第20讲 函数模型的应用（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版

第20讲 函数模型的应用 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 指数型函数模型的应用 题型2 对数型函数模拟的应用 题型3 根据增长率选择函数模型 题型4 建立拟合函数模型解决实际问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 函数模型 直线上升 指数爆炸 对数增长 数学建模 1. 识别常见模型：能识别一次、二次、指数型、对数型等常见函数模型的特征，说出其适用场景. 2. 掌握建模步骤：能按“审题→建模→求解→验证（还原）”的基本步骤，建立函数模型解决实际问题. 3. 选择合适模型：能通过散点图或数据趋势选择合适的函数模型，并用计算工具求解参数，验证模型合理性. 4. 提升核心素养：体会数学建模的严谨性，发展数据分析、数学抽象及逻辑推理等核心素养. 学习重点：（1）识别模型特征：识别不同函数模型的特征，根据实际问题选择合适模型. （2）掌握建模步骤：熟练掌握建立函数模型解决实际问题的四个步骤. 学习难点：（1）抽象变量关系：从复杂的实际问题中抽象出变量关系，准确确定函数模型的类型. （2）参数确定与解释：模型参数的确定，以及对结果实际意义的合理解释. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 函数模型的选择与建立 1、几种常见的函数模型 （1）一次函数模型：（，为常数，） （2）二次函数模型：（为常数，） （3）指数函数模型：（为常数，，且） （4）对数函数模型：（为常数，，且） （5）幂函数模型：（为常数，） （6）分段函数模型：． 2、建立函数模型时，求函数解析式的方法 （1）待定系数法：已知条件中给出了含参数的函数解析式或根据已知条件可确定函数的模型，这种情况下，运用待定系数法求出解析式中的相关参数，就可以确定函数的解析式． （2）归纳法：先给自变量一些特殊值，计算出相应函数值，从中发现规律，在推广到一般情形，从而得到函数的解析式． （3）方程法：用表示自变量或其他相关量，根据问题的实际意义，运用已掌握的数学、物理的方面的知识，列出函数的解析式，此种方法形式上与列方程解应用题相仿，故称为方程法，实际上函数的解析式就是关于的方程． 3、用函数模型求解应用问题的四个步骤 （1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型； （2）建模：将自然语言化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型； （3）求模：求解数学模型，得出数学模型； （4）还原：将数学结论还原为实际问题． 知识点02 拟合函数模型的建立与求解 1、数学建模：研究实际问题时，要深入调查，了解对象信息，给出简化假设，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子（也就是数学模型），然后计算得到模型的结果，并进行检验，最后解释实际问题．这个建立数学模型的全过程就成为数学建模． 2、函数拟合：根据收集的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型并求出函数解析式，再进行拟合、比较，从而选出最恰当的函数模型的过程，称为函数拟合（或数据拟合）． 3、函数拟合与预测的一般步骤 （1）通过原始数据、表格，绘出散点图； （2）通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线； （3）求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式； （4）根据拟合误差要求判断，选择最佳的拟合函数； （5）利用选取的拟合函数进行预测； （6）利用函数关系式，根据条件所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据． 题型1 指数型函数模型的应用 【例1】某灭活疫苗的有效保存时间单位：小时与储藏的温度单位：满足的函数关系为为常数，其中，是一个和类似的无理数，叫自然对数的底数，超过有效保存时间，疫苗将不能使用.若在时的有效保存时间是1080h，在时的有效保存时间是120h，则该疫苗在时的有效保存时间为（    ） A．15h B．30h C．40h D．60h 【方法总结】 解决指数型函数模型应用问题，需遵循“建模→定参→求解”的解题方法： 1. 明确模型结构：先识别题目给定的指数型函数形式，明确自变量、因变量及待定参数； 2. 代入条件定参数：利用题目给出的已知点坐标，代入模型列方程。若含多个参数，需联立方程组求解； 3. 代入新条件求结果：参数确定后，将目标自变量代入已确定的函数模型，建立相关的方程计算对应的值，或建立相关的不等式关系，解不等式即可. 【变式1-1】某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，已知第次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量（）满足函数模型（），其中为改良工艺的次数，假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（    ）（参考数据：，） A．14次 B．15次 C．16次 D．17次 题型2 对数型函数模拟的应用 【例2】青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为，则其视力的小数记录法的数据约为（参考数据）（   ） A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．1.2 【方法总结】 对数型函数应用题的解题思路： ①依题意，找出或建立数学模型，②依实际情况确立解析式中的参数，③依题设数据解决数学问题，④得出结论. 【变式2-1】大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.假设甲鲑鱼和乙鲑鱼都做匀速直线运动，乙在甲正前方18m处，9s后甲正好追上乙，则甲鲑鱼与乙鲑鱼耗氧量的单位数的比值为（   ） A．3 B．9 C．27 D．81 题型3 根据增长率选择函数模型 【例3】在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（   ） 1.992 3 4 5.15 6.126 1.517 4.0418 7.5 12 18.01 A． B． C． D． 【方法总结】 解决根据增长率选择函数模型的问题，方法如下： 1、分析数据特征：观察表格中自变量 与因变量 的变化趋势。判断 随 增大是均匀增加、增速变快（“下凸”）还是增速变慢（“上凸”）； 2、匹配函数性质：线性增长（匀速）：对应一次函数 ，指数爆炸（极快）：对应指数函数 ，数值通常巨大；对数增长（趋缓）：对应对数函数 ，后期增长乏力；幂函数/多项式增长（较快）：对应 或二次函数，增长速度介于线性与指数之间； 3、特值验证排除：选取表格中特殊的点（如整数点）代入选项计算，或通过估算数量级，快速排除偏差大的选项，锁定最接近的模型. 【变式3-1】从甲地到乙地的距离约为，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量（单位：）与速度（单位：）的下列数据： 0 40 60 80 120 20.000 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，下列四个模型中最符合实际的函数模型是（    ） A． B． C． D． 题型4 建立拟合函数模型解决实际问题 【例4】数据显示，某IT公司2023年2月—6月的月收入情况如下表所示： 月份 2 3 4 5 6 月收入（万元） 1.4 2.56 5.31 11 21.3 根据上述数据，在建立该公司2023年月收入（万元）与月份的函数模型时，给出两个函数模型与供选择. (1)你认为哪个函数模型较好，并简单说明理由； (2)试用你认为较好的函数模型，分析大约从第几月份开始，该公司的月收入会超过100万元？（参考数据：，） 【方法总结】 建立拟合函数模型解决实际问题的基本步骤： 【变式4-1】年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”、“拉姆达”、“奥密克戎”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松．某科研机构对某变异毒株在一特定环境下进行观测，每隔单位时间进行一次记录，用表示经过单位时间的个数，用表示此变异毒株的数量，单位为万个，得到如下观测数据： 万个 若该变异毒株的数量单位：万个与经过个单位时间的关系有两个函数模型与可供选择． 参考数据：，，， (1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； (2)求至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于亿个． 一、单选题 1．下列函数中当足够大时，增长率最大的是（    ） A． B． C． D． 2．某AI大模型的算力规模每半年翻一番，初始算力为，经过t年后算力为P，则P与t的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 3．已知某AI智能软件处理相关数据量（单位：）与所需时间（单位：）之间的关系为，当要处理的数据量从增加到时，处理的时间增加了，则要处理的数据量为时，所需的处理时间为（    ） A． B． C． D． 4．声强级，是指声强（单位：W/m2）和定值（单位：W/m2）比值的常用对数值再乘以10，即声强级（单位：dB）.已知人与人交谈时的声强级约为45dB，一种火箭发射时的声强和人与人交谈时的声强的比值约为，那么这种火箭发射的声强级约为（    ） A．150 dB B．285 dB C．145 dB D．235 dB 5．5G信号随传输距离的增加而变弱.传输距离 （单位：km）与5G信号 （单位：W）的关系为 其中 为发射器发出的5G初始信号 为衰减系数（常数）.已知某5G信号的传输距离为50 km时该信号减弱为5G初始信号的一半.若在某处测得的信号为5G初始信号的 则传输距离为（    ） A．100 km B．150 km C．200 km D．250 km 6．单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（    ） A．135 B．149 C．165 D．195 二、多选题 7．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2019年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金超过200万元的年份是（   ） （参考数据：，，） A．2019年 B．2020年 C．2023年 D．2024年 8．设，，，当时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是 （    ） A．的增长速度最快， 的增长速度最慢 B．的增长速度最快， 的增长速度最慢 C．的增长速度最快， 的增长速度最慢 D．的增长速度最快， 的增长速度最慢 9．某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示： 时间（天） 1 2 3 4 利润（万元） 2 3.98 8.01 15.99 则下列函数中不符合销售这种空调的函数模型的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 10．音高y（单位:）与频率f（单位：）满足，若，则f的取值范围为________． 11．物理学家牛顿曾提出物体在常温环境下温度变化的冷却模型．若物体的初始温度是，环境温度是，则经过分钟，物体的温度满足，其中是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数．现有的物体，放在的空气中冷却，经过10分钟，物体的温度为，则再经过20分钟，物体的温度为___________． 12．某同学根据数学家牛顿的物体冷却模型：若物体原来的温度为（单位：），环境温度为，单位），物体的温度冷却到，单位：）需用时（单位：分钟），推导出函数关系为为正的常数.现有一壶开水（）放在室温为的房间里，下面三个选项中正确的是__________． （1）函数关系也可作为这壶开水的冷却模型； （2）当时，这壶开水冷却到大约需要28分钟； （3）这壶水从冷却到所需时间比从冷却到所需时间短. 四、解答题 13．塑料袋给我们生活带来了方便，但塑料在自然界可停留长达年之久，给环境带来了很大的危害，国家发改委､生态环境部等9部门联合印发《关于扎实推进塑料污染治理工作的通知》明确指出，2021年1月1日起，将禁用不可降解的塑料袋､塑料餐具及一次性塑料吸管等.某品牌塑料袋经自然降解后残留量与时间年之间的关系为为初始量，为光解系数（与光照强度､湿度及氧气浓度有关），为塑料分子聚态结构系数，已知分子聚态结构系数是光解系数的90倍.（参考数据：） (1)塑料自然降解，残留量为初始量的，大约需要多久？ (2)为了缩短降解时间，该塑料改进工艺，改变了塑料分子聚态结构，其他条件不变，已知2年就可降解初始量的，则残留量不足初始量的，至少需要多久？（精确到年） 14．某厂家为增加某种商品的销售量，决定投入广告据市场调查，广告投入费用（单位：万元）与增加的销售量（单位：千件）满足下列数据： 增加的销售量 0 1 2 4 5 广告投入费用 0.000 0.452 0.816 1.328 1.500 为了描述广告投入费用与增加的销售量的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，，，， (1)选出你认为最符合题意的函数模型，并说明理由； (2)根据你选择的函数模型，求出相应的函数解析式；你认为增加的销售量为多少时，每千件的广告投入费用最少？ 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第20讲 函数模型的应用 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 指数型函数模型的应用 题型2 对数型函数模拟的应用 题型3 根据增长率选择函数模型 题型4 建立拟合函数模型解决实际问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 函数模型 直线上升 指数爆炸 对数增长 数学建模 1. 识别常见模型：能识别一次、二次、指数型、对数型等常见函数模型的特征，说出其适用场景. 2. 掌握建模步骤：能按“审题→建模→求解→验证（还原）”的基本步骤，建立函数模型解决实际问题. 3. 选择合适模型：能通过散点图或数据趋势选择合适的函数模型，并用计算工具求解参数，验证模型合理性. 4. 提升核心素养：体会数学建模的严谨性，发展数据分析、数学抽象及逻辑推理等核心素养. 学习重点：（1）识别模型特征：识别不同函数模型的特征，根据实际问题选择合适模型. （2）掌握建模步骤：熟练掌握建立函数模型解决实际问题的四个步骤. 学习难点：（1）抽象变量关系：从复杂的实际问题中抽象出变量关系，准确确定函数模型的类型. （2）参数确定与解释：模型参数的确定，以及对结果实际意义的合理解释. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 函数模型的选择与建立 1、几种常见的函数模型 （1）一次函数模型：（，为常数，） （2）二次函数模型：（为常数，） （3）指数函数模型：（为常数，，且） （4）对数函数模型：（为常数，，且） （5）幂函数模型：（为常数，） （6）分段函数模型：． 2、建立函数模型时，求函数解析式的方法 （1）待定系数法：已知条件中给出了含参数的函数解析式或根据已知条件可确定函数的模型，这种情况下，运用待定系数法求出解析式中的相关参数，就可以确定函数的解析式． （2）归纳法：先给自变量一些特殊值，计算出相应函数值，从中发现规律，在推广到一般情形，从而得到函数的解析式． （3）方程法：用表示自变量或其他相关量，根据问题的实际意义，运用已掌握的数学、物理的方面的知识，列出函数的解析式，此种方法形式上与列方程解应用题相仿，故称为方程法，实际上函数的解析式就是关于的方程． 3、用函数模型求解应用问题的四个步骤 （1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型； （2）建模：将自然语言化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型； （3）求模：求解数学模型，得出数学模型； （4）还原：将数学结论还原为实际问题． 知识点02 拟合函数模型的建立与求解 1、数学建模：研究实际问题时，要深入调查，了解对象信息，给出简化假设，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子（也就是数学模型），然后计算得到模型的结果，并进行检验，最后解释实际问题．这个建立数学模型的全过程就成为数学建模． 2、函数拟合：根据收集的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型并求出函数解析式，再进行拟合、比较，从而选出最恰当的函数模型的过程，称为函数拟合（或数据拟合）． 3、函数拟合与预测的一般步骤 （1）通过原始数据、表格，绘出散点图； （2）通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线； （3）求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式； （4）根据拟合误差要求判断，选择最佳的拟合函数； （5）利用选取的拟合函数进行预测； （6）利用函数关系式，根据条件所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据． 题型1 指数型函数模型的应用 【例1】某灭活疫苗的有效保存时间单位：小时与储藏的温度单位：满足的函数关系为为常数，其中，是一个和类似的无理数，叫自然对数的底数，超过有效保存时间，疫苗将不能使用.若在时的有效保存时间是1080h，在时的有效保存时间是120h，则该疫苗在时的有效保存时间为（    ） A．15h B．30h C．40h D．60h 【答案】C 【详解】， 当时，， 当时，，解得， 当时， 【方法总结】 解决指数型函数模型应用问题，需遵循“建模→定参→求解”的解题方法： 1. 明确模型结构：先识别题目给定的指数型函数形式，明确自变量、因变量及待定参数； 2. 代入条件定参数：利用题目给出的已知点坐标，代入模型列方程。若含多个参数，需联立方程组求解； 3. 代入新条件求结果：参数确定后，将目标自变量代入已确定的函数模型，建立相关的方程计算对应的值，或建立相关的不等式关系，解不等式即可. 【变式1-1】某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，已知第次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量（）满足函数模型（），其中为改良工艺的次数，假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（    ）（参考数据：，） A．14次 B．15次 C．16次 D．17次 【答案】C 【详解】，由，得，即， 得，又，所以， 故若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要16次. 题型2 对数型函数模拟的应用 【例2】青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为，则其视力的小数记录法的数据约为（参考数据）（   ） A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．1.2 【答案】A 【详解】由题意知，五分记录法的数据L和小数记录法的数据满足， 因为某同学视力的五分记录法的数据为，可得，解得， 结合对数的运算法则，可得. 【方法总结】 对数型函数应用题的解题思路： ①依题意，找出或建立数学模型，②依实际情况确立解析式中的参数，③依题设数据解决数学问题，④得出结论. 【变式2-1】大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.假设甲鲑鱼和乙鲑鱼都做匀速直线运动，乙在甲正前方18m处，9s后甲正好追上乙，则甲鲑鱼与乙鲑鱼耗氧量的单位数的比值为（   ） A．3 B．9 C．27 D．81 【答案】D 【详解】设甲的速度为，耗氧量的单位数为，乙的速度为，耗氧量的单位数为， 由题意得，则， 所以，解得. 题型3 根据增长率选择函数模型 【例3】在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（   ） 1.992 3 4 5.15 6.126 1.517 4.0418 7.5 12 18.01 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题中表格可知函数在上是增函数，且的变化随的增大而增大得越来越快，故排除AC，对比BD选项，D选项的预测值远大于实际数据，因此排除D，故选B. 【方法总结】 解决根据增长率选择函数模型的问题，方法如下： 1、分析数据特征：观察表格中自变量 与因变量 的变化趋势。判断 随 增大是均匀增加、增速变快（“下凸”）还是增速变慢（“上凸”）； 2、匹配函数性质：线性增长（匀速）：对应一次函数 ，指数爆炸（极快）：对应指数函数 ，数值通常巨大；对数增长（趋缓）：对应对数函数 ，后期增长乏力；幂函数/多项式增长（较快）：对应 或二次函数，增长速度介于线性与指数之间； 3、特值验证排除：选取表格中特殊的点（如整数点）代入选项计算，或通过估算数量级，快速排除偏差大的选项，锁定最接近的模型. 【变式3-1】从甲地到乙地的距离约为，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量（单位：）与速度（单位：）的下列数据： 0 40 60 80 120 20.000 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，下列四个模型中最符合实际的函数模型是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图表中数据可知函数模型满足： 第一，定义域为， 第二，在定义域单调递增， 第三，函数图象过原点， 所以函数在定义域内单调递减，不符合条件，故B错误； 函数中0不在函数的定义域中，故C错误； 观察数据可知，各点连线的斜率不相等，故函数不为一次函数，D错误； 因此更符合，故A正确. 题型4 建立拟合函数模型解决实际问题 【例4】数据显示，某IT公司2023年2月—6月的月收入情况如下表所示： 月份 2 3 4 5 6 月收入（万元） 1.4 2.56 5.31 11 21.3 根据上述数据，在建立该公司2023年月收入（万元）与月份的函数模型时，给出两个函数模型与供选择. (1)你认为哪个函数模型较好，并简单说明理由； (2)试用你认为较好的函数模型，分析大约从第几月份开始，该公司的月收入会超过100万元？（参考数据：，） 【答案】(1)用函数这一模型较好，理由见解析 (2)大约从第9月份开始，该公司的月收入会超过100万元 【详解】（1）对已知数据进行描点： 由图可知点，，，，基本上是落在函数的图像的附近， 因此用函数这一模型较好 （2）解法一：当时，即，∴，即， ∴， 故大约从第9月份开始，该公司的月收入会超过100万元. 解法二：当时，即，∵，， 故大约从第9月份开始，该公司的月收入会超过100万元 【方法总结】 建立拟合函数模型解决实际问题的基本步骤： 【变式4-1】年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”、“拉姆达”、“奥密克戎”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松．某科研机构对某变异毒株在一特定环境下进行观测，每隔单位时间进行一次记录，用表示经过单位时间的个数，用表示此变异毒株的数量，单位为万个，得到如下观测数据： 万个 若该变异毒株的数量单位：万个与经过个单位时间的关系有两个函数模型与可供选择． 参考数据：，，， (1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； (2)求至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于亿个． 【答案】(1)选择函数更合适，解析式为 (2)11个 【分析】（1）将，和，分别代入两种模型求解解析式，再根据的值，即可判断； （2）设至少需要x个单位时间，则，再结合对数函数的公式，即可求解． 【详解】（1）若选， 将，和，代入可得，，解得， 故， 将代入，，不符合题意； 若选， 将，和，代入可得，，解得， 故， 将代入可得，，符合题意； 综上所述，选择函数更合适，解析式为 （2）设至少需要x个单位时间， 则，即，两边同时取对数可得，， 则， ， 的最小值为11， 故至少经过11个单位时间该病毒的数量不少于1亿个． 一、单选题 1．下列函数中当足够大时，增长率最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当充分大时，指数函数增长最快． 一次函数是线性增长，增长率为固定常数，增长速度稳定； 对数函数是对数增长，增长速度越来越慢，当x足够大时增长率趋近于0； 幂函数是多项式增长，增长速度快于线性增长、对数增长，但远慢于指数增长； 指数函数是指数增长，当x足够大时，增长速度会远超幂函数、一次函数、对数函数，因此本题增长率最大的是指数函数. 2．某AI大模型的算力规模每半年翻一番，初始算力为，经过t年后算力为P，则P与t的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】P与t的函数关系式为． 3．已知某AI智能软件处理相关数据量（单位：）与所需时间（单位：）之间的关系为，当要处理的数据量从增加到时，处理的时间增加了，则要处理的数据量为时，所需的处理时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意： ，所以. 所以. 当时，（）. 4．声强级，是指声强（单位：W/m2）和定值（单位：W/m2）比值的常用对数值再乘以10，即声强级（单位：dB）.已知人与人交谈时的声强级约为45dB，一种火箭发射时的声强和人与人交谈时的声强的比值约为，那么这种火箭发射的声强级约为（    ） A．150 dB B．285 dB C．145 dB D．235 dB 【答案】D 【详解】设人与人交谈时的声强约为 W/m²，依题意，，则得， 依题意，该火箭发射时的声强约为 W/m²，则其发射的声强级约为： . 5．5G信号随传输距离的增加而变弱.传输距离 （单位：km）与5G信号 （单位：W）的关系为 其中 为发射器发出的5G初始信号 为衰减系数（常数）.已知某5G信号的传输距离为50 km时该信号减弱为5G初始信号的一半.若在某处测得的信号为5G初始信号的 则传输距离为（    ） A．100 km B．150 km C．200 km D．250 km 【答案】C 【详解】由题意可知解得所以 将代入得. 6．单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（    ） A．135 B．149 C．165 D．195 【答案】B 【详解】由题意得，，当且仅当，即时取“=”， 所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149. 二、多选题 7．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2019年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金超过200万元的年份是（   ） （参考数据：，，） A．2019年 B．2020年 C．2023年 D．2024年 【答案】CD 【详解】设经过n年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元， 由题意得，所以， 两边取对数，得， 因为，所以n的最小值为4． 故2023年开始该公司全年投入的研发资金开始超过200万元． 8．设，，，当时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是 （    ） A．的增长速度最快， 的增长速度最慢 B．的增长速度最快， 的增长速度最慢 C．的增长速度最快， 的增长速度最慢 D．的增长速度最快， 的增长速度最慢 【答案】ACD 【详解】做出三个函数，，的图象， 如图所示： 通过图象可知三个函数，，中， 当时，增长速度最快，的增长速度最慢， 故B正确，ACD错误. 9．某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示： 时间（天） 1 2 3 4 利润（万元） 2 3.98 8.01 15.99 则下列函数中不符合销售这种空调的函数模型的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】把代入每一个选项，逐一与题目中的数据对比，可得答案. 【详解】对于A，把代入，可得下表： 对于B，把代入，可得下表： 对于C，把代入，可得下表： 对于D，把代入，可得下表： 显然只有的值最接近表格中的对应的值，故A，C，D符合题意． 三、填空题 10．音高y（单位:）与频率f（单位：）满足，若，则f的取值范围为________． 【答案】 【详解】由题意，则，解得， 所以f的取值范围为. 11．物理学家牛顿曾提出物体在常温环境下温度变化的冷却模型．若物体的初始温度是，环境温度是，则经过分钟，物体的温度满足，其中是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数．现有的物体，放在的空气中冷却，经过10分钟，物体的温度为，则再经过20分钟，物体的温度为___________． 【答案】30 【详解】由题意得，，，代入， 得，即， 所以， 所以， 由题意再经过20分钟，将代入， 即，得， 即再经过20分钟，物体的温度为， 故答案为：30． 12．某同学根据数学家牛顿的物体冷却模型：若物体原来的温度为（单位：），环境温度为，单位），物体的温度冷却到，单位：）需用时（单位：分钟），推导出函数关系为为正的常数.现有一壶开水（）放在室温为的房间里，下面三个选项中正确的是__________． （1）函数关系也可作为这壶开水的冷却模型； （2）当时，这壶开水冷却到大约需要28分钟； （3）这壶水从冷却到所需时间比从冷却到所需时间短. 【答案】（2）（3） 【详解】对于（1），由于， 得，整理得，所以（1）错误； 对于（2），时，所以（2）正确； 对于（3），设壶水从到所需时间为，则 设壶水从到所需时间为，则， ，所以，故（3）正确； 四、解答题 13．塑料袋给我们生活带来了方便，但塑料在自然界可停留长达年之久，给环境带来了很大的危害，国家发改委､生态环境部等9部门联合印发《关于扎实推进塑料污染治理工作的通知》明确指出，2021年1月1日起，将禁用不可降解的塑料袋､塑料餐具及一次性塑料吸管等.某品牌塑料袋经自然降解后残留量与时间年之间的关系为为初始量，为光解系数（与光照强度､湿度及氧气浓度有关），为塑料分子聚态结构系数，已知分子聚态结构系数是光解系数的90倍.（参考数据：） (1)塑料自然降解，残留量为初始量的，大约需要多久？ (2)为了缩短降解时间，该塑料改进工艺，改变了塑料分子聚态结构，其他条件不变，已知2年就可降解初始量的，则残留量不足初始量的，至少需要多久？（精确到年） 【答案】(1)207年；(2)21年. 【详解】（1）由题可知， 所以， 所以， 所以残留量为初始量的，大约需要207年； （2）根据题意当时，， ，解得， 所以， 若残留量不足初始量的，则， ，两边取常用对数， ，所以至少需要21年. 14．某厂家为增加某种商品的销售量，决定投入广告据市场调查，广告投入费用（单位：万元）与增加的销售量（单位：千件）满足下列数据： 增加的销售量 0 1 2 4 5 广告投入费用 0.000 0.452 0.816 1.328 1.500 为了描述广告投入费用与增加的销售量的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，，，， (1)选出你认为最符合题意的函数模型，并说明理由； (2)根据你选择的函数模型，求出相应的函数解析式；你认为增加的销售量为多少时，每千件的广告投入费用最少？ 【答案】(1)选择是最合适的模型，理由见解析 (2)；千件 【详解】（1） ，在区间上单调递减， 与表中数据矛盾，该模型不合适, ，则函数在处无意义, 与表中数据矛盾，该模型不合适, 故选择是最合适的模型. （2）将表中的数据代入可得， 解得 所以； 设每千件的广告费用为， 则 ， 所以当时，最小值为， 故销售量增加达到千件时，才能使每千件的广告投入费用最少. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $