第17讲 对数函数（九大题型+思维导图+知识归纳+课后作业）（暑假预习举一反三讲义）高一数学人教A版必修第一册

第17讲 对数函数（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 对数函数的概念 在4.2节中，我们用指数函数模型研究了呈指数增长或衰减变化规律的问题.对这样的问题，在引入对数后，我们还可以从另外的角度，对其蕴含的规律作进一步的研究. 【知识点1 对数函数的概念】 1．对数函数的定义 (1)对数函数的定义：一般地，函数y= (a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+ ∞). (2)判断一个函数是对数函数的依据： ①形如y=；②底数a满足a>0，且a≠1；③真数是x；④定义域为(0,+∞). 例如：y=是对数函数，而y=(x+1)，y=都不是对数函数. 【题型1 对数函数的判定】 【例1】（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）下列函数是对数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据对数函数定义直接判断即可. 【解答过程】形如的函数叫作对数函数，它的定义域是， 对于A，满足，故A正确； 对于B，C，D，形式均不正确，均错误. 故选：A. 【变式1-1】（25-26高一上·上海·期中）函数为对数函数，则实数的值为（    ） A．3 B． C．2 D．或2 【答案】C 【解题思路】根据题意，由求解. 【解答过程】因为函数为对数函数， 所以，解得， 所以实数的值为2， 故选：C. 【变式1-2】（25-26高一上·全国·课前预习）下列函数是对数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由对数函数的定义可得. 【解答过程】形如，且的函数为对数函数，故B正确. 故选：B. 【变式1-3】（25-26高一上·全国·课前预习）函数是对数函数，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解题思路】需要满足对数函数的系数为，同时对数函数的底数要满足大于且不等于，真数大于等条件，然后据此逐步求出的值. 【解答过程】由解得或，又，且，所以 故选：B. 【题型2 求对数函数的函数值或解析式】 【例2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设对数函数解析式求参即可. 【解答过程】设对数函数为, 代入可得, 所以, 则对数函数的解析式为. 故选：C. 【变式2-1】（2026高二上·河南许昌·学业考试）已知函数的图象过点（8，3），则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】B 【解题思路】将点代入函数解析式计算求得，即，即，再代入，即可得到答案． 【解答过程】因为函数的图象过点，所以，即， 则，解得，所以，则， 故选:B． 【变式2-2】（25-26高一·全国·课前预习）若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为（    ） A． B． C．或 D．不确定 【答案】A 【解题思路】设函数为，再根据图象过点可得，即可解出，得到该对数函数的解析式． 【解答过程】设函数为，依题可知，，解得，所以该对数函数的解析式为． 故选：A． 【变式2-3】（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）已知函数且，若的图象过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据求出的值，可得出函数的解析式，然后代值计算可得出的值. 【解答过程】由题意可得，可得，解得，所以，， 因此，. 故选：B. 模块三 对数函数的图象与性质 【知识点2 对数函数的图象与性质】 1．对数函数的图象与性质 对数函数y= (a>0,且a≠1,x>0)的图象和性质如下表所示： 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域 (0，+∞) 值域 R 过定点 (1,0) 单调性 在(0，+∞)上是减函数 在(0，+∞)上是增函数 函数值的 变化范围 当0<x<1时，y>0 当0<x<1时，y<0 当x=1时，y=0 当x=1时，y=0 当x>1时，y<0 当x>1时，y>0 2．底数a对对数函数图象的影响 (1)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”. 当a>1时，对数函数的图象“上升”; 当0<a<1时,对数函数的图象“下降”. (2)函数y=与y= (a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称. (3)底数的大小决定了图象相对位置的高低： 无论是a>1还是0<a<1,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大. ①上下比较：在直线x=1的右侧,a>1时,a越大,图象越靠近x轴;0<a<1时,a越小,图象越靠近x轴; ②左右比较：比较图象与直线y=1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大. 3．对数函数图象的识别及应用 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 【知识点3 反函数】 1．反函数 定义 一般地，指数函数y=(a>0且a≠1)与对数函数y=(a>0且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换 性质 函数y=f(x)的定义域、值域分别为它的反函数y=的值域、定义域 互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称 【题型3 对数（型）函数的定义域与值域】 【例3】（25-26高一上·江苏南通·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由对数函数的定义构造不等式求解即可. 【解答过程】由题意：由，解得， 故函数的定义域是. 故选：A. 【变式3-1】（25-26高一上·陕西商洛·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用二次函数性质以及复合函数单调性判断出的单调区间，代入计算即可求得结果. 【解答过程】依题意可知，解得； 易知函数的定义域为； 又是由函数和复合而成的， 由对数函数单调性可知在定义域内单调递减， 而二次函数开口向上，关于对称， 因此在上单调递增，在上单调递减； 由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增； 因此在处取得最大值，即， 可得的值域为. 故选：C. 【变式3-2】（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用具体函数定义域的求法，结合对数函数的性质即可得解. 【解答过程】真数或. 所以函数的定义域为. 故选：B. 【变式3-3】（25-26高一上·广东广州·阶段检测）函数，的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】令，，由换元法可得，利用二次函数的单调性即可求解. 【解答过程】令，因为，所以， 因为 ， 所以，， 函数在区间上单调递增， 所以，， 所以函数，的值域为. 故选：A. 【题型4 对数式的大小比较】 【例4】（25-26高一上·山西忻州·期末）已知，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】应用对数函数的单调性得出的大小关系. 【解答过程】因为，，， 则 故选：B. 【变式4-1】（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用指数函数和对数函数的单调性比较大小. 【解答过程】在上是单调递减函数，，，， 在上是单调递增函数，，，， 在上是单调递减函数，，，， . 故选：C. 【变式4-2】（25-26高一上·江苏淮安·期末）设，，，则，，的大小关系（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用指数函数，对数函数的单调性，寻求中间值和与进行比较. 【解答过程】由指数函数的性质，在上单调递增， 则，， 而对数函数在上单调递增， 则， 于是， 即. 故选：C. 【变式4-3】（25-26高一上·湖北武汉·期末）设，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据指数函数、对数函数的单调性判断即可. 【解答过程】由，， ，， 所以. 故选：B. 【题型5 解对数不等式】 【例5】（25-26高一上·河南郑州·期末）已知，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据对数函数的性质，讨论、分别解不等式求参数范围. 【解答过程】当，则，可得，即， 当，则，可得，即， 综上，. 故选：C. 【变式5-1】（25-26高一上·江苏·阶段检测）已知函数，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据函数的奇偶性、单调性可得答案. 【解答过程】因为，所以函数的定义域为， 关于原点对称，且，所以为偶函数， 又时，是单调递增函数，所以是单调递减函数， 根据对称性知时，所以是单调递增函数， 由得，解得. 故选：C. 【变式5-2】（25-26高一上·江西上饶·期末）已知，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用对数函数的单调性，结合对数函数的定义域即可求解． 【解答过程】因为在上递减，， 所以，解得， 即的取值范围是 ． 故选：A． 【变式5-3】（25-26高一上·辽宁·期末）已知定义域为的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题可得不等式等价于，根据单调性即可解出. 【解答过程】因为为偶函数，且， 所以不等式等价于， 又在上单调递增， ，即或 解得或. 所以不等式的解集为. 故选：B. 【题型6 对数函数的图象的识别及应用】 【例6】（25-26高一上·福建三明·阶段检测）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】判断函数的奇偶性，结合函数值的符号，排除法选出答案. 【解答过程】，由指数函数的性质可知，对于恒成立， 则的定义域为，关于原点对称， 又，则是偶函数，排除AC， 当时，，此时，排除B. 故选：D. 【变式6-1】（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）函数的大致图象为（） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】通过函数的定义域、对称性和单调性即可求解，得到答案. 【解答过程】由可知，，函数图象关于直线对称，B、C错误. 因为外层函数是减函数，内层函数在上单调递减，在上单调递增. 根据“同增异减”原则，函数在上单调递增，在上单调递减，A错误，D正确. 故选：D. 【变式6-2】（25-26高一上·福建泉州·期末）函数且的图象如图所示，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据对数函数的知识以及图象来确定正确答案. 【解答过程】由图象可知，在定义域上单调递增，而是增函数， 根据复合函数单调性同增异减可知，， ，所以，， 由图可知当时，， 所以A选项正确. 故选：A. 【变式6-3】（25-26高一上·湖南·阶段检测）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先根据定义判断D，判断函数的奇偶性，可排除A选项；进而取特殊值排除C选项，进而即可求解. 【解答过程】由，得， 所以函数的定义域为，关于原点对称，D选项错误； 又， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除A选项； 当时，函数，故排除C选项. 故选：B. 【题型7 对数（型）函数的单调性问题】 【例7】（25-26高一上·山东滨州·期末）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用复合函数的单调性求函数单调区间. 【解答过程】函数，设，由得或， ∴函数定义域为  . 当时，是减函数；而为增函数， ∴为减函数． 当时，为增函数，为增函数， ∴为增函数． ∴的减区间为. 故选：C. 【变式7-1】（25-26高一上·江西南昌·期末）若函数在上单调递增，则a的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用对数型复合函数的单调性及函数的定义域求解即可. 【解答过程】在上单调递增，则，即. 利用换底公式可得 . 当时，. 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以0， 即： ，解得：. 又因为，所以的取值范围为. 故选：A. 【变式7-2】（25-26高一上·江苏连云港·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用对数型复合函数单调性直接求解即可. 【解答过程】由题意得,即或, 则对于函数，其对称轴为, 当时，函数单调递减， 当时,函数单调递增； 又函数在时单调递增， 所以当时，函数单调递减，当时,函数单调递增. 可得函数的单调递减区间为. 故选：C. 【变式7-3】（25-26高一上·陕西西安·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用复合函数单调性求出函数的单调递增区间，结合题意可得出区间的包含关系，即可得出实数的取值范围. 【解答过程】对于函数，有，解得或， 故函数的定义域为， 因为内层函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为外层函数为增函数，故函数的增区间为， 因为函数在上单调递增，所以， 故，即实数的取值范围是. 故选：D. 【题型8 对数型复合函数的应用】 【例8】（25-26高一上·湖南郴州·期末）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．的图象关于轴对称 C．在定义域上是减函数 D．的值域为 【答案】C 【解题思路】根据对数函数的定义域可判断A；根据函数的奇偶性可判断B，根据复合函数的单调性可判断C，根据复合函数的值域可判断D. 【解答过程】令，所以的定义域为，故A错误； ，所以的图象不关于轴对称，故B错误； 令，则函数在上单调递减，又因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递减，故C正确； 因为，所以的值域为，故D错误. 故选：C. 【变式8-1】（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）已知函数，则下列不正确的为（    ） A．的定义域是 B．有最大值 C．不等式的解集是 D．在上单调递减 【答案】C 【解题思路】对于A，根据对数函数的定义域即可判断；对于B、D，求出函数的单调性即可判断；对于C，利用函数的单调性解不等式，结合定义域即可判断. 【解答过程】因为，由，解得， 所以的定义域是，故A正确； ， 因的对称轴为直线，其图象在上递增，在上递减， 又在上单调递增，故在上递增，在上递减， 所以的最大值为，故B、D正确； ，即 所以解得，故C错误. 故选：C. 【变式8-2】（25-26高一上·安徽宿州·期末）设（，且），且. (1)求的值及的定义域； (2)求在区间上的最值. 【答案】(1)， (2)最小值为，最大值为2 【解题思路】（1）利用代入法，结合对数型函数的定义域性质进行求解即可； （2）利用换元法，结合二次函数的最值性质、对数函数的单调性进行求解即可. 【解答过程】（1）因为，所以，解得， 由题意可得，解得，故函数定义域为； （2）由（1）可得， 令，对称轴为， 当时，， 则，，故， 故函数的最小值为，最大值为2. 【变式8-3】（25-26高一上·云南昆明·期末）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)判断并证明函数的奇偶性； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)为奇函数，证明过程见解析； (3) 【解题思路】（1）由真数大于0得到不等式，求出定义域； （2）定义域为，，故为奇函数； （3）先得到在上单调递增，结合奇偶性和定义域得到不等式，求出答案. 【解答过程】（1）由题意得，即，故， 解得，故定义域为； （2）由（1）知，的定义域为， 且， 故为奇函数； （3）令，， 显然在上单调递增， 取且， 则， 因为且，故，， 所以，， 所以在上单调递增， 由复合函数单调性可知在上单调递增， 因为为奇函数， 所以， 又在上单调递增， 故，解得， 所以实数的取值范围为. 【题型9 对数函数的实际应用】 【例9】（25-26高一上·河南郑州·期末）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.假设甲鲑鱼和乙鲑鱼都做匀速直线运动，乙在甲正前方18m处，9s后甲正好追上乙，则甲鲑鱼与乙鲑鱼耗氧量的单位数的比值为（   ） A．3 B．9 C．27 D．81 【答案】D 【解题思路】由题意列出方程，根据对数的运算性质，计算即可得答案. 【解答过程】设甲的速度为，耗氧量的单位数为，乙的速度为，耗氧量的单位数为， 由题意得，则， 所以，解得. 故选：D. 【变式9-1】（25-26高一上·河南·期末）已知声强的大小用声强级L（单位：dB）表示，声强级L与声强I（单位：）的关系式为： ，其中为参考声强（常数）．已知声强级为20dB时，声强为，在“马街书会”上河南坠子表演产生的声强的范围为，下表给出了声强级等级： 声强级 等级 I II III IV 则此坠子表演的声强等级是（    ） A．I B．II C．III D．IV 【答案】B 【解题思路】运用代入法，结合对数的运算性质、题中表格进行运算判断即可. 【解答过程】因为声强级为20dB时，声强为，所以， 所以， 当时， 有 ， 对照声强级等级表可以确定河南坠子表演产生的声强属于等级II. 故选：B. 【变式9-2】（25-26高一上·新疆和田·期末）地震的强烈程度通常用里氏震级表示，其中是距离震中100km处所测量地震的最大振幅，是该处的标准地震振幅.2001年昆仑山口西发生约8里氏地震，2020年喀什伽师县也曾发生过地震，已知前者的最大振幅大约是后者的1000倍，则后者震级大约为（   ） A．3里氏 B．4里氏 C．5里氏 D．6里氏 【答案】C 【解题思路】理解里氏震级的含义，代入两次地震的震级和最大振幅，再结合对数函数的运算法则得出结果， 【解答过程】设2001年昆仑山口西地震的震级为，最大振幅为， 2020年喀什伽师县发生地震的震级为，最大振幅为， 所以，对两次地震分别写出震级公式：，，用减去消去， 根据对数运算法则， 所以，， 故选：C. 【变式9-3】（25-26高一上·上海·期中）中国的5G技术领先世界，在5G技术中，最大数据传输速率取决于信道带宽，与满足，其中称为信噪比（单位：）．若不改变带宽，初始信噪比为1000，那么为了使增加，需要将信噪比从1000提升至大约（    ） A．5000 B．6000 C．7000 D．8000 【答案】D 【解题思路】结合题意，借助对数运算法则计算即可得. 【解答过程】由题意可得， 即有， 即. 故选：D. 模块四 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高一上·山东菏泽·期末）若，则（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【解题思路】令求出的值，再代入计算可得. 【解答过程】因为，令，解得， 所以. 故选：A. 2．（25-26高一上·辽宁·期末）已知函数的定义域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由的定义域可知不等式在上恒成立，令判别式小于解出的范围即可. 【解答过程】因为函数的定义域为， 所以不等式在上恒成立， 所以，解得， 故选：A. 3．（25-26高一上·安徽马鞍山·期末）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出函数的定义域，再利用复合函数单调性，结合二次函数、对数函数单调性求出递增区间. 【解答过程】函数中，，解得或， 函数在上单调递减，在上单调递增，而函数在上单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 即函数的单调递增区间为. 故选：D. 4．（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）设函数 且，若其反函数的图象过点，则（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【解题思路】根据反函数的性质，利用代入法进行求解即可. 【解答过程】因为函数的反函数的图象过点， 所以函数的图象过点， 所以有. 故选：B. 5．（25-26高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）函数的部分图象大致是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解题思路】根据奇偶性排除A；根据排除C；根据排除D. 【解答过程】根据题意可得的定义域为， 且， 所以为偶函数，排除A． 令，得或，排除C． ，排除D． 故选：B． 6．（25-26高一上·陕西渭南·期末）设，则的大小关系满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据指数函数和对数函数的单调性确定的范围，由此比较的大小即可. 【解答过程】因为函数为增函数，且， 所以，故， 因为函数为减函数，且， 所以，故， 因为函数为增函数，且， 所以，故，故. 故选：D. 7．（25-26高一上·河北承德·期末）若函数的值域为，且在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用一元二次方程根的分布以及复合函数单调性法则可得答案. 【解答过程】由函数的值域为， 得函数的值域包含， 则函数的图象与轴有交点， 即方程有实根， 所以，解得或； 由函数在上单调递增， 而函数在定义域上单调递增， 则函数在上单调递增且恒为正， ，解得； 综上，实数的取值范围是. 故选：A． 8．（25-26高一上·天津和平·阶段检测）已知定义在上的函数满足，、，当时，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】构造函数，分析可知函数为偶函数，且函数在上为减函数，将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，结合对数函数的单调性可解出的取值范围，即为所求. 【解答过程】、，当时，都有， 不妨设，则，所以，即， 令，则，即函数在上为减函数， 又因为定义在上的函数满足，则函数的定义域为， 且，故函数为偶函数， 因为，则， 由可得，即， 所以，所以，所以或，解得或， 因此不等式的解集为. 故选：D. 二、多选题 9．（25-26高一上·全国·课后作业）函数中，实数的取值可能是（　　） A． B．3 C．4 D．5 【答案】AC 【解题思路】利用对数函数的定义列出不等式解出即可. 【解答过程】因为， 所以根据对数函数的定义得：， 即：，所以或， 故选：AC. 10．（25-26高一上·河北衡水·期末）设且，则有（   ） A．的定义域为 B．是偶函数 C．当时，在上单调递减 D．当时，在上单调递增 【答案】BC 【解题思路】利用对数的性质求函数的定义域判断A，由奇偶性的定义判断函数的奇偶性判断B，由对数复合函数的单调性，结合参数范围判断的单调性判断CD. 【解答过程】由题设， 则，定义域为，A错， 由， 所以为偶函数，B对， 由题设，定义域为， 由，则在定义域上单调递减，在定义域上单调递增， 所以在上单调递减，C对，D错误. 故选：BC. 11．（25-26高一上·福建三明·阶段检测）若函数，则下列说法正确的是（   ） A．若，则为偶函数 B．若的定义域为，则 C．若，则的单调增区间为 D．若在上单调递减，则 【答案】ABD 【解题思路】A选项，根据奇偶函数的定义判断；B选项，根据对数函数的定义域可推知对于恒成立转化为二次不等式恒成立问题；CD选项利用对数复合型函数求解. 【解答过程】A选项，若，，定义域为：关于原点对称， ，则为偶函数，A选项正确； B选项，若的定义域为，则对于恒成立， 则，解得，B选项正确； C选项，若，， 令，解得或， 根据复合函数的单调性可知，的单调增区间为，C选项错误； D选项，根据复合函数的单调性可知，若在上单调递减， 则且， 解得，D选项正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（25-26高一上·广东河源·期末）已知函数，则__________． 【答案】 【解题思路】利用对数的运算性质计算可得所求函数值. 【解答过程】因为，则，故. 故答案为：. 13．（25-26高一上·上海·期末）函数的图象不经过第四象限，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【解题思路】求出函数的图象与轴交点坐标，数形结合可得出关于的不等式，解之即可. 【解答过程】由可得，解得， 即函数的图象与轴的交点为，作出该函数的图象如下图所示： 要使得函数的图象不经过第四象限，只需，解得. 因此实数的取值范围是. 故答案为：. 14．（25-26高一上·安徽铜陵·期末）函数的单调递增区间是__________． 【答案】 【解题思路】根据复合函数单调性的求法，结合对数函数及二次函数的单调性，分析求解，即可得答案. 【解答过程】令，解得或，即的定义域为， 因为为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递减，在单调递增， 又在上单调递减， 由复合函数单调性“同增异减”的原则， 得的单调递增区间是. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高一上·宁夏吴忠·期末）已知函数（且）图象过点． (1)求的值； (2)若，判断函数的奇偶性． 【答案】(1) (2)为偶函数． 【解题思路】（1）代入点，即得答案. （2）代入，得到的解析式，由奇偶性的定义即可得到答案. 【解答过程】（1）因为函数（且）的图象过点， 所以，所以． （2）根据（1）可得， 所以， 则． 由解得， 所以的定义域为，显然定义域关于原点对称， 又，所以为偶函数． 16．（25-26高三上·陕西渭南·期中）已知函数，且. (1)求函数的定义域； (2)当时，求函数在上的最大值. 【答案】(1) (2). 【解题思路】（1）根据对数函数定义域解不等式组即可求出函数的定义域； （2）根据对数函数的单调性与二次函数的性质即可求出时函数在上的最大值. 【解答过程】（1）依题意有解得， 故函数的定义域为. （2）当时，，其中， 令， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 又是减函数， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又， 故函数在上的最大值为. 17．（25-26高一上·云南昭通·期末）已知函数． (1)求函数的定义域，并判断函数的奇偶性； (2)求函数的值域． 【答案】(1)，偶函数 (2) 【解题思路】（1）解不等式得定义域，再根据奇偶性的定义判断即可； （2）由题知，令，再结合复合函数的性质求解值域即可. 【解答过程】（1）由题意得，解得． 所以函数的定义域为． 所以函数定义域关于原点对称， 又． 为偶函数． （2），， 令，，则， 又函数为增函数，的最大值为0． 所以函数的值域为． 18．（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）已知函数 且. (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性； (3)当时，求不等式的解集. 【答案】(1) (2)奇函数 (3) 【解题思路】（1）根据对数型函数的定义域进行求解即可； （2）根据函数奇偶性的定义进行求解即可； （3）根据对数函数的单调性进行求解即可. 【解答过程】（1）由函数的解析式可得， 所以函数的定义域为； （2）由（1）可知函数的定义域为，显然关于原点对称， 因为， 所以函数是奇函数； （3）时，，因为， 所以， 所以去分母，得，而，所以， 所以不等式的解集为. 19．（25-26高一上·湖南常德·期末）已知函数，. (1)求使成立的的取值范围； (2)若时，求函数的值域； (3)若对恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）利用对数函数单调性解对数不等式即可； （2）利用二次函数来求值域即可； （3）利用函数单调性求最值，结合不等式恒成立求参数范围即可. 【解答过程】（1）因为，由，可得，解得， 即不等式的解集为； （2）时， ， 设，，可得， 设，开口向上，对称轴， 函数在上单调递减，在上单调递增， 且，所以， ， 所以函数的值域为； （3）因为对恒成立，因为， 可得恒成立， 设，，可得， 设，则在上单调递增， 且，， 可得，所以. 即的取值范围为. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 对数函数（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 对数函数的概念 在4.2节中，我们用指数函数模型研究了呈指数增长或衰减变化规律的问题.对这样的问题，在引入对数后，我们还可以从另外的角度，对其蕴含的规律作进一步的研究. 【知识点1 对数函数的概念】 1．对数函数的定义 (1)对数函数的定义：一般地，函数y= (a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+ ∞). (2)判断一个函数是对数函数的依据： ①形如y=；②底数a满足a>0，且a≠1；③真数是x；④定义域为(0,+∞). 例如：y=是对数函数，而y=(x+1)，y=都不是对数函数. 【题型1 对数函数的判定】 【例1】（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）下列函数是对数函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高一上·上海·期中）函数为对数函数，则实数的值为（    ） A．3 B． C．2 D．或2 【变式1-2】（25-26高一上·全国·课前预习）下列函数是对数函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高一上·全国·课前预习）函数是对数函数，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【题型2 求对数函数的函数值或解析式】 【例2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026高二上·河南许昌·学业考试）已知函数的图象过点（8，3），则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 【变式2-2】（25-26高一·全国·课前预习）若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为（    ） A． B． C．或 D．不确定 【变式2-3】（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）已知函数且，若的图象过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 模块三 对数函数的图象与性质 【知识点2 对数函数的图象与性质】 1．对数函数的图象与性质 对数函数y= (a>0,且a≠1,x>0)的图象和性质如下表所示： 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域 (0，+∞) 值域 R 过定点 (1,0) 单调性 在(0，+∞)上是减函数 在(0，+∞)上是增函数 函数值的 变化范围 当0<x<1时，y>0 当0<x<1时，y<0 当x=1时，y=0 当x=1时，y=0 当x>1时，y<0 当x>1时，y>0 2．底数a对对数函数图象的影响 (1)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”. 当a>1时，对数函数的图象“上升”; 当0<a<1时,对数函数的图象“下降”. (2)函数y=与y= (a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称. (3)底数的大小决定了图象相对位置的高低： 无论是a>1还是0<a<1,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大. ①上下比较：在直线x=1的右侧,a>1时,a越大,图象越靠近x轴;0<a<1时,a越小,图象越靠近x轴; ②左右比较：比较图象与直线y=1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大. 3．对数函数图象的识别及应用 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 【知识点3 反函数】 1．反函数 定义 一般地，指数函数y=(a>0且a≠1)与对数函数y=(a>0且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换 性质 函数y=f(x)的定义域、值域分别为它的反函数y=的值域、定义域 互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称 【题型3 对数（型）函数的定义域与值域】 【例3】（25-26高一上·江苏南通·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一上·陕西商洛·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高一上·广东广州·阶段检测）函数，的值域为（   ） A． B． C． D． 【题型4 对数式的大小比较】 【例4】（25-26高一上·山西忻州·期末）已知，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高一上·江苏淮安·期末）设，，，则，，的大小关系（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高一上·湖北武汉·期末）设，，，，则（    ） A． B． C． D． 【题型5 解对数不等式】 【例5】（25-26高一上·河南郑州·期末）已知，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高一上·江苏·阶段检测）已知函数，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一上·江西上饶·期末）已知，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高一上·辽宁·期末）已知定义域为的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【题型6 对数函数的图象的识别及应用】 【例6】（25-26高一上·福建三明·阶段检测）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）函数的大致图象为（） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高一上·福建泉州·期末）函数且的图象如图所示，则必有（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高一上·湖南·阶段检测）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【题型7 对数（型）函数的单调性问题】 【例7】（25-26高一上·山东滨州·期末）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高一上·江西南昌·期末）若函数在上单调递增，则a的取值范围为（） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高一上·江苏连云港·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26高一上·陕西西安·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型8 对数型复合函数的应用】 【例8】（25-26高一上·湖南郴州·期末）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．的图象关于轴对称 C．在定义域上是减函数 D．的值域为 【变式8-1】（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）已知函数，则下列不正确的为（    ） A．的定义域是 B．有最大值 C．不等式的解集是 D．在上单调递减 【变式8-2】（25-26高一上·安徽宿州·期末）设（，且），且. (1)求的值及的定义域； (2)求在区间上的最值. 【变式8-3】（25-26高一上·云南昆明·期末）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)判断并证明函数的奇偶性； (3)若，求实数的取值范围． 【题型9 对数函数的实际应用】 【例9】（25-26高一上·河南郑州·期末）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.假设甲鲑鱼和乙鲑鱼都做匀速直线运动，乙在甲正前方18m处，9s后甲正好追上乙，则甲鲑鱼与乙鲑鱼耗氧量的单位数的比值为（   ） A．3 B．9 C．27 D．81 【变式9-1】（25-26高一上·河南·期末）已知声强的大小用声强级L（单位：dB）表示，声强级L与声强I（单位：）的关系式为： ，其中为参考声强（常数）．已知声强级为20dB时，声强为，在“马街书会”上河南坠子表演产生的声强的范围为，下表给出了声强级等级： 声强级 等级 I II III IV 则此坠子表演的声强等级是（    ） A．I B．II C．III D．IV 【变式9-2】（25-26高一上·新疆和田·期末）地震的强烈程度通常用里氏震级表示，其中是距离震中100km处所测量地震的最大振幅，是该处的标准地震振幅.2001年昆仑山口西发生约8里氏地震，2020年喀什伽师县也曾发生过地震，已知前者的最大振幅大约是后者的1000倍，则后者震级大约为（   ） A．3里氏 B．4里氏 C．5里氏 D．6里氏 【变式9-3】（25-26高一上·上海·期中）中国的5G技术领先世界，在5G技术中，最大数据传输速率取决于信道带宽，与满足，其中称为信噪比（单位：）．若不改变带宽，初始信噪比为1000，那么为了使增加，需要将信噪比从1000提升至大约（    ） A．5000 B．6000 C．7000 D．8000 模块四 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高一上·山东菏泽·期末）若，则（    ） A． B． C．1 D．3 2．（25-26高一上·辽宁·期末）已知函数的定义域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·安徽马鞍山·期末）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）设函数 且，若其反函数的图象过点，则（   ） A．2 B．3 C． D． 5．（25-26高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）函数的部分图象大致是（   ） A．   B．   C．   D．   6．（25-26高一上·陕西渭南·期末）设，则的大小关系满足（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·河北承德·期末）若函数的值域为，且在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·天津和平·阶段检测）已知定义在上的函数满足，、，当时，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一上·全国·课后作业）函数中，实数的取值可能是（　　） A． B．3 C．4 D．5 10．（25-26高一上·河北衡水·期末）设且，则有（   ） A．的定义域为 B．是偶函数 C．当时，在上单调递减 D．当时，在上单调递增 11．（25-26高一上·福建三明·阶段检测）若函数，则下列说法正确的是（   ） A．若，则为偶函数 B．若的定义域为，则 C．若，则的单调增区间为 D．若在上单调递减，则 三、填空题 12．（25-26高一上·广东河源·期末）已知函数，则__________． 13．（25-26高一上·上海·期末）函数的图象不经过第四象限，则实数的取值范围为_________． 14．（25-26高一上·安徽铜陵·期末）函数的单调递增区间是__________． 四、解答题 15．（25-26高一上·宁夏吴忠·期末）已知函数（且）图象过点． (1)求的值； (2)若，判断函数的奇偶性． 16．（25-26高三上·陕西渭南·期中）已知函数，且. (1)求函数的定义域； (2)当时，求函数在上的最大值. 17．（25-26高一上·云南昭通·期末）已知函数． (1)求函数的定义域，并判断函数的奇偶性； (2)求函数的值域． 18．（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）已知函数 且. (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性； (3)当时，求不等式的解集. 19．（25-26高一上·湖南常德·期末）已知函数，. (1)求使成立的的取值范围； (2)若时，求函数的值域； (3)若对恒成立，求的取值范围. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $