假期作业(七) 幂函数及函数的应用(一)-【成功方案】2025年大暑假小一轮高一全一册数学暑假作业

高一数学 (1)求f(x)的解析式; (2)用定义证明:f(x)在区间(-1,1)上 是增函数; (3)解关于t的不等式f(t-1)+f(t) >0. 10.函数f(x)是定义在R上的奇函数,当 x>0时,f(x)=x2-4x. (1)设g(x)=f(x),x∈[-4,4],求函 数g(x)的值域; (2)当m>0时,若|f(m)|=3,求实数 m的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 假期作业(七) 幂函数及函数的应用(一) 1.幂函数:一般地,y=xα 叫做幂函数,其中 x是自变量,α是常数. 2.几个幂函数的性质: y=x y=x2 y=x3 y=x 1 2 y=x-1 定义域 R R R [0,+∞) {x|x≠0} 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非 偶函数 奇函数 单调性 增函数 先减再增 增函数 增函数 原点左 右都为减 公共点 (1,1) 图象 都不过第4象限 3.解决函数应用问题的步骤 利用函数知识和函数观点解决实际问题 时,一般按以下几个步骤进行: (1)审题;(2)建模;(3)求模;(4)还原. 实际问题 分析、联想 抽象、转化 →建立函数模型 数 学 解 答 ↓ 数学问题结论 转译 ←实际问题结论 问 题 解 决 ↑ 一、选择题 1.某公司市场营销人员的个人月收入与其 每月的销售量成一次函数关系,如图所 示,由图中给出的信息可知,营销人员没 有销售量时的收入是 ( ) A.310元 B.300元 C.390元 D.280元 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·31· 假期作业 2.已知幂函数f(x)=xa 的图象过点 (3,13 ),则函数g(x)=(2x-1)f(x)在区 间[1 3 ,2]上的最小值是 ( ) A.-1 B.0 C.-2 D.32 3.下面是一幅统计图,根据此图得到的以 下说法中,正确的个数是 ( ) ①这几年生活水平逐年得到提高; ②生活费收入指数增长最快的一年是 2014年; ③生活价格指数上涨速度最快的一年是 2015年; ④虽然2016年生活费收入增长缓慢,但 生活价格指数也略有降低,因而生活水 平有较大的改善. A.1 B.2 C.3 D.4 4.已知幂函数f(x)=x3m-5(m∈N)在 (0,+∞)上是减函数,且 f(-x)= f(x),则m可能等于 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 5.(多选题)下列说法正确的是 ( ) A.若幂函数的图象经过点(18 ,2),则解 析式为y=x- 1 3 B.所有幂函数的图象均过点(0,0) C.幂函数一定具有奇偶性 D.任何幂函数的图象都不经过第四象限 6.(多选题)已知幂函数f(x)=xa 的图象 经过函数g(x)=ax-2-12 (a>0且a≠1) 的图象所过的定点,则幂函数f(x)具有 的特性是 ( ) A.在定义域内单调递减 B.图象过定点(1,1) C.是奇函数 D.其定义域是R 二、填空题 7.某商人将彩电先按原价提高40%,然后 在广告上写上“大酬宾,八折优惠”,结果 是每台彩电比原价多赚了270元,则每 台彩电的原价为 元. 8.若(a+1)- 1 2<(3-2a)- 1 2,则a的取值范 围是 . 三、解答题 9.已知幂函数f(x)=(m2-m-1)x2m-2, 且在(0,+∞)上单调递增. (1)求实数m的值; (2)若f(3-2t+1)>f(2t),求实数t的取 值范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·41· 高一数学 10.某车间生产一种仪器的固定成本为 10000元,每生产一台该仪器需要增加 投入100元,已知总收入满足函数: H(x)= 400x-x2,0≤x≤200,x∈N, 40000,x>200,x∈N, 其中x是仪器的月产量. (1)将利润表示为月产量的函数(用 f(x)表示); (2)当月产量为何值时,车间所获利润 最大? 最大利润为多少元? (总收入=总成本+利润) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 假期作业(八) 指数与指数函数 1.指数与指数运算 (1)(na)n=a; (2) n an=|a|= a,a≥0 -a,a<0 (3)正分数指数幂:规定a m n = n am(a>0, m,n∈N*,且n>1). (4)负分数指数幂:规定:a- m n =1 a m n = 1n am (a>0,m,n∈N*,且n>1). (5)幂的运算性质 ①aras=ar+s(a>0,r,s∈R). ②(ar)s=ars(a>0,r,s∈R). ③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈R). 2.指数函数及其性质 (1)概念:函数y=ax(a>0且a≠1)叫做 指数函数,其中指数x是自变量,函数的 定义域是R,a是底数. (2)指数函数的图象与性质 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0,+∞) 性质 过定点(0,1),即x=0时,y=1 当x>0时,y>1; 当x<0时,0<y<1 当x<0时,y>1; 当x>0时,0<y<1 在(-∞,+∞)上是增函数 在(-∞,+∞)上是减函数 ·51· 高一数学 6.ACD 因为f(x)是定义在R上的奇函数,且满 足f(4-x)=f(x),所以f(-x)=-f(x), f(4+x)=f(-x),所以f(4+x)=-f(x),所 以f(x+8)=f(x),A正确;由已知无法判断函 数f(x)在区间(-2,2)上单调性,B错误; f(2019)+f(2020)+f(2021)=f(3)+f(4) +f(5)=f(1)+f(0)+f(-1)=0,C正确; f(x)=cos(π4x+ π 2 )=-sin(π4x )为奇函数, 周期T=2ππ 4 =8,D正确. 7.解析 ∵函数是偶函数,∴f(1-m)=f(|1-m|), f(m)=f(|m|),∵定义在[-2,2]上的偶函数, f(x)在区间[0,2]上单调递减,f(1-m)< f(m),∴0≤|m|<|1-m|≤2,得-1≤m<12. 答案 -1≤m<12 8.解析 根据题意,f(x)= x+1 ,-1<x<0, 2x,x≥0 其定义域为(-1,+∞),则函数f(x)在(-1,0)和 [0,+∞)上都是增函数, 当a≥1时,有2a=2(a-1),无解; 当-1<a<0时,无解; 若实数a满足f(a)=f(a-1),必有-1<a-1 <0且1>a>0,且有2a= a,解可得a=14 ,则 f(1a )=f(4)=8,故f(1a )=8. 答案 8 9.解 (1)函数f(x)是定义在(-1,1)上的奇 函数. 所以:f(0)=0,得到:b=0, 由于f(12 )=25 所以: 1 2a 1+14 =25 , 解得:a=1,经检验,a=1,b=0符合题意,所以: f(x)= xx2+1. (2)证明:设任取x1,x2 满足-1<x1<x2<1, 则:f(x2)-f(x1)= x2 x22+1 - x1x21+1 = (x2-x1)(1-x1x2) (1+x21)(1+x22) , 由于:-1<x1<x2<1, 所以:-1<x1x2<1, 即:1-x1x2>0,所以 (x2-x1)(1-x1x2) (1+x21)(1+x22) >0, 则:f(x2)-f(x1)>0, f(x)在(-1,1)上的增函数. (3)由于函数是奇函数,所以:f(-x)=-f(x),所 以f(t-1)+f(t)>0,转化成f(t-1)>-f(t) =f(-t). 则:-1<t-1<1且-1<t<1且t-1>-t,解 得:1 2<t<1 ,所以不等式的解集为:{t|12<t<1 }. 10.解 (1)设x<0时,则-x>0,∵f(x)为奇函 数,且x>0时,f(x)=x2-4x, ∴f(-x)=(-x)2-4(-x)=x2+4x=-f(x), 即f(x)=-x2-4x. ∵f(0)=0, ∴g(x)=f(x)= -x2-4x,-4≤x<0 0,x=0 x2-4x,0<x≤4 , ∴当-4≤x≤0时,得g(x)=-x2-4x= -(x+2)2+4关于x=-2对称,在[-4,-2] 上递增,在[-2,0)递减, ∴g(-2)=4,g(-4)=0,得0≤g(x)≤4; 当0<x≤4时,由奇函数关于原点对称,得-4 ≤g(x)≤0.g(x)的值域为[-4,4]. (2)由(1)知,f(x)= -x2-4x,x<0 0,x=0 x2-4x,x>0 , ∴m>0时,|f(m)|= -m2+4m,0<m≤4 m2-4m,m>4 , i)当0<m≤4时,令-m2+4m=3,解得m=1 或m=3; i)当m>4时,令m2-4m=3,解得m=2+ 7 或m=2-7(舍去) 综上:m=1或m=3或m=2+7. 假期作业(七) 幂函数及 函数的应用(一) 学以致用 1.B 由图象知,该一次函数过(1,800),(2,1300), 可求得解析式y=500x+300(x≥0),当x=0 时,y=300. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·77· 假期作业 2.A 由幂函数f(x)=xa 的图象过点(3,13 ),得 3a=13 ,解得a=-1,所以f(x)=x-1=1x ;所 以函数g(x)=(2x-1)f(x)=2x-1x =2- 1 x , 且在区间[1 3 ,2]上是单调增函数,最小值是 g(13 )=2-3=-1.故选A. 3.C 由题意知,“生活费收入指数”减去“生活价 格指数”的差是逐年增大的,故①正确;“生活费 收入指数”在2014~2015年最陡,故②正确; “生活价格指数”在2015~2016年最平缓,故 ③不正确;“生活价格指数”略呈下降,而“生活 费收入指数”呈上升趋势,故④正确. 4.B ∵f(x)在(0,+∞)上是减函数,∴3m-5<0 (m∈N),则m=0或m=1,当m=0时,f(x)= x-5是奇函数,不合题意.当m=1时,f(x)= x-2是偶函数,因此m=1,故选B. 5.AD 幂函数的图象经过点(18 ,2),则函数的解 析式为2=(18 )α,解得α=-13 ,整理得y= x- 1 3,故A正确;比如y=1x ,图象不过点(0,0), 故B错误;对于y= x,无奇偶性,故C错误;任 何幂函数的图象都不经过第四象限,故D正确. 6.BC 在函数g(x)=ax-2-12中 ,令x-2=0,解 得x=2,所以g(2)=1-12= 1 2 ,所以函数g(x) 的图象过定点P(2,12 );把点P 的坐标代入幂 函数f(x)的解析式中,得2a=12 ,解得a=-1; 所以f(x)=x-1;所以f(x)在定义域内的每个 区间上是单调减函数,所以选项A错误;函数 f(x)的图象经过定点(1,1),且为奇函数,所以 选项B、C正确;函数的定义域是{x|x≠0},所 以选项D错误. 7.解析 设彩电的原价为a元, ∴a(1+0.4)·80%-a=270, ∴0.12a=270,解得a=2250. ∴每台彩电的原价为2250元. 答案 2250 8.解析 (a+1)- 1 2<(3-2a)- 1 2⇔(1a+1 )12< ( 1 3-2a )12,函数y=x 1 2在[0,+∞)上是增函数, 所以 a+1>0, 3-2a>0, a+1>3-2a, 解得23<a<32. 答案 (23 ,3 2 ) 9.解 (1)由题意得:m2-m-1=1,解得:m=2 或m=-1,m=2时,f(x)=x2,在(0,+∞)上 单调递增,符合题意,m=-1时,f(x)=x-4,在 (0,+∞)上单调递减,不符合题意,故m=2. (2)若f(3-2t+1)>f(2t),由(1)得:|3-2t+1| >2t,解得:t<0或t>log23,故t的取值范围是 (-∞,0)∪(log23,+∞). 10.解 (1)设每月产量为x台,则总成本为t= 10000+100x.又f(x)=H(x)-t, ∴f(x)= -x2+300x-10000,0≤x≤200,x∈N 30000-100x,x>200,x∈N . (2)当0≤x≤200时,f(x)=-(x-150)2+12500, 所以当x=150时,有最大值12500; 当x>200时,f(x)=30000-100x 是减函 数,f(x)<30000-100×200<12500. 所以当x=150时,f(x)取最大值,最大值为 12500. 所以每月生产150台仪器时,利润最大,最大 利润为12500元. 假期作业(八) 指数与指数函数 学以致用 1.A ∵m 1 2+m- 1 2=4,∴m+m-1=(m 1 2+m- 1 2)2-2 =14,∴m 3 2-m- 3 2 m 1 2-m- 1 2 =m+m-1+1=15.故选A. 2.A 原式=a 3 2b·a 1 6b 1 3 ab2·a- 1 3b 1 3 =a 3 2+ 1 6-1+ 1 3b1+ 1 3-2- 1 3= ab-1.故选A. 3.A 由于函数y=2|x|-x2(x∈R)是偶函数,图 象关于y轴对称,故排除B、D.再由x=0时,函 数值y=1,可得图象过点(0,1),故排除C,从而 得到应选A 4.C 由题意:θ=15+(62-15)e-0.2t=15+ 47e-0.2t,令15+47e-0.2t1=45,可得e-0.2t1=3047 , 令15+47e-0.2t2=30,可得e-0.2t2=1547.两式作 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·87·