正品和5件次品，现从中选4件产品进行检测，则下列事件中互为对立事件的是（ ） A. 恰好两件正品与恰好四件正品 B. 至少三件正品与全部正品 C. 至少一件正品与至少一件次品 D. 至少一件正品与全部次品 6. 已知，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知的内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为（ ） A. 等边三角形 B. 底边和腰不相等的等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 8. 已知四棱锥中，平面，底面为正方形，，则四棱锥的外接球（四棱锥各顶点都在球的表面上）的表面积为（ ） A. B. C. D. 9. 某城市在创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城市”的满意程度，组织居民给活动打分（分数为整数，满分100分），从中随机抽取一个容量为100的样本，发现数据均在内．现将这些分数分成6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损，使部分图形缺失，如图，在该频率分布直方图中，下列说法正确的是（ ） A. 第三组的频数为16人 B. 估计样本的众数为85分 C. 估计样本的平均数为73.5分 D. 估计样本的中位数为75.5分 第Ⅱ卷（非选择题 共73分） 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共73分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分） 10. 某单位共有A，B，C，D四个部门的职工，其职工人数之比依次为．为了调查职工的健康情况，现用比例分配的分层随机抽样方法，从该单位全体职工中抽出一个容量为300的样本进行调查，则应从A部门抽取职工_____人． 11. 若向量为单位向量，且，，则向量的坐标是_____． 12. 已知的内角，，所对的边分别为，，，且，，，则________，的外接圆半径________． 13. 已知，，若向量与向量的夹角为锐角，则实数的取值范围为____________________． 14. 甲、乙、丙3人各自独立地破译同一份密码．若甲能独立破译的概率为，乙能独立破译而丙不能独立破译的概率为，甲、丙都能独立破译的概率为．乙独立破译该密码的概率为________；甲、乙、丙3人中至少有1人独立破译该密码的概率为________． 15. 已知边长为2的正方形，N为边上的中点，M为上一点．若以为底边作等腰三角形，则当点在边上运动时，的取值范围是_____________． 三、解答题（本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知，，且向量与向量的夹角为． （1）求与的值； （2）求向量与向量的夹角的余弦值． 17. 已知是虚数单位，复数满足． （1）求的虚部与； （2）为复数的共轭复数，若为纯虚数，求与； （3）复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 18. 已知的内角，，所对的边分别为，，，． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 19. 如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，与的中点分别为点，，且，． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面． 20. 在三棱锥中，． （1）若（如图1），求二面角的余弦值． （2）若（如图2）． （ⅰ）求直线与平面所成角的正弦值； （ⅱ）求直线与直线所成角的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $