第四章 指数函数与对数函数（暑假预习举一反三单元自测·提高篇）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本卷为人教A版高一数学指数函数与对数函数单元自测提高篇，含19题（单选8、多选3、填空3、解答5），覆盖指数对数运算、函数性质、零点问题及应用，适配暑假单元巩固与能力提升，注重数学眼光、思维与语言的综合培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|指数幂运算（1）、二分法（2）、函数单调性（4）|基础概念与基本技能结合，如单调性参数范围（4）| |多选|3/18|等式成立判断（9）、奇函数性质（10）|多选项分层考查，如奇函数值域与单调性（10）| |填空|3/15|对数运算（12）、零点存在性（13）|简洁考查关键能力，如偶函数不等式求解（14）| |解答|5/77|声强级模型（17）、函数奇偶性与不等式（18）、零点综合（19）|情境化与综合性强，如声强级对数模型应用（17），多问分层提升推理与表达能力|

第四章 指数函数与对数函数（单元自测·提高篇） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高一上·安徽·期中）已知，下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（5分）（25-26高一上·湖南长沙·期末）用二分法求方程 在 上的近似解时，经过两次二分法后，可确定近似解所在区间为（    ） A．或都可以 B． C． D．不能确定 3．（5分）（25-26高一上·山西吕梁·阶段检测）已知，，则（　　） A． B． C． D． 4．（5分）（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（5分）（25-26高一上·浙江舟山·阶段检测）函数（其中是自然对数的底数）的图象大致为（   ） A． B． C． D． 6．（5分）（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）某地火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最高允许浓度为．为满足此要求，该地一火力发电厂通过某种工艺对排放废气进行过滤处理，处理后废气中剩余二氧化硫的浓度（单位：）与处理时间（单位：分钟）满足关系式：，其中为二氧化硫的初始浓度．若该火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为，那么从现在起至少经过（　　）分钟才能达到排放标准．（） A．17 B．18 C．19 D．20 7．（5分）（25-26高一上·天津和平·阶段检测）已知定义在上的函数满足，、，当时，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（5分）（25-26高一下·江西·期中）已知函数，则函数的零点个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高一上·贵州安顺·阶段检测）下列等式成立的有（    ） A． B． C． D． 10．（6分）（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）已知是奇函数，则（   ） A． B．在上单调递增 C．的值域为 D．的解集为 11．（6分）（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）设函数，且关于x的方程恰有3个不同的实数根（）则下列说法正确的是（   ） A．m的取值范围是 B． C．的取值范围为 D．的取值范围是 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（2026高一上·江苏南通·专题练习）计算___________. 13．（5分）（25-26高一上·浙江杭州·期末）函数的零点，则的值为___________． 14．（5分）（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，当时，单调递减，则不等式的解集为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高一上·江苏盐城·阶段检测）求值： (1)若，求； (2)． 16．（15分）（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知函数. (1)若定义域为，求实数的取值范围． (2)若函数在上为减函数；求实数的取值范围． 17．（15分）（25-26高一上·贵州毕节·期末）在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传播方向垂直的单位面积上的能量称为声强，而在实际生活中，常用声音的声强级来度量．声强级与声强之间的函数关系可采用函数模型进行模拟．经过测定，得到如下两组数据： 声强 声强级 10 20 (1)求的值； (2)若声强级时，对应的声强为；声强级时，对应的声强为，求． 18．（17分）（25-26高一上·北京·阶段检测）已知定义在上的函数，且有，． (1)求函数的解析式并判断其奇偶性； (2)解不等式； (3)设函数，若，，使得，求实数的取值范围． 19．（17分）（25-26高一上·宁夏固原·期中）已知函数. (1)求函数的零点； (2)若函数有两个零点，求的取值范围；（注:在给定的坐标系内画图） (3)在（2）的情况下，若函数有四个零点，记的四个零点从左到右分别为，，，，求的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 指数函数与对数函数（单元自测·提高篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高一上·安徽·期中）已知，下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据指数幂运算性质进行计算即可. 【解答过程】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，1，故C错误； 对于D，，故D错误． 故选：B． 2．（5分）（25-26高一上·湖南长沙·期末）用二分法求方程 在 上的近似解时，经过两次二分法后，可确定近似解所在区间为（    ） A．或都可以 B． C． D．不能确定 【答案】B 【解题思路】借助二分法定义计算即可． 【解答过程】设，则， ，第一次取，有， 故第二次取，有， 故此时可确定近似解所在区间为． 故选：B． 3．（5分）（25-26高一上·山西吕梁·阶段检测）已知，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据对数的运算法则和换底公式即可求解. 【解答过程】由，得，所以，又，所以 . 故选：D． 4．（5分）（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据复合函数的单调性，结合指数函数的单调性和二次函数的单调性即可求解. 【解答过程】令， 因为函数在定义域上单调递增， 则在区间上单调递增， 函数的图象开口向上，对称轴为， 所以， 则实数a的取值范围是. 故选：A. 5．（5分）（25-26高一上·浙江舟山·阶段检测）函数（其中是自然对数的底数）的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据函数的定义域、奇偶性以及特殊点的函数值确定正确答案. 【解答过程】对于函数， 由，解得， 所以的定义域为， ， 所以是奇函数，图象关于原点对称，所以D选项错误. ，由于， 所以，所以C选项错误. ，所以B选项错误. 故选：A. 6．（5分）（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）某地火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最高允许浓度为．为满足此要求，该地一火力发电厂通过某种工艺对排放废气进行过滤处理，处理后废气中剩余二氧化硫的浓度（单位：）与处理时间（单位：分钟）满足关系式：，其中为二氧化硫的初始浓度．若该火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为，那么从现在起至少经过（　　）分钟才能达到排放标准．（） A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】C 【解题思路】根据题干给出的关系式，结合排放标准列出不等式，再通过对数运算求解不等式即可． 【解答过程】由题意得，，其中为二氧化硫的初始浓度， 又二氧化硫的初始浓度为，， 又排放废气中二氧化硫最高允许浓度为， ， 两边同时取对数，得， 即，， 又，解得， 从现在起至少经过分钟才能达到排放标准． 故选：C． 7．（5分）（25-26高一上·天津和平·阶段检测）已知定义在上的函数满足，、，当时，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】构造函数，分析可知函数为偶函数，且函数在上为减函数，将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，结合对数函数的单调性可解出的取值范围，即为所求. 【解答过程】、，当时，都有， 不妨设，则，所以，即， 令，则，即函数在上为减函数， 又因为定义在上的函数满足，则函数的定义域为， 且，故函数为偶函数， 因为，则， 由可得，即， 所以，所以，所以或，解得或， 因此不等式的解集为. 故选：D. 8．（5分）（25-26高一下·江西·期中）已知函数，则函数的零点个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【解题思路】令，由可得，，，分类讨论结合函数图象分析求解即可. 【解答过程】求函数的零点个数，即求方程的不同实数根的个数， 如图，作出函数的大致图象， 令，则，解得，，． 当时，，则，此时方程无解； 当时，，则，此时方程有3个不同实数根； 当时，，则，此时方程有2个不同实数根． 综上可知，函数的零点个数为5． 故选：A． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高一上·贵州安顺·阶段检测）下列等式成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解题思路】利用对数运算法则和换底公式计算，得到答案. 【解答过程】A选项，，A错误； B选项，，，B错误； C选项，，C正确； D选项，，D正确. 故选：CD. 10．（6分）（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）已知是奇函数，则（   ） A． B．在上单调递增 C．的值域为 D．的解集为 【答案】ACD 【解题思路】根据奇函数的定义，列出方程，求出参数值，判断选项A的正误；根据复合函数单调性，判断选项B的正误；根据基本初等函数的性质，对函数解析式进行分离常数，判断函数值域，判断C的正误；根据函数单调性，解不等式即可，判断D的正误. 【解答过程】因为是奇函数，定义域， 所以当时，恒成立，即， 化简得，解得，所以A正确； 可得，记，， 当时，单调递增，在上单调递减，由复合函数的单调性可知在上单调递减，所以B错误； 因为且，所以且，所以或， 所以或，所以的值域为，所以C正确； 因为，且在上单调递减， 所以，等价于，即，因为单调递减，所以， 所以的解集为．所以D正确． 故选：ACD. 11．（6分）（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）设函数，且关于x的方程恰有3个不同的实数根（）则下列说法正确的是（   ） A．m的取值范围是 B． C．的取值范围为 D．的取值范围是 【答案】BCD 【解题思路】分析函数的性质，将方程零点问题转化为函数的图象与直线的交点问题，再作出函数图象，利用图象，结合二次函数性质逐项求解判断. 【解答过程】函数在上单调递减，函数值集合为； 在上单调递增，函数值集合为；在上单调递减，函数值集合为， 方程恰有3个不同的实数根，即函数的图象与直线有3个交点， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图： 对于A，的取值范围是，A错误； 对于B，为方程，即的两个根，，B正确； 对于C，由，得，又，解得， 因此，C正确； 对于D，由选项B知，，则， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，而，则， 因此的取值范围是，D正确. 故选：BCD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（2026高一上·江苏南通·专题练习）计算___________. 【答案】3 【解题思路】利用根式的化简及指数幂的运算，即可求得答案. 【解答过程】 . 故答案为：3. 13．（5分）（25-26高一上·浙江杭州·期末）函数的零点，则的值为___________． 【答案】 【解题思路】由函数单调性以及零点存在定理得，由此即可得解. 【解答过程】因为和均单调递增，所以也单调递增， 又注意到， 所以由零点存在定理可知函数的唯一零点， 所以，即有. 故答案为：. 14．（5分）（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，当时，单调递减，则不等式的解集为___________． 【答案】 【解题思路】根据函数的奇偶性和函数在上单调递减，可得函数在上单调递增，则所求问题可转化为，根据对数函数性质，计算化简，即可得答案. 【解答过程】因为函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减， 所以函数在上单调递增， 所以可化为， 因为， 所以或， 因为函数在上单调递增， 所以或， 所以不等式的解集为：， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高一上·江苏盐城·阶段检测）求值： (1)若，求； (2)． 【答案】(1)； (2)11. 【解题思路】（1）利用指数幂的运算性质求解即得. （2）利用对数的运算性质求解即可. 【解答过程】（1）由两边平方，可得，即； 由，可得； 故； （2） . 16．（15分）（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知函数. (1)若定义域为，求实数的取值范围． (2)若函数在上为减函数；求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由题意得恒成立，分为和两种情况，分别讨论求解即可得到答案； （2）令，根据复合函数的单调性由题意可知在上为减函数且恒为正，分为和两种情况，分别讨论求解即可求出答案. 【解答过程】（1）定义域为，即恒成立， 当时，不恒成立，不满足题意； 当时，则，解得， 综上，实数a的取值范围为． （2）因为在上为减函数，令， 在其定义域上为增函数， 所以在上为减函数且恒为正， 当时，若，，不符合题意； 当时，函数的对称轴为， 则，解得. 所以实数a的取值范围为． 17．（15分）（25-26高一上·贵州毕节·期末）在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传播方向垂直的单位面积上的能量称为声强，而在实际生活中，常用声音的声强级来度量．声强级与声强之间的函数关系可采用函数模型进行模拟．经过测定，得到如下两组数据： 声强 声强级 10 20 (1)求的值； (2)若声强级时，对应的声强为；声强级时，对应的声强为，求． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）将两组数据代入，求出、的值即可； （2）将代入，利用对数的运算性质可求得. 【解答过程】（1）由已知得，所以， 解得； （2）由（1）得. 将，代入上式，得， 两式相减，得，即， 所以. 18．（17分）（25-26高一上·北京·阶段检测）已知定义在上的函数，且有，． (1)求函数的解析式并判断其奇偶性； (2)解不等式； (3)设函数，若，，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)，奇函数 (2) (3) 【解题思路】（1）代入求得的值，则解析式可知，根据的关系结合函数奇偶性的定义即可证明函数奇偶性； （2）根据奇偶性对不等式变形，再根据的单调性解不等式，由此可求结果； （3）先将问题转化为“”，然后根据单调性分析求解的最值，采用换元法分析求解的最值，由此可得结果. 【解答过程】（1）因为，所以，解得，所以； 为奇函数，证明如下： 定义域为且关于原点对称， 因为， 所以为上的奇函数. （2）， 因为在上单调递增，所以在上单调递增， 所以在上单调递减，所以在上单调递减； 因为，所以， 所以，解得， 所以不等式解集为. （3）因为，，使得，所以； 因为在上单调递减，所以， 又因为，令， 所以，其图象为抛物线，对称轴为且开口向上， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 所以当时有，所以， 由，得，即得 综上所述，的取值范围是. 19．（17分）（25-26高一上·宁夏固原·期中）已知函数. (1)求函数的零点； (2)若函数有两个零点，求的取值范围；（注:在给定的坐标系内画图） (3)在（2）的情况下，若函数有四个零点，记的四个零点从左到右分别为，，，，求的取值范围． 【答案】(1)1和3 (2)或 (3) 【解题思路】（1）分别求和的零点，并检验，可得的零点； （2）作出的图象，由数形结合可得的取值范围； （3）由数形结合，可得，再由对勾函数的单调性可求得所求范围． 【解答过程】（1）由，得，符合， 由，得，符合， 所以的零点为1和3； （2）作出的图象如下， 若有两个零点，即有两个解， 则函数与有两个交点，由图象可得或， 所以的取值范围为或； （3）由（2）若有四个零点，且四个零点从左到右分别为，，，， 则由二次函数图象对称性可知：， 由知，由得， 所以， 由对勾函数的性质可得在上单调递减，所以， 所以． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $