第四章 指数函数与对数函数（暑假预习举一反三单元自测·基础篇）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本卷为高中数学人教A版指数函数与对数函数单元基础自测卷，覆盖指数对数运算、函数性质、实际应用等核心内容，通过分层设计与真实情境题，适配暑假复习巩固，可精准检测学生基础掌握与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|指数对数运算、函数零点、大小比较|基础概念辨析，如第1题指数运算考查抽象能力| |多选|3/18|函数奇偶性、单调性、定义域|多维度性质判断，如第11题结合参数讨论单调性，体现推理意识| |填空|3/15|二分法、对数化简、不等式求解|方法应用，如第13题二分法操作，培养数学思维| |解答|5/77|运算表示、实际应用（鲑鱼游速）、函数证明|综合应用与逻辑推理，如第17题用对数模型解决追及问题，第18题单调性定义证明，发展数学语言与模型意识|

第四章 指数函数与对数函数（单元自测·基础篇） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D．（） 2．（5分）（25-26高一上·贵州毕节·期末）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 3．（5分）（25-26高一上·福建三明·期末）已知，则的值为（   ） A．45 B． C． D． 4．（5分）（25-26高一上·天津·期末）已知，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5．（5分）（25-26高一上·全国·阶段检测）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表： 那么当精确度达到时，可作为方程的一个近似根的是（   ） A． B． C． D． 6．（5分）（25-26高一上·江苏南通·期末）已知函数，则（    ） A．函数是偶函数，在上单调递减 B．函数是偶函数，在上单调递增 C．函数是奇函数，在上单调递减 D．函数是奇函数，在上单调递增 7．（5分）（25-26高一上·广东深圳·期末）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期.现有一杯的咖啡放在的房间中，室温不变的情况下，如果咖啡降温到大约需要10min，那么继续降温到大约再需要（    ） （参考数据：） A．14min B．15min C．16min D．17min 8．（5分）（25-26高一上·陕西咸阳·期末）已知且，函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高一上·四川广安·期中）设，是正整数，且，则下列各式正确的有（   ） A． B． C． D． 10．（6分）（25-26高一上·福建泉州·期末）已知函数，则（    ） A．是增函数 B．是奇函数 C． D．的值域为 11．（6分）（25-26高一上·福建三明·阶段检测）若函数，则下列说法正确的是（   ） A．若，则为偶函数 B．若的定义域为，则 C．若，则的单调增区间为 D．若在上单调递减，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高一上·浙江杭州·期末）____________. 13．（5分）（25-26高一上·上海徐汇·期末）若用二分法求函数在区间上零点的近似值，第一次取区间的中点为，则第二次应该取区间的中点为____________． 14．（5分）（25-26高一上·贵州·阶段检测）已知函数，则不等式的解集为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高一上·新疆喀什·阶段检测）用分数指数幂表示下列各式（式中字母均为正数）； (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 16．（15分）（25-26高一上·贵州遵义·期末）（1）已知，求的值； （2）设，，用，表示. 17．（15分）（25-26高一上·广东·阶段检测）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数. (1)当一条鱼的游速是时，它的耗氧量是多少个单位？ (2)现有甲､乙两条鲑鱼均由地向地直线游动，其中鲑鱼乙在鲑鱼甲正后方10米处，已知乙鲑鱼的耗氧量为24300个单位，甲鲑鱼的耗氧量为8100个单位，若这两条鱼的耗氧量均不变，且游的方向不变，乙鲑鱼将在多少秒后追上甲鲑鱼？ 18．（17分）（25-26高一上·安徽淮北·期末）已知函数. (1)证明：函数是奇函数； (2)判断函数的单调性，并用定义证明． 19．（17分）（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求，的值； (2)判断函数的单调性，并用定义进行证明； (3)若时，恒成立，求实数的取值范围. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 指数函数与对数函数（单元自测·基础篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D．（） 【答案】D 【解题思路】利用分数指数幂与根式的关系可判断A；零的负分数指数幂没有意义，可判断B；根据根式的性质可判断C；D显然成立. 【解答过程】，故A错误； 零的负分数指数幂没有意义，故B错误； ，故C错误； ，故D 正确. 故选：D. 2．（5分）（25-26高一上·贵州毕节·期末）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】首先求出函数的定义域并判断函数的单调性，结合零点存在性定理判断即可. 【解答过程】函数的定义域为， 又与均在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，, 所以，所以在上存在唯一零点. 故选：B. 3．（5分）（25-26高一上·福建三明·期末）已知，则的值为（   ） A．45 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先处理指数幂 的值，再运用指数与对数的互化求出，最后根据指数幂的运算性质求解即可. 【解答过程】因为， 又因为，所以， 所以. 故选：B. 4．（5分）（25-26高一上·天津·期末）已知，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据指数函数和对数函数的性质求的范围，由此比较的大小即可. 【解答过程】因为函数为减函数，， 所以，即， 因为函数为增函数，， 所以，即 因为函数为减函数，， 所以，即 所以， 故选：A. 5．（5分）（25-26高一上·全国·阶段检测）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表： 那么当精确度达到时，可作为方程的一个近似根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据零点存在定理和二分法可判断零点在区间内，结合精确度要求即可判断. 【解答过程】由表格中的数据知，， 所以函数的一个正数零点在区间内， 且区间的长度为， 此时，区间内的任一值均可作为方程的近似根， 选项D中的是该区间的端点，符合题意 故选：D. 6．（5分）（25-26高一上·江苏南通·期末）已知函数，则（    ） A．函数是偶函数，在上单调递减 B．函数是偶函数，在上单调递增 C．函数是奇函数，在上单调递减 D．函数是奇函数，在上单调递增 【答案】D 【解题思路】首先利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，再利用函数的解析式判断单调性即可. 【解答过程】函数的定义域为， 又， 所以函数是奇函数， 又，所以函数在上单调递增. 故选：D. 7．（5分）（25-26高一上·广东深圳·期末）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期.现有一杯的咖啡放在的房间中，室温不变的情况下，如果咖啡降温到大约需要10min，那么继续降温到大约再需要（    ） （参考数据：） A．14min B．15min C．16min D．17min 【答案】A 【解题思路】由题意数据求得，设降温到大约再需要，则，利用指对互化及换底公式求解即可. 【解答过程】由题意，即，即，即， 设降温到大约再需要，则，即， 即，即， 所以. 故选：A. 8．（5分）（25-26高一上·陕西咸阳·期末）已知且，函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题意列出关于a的不等式组即可即可求解. 【解答过程】由题可得当时，在上单调递增， 又为减函数，所以， 当时，在上单调递增，所以， 因为函数在上单调递增，则， 综上可得，解得. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高一上·四川广安·期中）设，是正整数，且，则下列各式正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解题思路】利用指数幂的运算性质即可得出． 【解答过程】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：BD. 10．（6分）（25-26高一上·福建泉州·期末）已知函数，则（    ） A．是增函数 B．是奇函数 C． D．的值域为 【答案】ACD 【解题思路】对A，将化为，观察其单调性；对B，由验证其是否为奇函数；对C，直接化简计算；对D，由结合不等式性质观察其值域. 【解答过程】对于A：， 因为是增函数，所以是减函数，所以是增函数，A正确； 对于B：定义域为，因为， 所以不是奇函数，B错误； 对于C：，C正确； 对于D：因为，由得，所以， 所以，即的值域为，D正确； 故选：ACD. 11．（6分）（25-26高一上·福建三明·阶段检测）若函数，则下列说法正确的是（   ） A．若，则为偶函数 B．若的定义域为，则 C．若，则的单调增区间为 D．若在上单调递减，则 【答案】ABD 【解题思路】A选项，根据奇偶函数的定义判断；B选项，根据对数函数的定义域可推知对于恒成立转化为二次不等式恒成立问题；CD选项利用对数复合型函数求解. 【解答过程】A选项，若，，定义域为：关于原点对称， ，则为偶函数，A选项正确； B选项，若的定义域为，则对于恒成立， 则，解得，B选项正确； C选项，若，， 令，解得或， 根据复合函数的单调性可知，的单调增区间为，C选项错误； D选项，根据复合函数的单调性可知，若在上单调递减， 则且， 解得，D选项正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高一上·浙江杭州·期末）____________. 【答案】1 【解题思路】根据对数运算性质和运算法则以及指数运算法则即可得到答案. 【解答过程】原式. 故答案为：1. 13．（5分）（25-26高一上·上海徐汇·期末）若用二分法求函数在区间上零点的近似值，第一次取区间的中点为，则第二次应该取区间的中点为____________． 【答案】 【解题思路】利用零点存在定理可求答案. 【解答过程】设，因为所以零点在区间内， 所以第二次应该取区间的中点为. 故答案为：. 14．（5分）（25-26高一上·贵州·阶段检测）已知函数，则不等式的解集为____________. 【答案】. 【解题思路】根据题意，求得函数为偶函数，且在递增，在递减，把不等式转化为，进而求得不等式的解集. 【解答过程】由函数，可得的定义域为，关于原点对称， 且，所以为偶函数，其图象关于轴对称， 当时，，可得在上为单调递增函数， 则在为单调递减函数， 因为函数为偶函数，可得 又由不等式，即为，可得， 即，解得，所以不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高一上·新疆喀什·阶段检测）用分数指数幂表示下列各式（式中字母均为正数）； (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【解题思路】根据根式与分数指数幂的关系，化简各小题，即可得答案. 【解答过程】（1）； （2）； （3）由于，故； （4）； （5）. 16．（15分）（25-26高一上·贵州遵义·期末）（1）已知，求的值； （2）设，，用，表示. 【答案】（1）8； （2） 【解题思路】（1）平方，利用指数的运算法则计算即可； （2）根据指对互换公式把转化为，再利用换底公式以及对数的运算法则计算即可. 【解答过程】（1）由 可得 因此 （2）由 得 ，又 ， 利用换底公式： 因此，. 17．（15分）（25-26高一上·广东·阶段检测）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数. (1)当一条鱼的游速是时，它的耗氧量是多少个单位？ (2)现有甲､乙两条鲑鱼均由地向地直线游动，其中鲑鱼乙在鲑鱼甲正后方10米处，已知乙鲑鱼的耗氧量为24300个单位，甲鲑鱼的耗氧量为8100个单位，若这两条鱼的耗氧量均不变，且游的方向不变，乙鲑鱼将在多少秒后追上甲鲑鱼？ 【答案】(1)个单位 (2)20秒 【解题思路】（1）利用指对互化解方程即可； （2）求出、时的速度，再根据距离差即可求出. 【解答过程】（1）当 时，，即， 则，得个单位； （2）当时，. 当时，， 即乙鲑鱼的速度为 ，甲鲑鱼的速度为 ，速度差为 ， 因为两鱼相差10米，所以乙鲑鱼将在20秒后追上甲鲑鱼. 18．（17分）（25-26高一上·安徽淮北·期末）已知函数. (1)证明：函数是奇函数； (2)判断函数的单调性，并用定义证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)在上单调递增，证明见解析 【解题思路】（1）由对数复合函数的定义域结合奇函数的定义即可得证. （2）直接由函数单调性的定义结合对数函数的性质即可得证. 【解答过程】（1）由题可得，， 由，解得，所以定义域为，关于原点对称， 又， 所以是奇函数. （2）在上单调递增，证明如下， 因为 易知定义域为，取，且， 则 . 因为，所以，则 同理可得，，因此， 所以，即，， 所以在上单调递增． 19．（17分）（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求，的值； (2)判断函数的单调性，并用定义进行证明； (3)若时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)在上为减函数，证明见解析 (3) 【解题思路】（1）根据奇函数的性质，由，，建立方程，结合奇函数定义，可得答案； （2）根据单调性的定义，利用作差法进行证明，结合指数函数的单调性，可得答案； （3）根据函数奇偶性与单调性化简不等式，通过参变分离，利用函数的单调性求最值即可. 【解答过程】（1）因为为R上的奇函数，所以，即，解得， 又∵，即，解得．则， 由，可知原函数为奇函数， 故，． （2）由（1）知， 任取，设，则， 因为函数在R上是增函数，，∴．又， ∴，即，∴在上为减函数． （3）因为是奇函数，从而不等式：， 等价于， 因为为R上的减函数，由上式推得：． 即对都有：恒成立. 当时，不等式恒成立； 当时，，即在上恒成立， 设，令，则， 则，故， 综上，可得，即k的取值范围为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $